TEORÍ DE L GRVITCIÓN UNIVERSL 1. Introducción a la gravitación. Desde el modelo geocéntrico hasta Keppler. Desarrollo de la teoría de gravitación universal 3. Fuerzas conservativas y Energía potencial 4. Energía potencial gravitatoria 5. Energía potencial elástica 6. Conservación de la energía mecánica Física º achillerato 1
1. INTRODUCCIÓN L GRVITCIÓN. DESDE EL MODELO GEOCÉNTRICO HST KEPLER L ESCUEL PITGÓRIC explicó la estructura del universo en términos matemáticos (57-497 a.c.) El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno, origen de los números su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de 4 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año respectivamente El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más allá se encontraba el Olimpo El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión por los números) Pitágoras nació en Samos hacia el año 569 a.c. Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y el gran fuego, al que llamaron ntitierra
EL MODELO DE RISTÓTELES (384-3 a.c.) El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas La Tierra que ocupaba el centro del universo, era la región de los elementos, fuego, aire, agua y tierra mutable Los movimientos son rectilíneos y finitos. Los movimientos no rectilíneos son violentos y violan el orden natural. Más allá de la esfera lunar se encontraba la región etérea de los cielos, cuyo único elemento era la incorruptible quinta esencia donde reina el orden. Los movimientos de todos los astros situados en esferas concéntricas con la Tierra eran circulares y perfectos El universo concluía con la esfera de las estrellas fijas 3
EL GEOCENTRISMO DE C. PTOLOMEO (100-170 d.c ) Vivió en lejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad Las causas más importantes de los modelos geocéntricos frente a los heliocéntricos fueron: Estrella lejana La falta de cálculos y predicciones cuantitativas sobre las trayectorias de los planetas La imposibilidad de medir paralajes de las estrellas Ptolomeo justificó su modelo calculando los movimientos planetarios y prediciendo eclipses de Sol y de Luna. Todo ello lo recopiló en una gran obra El lmagesto que dominó el pensamiento occidental e islámico durante toda la edad media Sol Tierra Paralaje anual de las estrellas fijas 4
Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una única esfera hueca El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente Ptolomeo introdujo la excentricidad de las trayectorias, es decir, un desplazamiento del centro de la órbita (Ex) respecto al centro de la Tierra La velocidad angular de las trayectorias debía se constante respecto de un punto fuera del centro de la trayectoria, punto que denominó ecuante (Ec) Estos ajustes explican las diferencias de brillo y tamaño que se observan en el Sol y la Luna, y los cambios de velocidad del Sol a lo largo de su trayectoria E c E x Luna Tierra t 5
Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste. Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos rotaciones El planeta giraba alrededor de un punto que era el que en realidad rotaba con respecto a la Tierra La órbita alrededor de la Tierra se denomina deferente y la del planeta epiciclo 6
N. COPÉRNICO (1473-1543) Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol I H G C I F E D H G F E D C D F E C G I H Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos 7
Estudió en Cracovia y luego en olonia derecho canónico donde recibió la influencia del humanismo italiano. Posteriormente estudió medicina en Padua y se doctoró en derecho canónigo en Ferrara. Volvió a su país como consejero episcopal. Fijó su residencia en Frauenburg y se dedicó a la administración de los bienes del cabildo durante el resto de sus días; mantuvo siempre el empleo eclesiástico de canónigo, pero sin recibir las órdenes sagradas. Hacia 1507, Copérnico elaboró su primera exposición de un sistema astronómico heliocéntrico en el cual la Tierra orbitaba en torno al Sol, y a raíz de ello Copérnico empezó a ser considerado como un astrónomo notable; con todo, sus investigaciones se basaron principalmente en el estudio de los textos y de los datos establecidos por sus predecesores, ya que apenas superan el medio centenar las observaciones de que se tiene constancia que realizó a lo largo de su vida. En 1533 sus enseñanzas fueron expuestas al papa Clemente VII por su secretario y se llamó a Copérnico desde Roma urgiéndole a que hiciera públicos sus descubrimientos. Por entonces, él ya había completado la redacción de su gran obra, Sobre las revoluciones de los orbes celestes, un tratado astronómico que defendía la hipótesis heliocéntrica. Consideró un universo finito y las órbitas circulares las únicas adecuadas para explicar el movimiento de los planetas. 8
Tycho RHE (1546-1601) Es el primer astrónomo moderno que registró detalles precisos a cerca del movimiento de los planetas. Realizó mediciones astronómicas durante 0 años y aportó los datos precisos para el modelo actual. No quiso aceptar el modelo heliocéntrico, a pesar de su sencillez. Intentó mejorar el sistema geocéntrico. Sus contribuciones más importantes se refieren a una estrella nueva (nova) descubierta en 157, a la interpretación de los cometas, y a las posiciones del Sol, la Luna y los planetas, particularmente el planeta Marte. Tycho debió abandonar Dinamarca debido a la muerte de su protector y mecenas Federico II, dirigiéndose a Praga donde se acogió bajo la protección del emperador Rodolfo II, que compartía con Tycho la creencia en los sueños astrológicos y quién lo nombró matemático de la corte. No tenía grandes dotes matemáticas y fue auxiliado por Keppler que heredó su colección única de datos. Era un personaje interesante. Tenía un enano como bufón al que sentaba bajo la mesa durante la cena. Incluso tenía un alce entrenado como mascota. Tycho también perdió la punta de su nariz en un duelo con otro noble danés y tuvo que usar una nariz falsa hecha de plata y oro, pero ésa es otra historia. Se dice que Tycho tuvo que aguantarse las ganas de ir al baño durante un banquete particularmente extenso en 1601 (levantarse en medio de una cena era considerado como algo realmente ofensivo), a tal punto que su vejiga, llevada al límite, desarrolló una infección por la que murió. nálisis posteriores sugirieron que Tycho 9 murió en realidad por envenenamiento con mercurio, pero esa conclusión no es tan interesante como la historia original.
J. KEPLER (1571-1670) El trabajo más importante de Kepler fue la revisión de los esquemas cosmológicos conocidos a partir de la gran cantidad de observaciones acumuladas por rahe (en especial, las relativas a Marte), labor que desembocó en la publicación, en 1609, de la stronomia nova (Nueva astronomía), la obra que contenía las dos primeras leyes llamadas de Kepler, relativas a la elipticidad de las órbitas y a la igualdad de las áreas barridas, en tiempos iguales, por los radios vectores que unen los planetas con el Sol. Culminó su obra durante su estancia en Linz, en donde enunció la tercera de sus leyes, que relaciona numéricamente los períodos de revolución de los planetas con sus distancias medias al Sol; la publicó en 1619 en Harmonices mundi (Sobre la armonía del mundo), como una más de las armonías de la naturaleza, cuyo secreto creyó haber conseguido desvelar merced a una peculiar síntesis entre la astronomía, la música y la geometría. Fue un hombre inteligente, raro y terriblemente desgraciado. 10
GLILEO (1564-164) Galileo consiguió observar las fases de Venus con la ayuda de un telescopio, convirtiéndose así en el primer defensor a ultranza del sistema copernicano Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo En 163 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo Galileo nació en Pisa en 1564 Un año después fue procesado por la Inquisición 11
Isaac NEWTON (164-177) Fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalmente en el Óptica) y el desarrollo del cálculo matemático. Newton demuestra que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica. Newton consigue integrar todo el conocimiento sobre la mecánica y la astronomía desarrollado previamente por sus antecesores: Galileo, Kepler en unas sencillas leyes, algo que se ha dado en llamar la síntesis newtoniana. 1
Cronología ESCUEL PITGÓRIC 57-497 C RISTÓTELES 384-3 C PTOLOMEO DE LEJNDRÍ 100-170 DC 1 SIGLOS N. COPERNICO 1473-1543 DC T. RHE 1546-1601 DC J. KEPLER 1571-1670 DC GLILEO GLILEI 1564-164 DC I. NEWTON 164-177 DC 4 SIGLOS 13
. DESRROLLO DE L TEORÍ DE GRVITCIÓN UNIVERSL LS LEYES DE KEPLER. DEDUCCIÓN DE L LEY DE GRVITCIÓN UNIVERSL PRTIR DE LS LEYES DE KEPLER JUSTIFICCIÓN DE L LEY DE GRVITCIÓN UNIVERSL L LUZ DE LOS DTOS QUE SE CONOCÍN EN TIEMPO DE NEWTON VLOR Y SENTIDO FÍSICO DE G 14
LS LEYES DE KEPLER. Tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que los datos colocaban las órbitas ocho minutos de arco fuera del esquema circular de Copérnico Perihelio felio Comprobó que este hecho se repetía para todos los planetas Descubrió que la elipse era la curva que podía definir el movimiento planetario b Sol Foco Eje menor La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio Eje mayor a La posición más cercana, es el perihelio Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado este, en uno de sus focos 15
Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales 1 de enero r 1 enero 30 de julio 30 de enero Sol r julio 1 1 de julio Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto. uscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho rahe Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por los planetas en recorrerlas Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o radios medios, de sus órbitas (r), T = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los planetas 16
DEDUCCIÓN DE L LEY DE GRVITCIÓN UNIVERSL PRTIR DE LS LEYES DE KEPLER Supuestos: - El Sol y los planetas son masas puntuales. - El sistema de referencia tiene como origen de coordenadas el Sol. - Solo se considera la interacción gravitatoria con el Sol (no las de los demás planetas). - Los planetas describen órbitas circulares cuya a c = v /R Si la orbita es circular y se cumple la ley de las áreas: s s v t v t v v mov. uniforme 1 1 1 1 Entonces el periodo y la aceleración centrípeta son: 4 y ac R ac R T T 3 Considerando la tercera ley de Kepler T kr : 4 4 m ac de donde F ma c F m F k 1 kr kr R La fuerza de reacción debe ser igual, proporcional a la masa e inversa al cuadrado de la distancia m M k1 k Mm F1 F1 k1 k donde se denomina G F G R R M m R 17
Se conocía: JUSTIFICCIÓN DE L LEY DE GRVITCIÓN UNIVERSL L LUZ DE LOS DTOS QUE SE CONOCÍN EN TIEMPO DE NEWTON - El Radio de la Tierra= 6,37 10 7 m, calculado por Eratóstenes. - Distancia de la Tierra a la Luna, aproximadamente 60R T. - celeración de la gravedad g=9,81 m s -, que se calcula con un simple péndulo. Se trata de demostrar que la aceleración centrípeta del movimiento de rotación de la Luna es debida a la aceleración de la gravedad terrestre. g Hay que demostrar que g a n La aceleración de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia g 60 0,7 10 m s 3 La aceleración debida a un movimiento circular cualquiera es a 4 an T r r g 4 60 En realidad r 60R y el periodo Lunar son menos de 8 días. a n T R a n 3,57 10 m n v r 18
VLOR Y SENTIDO FÍSICO DE G El valor de G - Fue calculado experimentalmente 100 años después por Cavendish, mediante una balanza de torsión - G es la fuerza con la que se atraen dos masas de un kg a un metro de distancia. - G es una constante universal pero tiene unidades. G FR Mm Nm kg 11 G 6,67 10 F l k k r 11 Nm Mm G G 6,67 10 G l k Mml kg r l: longitud de la barra k: constante elástica del hilo : angulo girado F : fuerza de atracción 19
Ej-1.: La luz tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determinar: - El periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la Tierra es 365,5 días. - La velocidad con que se desplaza Venus en su órbita. Datos G, c y M venus = 4,38 10 4 kg. Sol.: 4,65 días; 3,5 10 4 m/s Ej-.: Un satélite artificial se desplaza en una órbita circular a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula - Su velocidad. - Su periodo de revolución. - Su aceleración centrípeta. Datos R T = 6,37 10 3 km, g 0 = 9,8 m/s. Sol.: 7,7 10 3 m/s; 91 min; 8,9 m/s 0
3. FUERZS CONSERVTIVS Y ENERGÍ POTENCIL La descripción de la interacción gravitatoria se puede hacer - partir de la ley de gravitación de Newton. - O en términos energéticos, a partir de los conceptos de energía potencial y fuerza conservativa. La energía de un sistema se puede trasmitir a un cuerpo de dos formas: - irradiándola mediante ondas. - o mediante el trabajo de una fuerza de interacción. El trabajo es la medida de la energía suministrada a un cuerpo mediante una fuerza que le produce un desplazamiento. W F r W 1 F dr El origen de energía potencial cero se asigna al infinito, cuando no hay interacción. 1
- Una fuerza es conservativa si solo es función de la posición, F=f(x). - Cuando el trabajo total realizado sobre un objeto, que describe una trayectoria cerrada, es cero. - Cuando el trabajo realizado por la fuerza es independiente del camino seguido, es decir, el trabajo realizado por una fuerza conservativa solo depende de la posición inicial y final de la partícula. 1 Fc Fc ( x) ó W Fc d r 0 ó W U U Toda fuerza conservativa lleva asociada una Energía Potencial, W F dr U U U c 1 1 Energía Potencial es la magnitud característica de las fuerzas conservativas cuya disminución mide el trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria Un cuerpo colocado en un punto del campo gravitatorio terrestre lleva asociado una Ep que coincide con el trabajo realizado para colocarlo en ese punto: Energía de Posición. W F dr U U ( U U ) U Ep FUERZS CONSERVTIVS c
En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado para ir desde hasta puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo de los puntos inicial y final W F d r E p () E p () Si el campo de fuerzas es conservativo, C 1 W W C 1 C Si se invierte el segundo camino, C W C W C W W C 1 C W C 1 W C 0 Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es nulo C F dr 0 3
TEOREM DE L ENERGÍ POTENCIL El trabajo realizado por una fuerza conservativa se emplea en disminuir la energía potencial. W F dr Ep 1 c TEOREM DE L ENERGÍ CINÉTIC El trabajo realizado por una fuerza se emplea en aumentar su energía cinética. W F d r Ec 1 El teorema de la Ep solamente es válido para fuerzas conservativas, El de la Ec es válido para todo tipo de fuerzas. 4
4. ENERGÍ POTENCIL GRVITTORI La fuerza gravitatoria es conservativa. Lleva asociada una energía potencial y como la fuerza depende de la posición es de esperar que la energía potencial también dependa de la posición. Si F=F(x) Ep(x) ENERGÍ POTENCIL DE DOS PRTÍCULS El trabajo debido a la interacción gravitatoria para traer una masa m desde el infinito hasta un punto, será: W Fdr Ep Ep 1 1 1 Ep Gm1m Ep r Ep Gm m Ep dr Gm m r que corresponde con el valor de la energía potencial en el punto dr r Gm m r 1 Ep m 1 r m F 5
- cada posición relativa de dos masas corresponde una Ep que solo es función de la posición Ep(r). - La Ep( ) = 0. - La Ep gravitatoria es siempre negativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa se invierte en una disminución de la Ep. E P r Ep G mm' r CONCLUSIONES - Cuando dos cuerpos se aproximan la Ep. El W de aproximación lo realiza la Fc a costa de la Ep. - Cuando separamos dos masas hay que aplicar una Fext al sistema. Esta F se emplea en Ep. - La Ep de un sistema de partículas es la suma de las Ep de todas las partículas dos a dos. 6
VRICIÓN DE L ENERGÍ POTENCIL ENTRE DOS PUNTOS y cada posición relativa de dos masa corresponde una Ep, si la posición relativa varía la Ep también. m 1 m F m m m m Ep Ep Ep G G r r 1 1 m m m m Ep Ep G G Ep Ep Gm m 1 1 1 1 1 r r r r r r si r =r la Ep se mantiene constante. Y la partícula se desplaza por una superficie equipotencial 7
ENERGÍ POTENCIL GRVITTORI TERRESTRE La energía asociada al sistema de partículas formado por la Tierra y un cuerpo:. Mm Mm Ep G G r ( R h) La variación de la Ep cuando elevamos un cuerpo desde la superficie de la Tierra hasta una altura h 1 1 1 1 Ep Ep Ep GMm GMm r r R R h h R h h 0 0 0 GMm g m g m mg h R( R h) R( R h) h 1 R GM h donde g0 y 0 R R h R r m - Ep representa variaciones de Ep y solo tiene sentido eligiendo un nivel 0 de Ep arbitrario - Dicha fórmula solo es válida mientras g 0 es constante, para valores de h hay que considerar solo la primera parte. 8
Ej-3.: Un satélite artificial de 100 kg se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra y recibe un impulso, mediante cohetes propulsores, para que describa una órbita circular alrededor de ella. - Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar este movimiento? - Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio al llevar el satélite desde la superficie de la Tierra hasta esa altura? - Cuál es la energía total de lsatélite? Datos R T = 6,37 10 3 km, g 0 = 9,8 m/s.. Sol.: 7809 m/s; -1,61 10 9 J; -36.6 10 9 J Ej-4.: Desde la superficie de la Tierra se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba Calcula la altura máxima que alcanza si: - Su velocidad inicial es 10 m/s. - Su velocidad es 10 km/s. Datos G, MT = 5,98 10 4 kg; R T = 6,37 10 3 km, g 0 = 9,8 m/s. No se considera el rozamiento con el aire. Sol.: 5,1 m, 5600 Km 9
5. ENERGÍ POTENCIL ELÁSTIC Todo cuerpo elástico almacena energía cuando experimenta una deformación. Esta Ep está relacionada con el W que es necesario realizar para deformar los cuerpos venciendo la fuerza recuperadora que es conservativa. xf xf x f x 1 1 1 1 W Fd x kx dx k kx kx kx kx Ep Ep 0 x x x 0 0 0 f 0 0 f x x f El trabajo solo depende del punto de partida y llegada luego la F es conservativa. La Ep elástica es siempre positiva, el resorte siempre almacena energía, tanto si se alarga como si se encoge. CONCLUSIONES - El W en contra de la gravedad y de deformación queda almacenado como Ep asociada a la posición. - Las F de la gravedad y elástica son conservativas, restituyen el trabajo que se hizo para vencerlas. - Todo cuerpo situado a cierta altura y todo cuerpo deformado pueden realizar trabajo porque poseen Ep. 30
6. CONSERVCION DE L ENERGÍ MECÁNIC SI SOLO CTUN FUERZS CONSERVTIVS partir del teorema de la Ec y de la Ep: W F dr Ec W F dr Ep Ec Ep SI TMIÉN CTUN FUERZS NO CONSERVTIVS partir del teorema de la Ec y de la Ep: W Fc Fr dr Fc dr Fr dr Ec Fc dr Ep W Ec Ep E R M 31