UNIDAD 7 Recursividad Concepto. Algoritmos recursivos. Seguimiento de la recursión. Algunos métodos recursivos de búsqueda y ordenación: M-Sort y

Transcripción

1 Recursividad Concepto. Algoritmos recursivos. Seguimiento de la recursión. Algunos métodos recursivos de búsqueda y ordenación: M-Sort y Q-Sort. Comparación de eficiencia en métodos Iterativos vs recursivos

2 Recursividad: Concepto Recursión: Un elemento es recursivo cuando en su definición se utiliza nuevamente a ese elemento

3 Recursividad: Concepto «Se llama a si mismo» «Cada vez es mas pequeño»

4 Recursividad: Concepto Técnica de programación que permite que Iteración un módulo se invoque a sí mismo, con una versión mas pequeña del problema original Debe tener un fin! en cada nueva invocación.

5 Recursividad: Concepto Modulo recursivo (n) { } recursivo (n-1)

6 Recursividad: Concepto LA RECURSION NO es una estructura de datos. NO es un tipo de variable.

7 Clasificación 1 UNIDAD 7 Tipos de Recursividad * Directa: Proceso por el cual un modulo se llama a si mismo desde el propio cuerpo del modulo. * Indirecta: Implica mas de un modulo, que se llaman unos a otros formando un ciclo.

8 Tipos de Recursividad Clasificación 2 * Lineal: El modulo se invoca a si mismo una única vez. * Múltiple: El modulo se invoca a si mismo mas de una vez dentro de una misma activación.

9 Recursividad: Ejemplo I Matemáticamente:! Pseudocódigo: factorial(n)= Si (n=0) luego 1 Sino n* factorial(n-1)

10 Recursividad: Ejemplo I Ejemplo: Calcular el factorial de 7. Se calcula reiterada mente el Se regre san los factorial resultados de un numero No requiere nuevo calculo Retroseguimiento

11 Recursividad: Ejemplo I no recursivo Ejemplo: Calcular el factorial de 7. Usando iteraciones

12 Partes de una función recursiva Ejemplo: Calcular el factorial de 7. Caso base factorial(n)= Si (n=0) luego 1 Sino n* factorial (n-1)! Caso general

13 Partes de una función recursiva Pueden haber uno o mas casos bases en un modulo * CASO BASE: Situación que produce un resultado inmediato, es decir, permite detener las llamadas recursivas. * CASO GENERAL: Cuando la función se invoca a si misma. para realizar un calculo mas pequeño!

14 Recursividad: Metodología de desarrollo * Buscar la salida de la recursión: Buscar casos en los que se puede dar respuesta inmediata al problema planteado. * Determinar los avances de la recursión: Buscar casos en los que se puede plantear la respuesta en términos de una llamada recursiva. * Escribir un algoritmo que implemente el planteamiento logrado.

15 Recursividad: Metodología de desarrollo Claves: 1) Identificar caso base 2) Identificar caso general 3) Si está pensando en una versión no recursiva, cambie los ciclos: For o While por If

16 Recursividad: ejemplo I recursivo Ejemplo: Calcular el factorial de 7. Caso base: La función no recurre Caso general o recursivo: con parámetros más pequeños

17 17 Ejemplo II: Queremos calcular x n, x 0 y n 0 La definición de potencia en notación matemática es: x n = 1 Si n = 0 x * x (n-1) Si n > 0 Ej: 2 4 = 2 * 2 3 = 2 * 8 = 16 Resultado 2 3 = 2 * 2 2 = 2 * 4 = = 2 * 2 1 = 2 * 2 = = 2 * 2 0 = 2 * 1 = = 1 En pseudocódigo: potencia(x, n) = Si (n >0) luego (x * potencia(x,n-1) ) Sino (1)

18 Caso general o recursivo: con parámetros más pequeños potencia(x, n) = Si (n >0) luego (x * potencia(x, n-1)) Sino (1) 2 * 8 = 16 Potencia(2, 4) = (2 * potencia(2, 3)) Retorna 16 Caso base: La función no recurre 2 * 4 = 8 Potencia(2, 3) = (2 * potencia(2, 2)) 2 * 2 = 4 Potencia(2, 2) = (2 * potencia(2, 1)) 2 * 1 = 2 Potencia(2, 1) = (2 * potencia(2, 0)) 18 Potencia(2, 0) = 1

19 potencia(x, n) = Si (n >0) luego (x * potencia(x, n-1)) Sino (1)

20 Ejemplo III: cociente(a, b) Algoritmo: - Versión iterativa cociente(a, b) = c := 0; // contador Mientras (a b) Hacer a := a - b; c := c + 1; Fin_Mientras Algoritmo: - Versión recursiva cociente(a, b) = Si (a b) luego contestar( 1 + cociente(a-b, b) ) sino contestar (0) Caso base: no se puede restar b de a contestar(c) 20 Caso general: argumento más pequeño

21 cociente(a, b) = Si (a b) luego contestar( 1 + cociente(a-b, b) ) sino contestar (0) Casos de prueba: Caso 1: a = 3, b= 4; Caso 2: a = 15, b = 4 Realizar la traza de ejecución: Caso 1: a = 3, b= 4 cociente(3,4) = contestar (0) Retorna 0 ; cociente(3,4) = 0 Caso 2: a = 15, b= = 3 cociente(15,4) = contestar (1 + cociente(15-4, 4)) = 2 cociente(11,4) = contestar (1 + cociente(11-4, 4)) = 1 cociente(7, 4) = contestar (1 + cociente(7-4, 4)) cociente(3, 4) = contestar (0) cociente(15,4) = Retorna 3

22 cociente(a,b) No recursivo Recursivo

23 Ejemplo IV: Búsqueda Secuencial Dado un vector v de n números, realizar la búsqueda de un elemento t. Buscar un elemento que esté en el vector: Ejemplo: si v=[12,25,7,19,23], n = 5, t =7 la salida será Verdadero v t = 7 i=1 t = v[i]? => 7 = v[1]= 12 => NO Incrementar i v i=2 t = v[i]? => 7 = v[2]= 25 => NO Incrementar i v i=3 t = v[i]? 7 = v[3]= 7 => SI Verdadero

24 Ejemplo IV: Búsqueda Secuencial Buscar un elemento que NO esté en el vector: Ejemplo: si v=[12,25,7,19,23], n = 5, t =1 la salida será Falso v v v v v i= i= i= i= i=5 t = v[i]? => 1 = v[1]= 12 => NO, Incrementar i t = v[i]? => 1 = v[2]= 25 => NO, Incrementar i t = v[i]? 1 = v[3]= 7 => No, Incrementar i t = v[i]? 1 = v[4]=19 => No, Incrementar i t = v[i]? 1 = v[5]=23 => No, Incrementar i i = 6 > n => Falso

25 Ejemplo IV: Búsqueda Secuencial Expresar el problema mediante un modelo, para ello debemos Identificar: 1. NO Encontrado i > n Caso base: 2. Encontrado v[i] = t Caso general o recursivo: Si (i n) y t v[i] entonces buscar(v, i+1, n) Obtener un algoritmo: - Versión recursiva buscar(v, n, t) = Si (n=0) luego contestar( V Vacío ) Sino buscar1(v, 1, n, t) Caso Base donde Caso buscar1(v, i, n, t) = General Si (i n) luego Si (v[i] = t) luego contestar (Verdadero) Sino buscar1(v, i+1, n, t) Sino contestar(falso) 25

26 Ejemplo IV: Búsqueda Secuencial Diseñar casos de prueba: Caso1: t = 7 (Verdadero), Caso 2: t =1 (Falso) Realizar la traza de ejecución: Caso 1 ( t = 7) buscar(v, n, t) = Si (n=0) luego contestar( V Vacío ) Sino buscar1(v, 1, n, t) donde buscar1(v, i, n, t) = Si (i n) luego Si (v[i] = t) luego contestar (Verdadero) Sino buscar1(v, i+1, n, t) Sino contestar(falso) buscar([12, 25, 7, 19, 23], 5, 7) = buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 1, 5, 7) buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 1, 5, 7) // i= 1; i 5; 12 7 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 2, 5, 7) // i= 2; i 5; 25 7 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 3, 5, 7) = // i= 3; i 5; 7 = 7 => Verdadero 26

27 Ejemplo IV: Búsqueda Secuencial Realizar la traza de ejecución: Caso 2 ( t = 1) buscar(v, n, t) = Si (n=0) luego contestar( V Vacío ) Sino buscar1(v, 1, n, t) donde buscar1(v, i, n, t) = Si (i n) luego Si (v[i] = t) luego contestar (Verdadero) Sino buscar1(v, i+1, n, t) Sino contestar(falso) Tarea: Codificar en C buscar([12, 25, 7, 19, 23], 5, 1) = buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 1, 5, 1) buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 1, 5, 1) = // i= 1; i 5; 12 1 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 2, 5, 1)= // i= 2; i 5; 25 1 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 3, 5, 1) = // i= 3; i 5; 7 1 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 4, 5, 1) = // i= 4; i 5; 19 1 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 5, 5, 1) = // i= 5; i 5; 23 1 => buscar1([12, 25, 7, 19, 23], 6, 5, 1) = // i= 6; i > n => Falso 27

28 Ejemplo V: Contar la cantidad de mayúsculas de una frase. Caso base Caso gral. Caso gral.

29 Ejemplo VI: Encontrar el mayor elemento de un vector. Caso base Caso gral. Caso gral.

30 Iteración vs. Recursión Característica ITERACION RECURSION Repetición Prueba de terminación La consigue mediante el uso de estructuras repetitivas. Cuando la condición de continuación del ciclo es falsa. La consigue mediante invocaciones sucesivas al mismo modulo. Cuando se llega al caso base.

31 Criterios: Cuándo usar recursión? Cuando el dato está definido recursivamente: Ejemplo: las listas o vectores, árboles. Cuando el algoritmo sea repetitivo y trata valores cada vez más pequeños: Ejemplo: invertir un entero, cantidad de dígitos de un número. Cuando obtener una solución iterativa sea mucho más complicado que una solución recursiva. Ejemplo: búsqueda secuencial 31

32 Criterios: Cuándo No usar recursión? Cuando el lenguaje de programación no lo permita: Ejemplo: Fortran, Cobol Cuando la solución iterativa sea clara a simple vista. Cuando el tamaño de los argumentos sea muy grande. 32

33 Recursividad: Características VENTAJAS DESVENTAJAS * Soluciones simples * Mayor costo de tiempo de CPU * Soluciones claras * Mayor espacio de memoria * Soluciones elegantes * Puede producir desborde