LA LOGARITMACIÓ Arribarem al concepte pressumptament misteriós com és el de la logaritmació a través del repàs de les operacions aritmètiques fonamentals, que són 7. Antigament es parlava d'estudiar les 4 regles, perquè en la pràctica la gent només en sol fer servir 4, però en realitat n'hi ha 7 i no 4, tot i que, en realitat, totes es deriven de la primera, que és la suma. Suma Sumand 1 + Sumand 2 = Suma p. ex: 3 + 4 = 7 Si la suma consta de més de 2 sumands, primer se'n sumen 2 qualssevol, la seva suma se suma amb el 3r, etc. La suma té la propietat commutativa. Sumand 1 + Sumand 2 = Sumand 2 + Sumand 1 p. ex: 3 + 4 = 4 + 3 Resta La resta és l'operació inversa de la suma, que permet calcular un sumand quan es coneix la suma i l'altre sumand. Sumand 2 = Suma - Sumand 1 p. ex: 4 = 7-3 Com que la suma té la propietat commutativa, hi ha una sola operació inversa de la suma, i la resta tant serveix per calcular el sumand 2 com el sumand 1. Sumand 1 = Suma - Sumand 2 p. ex: 3 = 7-4 Multiplicació La multiplicació no és sinó una abreviació de la suma, quan es tracta de sumar sumands iguals moltes vegades. Factor 1 x Factor 2 = Poducte p. ex: 3 x 4 = 12 Qualsevol dels dos factors pot representar un nombre i l'altre factor representa el nombre de vegades que se suma aquest nombre a si mateix. 3 + 3 + 3 + 3 = 3 x 4 = 12 La multiplicació també té la propietat commutativa. Factor 1 x Factor 2 = Factor 2 x Factor 1 p. ex: 3 + 3 + 3 + 3 = 3 x 4 = 4 x 3 = 4 + 4+ 4 Si el producte (la multiplicació) consta de més de 2 factors, primer se'n multiplica 2 qualssevol, el seu producte es multiplica amb el 3r, etc. Divisió La divisió és l'operació inversa de la multiplicació, que permet calcular un factor quan es coneix el producte i l'altre factor. Factor 2 = Producte : Factor 1 p. ex: 4 = 12 : 3 En la divisió, del producte se'n diu dividend, del factor 1 se'n diu divisor i del factor 2, que és el resultat, se'n diu quocient o divisió. Com que la multiplicació té la propietat commutativa, hi ha una sola operació inversa de la multiplicació, i la divisió tant serveix per calcular el factor 1 com el factor 1. Factor 1 = Producte : Factor 2 p. ex: 3 = 12 : 4 La logaritmació 1
Potenciació La potenciació no és sinó una abreviació de la multiplicació, quan es tracta de multiplicar factors iguals moltes vegades. Base exponent = Potència p. ex: 3 4 = 81 La base és el nombre que es multiplica repetidament per si mateix, i l'exponent és el nombre de vegades que la base es pren com a factor. La potenciació no té la propietat commutativa. A B B A p. ex: 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 Per tant, ja es veu que hi haurà 2 operacions inverses de la potenciació: Tenint la potència i l'exponent, trobar la base. Aquesta operació és la radicació. Tenint la potència i la base, trobar l'exponent. Aquesta operació és la logaritmació. Radicació Ja s'ha definit ara mateix. Si B exponent = Potència tenim que B = expoent Potència p. ex: si 3 4 = 81 tenim que 3 = 4 81 En el cas de la radicació, de l'exponent se'n diu índex i de la base, que és el resultat, se'n diu arrel. Quan parlem de nombres complexos, veurem que hi ha tants resultats diferents o arrels com el nombre que indica l'índex, però si parlem només de nombres reals direm que pot haver-hi un resultat, o dos, o cap. Hi ha un sol resultat en cas d'arrels d'índex senar. P. ex. 3 27 = 3. Hi ha dos resultats iguals en valor absolut, un de positiu i un de negatiu, en cas d'arrels d'index parell d'un nombre positiu. P. ex. 4 81 = ± 3. No hi ha cap resultat en cas d'arrels d'índex parell d'un nombre negatiu. P. ex. (-4). En efecte, no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat dongui -4 o un altre nombre negatiu qualsevol (per això va caldre inventar els nombres imaginaris i els nombres complexos, però això ja és un altre tema). Logaritmació També ja s'ha definit més amunt. Si B exponent = Potència tenim que exponent = log B Potència p. ex: si 3 4 = 81 tenim que 4 = log 3 81 Per no espantar el personal, aquesta darrera igualtat es pot es pot escriure d'una manera equivalent i sense resumir: 4 = "a l'exponent a què cal elevar el 3 per obtenir un resultat de 81", o bé, 4 = "al nombre de vegades que cal multiplicar el 3 per si mateix per obtenir un resultat de 81" però com que en matemàtiques cal anar per feina, tot això que està entre cometes s'abreuja i se'n diu simplement "log 3 81", i la gent mínimament experta ja sap interpretar què vol dir. Que quedi ben clar doncs, que el mot logaritme només vol dir exponent. Si 3 3 = 27 i 3 4 = 81, això vol dir que el 3 elevat a un exponent entre 3 i 4, donarà un resultat entre 27 i 81. Per tant, com que log 3 27 = 3 i log 3 81 = 4, ja es veu que el log 3 d'un número que està entre 27 i 81, serà un número entre 3 i 4. Potser en lloc d'escriure log es podria escriure exp, però s'escriu log i tothom ja ho sap i no s'esvera ningú. La logaritmació 2
Òbviament l'exponent a què cal elevar una base per obtenir un nombre donat depèn de la base que tinguem en consideració. Per això, quan es parla del logaritme d'un nombre sempre s'ha d'especificar a quina base correspon aquest logaritme, base que se sol expressar amb un subíndex. Si no es diu res i no hi ha cap subíndex, se sol considerar que el logaritme correspon a la base 10 (logaritme decimal). Si es pren com a base el nombre e, el logaritme s'anomena natural o neperià, i se sol representar per les lletres ln, en lloc de log. Com que un nombre qualsevol elevat a 1 és ell mateix, el logaritme d'un nombre qualsevol en la base del mateix nombre també és igual a 1. P. ex. log 3 3 = 1, o bé log 10 = 1, o bé ln e = 1 PROPIETATS ELEMENTALS DE LA LOGARITMACIÓ Logaritme d'un producte El producte de dues (o més de dues) potències de la mateixa base és igual a una potència que té la mateixa base i que té per exponent la suma dels exponents de tots els factors. B exp1 x B exp2 = B exp1+exp2 p. ex. 3 4 x 3 5 = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 ) = 82 x 243 = 19.683 = 3 4+5 = 3 9 Ara bé, com que ja hem après que de l'exponent també el diem logaritme, aleshores podem dir que el logaritme d'un producte és igual a la suma dels logaritmes dels factors (aquesta propietat és vàlida per a qualsevol base, però ha de ser la mateixa per a tots els factors i el producte). Per deixar-ho ben clar, si tenim: Factor1 x Factor2 = Producte, Aleshores tenim: log Factor1 + log Factor 2 = log Producte P. ex. si: 3 x 4 = 12 log 3 + log 4 = log 12 (en qualsevol base). si: 81 x 243 = 19.683 log 81 + log 243 = log 19.683 si aquests darrers logaritmes fossin en base 3, la darrera igualtat seria: 4 + 5 = 9 Logaritme d'un quocient En el cas de la divisió tenim una cosa semblant, només que els exponents s'han de restar. Això de restar ve, com ja sabem, del fet que dividir per una potència qualsevol equival a multiplicar per una potència de la mateixa base però amb l'exponent negatiu. B exp1 : B exp2 = B exp1-exp2 p. ex. 3 5 : 3 3 = (3 x 3 x 3 x 3 x 3) : (3 x 3 x 3 ) = 243 : 27 = 9 = 3 5-3 = 3 2 Com que de l'exponent en diem logaritme, ara podem dir que el logaritme d'una divisió o quocient és igual a la diferència entre el logaritme del divident i el logaritme del divisor. log Quocient = log Dividend - log Divisor (també en qualsevol base). Logaritme d'una potència En el cas de la potenciació tenim que: B exponent = Potència = B x B x B x B... (exp. vegades) Aplicant el que hem vist en el cas de la multiplicació tenim: log B exponent = log Potència = log B + log B + log B + log B... (exp. vegades) = exp. x log B Per tant, el logaritme d'una potència és igual a l'exponent multiplicat pel logaritme de la base. P. ex. com que 3 4 = 81, resulta que log 81 = 4 x log 3 (de fet, això no és sinó repetir la definició de logaritme que hem vist abans). La logaritmació 3
Si ens volem entretenir a fer un bon exercici mental encara podríem fer una cosa aparentment més complicada. Partint de la igualtat 81 = 3 4 també podem dir que són iguals els seus logaritmes en base 3, o sigui log 3 81 = log 3 3 4 = 4 x log 3 3, però com que el log 3 3 = 1, resulta el que ja sabíem, que log 3 81 = 4, oi que bonic? Logaritme d'una arrel En el cas de la radicació tenim que: B exp = Potència i això equival a dir B = B = exp Potència i acabem de veure que log Potència = exp. x log B o sigui que resulta log b = log Potència / exponent (o índex de l'arrel) Per tant, el logaritme d'una arrel és igual al logaritme del nombre o base, dividit per l'índex de l'arrel. P. ex. 6 64 = 2 per tant log 2 = log 64 /6 i també log 2 = 0,301030 per tant log 2 = (log 2) / 2 = 0,150515 APLICACIÓ DELS LOGARITMES AL CÀLCUL NUMÈRIC Els valors dels logaritmes decimals es troben en unes taules aplegades en llibres, juntament també amb els logaritmes de les funcions trigonomètriques sinus, cosinus i tangent. P. ex. fem la multiplicació següent: 3 6 2 8 4 9 fent el càlcul amb l'ajuda dels logaritmes tindrem x 4 9 2 1 6 5 log P = log 362.849 + log 492.165 1 8 1 4 2 4 5 2 1 7 7 0 9 4 log 362.849 = 5,559727 3 6 2 8 4 9 log 492.165 = 5,692112 7 2 5 6 9 8 log P = 11,251839 3 2 6 5 6 4 1 i tornant a les taules trobem P = 128.582.500.000 1 4 5 1 3 9 6 error 0,0005 % o sigui que en la pràctica 1 2 8 5 8 1 5 7 8 0 8 5 és un sistema suficientment aproximat P. ex. fem la divisió següent: 4 9 2 1 6 5 3 2 6 8 4 9 fent el càlcul amb l'ajuda dels logaritmes tindrem 1 2 9 3 1 6 0 1, 3 5 6 9 0 6 log Quocient = log 492.165 - log 326.849 2 0 4 6 1 3 0 2 3 1 8 8 5 0 log 492.165 = 5,692112 1 4 1 7 5 6 0 log 362.849 = 5,559727 3 2 9 0 1 3 0 log Q = 0,132385 2 4 4 8 9 0 0 i tornant a les taules trobem Q = 1,35639 2 7 1 8 0 6 error 0,038 % LOGARITMES NATURALS Els logaritmes en base 10, a més de naturals també són anomenats vulgars o de Briggs i són els que es troben en els llibres de les Taules de logaritmes. Els d'altres bases s'han de calcular a partir d'aquests. La logaritmació 4
Recordem primerament que el logaritme d'un nombre existeix respecte a qualsevol base i que és diferent per a cada base diferent. P. ex, log 3 81 = 8 ja que 3 4 = 81 log 3 729 = 6 ja que 3 6 = 729 log 9 81 = 2 ja que 9 2 = 81 log 9 729 = 3 ja que 9 3 = 729 log 10 81 = 1,908485 perquè 10 1,908485 = 81 log 27 729 = 2 ja que 27 2 = 729 etc. S'anomena logaritme decimal d'un nombre al seu logaritme en base 10, o sigui aquell exponent al qual s'ha d'elevar 10 (la base) per obtenir aquell nombre. Quan no hi havia calculadores electròniques, en la pràctica del càlcul es feia servir els logaritmes decimals i aquests eren els que es trobaven en les taules. Si no es diu el contrari, es considera que un logaritme és decimal, de manera que la paraula decimal i el subíndex 10 ja s'ometen. El logaritme decimal s'expressa amb l'abreviació log. Quan es diu log N es vol dir log 10 N. Com que 1 = 10 0 el log d'1 és 0 10 = 10 1 el log de 10 és 1 100 = 10 2 el log de 100 és 2 1.000 = 10 3 el log de 1.000 és 3............ 1.000.000.000 = 10 9 el log d'1.000.000.000 és 9 etc. Entre l'1 i el 0 tenim les potències de 10 amb exponent negatiu. 0,1 = 1/10 1 = 10-1 el log de 0,1 és -1 0,01 = 1/10 2 = 10-2 el log de 0,01 és -2 0,001 = 1/10 3 = 10-3 el log de 0,001 és -3 etc. Per tant, ja podem dibuixar la següent escala logarítmica: P. ex. log 2 = 0,301030 LA FUNCIÓ LOGARÍTMICA Tot això és molt bonic i fins ara només hem posat exemples amb nombres enters, però com dimonis es pot saber o comprovar que log 2 = 0,301030? Les preguntes més generals poden ser: Com es confecciona una taula de logaritmes? Com es calcula el logaritme d'un nombre qualsevol? La logaritmació 5
La resposta és que això es fa mitjançant el desenvolupament en sèrie de la funció y = log x, que es tracta d'una sèrie polinòmica d'infinits termes. Aquest desenvolupament en sèrie és el següent (deixant la demostració per a un altre moment): ln x = (x-1) 2 /1 - (x-1) 2 /3 + (x-1) 3 /3 - (x-1) 4 /4 + (x-1) 5 /5... (sense factorials al denominador i amb signes alternativament positius i negatius) ln vol dir logaritme natural o neperià, o sigui el logaritme que té per base el nombre e. Aquests logaritmes s'anomenen neperians en honor de John Napier, que fou el matemàtic escocès que va desenvolupar aquesta part de la matemàtica. Els logaritmes neperians no es representen per log e sinó per ln, sense subíndex. Amb aquesta funció es pot calcular el logaritme neperià d'un nombre qualsevol calculant el nombre de termes de la successió que faci falta, segons el nombre de xifres decimals que volguem obtenir. Després, un cop es té el ln, el log es calcula mitjançant un breu càlcul complementari: log x = (ln x) x (log e) = (ln x) x 0,434294481903252... D'on surt aquesta relació? Doncs surt d'això: Com que x = e ln x (per definició!) els logaritmes decimals dels dos termes de la igualtat també seran iguals, per tant: log x = (ln x) x (log e) Inversament tindrem ln x = (log x) x (ln 10) = (log x) x 2,3025855092994096... Tal com ja ens podem imaginar, i anàlogament amb el que s'ha dit per als logaritmes decimals, tenim ln e = 1 ln e 2 = 2 ln e 3 = 3 etc. Hem vist que els nombres superiors a 1 tenen logaritme positiu i els nombres inferiors a 1 tenen logaritme negatiu, això en qualsevol base. Ja es veu també que els nombres negatius no tenen logaritme, perquè no hi ha cap exponent que aplicat al 10 o a qualsevol altre nombre positiu dongui un resultat negatiu (una potència negativa). La funció logarítmica y = log x és la funció inversa de la funció exponencial y = 10 x i la seva gràfica, com en tots els casos de funcions inverses, és simètrica de l'exponencial respecte a la recta y = x. La logaritmació 6
CARACTERÍSTICA I MANTISA D'UN LOGARITME Fixem-nos que cada vegada que un nombre es multiplica per 10, el seu logaritme augmenta en una unitat. P. ex. log 2 = 0,301030 log 20 = log (2 x 10) = log 2 + log 10 = log 2 + 1 = 1,301030 log 200 = log (2 x 100) = log 2 + log 100 = log 2 + 2 = 2,301030 Inversament, cada vegada que dividim un nombre per 10, el seu logaritme disminueix en una unitat. Fent servir el mateix exemple, però posat al revés, tenim: log 200 = 2.301030 log 20 = 1,301030 log 2 = 0,301030 Això era molt pràctic de cara a la confecció de taules de logaritmes, perquè es fa una taula, p. ex. la de Sánchez Ramos, que va només de l'1 al 30.000, i per a nombres superiors, simplement es va augmentant la part entera del logaritme en el nombre d'unitats que vaci falta. P. ex. per buscar el log de 12.345.678, com que aquest nombre de 8 dígits no és a la taula, ometem els dos dígits darrers i busquem el log de 123.456 = 5,091512 i l'augmentem en dues unitats. Aleshores tenim log 12.345.678 = 7,091512. Amb això es comet el petit error d'assimilar el nombre 12.345.678 al nombre 12.345.600 (error del 0,0055 %) però cal no oblidar que el càlcul fet amb logaritmes sempre és un càlcul aproximat, però amb el gran l'avantatge que era molt més ràpid que no pas fent les operacions a mà (recordem que el càlcul amb l'ajuda dels logaritmes es feia servir quan encara no hi havia calculadores). Ja s'ha dit abans que si se segueix dividint per 10, quan el nombre passa a ser < 1 el logaritme passa a ser negatiu, p. ex. log 0,2 = log (2/10) = log 2 - log 10 = 0,301030-1 = -0,698970 log 0,02 = log (2/100) = log 2 - log 100 = 0k301030-2 = -1,698970 log 0,002 = log (2/1.000) = log 2 - log 1.000 = 0,301030-3 = -2,698970, etc. Evidentment, en aquests dos darrers nombres negatius, és negativa tant la part entera com la part decimal. Tanmateix, aquí veiem que la part decimal d'aquests logaritmes és diferent de la part decimal dels del primer grup (dels múltiples de 2 per 10, 100, etc.), i això significa trencar la regla fàcil i pràctica d'anar augmentant el logaritme en una unitat quan el nombre es multiplica per 10 i d'anar-lo disminuint en una unitat quan el nombre es divideix per 10 (en realitat sí que va disminuint en una unitat cada vegada, però en passar de 2 a 0,2 canvien els decimals i això perjudica la rapidesa del càlcul). Com que per economia d'espai a les taules no hi figuren els logaritmes dels nombres < 1, aquests s'haurien de calcular d'un a base d'anar-hi restant 1, 2, 3 unitats, etc. De més a més p. ex. si fem una operació llarga i cal trobar el producte de diversos nombres, d'entre els quals n'hi ha de superiors a 1 i d'inveriors a 1, hauríem de separar els logaritmes positius dels negatius, sumar-los a part i restar des dues sumes. Tot això resulta massa prolix, i com que el sistema de càlcul mitjançant logarimes es va inventar per anar més de pressa que operant a mà, es va adoptar la solució següent que, per curiosa que sembli, era molt pràctica. La logaritmació 7
La part decimal del logaritme sempre s'escriu positiva, i se'n diu mantisa. La part entera del logaritme és positiva o negativa segons si el nombre és superior o inferior a 1 i se'n diu característica. Quan la característica és negativa, el signe - es posa a sobre i no al davant, perquè no es confongui amb un nombre decimal normal, en que són negatives tant la part entera com la part decimal. Això té dos avantatges: a/ Permet segur restant una unitat al logaritme cada vegada que un nombre es divideix per 10. b/ Permet sumar totes les parts decimals (en cas de suma de logaritmes), ja que totes són positives i, després, les parts enteres es van sumant o restant d'acaord amb el seu signe, però això ja és molt fàcil de fer. D'aquesta manera, i tornant a l'exemple anterior, tenim: log 200 = 2,301030 log 20 = 1,301030 log 2 = 0,301030 log 0,2 = 1,301030 (= -1 + 0,301030 = -0,698970) log 0,02 = 2,301030 (= -2 + 0,301030 = -1,698970) log 0,002= 3,301030 (= -3 + 0,301030 = -2,698970) etc. Dos exemples més per acabar: Calcular N = 5 0,25 log N = (log 0,27)/5 = 1,431364/5 = (5 + 4,431364)/5 = 1 +0,886273 = 1,886273 d'on resulta N = 0,769614 (recordem que les arrels s'index superiors a 4 només es poden calcular per logaritmació o bé per tempteig, tot i que les arrels cúbiques i quartes, encara que es puguin calcular mitjançant un algorisme numèric, també resulten més fàcils de calcular per logaritmació). Calcular sin 2α = 2 sin α x cos α essent α = 13º 23' Sense logaritmes, però amb taules trigonomètriques, trobaríem: sin α = 0,23146 cos α = 0,97284 Aquests dos valors s'harien de multiplicar a mà i el resultat per 2. Aplicant logaritmes (al mateix llibre també hi ha les taules que donen directament els logaritmes del sinus i del cosinus) resulta: log sin α = 1,364485 log cos α = 1,988043 log 2 = 0,301030 log sin 2 α 2 + 1,653558 1,653558 D'on resulta sin 2α = 0,45036 Per comprovació, si busquem a unes taules trigonomètriques sin 2α = sin 26º 46' trobem el valor de 0,45036!. En aquest cas tots 5 decimals resulten iguals. JM. Casals La logaritmació 8
NOTA COMPLEMENTÀRIA AL TEMA DE LA LOGARITMACIÓ Cal distingir entre el concepte de logaritme i el que és l'aplicació dels logaritmes a la simplificació del càlcul aritmètic (quan no hi havia maquinetes de calcular ni aplicacions informàtiques preparades per resoldre problemes concrets). El concepte de logaritme és d'un interès teòric fonamental, i el seu desllorigador consisteix a entendre i a assimilar ben bé que un logaritme és simplement un exponent. En el cas particular dels logaritmes decimals, el logaritme d'un número és l'exponent a què cal elevar el 10 per obtenir aquell mateix número. És a dir, sabem p. ex. que: 10-2 = 0,01 10 0,602060 = 4 10 1,301030 = 20 10-1 = 0,1 10 0,698970 = 5 10 1,477121 = 30 10 0,301030 = 2 10 0,903090 = 8 10 2 = 100 10 0,477121 = 3 10 1 = 10 10 2,698970 = 500, etc. etc Això vol dir hi ha una correspondència biunívoca (o sigui d'un a un i sense excepció) entre dos conjunts de nombres: el conjunt dels nombres reals i el conjunt dels exponents a què cal elevar el 10 perquè resulti cada un d'aquests nombres reals. Aleshores, treballar amb logaritmes vol dir que en lloc de calcular amb els propis nombres es calcula amb els seus exponents (p.ex. els corresponents a la base 10 en el cas dels logaritmes decimals). Això és el que va permetre simplificar molt el càlcul aritmètic, ja que calculant amb exponents, en lloc de fer una multiplicació (de diversos nombres) es fa una suma (la dels exponents corresponents), en lloc d'una divisió es fa una diferència, en lloc d'una potenciació es fa una multiplicació (que essent normalment els exponents enters és una multiplicació molt fàcil de fer) i en lloc d'una arrel es fa una divisió (noteu que no hi ha cap algorisme aritmètic per fer arrels d'ordre superior al 4 t, de manera que sempre calia fer-les per aproximacions successives). Val a dir que la simplificació més gran en el càlcul aritmètic no ha vingut de només l'invent de les maquinetes de calcular, sinó sobre tot dels fulls de càlcul i de les aplicacions informàtiques ja preparades. Fixem-nos que resoldre un problema de trigonometria esfèrica, de càlcul financer, o el càlcul d'una estructura, amb maquineta de calcular també resultaria llarg i tediós, mentre que avui dia amb la popularització de la informàtica, sí que hi ha disponibles tota mena de programes on només cal introduir les dades i de seguida ja s'obté el resultat. Per això avui dia, parlar de càlcul a base de logaritmes és quasi com parlar d'arqueologia matemàtica, però en el seu moment, la tècnica de la logaritmació ja va ser un gran pas endavant. Posarem finalment un exemple de càlcul financer per veure com l'aplicació dels logaritmes simplificava el procés: Si dipositem p. ex. 1.000.000 eur al 3,5 % d'interès compost durant 6 anys, però sabem que la inflació del primer any és del 2 % i que cada any la inflació puja 1 dècima percentual, quin és el valor que tindrem al final del període en euros constants (o sigui en euros del mateix valor adquisitiu que els del primer any)? Aritmèticament això es resol calculant: (1.000.000 x 1,035 6 ) / (1,02 x 1,021 x 1,022 x 1,023 x 1,024 x 1,025). Mare de Déu, quin tip de multiplicar i de dividir!. En canvi, aplicant logaritmes tenim: log 1.000.000 = 6 log 1,02 = 0,008600 6 x log 1,035 = 0,089642 log 1,021 = 0,009026 suma = 6,089642 log 1,022 = 0,009451 log 1,023 = 0,009876 Tornant a la taula de logaritmes trobarem: log 1,024 = 0,010300 Capital final en euros corrents (= 10 6,089642 ) = 1.229.255 eur log 1,025 = 0,010724 suma = 0,057977 Diferència entre el logaritme del numerador i el del denominador = 6,031665 Capital final en euros constants = 10 6,031665 = 1.075.635 eur La logaritmació 9
És a dir, que al 6è any tindrem 1.229.255 euros, però degut a la inflació només podrem comprar la mateixa quantitat de patates que hauríem comprat 6 anys enrera amb 1.075.635 euros (sempre que el seu augment de preu hagi estat estrictament proporcional a la inflació). Fent el mateix càlcul amb una maquineta de calcular dóna un capital d'1.230.443 euros corrents i d'1.076.676 euros constants. L'aproximació del mètode logarítmic resulta superior al 99,9 %, és a dir, que el càlcul logarítmic era un mètode aplicable a aquelles situacions (p. ex. en la navegació i en els càlculs astronòmics) en què calia tenir ràpidament un resultat raonablement aproximat. Aquest senzill exemple, que fuig de la trigonometria esfèrica, mostra la utilitat del càlcul logarítmic quan no hi havia maquinetes de calcular ni aplicacions informàtiques. Aquesta és la part de la mecànica aritmètica que avui ha quedat obsoleta, mentre que el concepte de logaritme, tal com deia al principi continua essent fonamental i la funció logarítmica apareix contínuament en temes de límits i de càlcul diferencial i integral. JM. Casals ANNEXOS Posem primer per mostra un retall de paper semilogarítmic, que és un equivalent al paper mil limetrat però on l'eix horitzontal no està dividit segons una escala lineal o uniforme sinó segons una escala logarítmica. Aquest paper es fa servir per representar gràfiques on es vol veure en detall els valors petits de la variable funció, però que també es vol arribar a veure els valors molt grans sense haver de tenir un paper quilomètric. Quan l'escala vertical també és logarítmica, aleshores se'n diu paper logarítmic. Vegem a continuació una pàgina d'unes taules de logaritmes com les que encara fèiem servir els estudiants i enginyers a primers dels anys seixanta. Deixem estar les dues primeres columnes i a la tercera hi ha el nombre del qual es vol buscar el logaritme, en aquest exemple un nombre de quatre xifres, i la 5ª xifra es troba a la columna corresponent. Durant un bon interval els dos primers decimals del logaritme són els mateixos i per això ja no es repeteixen, només s'indica quan canvien, p. ex, en aquesta pàgina de 24 a 25. Trobem p. ex. que el logaritme de 17.576 és de 4,244920. La taula només dona els decimals del logaritme (que en diem mantisa!) i la part entera (que en diem característica!) se la hi ha de posar cadascú segons el nombre de dígits. Com que 17.576 té 5 dígits, la característica és 4. El logaritme de 1.757,6 seria 3,244920 i el de 175.760 seria 5,244920. Tot això ja s'ha explicat anteriorment. La darrera columna serveix per fer interpolacions, o sigui per afinar el logaritme d'un nombre d'encara un dígit més. P. ex. per trobar el logaritme de 175.768, primer buscaríem el de 175.760, segon miraríem la diferència entre els darrers decimals del logaritme d'aquest nombre i el del següent, en aquest cas és de 25. Aleshores anem a la tauleta lateral del 24 i veiem que per al 8, que és el 6è dígit del nombre La logaritmació 10
175.768 hi ha un 20,0. Aquest valor de 20,0 s'ha d'afegir al final del logaritme de 175.760 per tenir el de 175.768, de manera que resulta 5,244940. Amb aquest procediment es pot obtenir la mantisa corresponent a 6 dígits sense engruixir excessivament el llibre de les taules. La logaritmació 11
Acabem amb una pàgina amb el resum de les biografies de tres matemàtics importants que van intervenir en el tema dels logaritmes, Napier com a descobridor, Briggs com a introductor dels logaritmes decimals i Oughtred com a inventor de la regla de càlcul. La logaritmació 12