CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ FACULTAD DE INGENIERÍA Apuntes para la materia de CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ÁREA MECÁNICA Y ELÉCTRICA ING. ARTURO CASTILLO RAMÍREZ

PREFACIO El propósito de estos apuntes es presentar una exposición que cubra el contenido del programa de la materia de Cinemática de las Máquinas que se imparte en el Área Mecánica y Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la UASLP, como un requisito previo a estudios específicos y avanzados encaminados al diseño mecánico. En este texto se utiliza de forma amplia el método de análisis gráfico por considerarse que el cálculo gráfico es básico y fácil de usar y casi siempre resulta el método más rápido para verificar los resultados del cálculo de máquinas. Se ha procurado utilizar indistintamente unidades inglesas y del Sistema Internacional de Unidades (SI) para que el estudiante se familiarice con ambos sistemas. Algunos temas que se consideran relevantes, se ampliaron con información que no se contempla específicamente en el programa de la materia, pero que enriquece su contenido. Agradezco la aprobación de este proyecto a mis compañeros de la Academia de Mecánica del Área Mecánica y Eléctrica y el apoyo de las Autoridades de la Facultad de Ingeniería y del Fondo de Apoyo a la Docencia (FAD) de la UASLP, para la elaboración de este material didáctico. Arturo Castillo Ramírez Enero de 2005 Rev. jun-05

ÍNDICE Página 1. INTRODUCCIÓN GENERAL 1 1.1 Análisis y síntesis 1 1.2 Ciencia de la Mecánica 2 1.3 Terminologías 4 1.3.1 Definición de máquina, mecanismo y estructura. 4 1.3.2 Los componentes de las máquinas 6 1.3.3 La estructura de las máquinas 8 1.4 La actividad y formación del ingeniero en el campo de la maquinaría 9 2. ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 12 2.1 Conceptos básicos topológicos 12 2.2 Par cinemático 14 2.3 Cadenas cinemáticas 19 2.4 Mecanismo 21 2.4.1 Ciclo, periodo, fase y transmisión de movimiento 25 2.4.2 Clasificación de los mecanismos en función de sus movimientos 25 2.4.3 Movilidad o número de grados de libertad de un mecanismo plano 28 2.4.4 Inversión cinemática. 33 3. MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS 36 3.1 Mecanismo de cuatro barras articuladas. 36 3.1.1 Ley de Grashof 37 3.1.2 Ventaja mecánica 39 3.1.3 Análisis de posición 41 3.1.4 Curvas del acoplador 44 3.2 Mecanismos de línea recta 45 3.3 Mecanismos de retorno rápido. 46 3.4 Ruedas de cámara. 50 3.5 Mecanismos de movimiento intermitente 51 4. CENTROS INSTANTÁNEOS 58 4.1 Generalidades 58 4.2 Localización de centros instantáneos. 59 4.3 Teorema de Kennedy 61 4.4 Número de centros instantáneos. 62 4.5 Cuadro articulado 62 4.6 Centros instantáneos para el mecanismo de corredera biela y manivela 63 4.7 Tabulación de centros instantáneos 64 4.8 Centrodas o Curvas Polares 67 5. VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL MOVIMIENTO COPLANARIO 72 5.1 Velocidades de los centros instantáneos 75 5.2 Velocidades lineales por resolución 80

5.3 Velocidades angulares 83 5.4 Método de imagen 84 5.4.1 La imagen de velocidad 85 5.4.2 Imagen de aceleraciones 88 5.4.3 Construcción gráfica de la aceleración normal 90 5.5 Aceleración Coriolis 99 5.5.1 Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis 103 6. MECANISMOS DE CORREDERA, BIELA Y MANIVELA 113 6.1 Generalidades 113 6.2 Primera inversión. Cadena con par en deslizamiento 114 6.3 Segunda inversión 123 6.4 Tercera inversión. Mecanismo de limadora 124 6.5 Cuarta inversión. Cadena con corredera fija 127 7 LEVAS 131 7.1 Levas 131 7.2 Diseño del perfil 134 7.2.1 Velocidad constante 135 7.2.2 Aceleración constante 136 7.2.3 Movimiento armónico simple 139 7.2.4 Movimiento cicloidal 140 7.3 Selección del movimiento 141 7.4 Construcción del perfil de la leva 143 7.5 Leva plana o disco 144 7.5.1 Varilla de punzón 144 7.5.2 Varilla con rodaja 146 7.5.3 Varilla con cara plana o plato 149 7.5.4 Ángulo de presión de la leva 152 7.5.5 Diámetro del círculo base 153 7.6 Leva de retorno positivo 154 7.7 Levas tipo cilíndrica 156 7.8 Levas de arco circular 156 7.9 Varillas primarias y secundarias 158 8. CONTACTOS CON RODAMIENTO 162 8.1 Condiciones para contactos con rodamiento 162 8.2 Relación de velocidad angular 163 8.3 Transmisiones friccionales 164 8.4 Disco y rodillo 165 8.5 Construcción del perfil 166 8.6 Rodamiento de dos elipses iguales 167

8.7 Relación de velocidad de conos que ruedan 169 9. ENGRANES 176 9.1 Los engranes 176 9.2 Clasificación de los engranes 177 9.3 Relación de velocidad 181 9.4 Terminología de los engranes 181 9.5 Paso 184 9.6 Ley fundamental del engranaje 186 9.7 Acción con deslizamiento de los dientes 188 9.8 Perfil del diente 189 9.9 Dientes cicloidales 190 9.10 Dientes evolventes o de involuta 194 9.11 Producción de ruedas dentadas 200 9.12 Perfiles de dientes normalizados 203 10. TRENES DE ENGRANES 210 10.1 Valor del tren 210 10.2 Un tren de engranaje simple 210 10.3 Un tren de engranaje compuesto 212 10.3.1 Trenes de engranaje recurrentes compuestos 213 10.4 Trenes de engranes epicicloidales o planetarios 215 10.4.1 Trenes epicicloidales que no tienen un engrane fijo 220 10.5 Aplicaciones de trenes de engranaje epicicloidales 223 Bibliografía 229

CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN GENERAL El diseño de una máquina moderna es a menudo muy complejo. Por ejemplo, para diseñar un nuevo motor, el ingeniero en automovilismo debe dar respuesta a muchas preguntas interrelacionadas. Cuál es la relación entre el movimiento del pistón y el del cigüeñal? Cuáles serán las velocidades de deslizamiento y las cargas en las superficies lubricadas y qué lubricantes existen para este fin? Qué cantidad de calor se generará y cómo se enfriará el motor? Cuáles son los requisitos de sincronización y control, y cómo se satisfarán? Cuál será el costo para el consumidor, tanto por lo que respecta a la compra inicial como en lo referente al funcionamiento y mantenimiento continuos? Qué materiales y métodos de fabricación se emplearán? Qué economía de combustible se tendrá? Cuál será el ruido y cuáles las emisiones de salida o escape? Satisfarán estos últimos los requisitos legales? Aunque éstas y muchas otras preguntas importantes se deben responder antes de que el diseño llegue a su etapa final, es necesario reunir personas de las más diversas especialidades para producir un diseño adecuado y hacer acopio de muchas ramas de la ciencia. 1.1 Análisis y síntesis En el estudio de los sistemas mecánicos el diseño y el análisis son dos aspectos completamente distintos. El concepto comprendido en el término diseño podría llamarse más propiamente síntesis o sea, el proceso de idear un patrón o método para lograr un propósito dado. Diseño es el proceso de establecer tamaños, formas, composiciones de los materiales y disposiciones de las piezas de tal modo que la máquina resultante desempeñe las tareas prescritas. Mediante el proceso de síntesis se busca un mecanismo que produzca un movimiento requerido. Aunque existen muchas fases dentro del proceso de diseño que es factible plantear de un modo científico y bien ordenado, el proceso en su conjunto es por su propia naturaleza, tanto un arte, como una ciencia. Requiere imaginación, intuición, creatividad, sentido común y experiencia. El papel de la ciencia dentro del proceso de diseño sirve sencillamente para proveer las herramientas que utilizarán los diseñadores para poner en práctica su arte. Es precisamente en el proceso de

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 2 evaluación de varias alternativas interactuantes que los diseñadores se enfrentan a la necesidad de un gran número de instrumentos matemáticos y científicos. Cuando éstos se aplican en forma correcta ofrecen información más exacta y digna de confianza para juzgar un diseño que se pueda lograr a través de la intuición o el cálculo. Por ende, suelen constituir un auxiliar extraordinario para decidir entre varias alternativas. Sin embargo, las herramientas científicas no pueden tomar decisiones suplantando a los diseñadores; éstos tienen todo el derecho de poner en práctica su imaginación y capacidad creativa, incluso al grado de pasar por encima de las predicciones matemáticas. Es probable que el conjunto más abundante de métodos científicos de que dispone el diseñador quede dentro de la categoría denominada análisis. Se trata de técnicas que permiten que el diseñador examine en forma crítica un diseño ya existente o propuesto con el fin de determinar si es adecuado para el trabajo de que se trate. Por ende, el análisis, por sí solo, no es una ciencia creativa sino más bien de evaluación y clasificación de cosas ya concebidas. Es preciso tener siempre en mente que aunque la mayor parte de los esfuerzos realizados se dediquen al análisis, la meta real es la síntesis, es decir, el diseño de una máquina o un sistema. El análisis es una simple herramienta y, sin embargo, es tan vital que se usará inevitablemente como uno de los pasos en el proceso de diseño. 1.2 Ciencia de la Mecánica Mecánica es la rama del análisis científico que se ocupa de los movimientos, el tiempo y las fuerzas, y se divide en dos partes, Estática y Dinámica. La Estática trata del análisis de sistemas estacionarios, es decir, de aquellos en que el tiempo no es un factor determinante, y la Dinámica se refiere a los sistemas que cambian con el tiempo. Como se ilustra en la figura 1.1 la dinámica también está constituida por dos disciplinas generales que Euler fue el primero en reconocer como entidades separadas, en 1775. Estos dos aspectos de la dinámica se reconocieron posteriormente como las ciencias diferentes denominadas Cinemática (del vocablo griego kinema, que significa movimiento) y Cinética que se ocupan, respectivamente, del movimiento y de las fuerzas que lo producen. Novi comment, Acad. Petrop., vol. 20, 1775; también en Theoria motus corporum, 1790.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 3 El problema inicial en el diseño de un sistema mecánico es, por consiguiente, la comprensión de su cinemática. MECÁNICA ESTÁTICA DINÁMICA CINEMÁTICA CINÉTICA Figura 1.1. Ciencia de la Mecánica. Cinemática es el estudio del movimiento independientemente de las fuerzas que lo producen. De manera más específica, la Cinemática es el estudio de la posición, el desplazamiento, la rotación, la rapidez, la velocidad y la aceleración. Este texto se concentrará en los aspectos cinemáticos que surgen en el diseño de sistemas mecánicos. Es decir, la cinemática de las máquinas y los mecanismos es el foco de atención principal. Es preciso observar con cuidado que Euler basó su división de la dinámica en cinemática y cinética basándose en la suposición de que deben tratar con cuerpos rígidos. Esta es una suposición de gran importancia que permite que ambos aspectos se traten por separado. En el caso de cuerpos flexibles las formas mismas de los cuerpos y, por ende, sus movimientos, dependen de las fuerzas ejercidas sobre ellos. En tal situación, el estudio de la fuerza y el movimiento se debe realizar en forma simultánea, incrementando notablemente con ello la complejidad del análisis. Por fortuna, aunque todas las piezas de máquinas reales son flexibles en cierto grado, éstas se diseñan casi siempre con materiales más o menos rígidos y manteniendo en un mínimo sus deformaciones. Por lo tanto, al analizar el funcionamiento cinemático de una máquina es práctica común suponer que las deflexiones son despreciables y que las piezas son rígidas, y luego, una vez que se ha realizado el análisis dinámico, cuando las cargas se conocen, se suele diseñar las piezas de manera que esta suposición se justifique.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 4 1.3 Terminologías 1.3.1 Definición de máquina, mecanismo y estructura Aun cuando prácticamente todas las personas usan cotidianamente gran número de máquinas, pocas son las que pueden definir con claridad lo que se puede entender por máquina. Ni siquiera los especialistas en este campo han llegado a una definición clara y única de este concepto, debido, entre otras cosas, a su gran complejidad y a los diferentes enfoques que se le puede dar a la propia máquina. Así, se lee el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, máquina es cualquier artificio que sirve para aprovechar, dirigir o regular la acción de una fuerza. Según Reuleaux, define una máquina como una combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encausar para realizar un trabajo acompañado de movimiento determinado. También define un mecanismo como una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo, y cuyo propósito es transformar el movimiento. Debido a estas diferencias, para nuestro estudio utilizaremos los siguientes conceptos: Una máquina es una combinación de cuerpos rígidos, conectados por medio de articulaciones que les permiten un movimiento relativo definido y son capaces de transmitir o transformar energía. Una máquina siempre debe ser abastecida con energía de una fuente externa. Su utilidad consiste en su habilidad para alterar la energía suministrada y convertirla eficazmente para el cumplimiento de un servicio deseado. En una máquina, los términos fuerza, momento de torsión (o par de motor), trabajo y potencia describen los conceptos predominantes. Un motor de combustión interna es un ejemplo de una máquina, transforma la energía de presión del gas en trabajo mecánico entregándolo en el cigüeñal, esta máquina transforma un tipo de energía a otro. Un mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos, conectados por medio de articulaciones que les permiten un movimiento relativo definido, enfocado a la transformación del movimiento. En un mecanismo, aunque puede transmitir la potencia de una fuerza, el concepto predominante F. Reuleaux (1829-1905), especialista alemán en cinemática cuyo trabajo marcó el principio de un estudio sistemático de la cinemática. Ver A.B.W. Kennedy, Reuleaux, Kinematics of Machinery, Macmillan, Londres, 1876.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 5 que tiene presente el diseñador es lograr un movimiento deseado. Cuando se habla de un mecanismo, se piensa en un dispositivo que producirá ciertos movimientos mecánicos, haciendo a un lado el problema de si está capacitado para hacer un trabajo útil. El modelo en funcionamiento de cualquier máquina, el conjunto de las piezas de un reloj, y las partes móviles de un instrumento de ingeniería, reciben el nombre de mecanismos, por que la energía transmitida es muy poca, precisamente lo suficiente para sobreponer la fricción, y el factor importante lo forman los movimientos producidos. El conjunto formado por manivela, biela y el pistón de un motor de combustión interna, es un ejemplo de un mecanismo. Se puede arrojar más luz sobre estas definiciones contrastándolas con el término estructura, que es también una combinación de cuerpos (rígidos) resistentes conectados por medio de articulaciones, pero cuyo propósito no es efectuar algún trabajo ni transformar el movimiento. Una estructura (como por ejemplo, una armadura o chasis) tiene por objeto ser rígida; tal vez pueda moverse de un lado a otro y, en ese sentido es móvil, pero carece de movilidad interna, no tiene movimientos relativos entre sus miembros, mientras que las máquinas y mecanismos lo tienen. Otros ejemplos serían los puentes y los edificios. Existe una analogía directa entre los términos estructura, mecanismos y máquina y las tres ramas de la Mecánica especificadas en la Figura 1.1. El término estructura es a la Estática lo que el termino mecanismo es a la Cinemática y el término máquina es a la Cinética. Modernamente la máquina se considera el resultado de un diseño (de una construcción) en el que intervienen dos grupos de factores: uno de naturaleza puramente mecánica (las piezas y los mecanismos que la constituyen) y otros de naturaleza no mecánica (estética, mercado, impacto social, régimen político imperante, etc.). Ambas consideraciones hacen que las máquinas modernas adquieran diversas configuraciones y características según el entorno sociopolítico y económico en el que se diseñan, construyen y utilizan. En la era tecnológica que vivimos la máquina ocupa un papel primordial. Sin el concurso de estos ingenios, la vida sería realmente imposible. La máquina se encuentra presente en todas las actividades del ser humano, desde la vida cotidiana hasta los sectores productivos y de servicios, incluyendo los de formación. Con los notables avances realizados en el diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automatizado, el estudio de los mecanismos toma un nuevo significado.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 6 1.3.2 Los componentes de las máquinas Cualquier máquina se compone de un número determinado de elementos (piezas) componentes, unos fijos y otros móviles, agrupados a veces para ejecutar tareas diferentes dentro de una misma máquina (formando mecanismos diversos). Así, se encuentran máquinas y mecanismos muy simples, constituidas por pocas piezas, hasta otras más complejas, constituidas por miles de piezas como el motor de combustión interna. Figura 1.2 Despiece de motor de combustión interna A pesar de la enorme complejidad, en algunos casos, la realidad es que el número de componentes de las máquinas, conceptualmente diferente, es bastante limitado (aun cuando en cada máquina puedan presentar formas y tamaños diversos). Por ejemplo:

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 7 Elementos de soporte: Bastidores Cojines de fricción Cojinetes de rodamientos Ejes Figura 1.3 Rodamiento de bolas Elementos neumáticos e hidráulicos Cilindros Válvulas Bombas Elementos de los sistemas de control Sensores (mecánicos, eléctricos, etc.) Figura 1.4 Amortiguadores con sensores electrónicos Igual que el número de componentes diferentes de las máquinas está limitado, también lo están los diferentes materiales con que pueden ser construidos: Hierro y sus aleaciones Aluminio, magnesio, cobre, etc. y sus aleaciones. Goma, madera, cuero, etc. Plásticos y fibras sintéticas, cerámicas, etc. Es evidente que todos, y cada uno de los elementos de las máquinas han de ser calculados para resistir, sin fallos, todas las acciones que sobre ellos actúan. El número de tales acciones esta también bastante limitado, siendo las más importantes: Fuerzas y pares, permanentes y transitorios. Impactos, choques y vibraciones. Acciones térmicas. Acciones corrosivas. Otras (de menor entidad, como eléctricas, magnéticas, etc.)

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 8 1.3.3 La estructura de las máquinas El conjunto de elementos y mecanismos que constituyen todas las máquinas pueden a su vez agruparse en un conjunto de sistemas o subsistemas que de una u otra forma, con mayor o menor virtualidad, están presentes en todas las máquinas. Estos sistemas son: Sistemas de adquisición, transformación o generación de energía motriz. (En el caso de un automóvil, el motor transforma la energía química del combustible en energía mecánica, es decir, en el giro del cigüeñal con un par determinado). Sistema de transmisión y conversión de movimientos y fuerzas, conducente en última estancia, a la realización del trabajo útil. (En caso del automóvil, este sistema está constituido por el embrague, caja de cambios, transmisión y mecanismo diferencial que acciona las ruedas motrices y permiten el movimiento del vehículo.) Sistema de control. Que permite dirigir y controlar la potencia, movimientos etc., de la propia máquina. (En el caso del automóvil se encuentran dos subsistemas: la dirección, que permite dirigir la ruta del vehículo, y el freno, acelerador y palanca y caja de cambios, que permiten controlar la potencia del motor y la velocidad del vehículo.) Sistema de lubricación, imprescindible en todas las máquinas, que permite disminuir los rozamientos y desgastes entre los elementos en contacto con movimiento relativo entre ellos. (En el caso del automóvil está formado por el depósito de aceite, bomba de impulsión, conductos, filtros, etc.) Sistemas de adquisición, transformación o generación de energía motriz Sistema de transmisión y conversión de movimientos y fuerzas Sistema de lubricación Sistema de control Figura 1.5 Estructura general de las máquinas.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 9 1.4 La actividad y formación del ingeniero en el campo de la maquinaría Se puede asegurar que en la actualidad todas las personas tienen un contacto continuo con multitud de máquinas (a nivel de usuarios y de operadores de estas) y un grupo muy reducido, pero también muy numeroso, tienen un contacto más intenso, en diferentes ordenes de actividad. En el caso de la máquina automóvil, esta es operada por millones de usuarios, comercializada por miles de técnicos, economistas, publicistas, vendedores, etc., mantenida también por miles de técnicos de mantenimiento, fabricada por un número relativamente alto de técnicos e ingenieros de fabricación de diversas especialidades (mecánica, electricidad, química, etc.), diseñada, ensayada y verificada por un número más reducido de técnicos, ingenieros y otros especialistas altamente calificados y, finalmente, los continuos avances habidos en sus materiales, componentes métodos de cálculo y sistemas de producción, son el resultado de las actividades de investigación y desarrollo de un grupo aun más reducido de técnicos y científicos de elevada cualificación y especialización. Con las diferentes actividades relacionadas con el mundo de las máquinas, el ingeniero juega un papel importante y mantiene una relación constante y dinámica. Para desarrollar las actividades expuestas en el punto anterior, es claro que el ingeniero tiene que poner en juego una serie de conductas adquiridas a través de un proceso de aprendizaje. Tales conductas han de adquirirse en tres dominios diferentes: a) el cognoscitivo o adquisición de nuevos conocimientos; b) el psicomotriz, o la adquisición de habilidades manuales; c) el afectivo-volitivo, o la adquisición de conductas en el plano psicológico (como seguridad en sí mismo, capacidad de relacionarse con otros colegas, etc.) En el caso de los ingenieros, su campo de actividad principal se mueve entre los campos de investigación y desarrollo (que son por otra parte las que impulsan el desarrollo tecnológico) y las de diseño, verificación y ensayos, fabricación operación y mantenimiento. Por otra parte, las diferentes actividades exigen conductas predominantes en unos y otros dominios; así, en la fase de investigación, desarrollo y diseño predominan los conocimientos sobre las habilidades manuales, mientras que en las fases de operación y mantenimiento predominan las conductas del área psicomotriz.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 10 En el campo de la maquinaria y en el dominio cognoscitivo, el ingeniero ha de poseer conocimientos sobre la topología de las máquinas (es decir, tipos, formas, usos, etc. de los componentes de las máquinas y sobre sus mecanismos y subsistemas constituyentes). También ha de poseer conocimientos sobre análisis de máquinas, que le permitan interpretar sus diferentes partes y especialmente conocer las relaciones entre los movimientos y las fuerzas que sobre el conjunto y sus partes pueden actuar. Así mismo ha de poseer conocimientos de diseño y cálculo de los elementos mecánicos, que le permitan construir máquinas seguras, que no fallen durante su vida útil. Igualmente debe tener conocimientos sobre síntesis de máquinas y sus mecanismos constituyentes que le permitan el rediseño o diseño puro de nuevas máquinas, en función de las necesidades cambiantes. En el dominio psicomotriz el ingeniero ha de poseer habilidades en el manejo de diverso instrumental al servicio del control de las máquinas (como sensores), así como labores de verificación, ensayos y mantenimiento. Finalmente en el dominio afectivo-volitivo el ingeniero ha de tener la máxima seguridad en sí mismo en cualquier actividad que ejecute relacionada con la maquinaria y capacidad para relacionarse con otros profesionales en el entorno en que confluyen muchas personas, de muchas especialidades diferentes. El aprendizaje de todas estas conductas requiere la posesión de una serie de conductas previas, adquiridas en otras disciplinas de la carrera de ingeniería, y entre las que se podrían destacar en el conjunto de materias básicas las matemáticas y la física (especialmente la mecánica) y en el conjunto de materias tecnológicas, el dibujo técnico, la elasticidad y resistencia de materiales la tecnología mecánica y el conocimiento de materiales. Sin descartar muchas otras materias que con mayor o menor intensidad han de tener presentes para acometer con éxito la amplia gama de actividades relacionadas con la maquinaria.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 11 CUESTIONARIO 1.1.- Describa las diferencias entre análisis y síntesis. 1.2.- Defina Cinemática y ubique su posición dentro de la Mecánica. 1.3.- Qué es una máquina?. 1.4.- Cuál es la diferencia entre una máquina y un mecanismo? 1.5.- Qué es una estructura?. 1.6.- Describa las tareas que desempeña un rodamiento de bolas, el material del que puede estar hecho y el tipo de esfuerzo al que se somete. 1.7.- Considerando la estructura general de las máquinas dentro de que sistema ubicaría el sistema de encendido de un motor? y el subsistema del carburador?. 1.8.- Dentro de que dominio ubicaría la habilidad de un ingeniero para comunicarse con las personas?. 1.9.- Cuál es la diferencia entre el dominio cognoscitivo y psicomotriz? 1.10.- Establezca la relación de la mecánica, y en particular de la cinemática, con otras áreas de conocimiento que se imparten en su carrera.

CAPÍTULO 2 ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS Concepto topológico de mecanismos El estudio topológico de mecanismos comprende el análisis de los elementos que lo componen en cuanto a: sus formas, el número de elementos, las uniones entre ellos, los tipos de movimientos que éstos pueden efectuar, las leyes por las que se rigen, etc. El estudio topológico de los mecanismos engloba los aspectos relativos a su configuración geométrica y las consecuencias que de ella puedan derivarse. 2.1 Conceptos básicos topológicos Pieza Cuando en un mecanismo se van separando cada una de las partes que lo forman, se llega finalmente a tener una serie de partes indivisibles, generalmente rígidas (aunque no necesariamente) llamadas piezas. En la Figura 2.1 se ha representado el conjunto de piezas que forman la biela de un automóvil. Eslabón (miembro) Un conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, sin movimiento posible entre ellas, se denomina eslabón o miembro. En Figura 2.2 se presenta el eslabón biela de un motor alternativo. Una vez acopladas las piezas, forman un conjunto rígido, actuando, desde el punto de vista topológico (y también cinemático y dinámico), como un solo miembro o eslabón. Un eslabón es un elemento de una máquina o mecanismo que conecta a otros elementos y que tiene movimiento relativo a ellos. Un eslabón o miembro puede servir de soporte, como guía de otros eslabones, para transmitir movimientos o bien funcionar de las tres formas. Un automóvil de serie llega a tener un promedio de 16,000 piezas.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 13 Figura 2.1 Piezas de una biela Figura 2.2 Eslabón biela de un motor

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 14 Clasificación de los eslabones Eslabones rígidos. Están capacitados para transmitir fuerza, para jalar o empujar. A ésta clase pertenece la mayoría de las partes metálicas de las máquinas. Eslabones flexibles. Son los que están constituidos para ofrecer resistencia en una sola forma (rigidez unilateral) Eslabones que actúan a tensión. Cuerdas, bandas, cadenas Eslabones que actúan a presión. Agua, aceite hidráulico, conducen fuerzas de empuje. 2.2 Par cinemático Los eslabones pueden estar conectados unos a otros de varias maneras. El contacto puede ocurrir sobre una superficie, a lo largo de una línea, o en un punto. A aquellas partes de dos eslabones que están en contacto con movimiento relativo entre ellos se les denomina pares. Clasificación de los pares Los pares pueden clasificarse: 1. Atendiendo la superficie de contacto entre los dos miembros que constituyen el par: Pares superiores o de contacto lineal o puntual (leva-varilla, cojinetes de bolas y engranes). Pares inferiores o de contacto superficial (cilindro-embolo, perno-soporte), las superficies de los eslabones son geométricamente similares. Figura 2.3 Pares superiores (a) y pares inferiores (b)

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 15 Es importante mencionar que las conexiones de miembros por pares superiores pueden ser reemplazadas por conexiones por pares inferiores, cuando se desee disminuir la presión de contacto y el rozamiento. En la figura 2.4 puede verse el mecanismo empleado para mover bombas de vapor de doble acción; en la figura (a) se observa un par superior entre los eslabones 2 y 3. La figura (b) muestra este mecanismo con par inferior entre 3 y 4. El par inferior fue producido por la adición de un eslabón. a b Figura 2.4 Movimiento de una válvula de una bomba de vapor con pares superiores (a) e inferiores (b). 2. Atendiendo el movimiento relativo entre sus puntos: De primer grado o lineal, cuando cualquier punto de uno de los eslabones describe una línea en su movimiento relativo respecto del otro eslabón del par. a) Par prismático: un punto P describe una línea recta. b) Par rotación: el punto P describe una circunferencia. c) Par helicoidal: el punto P describe una hélice. Figura 2.5 Pares de primer grado

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 16 De segundo grado o superficial, cuando cualquier punto de uno de los miembros describe una superficie en su movimiento. Figura 2.6 Pares de segundo grado En la figura 2.6 se puede observar que al realizar el cuerpo su movimiento, el punto P describe: a) Par plano: el punto P describe un plano. b) Par cilíndrico: el punto P describe un cilindro. c) Par esférico: el punto P describe una esfera. De tercer grado o espacial, cuando un punto de uno de los eslabones describe una curva alabada. Por ejemplo, una esfera moviéndose dentro de un tubo de igual diámetro. Figura 2.7 Pares de tercer grado o espacial

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 17 3. Atendiendo al tipo de rozamiento entre los miembros, se clasifican: Par con deslizamiento: uno de los eslabones se desliza sobre otro en su movimiento relativo. Ejemplo: cilindro-pistón figura 2.3 (b). Par con rodadura: uno de los eslabones rueda sobre otro, en su movimiento relativo. Ejemplo: rueda de tren sobre un riel. Par con pivotamiento: uno de los eslabones pivota sobre otro, en su movimiento relativo. Ejemplo: bisagras de una puerta. 4. Atendiendo a los grados de libertad que posee el movimiento relativo de los miembros que forman el par se clasifican en pares de I, II, III, IV y V grados de libertad. Un cuerpo rígido en el espacio posee seis grados de libertad (puede realizar seis movimientos independientes entre sí; o también se puede decir que hacen falta seis variables para definir el movimiento, Figura 2.8 (a) que vendrán representados por tres rotaciones paralelas al eje x, y, z y tres traslaciones según esos tres ejes coordenados. a) b) Figura 2.8 Grados de libertad de un cuerpo rígido en el espacio y formando un par cinemático Al formarse un par cinemática, un cuerpo libre se ve obligado a permanecer en contacto con otro. Por tanto los seis grados de libertad del primero se reducen, según sea el tipo del par ( de los seis movimientos posibles de un miembro libre, al unirse a otro formando un par los reducirá a 5, 4, 3, 2, o 1). En general es fácil comprender que cuando un eslabón (2) se mantiene en contacto con otro (1), al cuál se pueden fijar los ejes coordenados, los movimientos posibles del eslabón 2 pueden ser

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 18 tres rotaciones y sólo dos traslaciones (una separación de 2 respecto de 1, según OZ, implica la rotura del par, es decir, su separación), como se observa en la Figura 2.8 (b). En la tabla 2.1 se expone una clasificación general de los pares cinemáticos, atendiendo a sus grados de libertad. Tabla 2.1 Esquemas, nombres y símbolos de pares cinemáticos

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 19 5. Clasificación de pares atendiendo al número de barras que conectan. Atendiendo al número de barras que conectan los pares también se pueden clasificar en binarios (cuando conectan dos eslabones) ternarios (conectan tres eslabones), etc. En general p-ario será el que conecta p miembros. En la Figura 2.9 se tienen ejemplos de pares ternarios. Figura 2.9 Ejemplos de pares ternarios 2.3 Cadenas cinemáticas Definición de las cadenas. Cuando un número de eslabones están conectados unos a los otros por pares elementales, de tal forma que permitan que el movimiento se efectúe en combinación, se denomina cadena cinemática. Una cadena cinemática no es necesariamente un mecanismo; se convierte en uno cuando se define el eslabón fijo. Clasificación de las cadenas. Pueden clasificarse en dos grupos: Cadenas cerradas, cuando todos y cada uno de los miembros se une a otros dos. Cadena abierta, cuando hay algún miembro no unido a otros dos.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 20 Constitución de las cadenas. Una cadena cinemática puede estar constituida por pares superiores, inferiores, o ambos simultáneamente. Al mismo tiempo, también puede contener pares de igual o de diferente grado. La cadena cinemática más sencilla contendrá sólo dos miembros (un par), siendo necesariamente abierta. Un ejemplo puede constituirlo la cadena formada por un tornillo y su tuerca o un cerrojo de pasador. Las cadenas cinemáticas cerradas más simples pueden formarse con sólo tres miembros. Sin embargo, no siempre con tres miembros puede formarse una cadena cinemática, dependiendo para lograrlo del tipo de pares que la formen. Utilizando tres miembros con pares de grado diferente se pueden formar una multitud de cadenas cinemáticas. Así, por ejemplo, con dos pares inferiores y uno superior (de contacto puntual o lineal) pueden formarse las cadenas cinemáticas de las levas, engranajes, etc. (Fig.2.10a). Con mayor número de miembros puede formarse todo tipo de cadenas cinemáticas. En la Fig. 2.10b se representa una cadena típica; como se ve consta de 5 eslabones y seis pares. Se puede observar que los eslabones 1 y 4 son ternarios, y los eslabones 2,3 y 5 son binarios. a) b) Figura 2.10 Cadenas cinemáticas Las cadenas cinemáticas se nombran por el número de miembros y de pares de cada grado. Así, la cadena (n2, p2; n3, p3; n4,.. ) es la formada por n2 eslabones binarios, n3 ternarios, y n4 cuaternarios, así como p2 pares binarios, p3 ternarios y ningún cuaternario. La cadena cinemática de la Fig. 2. 10b tiene la configuración (3,6; 2), es decir, 3 eslabones binarios, 6 pares binarios y 2 eslabones ternarios, únicamente.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 21 2.4 Mecanismo Un mecanismo es una cadena cinemática a la que se le ha inmovilizado uno de sus miembros, a este eslabón fijo se le llama bastidor. Puede haber una máquina compuesta por varios mecanismos en la que un miembro móvil de uno de ellos sea el bastidor (eslabón fijo) de otro mecanismo. En la mayoría de las máquinas el eslabón fijo de todos los mecanismos que la componen es un eslabón único (por ejemplo los diferentes mecanismos que componen un motor de explosión tienen como eslabón fijo al bastidor, formado por la culata, el bloque y el carter) lo que tampoco implica que este bastidor sea un elemento totalmente inmóvil (por ejemplo los diferentes mecanismos que componen un vehículo automóvil tienen un bastidor único, pero móvil con el auto). Recordando la definición de Reuleaux de un mecanismo, es evidente que se necesita tener una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo. Cuando se hable de un eslabón fijo se da a entender que se elige como marco de referencia para todos los demás eslabones, es decir, que los movimientos de todos los demás eslabones se medirán con respecto a ése en particular ya que se le considera como fijo. Se suele definir también al mecanismo, como la parte del diseño de las máquinas que se interesa en el diseño cinemático (es decir, se ocupa de los requerimientos de movimientos, sin abordar los requerimientos de fuerza) de los dispositivos que contienen eslabones articulados, levas, engranes y trenes de engranes, que son los componentes que se van a estudiar. Cinemática de un mecanismo. Una vez que se designa el marco de referencia (y se satisfacen otras condiciones) la cadena cinemática se convierte en un mecanismo y conforme el eslabón que acciona al mecanismo (el impulsor) se mueve pasando por varias posiciones denominadas fases, todos los demás eslabones manifiestan movimientos bien definidos con respecto al marco de referencia elegido. Se deduce que de una cadena cinemática pueden obtenerse tantos mecanismos como eslabones se tenga, a medida que se fijen sucesivamente cada uno de ellos. Cada uno de estos mecanismos se llama una inversión del que se ha tomado como fundamental. Para que un mecanismo sea útil, los movimientos entre los eslabones no tienen que ser arbitrarios, éstos también tienen que restringiese para producir los movimientos relativos

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 22 adecuados, los que determine el diseñador para el trabajo particular que se deba desarrollar. Estos movimientos relativos deseados se obtienen mediante la selección correcta del número de eslabones y las articulaciones utilizadas para conectarlos. Por consiguiente para determinar la cinemática de un mecanismo se requiere esencialmente: la distancia entre articulaciones sucesivas; la naturaleza de estas articulaciones y los movimientos relativos que permitan. Por esta razón es vital que se examine en forma minuciosa la naturaleza de las articulaciones. Movimientos relativos de las articulaciones. El factor de control que determina los movimientos relativos que permite una articulación dada, es la forma que tengan las superficies o eslabones pareados. Cada tipo de articulación posee sus propias formas características para los elementos y cada una permite un tipo de movimiento específico, el cuál es determinado por la manera posible en que estas superficies elementales se pueden mover una en relación con otra. Por ejemplo, el par cilíndrico (Fig. 2.6b), también llamada articulación de pasador o espiga, tiene elementos cilíndricos y, suponiendo que los eslabones no se pueden deslizar en sentido axial, estas superficies permiten sólo un movimiento rotatorio (par de revolución Tabla 2.1). Por ende, una articulación de revoluta deja que los dos eslabones conectados experimenten una rotación relativa en torno al pasador central. De la misma manera las demás articulaciones tienen sus propias formas de los elementos y sus propios movimientos relativos y constituyen las condiciones limitantes o restricciones impuestas al movimiento del mecanismo. Es conveniente señalar, que a menudo, las formas de los elementos suelen disfrazarse sutilmente, lo que los hace difícil de reconocer. Por ejemplo, una articulación de pasador podría incluir un cojinete de agujas, de modo que las dos superficies pareadas no se distingan como tales. Sin embargo, si los movimientos de los rodillos individuales carecen de interés, los movimientos permitidos por las articulaciones son equivalentes y los pares pertenecen al mismo tipo genérico. Por ende, el criterio para distinguir clases distintas de pares se basa en el movimiento relativo que permiten y no necesariamente en las formas de los elementos, aunque estos suelen revelar indicios muy importantes. El diámetro del pasador usado (u otros datos dimensionales) tampoco tiene más importancia que las magnitudes y formas exactas de los eslabones conectados.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 23 Funciones cinemáticas de eslabones y articulaciones. Como ya se menciono, la función cinemática de un eslabón es mantener una relación geométrica fija entre los elementos del par. Del mismo modo la única función cinemática de una articulación o par es determinar el movimiento relativo entre los eslabones conectados. Todas las demás características se determinan por otras razones y no tienen importancia para el estudio de la cinemática. Representación de los mecanismos. Con el fin de simplificar el estudio de los mecanismos, nunca se dibujan éstos en su totalidad con la forma y dimensiones de cada uno de los eslabones y pares, sino que se sustituye el conjunto por un esquema o diagrama simplificado, formado generalmente por los ejes de los diferentes miembros (o por líneas de unión de cada uno de sus articulaciones). Estas no se dibujan por regla general (aunque algunas veces pueden representarse por medio de pequeños círculos, rectángulos, etc.). En las figuras 2.11 y 2.12 se representan respectivamente una grúa flotante, una puerta de acceso para una aeronave y al lado su correspondiente esquema simplificado. Obsérvese que el eslabón fijo se representa siempre con un rayado de línea de tierra. Figura 2.11 Grúa flotante con su diagrama esquemático En el estudio que seguirá y ha efecto de uniformizar la nomenclatura, se denominará siempre al eslabón fijo de cualquier mecanismo con el número 1, numerando el resto de los eslabones por orden creciente con números sucesivos, 2, 3, etc.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 24 Figura 2.12 Puerta de acceso para aeronave con su diagrama esquemático Puede ser difícil identificar el mecanismo cinemático en una fotografía o en un dibujo de una máquina completa. La figura 2.13 muestra el conjunto cigüeñal-biela-pistón y su correspondiente diagrama cinemático. Figura 2.13 Motor de combustión interna con mecanismo de correderabiela- manivela y su representación gráfica Con este diagrama se puede trabajar mucho más fácilmente y le permite al diseñador separar los aspectos cinemáticos del problema más complejo del diseño de la máquina.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 25 2.4.1 Ciclo, periodo, fase y transmisión de movimiento Cuando las partes de un mecanismo han pasado por todas las posiciones posibles que pueden tomar después de iniciar su movimiento desde algún conjunto simultaneo de posiciones relativas y han regresado a sus posiciones relativas originales, han creado un ciclo de movimiento. El tiempo requerido para un ciclo de movimiento es el periodo. Las posiciones relativas simultáneas de un mecanismo en un instante dado durante un ciclo determinan una fase. La transmisión del movimiento de un miembro a otro en un mecanismo se realiza en tres formas: a) contacto directo entre dos miembros, tales como levas y seguidor o entre engranes b) por medio de un eslabón intermedio o biela y c) por medio de un conector flexible como una banda o una cadena 2.4.2 Clasificación de los mecanismos en función de sus movimientos Mecanismos planos, esféricos y espaciales. Los mecanismos se pueden clasificar de diversas maneras haciendo hincapié en sus similitudes y sus diferencias. Uno de estos agrupamientos en función de los movimientos que producen los mecanismos los divide en: mecanismos en planos, esféricos y espaciales; y los tres grupos poseen muchas cosas en común; sin embargo, el criterio para distinguirlos se basa en las características de los movimientos de los eslabones. Un mecanismo plano es aquel en el que todas las partículas describen curvas planas en el espacio y todas éstas se encuentran en planos paralelos; en otras palabras, los lugares geométricos de todos los puntos son curvas planas paralelas a un solo plano común. Esta característica hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto elegido de un mecanismo plano se represente con su verdadero tamaño y forma real, en un solo dibujo o una sola figura. La transformación del movimiento de cualquier mecanismo de esta índole se llama coplanar. El eslabonamiento plano de cuatro barras, la leva de placa y su seguidor, y el mecanismo de corredera-manivela (figura 2.14) son ejemplos muy conocidos de mecanismos planos. La vasta mayoría de mecanismos en uso hoy en día son del tipo plano. Los mecanismos planos que utilizan sólo pares inferiores se conocen con el nombre de eslabonamientos planos y sólo pueden incluir revolutas y pares prismáticos.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 26 El movimiento plano requiere que los ejes de revoluta sean paralelos y normales al plano del movimiento, y todos los ejes de los prismas se encuentren en él. Figura 2.14 Mecanismo de corredera (cruceta), biela y manivela Mecanismo esférico es aquel en el que cada eslabón tiene algún punto que se mantiene estacionario conforme el eslabonamiento se mueve, y en el que los puntos estacionarios de todos los eslabones están en una ubicación común; en otras palabras, el lugar geométrico de cada punto es una curva contenida dentro de una superficie esférica y las superficies esféricas definidas por varios puntos arbitrariamente elegidos son concéntricas. Por ende, los movimientos de todas las partículas se pueden describir por completo mediante sus proyecciones radiales, o "sombras", proyectadas sobre la superficie de una esfera, con un centro seleccionado en forma apropiada. La articulación universal de Hooke es quizá el ejemplo más conocido de un mecanismo esférico. Figura 2.15 Junta universal de Hooke o Cardan Eslabonamientos esféricos son aquellos que se componen exclusivamente de pares de revoluta. Un par esférico no produciría restricciones adicionales y, por ende, sería equivalente a una abertura en la cadena, en tanto que todos los demás pares inferiores poseen movimientos no esféricos. En el caso de eslabonamientos esféricos, los ejes de todos los pares de revoluta se deben intersecar en un punto.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 27 Los mecanismos espaciales no incluyen, por otro lado, restricción alguna en los movimientos relativos de las partículas. La transformación del movimiento no es necesariamente coplanar, como tampoco es preciso que sea concéntrica. Un mecanismo espacial puede poseer partículas con lugares geométricos de doble curvatura. Cualquier eslabonamiento que comprenda un par de tornillo, por ejemplo, es un mecanismo espacial, porque el movimiento relativo dentro del par de tornillo es helicoide. Por lo tanto, la categoría abrumadoramente más numerosa de mecanismos planos y la de los esféricos son apenas unos cuantos casos especiales, o subconjuntos, de la categoría general de mecanismos espaciales. Estos se obtienen como una consecuencia de la geometría especial en las orientaciones particulares de los ejes de sus pares. Si los mecanismos planos y esféricos son sólo casos especiales de mecanismos espaciales, por qué es aconsejable identificarlos por separado?. Debido a que por las condiciones geométricas particulares que identifican estas clases, es factible hacer multitud de simplificaciones en su diseño y análisis. Figura 2.16 Mecanismo espacial. Mecanismo de placa oscilante Puesto que no todos los mecanismos espaciales poseen la geometría afortunada de un mecanismo plano, su concepción mediante técnicas gráficas se hace más difícil y es necesario desarrollar técnicas más complejas para su análisis como el método analítico. Dado que la inmensa mayoría de mecanismos en uso hoy en día son planos, nuestro estudio se centrará en ellos, sin minimizar la importancia de los mecanismos esféricos y espaciales. Como se señaló con anterioridad, se pueden observar los movimientos de todas las partículas de un mecanismo plano en el tamaño y forma reales, desde una sola dirección. En otras palabras, es factible representar gráficamente todos los movimientos en una sola perspectiva, de donde, las técnicas gráficas son muy apropiadas para su solución.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 28 2.4.3 Movilidad o número de grados de libertad de un mecanismo plano Una de las primeras preocupaciones, ya sea en el diseño o en el análisis de un mecanismo, es el número de grados de libertad, conocido también como movilidad del dispositivo. La movilidad de un mecanismo es el número de parámetros de entrada (casi siempre variables del par) que se deben controlar independientemente, con el fin de llevar al dispositivo a una posición en particular. Si por el momento se hace caso omiso de ciertas excepciones que se mencionarán más adelante, es factible determinar la movilidad de un mecanismo directamente a través de un recuento del número de eslabones y la cantidad y tipos de articulaciones que incluye. Una definición equivalente de movilidad se puede expresar como, el número mínimo de parámetros independientes requeridos para especificar la posición de cada uno de los eslabones de un mecanismo. Un eslabón sencillo, restringido o limitado a moverse con movimiento plano, como el mostrado en la figura 2.17a, posee tres grados de libertad. Las coordenadas x y y del punto P junto con el ángulo θ forman un conjunto independiente de tres parámetros que describen la posición del punto. La figura 2.17b muestra dos eslabones desconectados con movimiento plano. Debido a que cada eslabón posee tres grados de libertad, estos dos eslabones tienen un total de seis grados de libertad. Si los dos eslabones se unen en un punto mediante una unión de revoluta, como se muestra en la figura 2.17c, el sistema formado tendrá sólo cuatro grados de libertad. Los cuatro parámetros independientes que describen la posición de los eslabones podrían ser, por ejemplo, las coordenadas del punto P 1 el ángulo θ 1 y el ángulo θ 2. Hay muchos otros parámetros que podrán utilizarse para especificar la posición de estos eslabones pero sólo cuatro de ellos pueden ser independientes. Una vez que se especifican los valores de los parámetros independientes, la posición de cada punto en ambos eslabones queda determinada.