OEC - Optimización Entera y Combinatoria

Transcripción

1 Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: FME - Facultad de Matemáticas y Estadística EIO - Departamento de Estadística e Investigación Operativa MÁSTER UNIVERSITARIO EN ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA (Plan 2013). (Unidad docente Optativa) 5 Idiomas docencia: Castellano Profesorado Responsable: Otros: ELENA FERNÁNDEZ AREIZAGA Primer quadrimestre: ELENA FERNÁNDEZ AREIZAGA - A JESSICA RODRÍGUEZ PEREIRA - A Horario de atención Horario: Cita previa. Capacidades previas El nivel de la asignatura, así como su contenido, se ajustan en gran medida al texto: Laurence Wolsey. Integer Programming. Wiley-Interscience series in discrete mathematics. John Wiley and Sons. New York ISBN: Requisitos Para seguir de manera adecuada esta asignatura y obtener el máximo rendimiento es necesario tener conocimientos básicos previous de las siguientes disciplinas: > Investigación Operativa: Técnicas de modelación y modelos básicos de Investigación Operativa. Programación Lineal. > Algebra lineal: Conceptos básicos sobre matrices y bases en espacios vectoriales. > Computación: Técnicas básicas de programación. Competencias de la titulación a las cuales contribuye la asignatura Específicas: 3. CE-2. Capacidad para dominar la terminologia propia de algún ámbito en el que sea necesaria la aplicación de modelos y métodos estadísticos o de investigación operativa para resolver problemas reales. 4. CE-3. Capacidad para formular, analizar y validar modelos aplicables a problemas de índole práctica. Capacidad de seleccionar el método y/o técnica estadística o de investigación operativa más adecuado para aplicar dicho modelo a cada situación o problema concreto. 5. CE-5. Capacidad para formular y resolver problemas reales de toma de decisiones en los diferentes ámbitos de aplicación sabiendo elegir el método estadístico y el algoritmo de optimización más adecuado en cada ocasión. 6. CE-6. Capacidad para utilizar el software más adecuado para realizar los cálculos necesarios en la resolución de un problema. Transversales: 1. TRABAJO EN EQUIPO: Ser capaz de trabajar como miembro de un equipo interdisciplinar, ya sea como un miembro más o realizando tareas de dirección, con la finalidad de contribuir a desarrollar proyectos con pragmatismo y sentido de la responsabilidad, asumiendo compromisos teniendo en cuenta los recursos disponibles. 1 / 7

2 2. USO SOLVENTE DE LOS RECURSOS DE INFORMACIÓN: Gestionar la adquisición, la estructuración, el análisis y la visualización de datos e información en el ámbito de especialidad, y valorar de forma crítica los resultados de dicha gestión. Metodologías docentes Teoría: Sesiones en las que se presentan y discuten los contenidos de la asignatura. En algunos de los temas se utilizarán transparencias. En otros temas se harán clases tradicionales en la pizarra. Se utilizará la intranet docente para hacer público material docente relacionado con la asignatura: apuntes de algunos de los temas, enunciados de problemas y exámenes resueltos. Problemas: Sesiones en las que se plantean y se resuelven problemas numéricos relacionados con los temas vistos en clase de teoría. Se da cierto tiempo para que el estudiante intente resolver los problemas y posteriormente los problemas se resuelven y se discuten. Prácticas: Hay una práctica que se realiza individualmente. Para introducir a estudiante a la práctica se harán un parde sesiones en el aula de PCs. La práctica trata sobre la implementación de algunos métodos estudiados, aplicados al problema del viajante de comercio, y el estudio computacional de su comportamiento. El estudiante habrá de programar algunas partes de la práctica, aunque en otras se utilizará un paquete estándard de software. Objetivos de aprendizaje de la asignatura En este curso se estudian modelos y técnicas de Programación Entera. Se presta atención a las aplicaciones potenciales de los modelos y su relación con la optimización combinatoria. Las principales técnicas estudiadas son los métodos enumerativos (branch-and-bound), los relacionados con planos secantes y la relajación lagrangiana. Se introducen también conceptos básicos para la descripción de poliedros. Se presenta también la aplicación de las técnicas estudiadas a algunos modelos clásicos en optimización combinatoria, como el problema del viajante de comercio o el problema de la mochila. Los objetivos de aprendizaje de la asignatura son: - Dar un complemento de formación básica en investigación operativa, en particular en el ámbito de la Programación Entera. Familiarizar al estudiante en métodos que permiten resolver algunas aplicaciones prácticas de problemas de programación entera y optimización combinatoria. - Conocer les posibles alternativas de modelización para los diferentes problemas de optimización discreta, así como sus posibles aplicaciones. - Conocer la metodología básica de la programación entera y, en particular los métodos enumerativos y los de planos de corte, así como las posibles combinaciones de los anteriores. - Conocer los resultados de la teoria de la dualidad y sus implicaciones en el caso de la programación discreta. Explorar las propiedades de la dualidad y las características inherentes a la estructura del modelo matemático para la resolución de problemas discretos. Conocer las propiedades del dual lagrangiano en el caso de la programación discreta. - Conocer algunos métodos heurísticos básicos para algunos problemas concretos de optimización combinatoria. Capacidades a adquirir: -Ser capaz de formular un modelo adecuado y de diseñar e implementar un prototipo de un método para la resolución de un problema concreto de optimización combinatoria. 2 / 7

3 -Ser capaz de resolver un problema de programación entera mediante un algoritmo enumerativo. - Ser capaz de identificar desigualdades válidas para problemas típicos de programación entera como, por ejemplo, el problema de la mochila y el problema del viajante de comercio. -Ser capaz de formular una relajación lagrangiana para un problema de optimización discreta. Poder determinar la existencia o no de gap de dualidad para un problema concreto de optimización. Saber aplicar la técnica de optimización subgradiente para la resolución del dual lagrangiano. Horas totales de dedicación del estudiantado Dedicación total: 125h Horas grupo grande: 30h 24.00% Horas grupo mediano: 0h 0.00% Horas grupo pequeño: 15h 12.00% Horas actividades dirigidas: 0h 0.00% Horas aprendizaje autónomo: 80h 64.00% 3 / 7

4 Contenidos Problemas de Optimización Combinatoria. Dedicación: 2h Grupo grande/teoría: 2h Definición y características de los problemas de optimización combinatoria. Ejemplos de problemas de optimización combinatoria. Los problemas de optimización combinatoria como problemas de programación lineal entera. Algunas familias importantes de modelos de problemas combinatorios: Problema de la mochila, problema del viajante de comercio (TSP), problemas discretos de localización de plantas, problemas de acoplamiento (matching), problemas de subcobertura (packing), cobertura (covering) y partición (partitioning). Características de los modelos de programación entera. Dedicación: 9h Grupo grande/teoría: 2h Aprendizaje autónomo: 5h La envolvente convexa del conjunto de soluciones posibles. Los problemas de programación entera como problemas de programación lineal. Caracterización de poliedros: puntos y rayos extremos. Caras y facetas de un poliedro convexo. Métodos de eliminación de variables para problemas de programación entera. Métodos de refuerzo de restricciones y métodos de reformulación automática. Breve repaso del Simplex en forma matricial Dedicación: 7h Grupo grande/teoría: 1h Grupo pequeño/laboratorio: 1h Aprendizaje autónomo: 5h Breve repaso del Simplex en forma matricial Métodos de planos de corte. Desigualdades válidas y planos de corte. Los cortes de Gomory. Procedimiento de generación de desigualdades de Chvàtal-Gomory. Relación entre el problema de optimización y el problema de separación. Procedimientos de identificación de restricciones. 4 / 7

5 Métodos enumerativos. Relajación, ramificación y acotación. Algoritmo básico de branch and bound. Aspectos computacionales de los algoritmos de branch and bound. Criterios de selección de variable de ramificación. Criterios de selección de subproblema candidato. Penalizaciones. Relajación lagrangiana en programación entera. Grupo mediano/prácticas: 2h Dualidad en programación discreta. El dual lagrangiano: equivalencia entre dualización y convexificación. Relajación lagrangiana y dualidad. Introducción a la optimización no diferenciable: optimización subgradiente. Ejemplos de relajaciones lagrangianas para problemas tipo: problema de la mochila, problemas de localización, problema del viajante de comercio. El problema de la mochila. Grupo mediano/prácticas: 2h Propiedades básicas del problema de la mochila. Desigualdades válides y facetas para el problema de la mochila: Desigualdades tipo cover, desigualdades canónicas. El problema de separación para las desigualdades de recubrimiento. Procedimientos de desproyección (lifting). Presentación de la pràctica Dedicación: 2h Presentación de la pràctica Objetivos específicos: Presentación de la práctica 5 / 7

6 El problema del viajante de comercio. Propiedades básicas y alternativas de modelación para el problema del viajante de comercio. Desigualdades válidas: Desigualdades de ruptura de subcircuito, desigualdades de 2-matching, desiguadades peine. El problema de separación para les desigualdades de ruptura de subcircuito. Heurísticas para la obtención de soluciones factibles. Realización de la pràctica Dedicación: 30h Aprendizaje autónomo: 30h Realización de la pràctica Sistema de calificación Evaluación continuada: Teoría: habrá un examen parcial (que libera materia para el examen final a partir de 5) y un examen final. Práctica: realización de una práctica individual. Realización optativa de una colección de ejercicios personalizados. Se valorará la participación activa en clase. Para aprobar la asignatura mediante la evaluación continuada es necesario obtener un mínimo de 4 tanto en la nota del examen como en la de la práctica. La nota final se obtiene de la ponderación: 0.4 (nota examen) (nota de práctica) (ejercicios personalizados) (participación en clase) Evaluación única: Habrá un examen de todo el temario y también una práctica. La nota de la evaluación única será: 0.7 (nota de teoría) + 0.3(nota de práctica) Para la evaluación única, se guardará la nota de la práctica de la evaluación continuada si ésta no es inferior a un 7. En otro caso el estudiante habrá de realizar una práctica diferente. 6 / 7

7 Bibliografía Básica: Wolsey, L. A. Integer programming. New York: John Wiley & Sons, ISBN Nemhauser, G.L.; Wolsey, L.A. Integer and combinatorial optimization. New York: John Wiley and Sons, ISBN X. Cook, W. [et al.]. Combinatorial optimization. New York: Wiley, ISBN X. Complementaria: Padberg, M. Linear optimization and extensions. 2nd, revised and expanded ed. New York: Springer-Verlag, ISBN Otros recursos: Material informático CPLEX Software para la resolución de problemas de programación entera 7 / 7