Diseño Óptimo de un Intercambiador de Calor de Tubos Concéntricos. Eduardo Vázquez Valdez. Dr. Juan Manuel Zamora Mata

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1 Diseño Óptimo de un Intercambiador de Calor de Tubos Concéntricos Reporte de Investigación de Proyecto Terminal I y II Licenciatura en Ingeniería en Energía Presentado por: Eduardo Vázquez Valdez Bajo la Asesoría de: Dr. Juan Manuel Zamora Mata Dra. Elizabeth M. Salinas Barrios Síntesis y Optimización de Procesos Área de Ingeniería en Recursos Energéticos Departamento de Ingeniería de Procesos e Hidráulica México D.F., Abril de 01

2 CONTENIDO Resumen 6 CAPÍTULO 1 INTERCAMBIADORES DE CALOR Introducción Tipos de intercambiadores de calor Intercambiadores de calor de tubos concéntricos Intercambiadores de calor de coraza y tubos Intercambiadores de calor de flujos cruzados Intercambiadores de calor de superficie o recuperadores Intercambiadores de calor de contacto directo Intercambiadores de calor de mezcla Aplicaciones de los intercambiadores de calor Ejemplos de intercambiadores de calor Precalentador Radiador Ensuciamiento de un intercambiador de calor Ensuciamiento químico Ensuciamiento biológico Ensuciamiento por depósito Ensuciamiento por corrosión 17 CAPÍTULO ANÁLISIS DIMENSIONAL PARA TRANSFERENCIA DE CALOR Introducción 19.1 Análisis dimensional de la ecuación de continuidad y de convección forzada Ecuación de continuidad Análisis dimensional de la ecuación de convección forzada

3 . Teorema π de Vaschy Buckingham 5..1 Correlación del número de Nusselt a partir del teorema π en convección forzada 6.3 Grupos adimensionales utilizados en transferencia de calor 30.4 Experimentación y correlación Aparato experimental 36.5 Evaluación de una correlación forzada a partir de los experimentos de Morris y Whitman Método algebraico para correlación de Nusselt Método gráfico de la correlación de número de Nusselt 4.6 Correlaciones para el número de Nusselt 46.7 Factor de fricción en tuberías Diagrama de Moody 49 CAPÍTULO 3 DISEÑO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS Introducción Planteamiento del problema Objetivo Caso de estudio Asimilación de información Propiedades de los fluidos Propuesta de tubos Metodología de cálculo Cálculo del flujo másico y del calor requerido o disponible Cálculo de coeficiente de película Cálculo del coeficiente global de transferencia de calor Diseño del intercambiador de calor Factor de ensuciamiento actual Caída de presión en el tubo interno Cálculo de caídas de presión en el espacio anular 70 3

4 3.4 Tabla de resultados 73 CAPÍTULO 4 DISEÑO ÓPTIMO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS Introducción Formulación del problema Objetivo Caso de estudio Suposiciones Asimilación de información Construcción de un modelo matemático de optimización Nomenclatura Modelo matemático Comentarios sobre el modelo matemático de optimización Función objetivo Ecuaciones Grados de libertad Comentarios de ecuaciones Cotas del problema Resultados Gráfica de región factible 98 CAPÍTULO 5 AJUSTE AL DISEÑO ÓPTIMO DEL INTERCAMBIADOR DE CALOR Introducción Ajuste con base a tablas de tubería comercial Metodología de ajuste del intercambiador de calor Análisis del diseño del intercambiador de calor obtenido con la optimización Planteamiento de casos en el ajuste de tubos Ajuste al número de horquillas del intercambiador de calor 105 4

5 5.3.1 Cálculos debidos a corrección de horquillas Secuencia de cálculo por corrección de horquillas Diseño final de un intercambiador de calor de tubos concéntricos Mejor diseño de un intercambiador de calor para el caso de estudio Comparación con el modelo propuesto por Kern Tabla comparativa de resultados 111 CONCLUSIONES 104 REFERENCIAS 115 APÉNDICE A 116 A.1 Solución al sistema algebraico A. Solución uno al sistema algebraico no cerrado A.3 Solución dos al sistema algebraico no cerrado

6 Resumen Este proyecto, Diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos, es un trabajo que se desarrolló durante mí estancia en la universidad Autónoma metropolitana, unidad Iztapalapa, en los últimos dos trimestres de la carrera de Ingeniería en Energía. Trata principalmente sobre el estudio del análisis dimensional y sobre la obtención del mejor diseño de un intercambiador de calor de doble tubo a contra corriente, usando tubería comercial, para un problema dado. Dentro del documento se podrá identificar con claridad una breve recopilación de intercambiadores de calor así como algunas de sus aplicaciones en la industria. Con respecto al análisis dimensional, se ejemplifica su utilidad aplicándolo para obtener la ecuación de continuidad y de convección forzada. Igualmente se describe el teorema Π ( pi ) de Buckingham y su aplicación para conseguir distintos grupos adimensionales, que se relacionen con el coeficiente de película. Finalmente, una vez que se ha entendido la forma en que se obtiene una correlación, se utiliza la metodología propuesta por Kern para la construcción de un intercambiador de calor de tubos concéntricos, sujeto a restricciones de máxima caídas de presión dentro del intercambiador de calor. La metodología que se utiliza, es en primera parte, obtener un diseño de forma heurística, es decir, elegir los tubos que conformarán el intercambiador de calor y con base a esto hacer los cálculos correspondientes para observar que sucede con las caídas de presión. Para obtener un diseño óptimo del mismo intercambiador de calor, lo que se hace es un modelo matemático de optimización continuo, es decir, las variables que corresponden a las dimensiones de los tubos son tratadas como variables continúas y con el programa de optimización GAMS resolver este modelo y así llegar a un diseño óptimo. Después se hace una corrección en el número de horquillas y finalmente se ajusta el intercambiador de calor con la ayuda de una tabla de tubos comerciales, obteniendo así un diseño óptimo de un intercambiador de calor de tubos concéntricos con tubos comerciales. 6

7 CAPÍTULO 1 INTERCAMBIADORES DE CALOR INTRODUCCIÓN Un intercambiador de calor (IC) es un dispositivo diseñado para realizar la transferencia de calor de un fluido a otro fluido; en la mayoría de los casos la transferencia de calor se realiza por medio de una pared. En esta sección se describen los tipos de intercambiadores de calor, sus aplicaciones y las razones por las cuales se ensucian. 1.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR (HOLMAN, 1999; INCROPERA Y COL., 1999) Los tipos de intercambiadores de calor pueden clasificarse según diferentes criterios, tales como el arreglo del flujo y el tipo de construcción. Una primera clasificación podría ser la siguiente INTERCAMBIADORES DE CALOR DE TUBOS CONCÉNTRICOS Un IC de tubos concéntricos, mostrado en la Fig. 1.1, es un dispositivo en el cual un fluido con temperatura T 1 a la entrada fluye por el tubo interior y otro fluido a temperatura T fluye en la región anular de los tubos. Ambos fluidos están separados por la superficie sólida del tubo interior a través de la cual se realiza el intercambio de calor. 7

8 a) T F b) T F TH1 Fluido Caliente T H T H T H1 Fluido Caliente T F1 Fluido Frío T F1 Fluido Frío Figura 1.1. Intercambiadores de calor de tubos concéntricos. a) IC a co-corriente. b) IC a contracorriente. Este tipo de intercambiadores se clasifica como: 1. Intercambiador a co-corriente: dispositivo en el que las corrientes que van dentro del intercambiador de calor, es decir, el fluido caliente y el fluido frío tienen la misma dirección, como se observa en la Fig. 1.a.. Intercambiador a contraflujo: dispositivo en el que la corriente del fluido caliente y la corriente del fluido frío llevan direcciones contrarias, como se observa en la Fig. 1.b. El IC a contraflujo es más eficiente que el IC a co-corriente por una sencilla razón, el equipo a contracorriente permite una mayor recuperación de calor. Para poder explicar esto es necesario el análisis de las siguientes figuras, obtenidas de experimentos (Kern y Col., 1999), T Fluido Caliente T Fluido Caliente Fluido Frío Fluido Frío Fluido Caliente Fluido Frío L Fluido Caliente L a) b) Fluido Frío Figura 1.. Distribución de temperatura en intercambiadores de calor de tubos concéntricos. a) IC a co-corriente. b) IC a contracorriente. 8

9 La figura que se muestra en el esquema anterior, es el resultado de haber graficado la temperatura de cada corriente en función de la longitud de intercambio de calor. Si analizamos únicamente la corriente fría, podemos observar que en un arreglo en contracorriente, el fluido frío alcanza una mayor temperatura que en el caso de un arreglo a co-corriente, en donde a la salida del intercambiador de calor se tiene una menor temperatura. Esto da lugar a una mayor recuperación de calor en el intercambiador de calor a contracorriente INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CORAZA Y TUBOS Consiste en una serie de tubos lineales colocados dentro de un tubo muy grande llamado coraza y representan la alternativa a la necesidad de una gran transferencia en un IC pequeño, tal y como se muestra en la Fig Las formas específicas difieren con el número de pasos de tubos y coraza. Normalmente se instalan bafles para aumentar el coeficiente de convección del fluido del lado de la coraza al producir turbulencia y una componente de la velocidad de flujo cruzado. En la Fig. 1.4 se muestra un intercambiador de calor con deflectores con un paso por la coraza y con dos por los tubos, mientras que en la Fig. 1.5 se muestra el mismo intercambiador de calor, pero ahora con dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos. ma mb mb ma Figura 1.3. IC de coraza y tubos. 9

10 Entrada de la coraza Salida de los tubos Salida de la coraza Entrada de los tubos Figura 1.4. IC un paso por la coraza y dos por los tubos. Entrada de la coraza Salida de los tubos Entrada de los tubos Salida de la coraza Figura 1.5. IC con dos pasos por la coraza y cuatro pasos por los tubos INTERCAMBIADORES DE CALOR DE FLUJOS CRUZADOS En ellos las corrientes de fluido forman un cierto ángulo entre sí, como se muestra en la Fig. 1.6 y pueden estar construidos de placas de distintas formas y arreglos. En este arreglo los fluidos se mueven de forma perpendicular entre sí, como se muestra en los intercambiadores de calor de tubos con aletas y sin aletas de la Fig Las dos configuraciones difieren según el fluido que se mueve sobre los tubos de este mezclado o no mezclado. En la Fig. 1.7a, se dice que el fluido no está mezclado, porque las aletas impiden el movimiento en una dirección, que es transversal a la dirección del segundo flujo, en este caso la temperatura del fluido varía con la dirección. Por el contrario para el conjunto de tubos sin aletas de la Fig. 1.7b, es posible el movimiento del fluido en la dirección transversal que en consecuencia es mezclado, y las variaciones de temperatura se producen, en principio en la dirección de flujo principal. 10

11 mb m A m B m A Figura 1.6. Intercambiador de calor de flujos cruzados. Flujo cruzado Flujo cruzado Flujo del tubo a) b) Flujo del tubo Figura 1.7. Intercambiadores de calor de flujo cruzado. a) Sin mezclado. b) Con mezclado INTERCAMBIADORES DE CALOR DE SUPERFICIE O RECUPERADORES En ellos la transmisión de calor tiene lugar a través de una superficie no habiendo mezcla de fluidos. Estos intercambiadores pueden clasificarse en función de que existan o no cambios de fase. En caso de que exista cambio de fase, pueden ser evaporadores o condensadores INTERCAMBIADORES DE CALOR DE CONTACTO DIRECTO En ellos las corrientes entran en contacto una con otra íntimamente, cediendo la más caliente directamente calor a la más fría. Generalmente se utilizan cuando las dos corrientes en contacto son inmiscibles y no reaccionan entre sí, por tanto no pueden utilizarse en sistemas gas-gas; pueden ser de una o varias etapas y con flujo en contracorriente o cruzado. Un caso de importante aplicación es el intercambiador gassólido de lecho fluido de la Fig. 1.8, en el que las partículas del sólido permanecen 11

12 suspendidas en la corriente de gas al equilibrarse las fuerzas aerodinámicas ejercidas por ésta con el peso de las partículas. Debido a la amplia superficie de contacto gassólido y a la rápida circulación de los sólidos en el lecho, suele ocurrir que la temperatura de salida del gas y del sólido sean iguales, y que la de éste sea uniforme en todo el lecho. Ello limita la eficacia de los de una etapa, por lo que se recurre a los multietapa para mejorar la eficacia. Otro caso es el intercambiador gas-sólido de lecho móvil, en donde las partículas de sólido cruzan la corriente de gas en cintas transportadoras o parrillas móviles, tal y como se muestra en la Fig Hay también intercambiadores de líquidos inmiscibles, o en donde uno de ellos se encuentra en ebullición. T sólido T gas Figura 1.8. Intercambiador de calor de contacto directo gas sólido, de lecho fluido, de tres etapas y en contracorriente. Figura 1.9. Intercambiador sólido-gas, de lecho móvil, con cintas transportadoras. 1

13 1.1.6 INTERCAMBIADORES DE CALOR DE MEZCLA En ellos el intercambio térmico va acompañado de intercambio másico. El tratamiento adecuado para este tipo de intercambiadores requiere la utilización de métodos que consideren simultáneamente transferencia de calor y de masa. 1. APLICACIONES DE LOS INTERCAMBIADORES DE CALOR (O. A. JARAMILLO, 007) Los intercambiadores de calor se encuentran en muchos sistemas químicos o mecánicos. Algunas de las aplicaciones más comunes se encuentran en calentamiento, ventilación, sistemas de acondicionamiento de espacios, radiadores en máquinas de combustión interna, calderas, condensadores, y precalentadores o enfriamiento de fluidos. Un ejemplo de este tipo de intercambiadores de calor se muestra en la Fig Vapor Agua Agua caliente Figura Precalentador de mezcla de las turbinas de vapor. A continuación se dan algunos ejemplos de las aplicaciones de los intercambiadores de calor, usados en algunos sectores de la industria. 13

14 Energía: auxiliar de refrigeración del circuito de aislamiento, aplicaciones de cogeneración, aplicaciones geotérmicas, refrigeración de aceite de lubricación, refrigeración del motor diesel, recuperación de calor. Refinería: enfriamiento de salmuera, intercambiador de agua, tratamiento de petróleo crudo, intercambiador de petróleo crudo sin tratamiento, productos de calefacción, refrigeración e intercambio de calor, chaqueta de agua de refrigeración Industria marítima: los intercambiadores a placas (ICP) son utilizados como enfriadores de aceite, enfriadores de agua de refrigeración de los motores, generadores de agua potable. El material de las placas de estos intercambiadores es el Titanio, de menor peso que el acero inoxidable y resistente a la corrosión del agua salina. En los generadores de agua potable también se utilizan ICP, que a diferencia de los intercambiadores de tubos, ocupan mucho menor espacio y son muy eficientes. Esto es particularmente importante en los navíos, dado que el espacio y el peso son dos factores cruciales en su construcción. Alimentación y bebidas Lechería: pasteurización de la leche, recepción de la leche, tratamiento de la leche cultivada, leche UHT, crema de pasteurización, tratamiento de la mezcla de helado, tratamiento térmico de la leche del queso. Elaboración de la cerveza: ebullición de mosto, refrigeración del mosto, refrigeración de la cerveza, pasteurización de la cerveza. Bebidas: pasteurización de la miel y el producto final, calentamiento de agua y el azúcar, disolución del producto final. Procesamiento de frutas: pasteurización de jugos, néctares y concentrados, enfriamiento del producto final. Azúcar: calefacción del agua, del jugo, del jarabe y de la melaza. Desmineralización y evaporación del jugo. Farmacéutico: calefacción y refrigeración de productos, sistemas de enfriamiento, sistemas de agua caliente, condensadores e intercambiadores. Minería: calentadores y enfriadores del revestimiento, calentadores y enfriadores de análisis, enfriadores de aceite de enfriamiento, el ácido 14

15 sulfúrico, ácido clorhídrico, peróxido de hidrógeno, dióxido de titanio, cloruro alcalino, carbonato de sodio. Pulpa y papel: refrigeradores de purga de licor, contenedores con sosa caustica, calefacción, licor negro, purga de calderas de recuperación de calor. Aplicaciones textiles: recuperación de calor, calefacción de la solución cáustica y refrigeración arandelas. 1.3 EJEMPLOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR (O. A. JARAMILLO, 007) PRECALENTADOR En sistemas de vapor de gran escala, o en sistemas donde se requieren grandes temperaturas, el fluido de entrada es comúnmente precalentado en etapas, en lugar de tratar de calentar dicho fluido en una sola etapa desde el ambiente hasta la temperatura final. El precalentamiento en etapas incrementa la eficiencia de la planta y minimiza el choque térmico de los componentes, que es el caso de inyectar fluido a temperatura ambiente en una caldera u otro dispositivo operando a alta temperatura. En el caso de sistemas de generación de vapor, una porción del vapor generado es sustraído y utilizado como fuente de calor para recalentar el agua de alimentación en etapas. Al entrar el vapor al intercambiador de calor y fluir alrededor de los tubos, éste transfiere su energía térmica y se condensa, el vapor entra por la parte superior de la coraza del intercambiador de calor, donde transfiere no solamente el calor sensible (cambio de temperatura) sino también transfiere su calor latente de la vaporización (condensación del vapor en agua). El vapor condensado entonces sale como líquido en el fondo del intercambiador de calor. El agua de alimentación entra al intercambiador de calor en el extremo inferior derecho y fluye por los tubos, después de hacer una vuelta de 180, entonces el agua de alimentación parcialmente calentada está sujeta a la entrada de vapor más caliente que entra a la coraza. El agua de alimentación es calentada a mayor temperatura por el vapor caliente y después sale del intercambiador de calor. En este tipo de intercambiador de calor, el nivel fluido del lado de la coraza es muy importante en la determinación de la eficacia del intercambiador de calor. 15

16 Figura Intercambiador de calor de tubos en "U" (O. A. Jaramillo, 007) 1.3. RADIADOR Algunas plantas dependen de intercambiadores de calor aire-líquido; el ejemplo más familiar es un radiador de automóvil. El líquido refrigerante fluye por el motor y toma el calor expelido y lo lleva hasta el radiador. El líquido refrigerante fluye entonces por tubos que utilizan aire fresco del ambiente para reducir la temperatura del líquido refrigerante. Ya que el aire es un mal conductor del calor, el área de contacto térmico entre el metal del radiador y el aire se debe maximizar, lo cual se logra INCORPORANDO ALETAS EN EL EXTERIOR DE LOS TUBOS. LAS ALETAS MEJORAN LA EFICACIA DE UN intercambiador de calor y se encuentran comúnmente en la mayoría de los intercambiadores de calor del aire-líquido y en algunos intercambiadores de calor líquido-líquido de alta eficacia ENSUCIAMIENTO DE UN INTERCAMBIADOR DE CALOR (JAUME POUS, 004). En la mayoría de los casos, un intercambiador de calor disminuye la transferencia de calor debido a la acumulación de una capa de suciedad o cualquier otra sustancia en uno o los dos lados de las superficies del tubo. Estas capas aumentan por efecto del 16

17 uso; sin embargo, a veces es preferible mantenerlas que parar el equipo para limpieza del intercambiador ENSUCIAMIENTO QUÍMICO Es en el que cambios químicos en el fluido causan que se deposite una capa de ensuciamiento sobre la superficie (interna o externa) de los tubos. Un ejemplo común de este fenómeno es la expansión en una caldera causados por el depósito de sales de calcio en los elementos de calentamiento conforme la solubilidad de las sales disminuye al aumentar la temperatura. Este tipo está fuera del control del diseñador de intercambiadores de calor pero puede ser minimizado controlando cuidadosamente la temperatura del tubo en contacto con el fluido. Cuando se presenta este tipo de ensuciamiento normalmente es eliminado mediante tratamiento químico o procesos mecánicos (cepillos de acero, taladros o incluso pistolas de agua a alta presión en algunos casos) ENSUCIAMIENTO BIOLÓGICO Causado por el crecimiento de organismos en el fluido que se depositan en la superficie. Este tipo también está fuera del control del diseñador del intercambiador pero puede verse influido por la elección de los materiales ya que algunos, notablemente los latones no ferrosos, son venenosos para algunos organismos. Cuando se presenta este tipo de ensuciamiento normalmente es eliminado mediante tratamiento químico o procesos mecánicos abrasivos ENSUCIAMIENTO POR DEPÓSITO En el que las partículas en el fluido se acumulan en la superficie cuando la velocidad cae por debajo de cierto nivel crítico. Esto está en gran medida bajo el control del diseñador ya que la velocidad crítica de cualquier combinación fluidopartícula puede ser calculada para permitir un diseño en el que la velocidad mínima sea siempre mayor que la crítica. Montar el intercambiador de calor verticalmente también puede minimizar los efectos ya que la gravedad tiende a llevar las partículas fuera del intercambiador fuera de la superficie de intercambio térmico. Cuando se presenta este tipo de ensuciamiento normalmente es eliminado mediante procesos de cepillado mecánico. 17

18 1.4.4 ENSUCIAMIENTO POR CORROSIÓN En el que una capa de corrosión se acumula en la superficie del tubo, formando una capa extra, normalmente de material con un alto nivel de resistencia térmica. Mediante la elección adecuada de los materiales de construcción los efectos pueden ser minimizados ya que existe a disposición del fabricante de intercambiadores un amplio rango de materiales resistentes a la corrosión basados en acero inoxidable. 18

19 CAPÍTULO ANÁLISIS DIMENSIONAL PARA TRANSFERENCIA DE CALOR INTRODUCCIÓN El análisis dimensional consiste en la correlación de variables derivadas a variables fundamentales en una sola ecuación, además de que es usado para comprobar la veracidad dimensional de una expresión física, pero no es suficiente para establecer una ley física. El Teorema Π ( pi ) de Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional y a partir de él se obtienen los diferentes grupos adimensionales de gran utilidad en procesos de transferencia de calor. En este capítulo se aplica el análisis dimensional para deducir la ecuación de continuidad y la ecuación de convección forzada. Es conocido que una correlación establece un modelo obtenido de resultados experimentales y de leyes físicas, en este capítulo se deducen correlaciones del coeficiente de película, h, con grupos adimensionales..1 ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Y DE CONVECCIÓN FORZADA (KERN D. Q., 1999).1.1 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Consideremos un fluido de densidad a una temperatura T que fluye con velocidad u a través de un tubo de diámetro constante D y longitud L, como se muestra en la Fig..1, para deducir la ecuación de continuidad con un flujo másico m estacionario, a partir del análisis dimensional. 19

20 ,, ut D,, ut L Figura.1. Flujo en una tubería Para un problema físico, en el cual el parámetro dependiente se puede expresar matemáticamente como Φ Φ m, u, A,, T 0, en principio puede evaluarse en términos de una serie de potencias que contengan todas las variables y encontrar una correlación entre ellas, esto es: a b c d e a b c d e Φ m u A T m u A T 0 (.1) donde los factores y ' son constantes adimensionales de proporcionalidad, A denota el área transversal del tubo. En la expresión anterior se tienen dimensiones idénticas para cada uno de los términos, por lo que solo es necesario considerar el primer término de la serie. En base a lo anterior, la Ec..1 se simplifica de la siguiente manera, m a b c d e u A T 1 (.) en donde indica que es una función de las variables indicadas y está igualada a uno por tratarse de una ecuación adimensional. Cabe destacar que la elección de parámetros que intervienen en el problema es meramente intuitivo y mediante el uso de la observación, ya que en un principio no se tiene la certeza de los parámetros que en realidad intervienen en el problema, es decir, no importa si se eligen parámetros que no alteren el problema de estudio, pues éstos se descartarán al aplicar el análisis dimensional. Se quiere que la variable dependiente m tenga como exponente a la unidad y es por ese motivo que se selecciona al exponente a 1 y así evitar que en la expresión final se obtenga un valor fraccionario para este exponente, b c d e m u A T (.3) 0

21 La Ec..3 se puede escribir dimensionalmente de la siguiente manera: b M L c M L 3 t t L d T e Aplicando leyes de los exponentes a la expresión anterior, b M L c M L t b t L d 3d T e A continuación se aplican las leyes de los exponentes, para que de esta forma se agrupen las dimensiones, M t d b b c 3d M t L T e De la expresión anterior sale un sistema de ecuaciones, que nos permitirá conocer los valores de las variables b, c, d y e. M : 1 t: 1 L : 0 b c 3d T : 0 d e b A continuación se muestra la solución al sistema de ecuaciones anterior: b 1 c 1 d 1 e 0 Como se puede observar el valor del exponente e que corresponde al exponente de la temperatura, es igual a cero, lo que significa que la temperatura no es un parámetro que influya para la obtención de la expresión final de la ecuación de continuidad. Sustituyendo el resultado del sistema de ecuaciones en la Ec..3, m Au 1

22 a, A y Experimentalmente se conoce que el flujo másico es exactamente proporcional u, por lo tanto el valor de alfa es igual a uno y finalmente la expresión para la ecuación de continuidad queda de la siguiente manera. m Au (.4).1. ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA ECUACIÓN DE CONVECCIÓN FORZADA Consideremos un fluido incompresible viajando en régimen de flujo turbulento por una tubería de diámetro uniforme con flujo másico constante. D L Se observa experimentalmente lo siguiente: 1.- La transferencia de calor por convección forzada en un fluido incompresible depende de la velocidad u, la densidad, el calor específico C P, la conductividad térmica k, la viscosidad y así como por el diámetro interno de la tubería D..- Las propiedades del fluido y, así como el diámetro del tubo y la velocidad de flujo afectan el grueso de la película del fluido en la pared del tubo, a través de la cual primero debe ser conducido el calor. A continuación se muestra el perfil de temperaturas dentro del tubo mostrado en la Fig..1 T T 0 T Figura.. Perfil de temperaturas dentro del tubo

23 La carga térmica puede ser calculada mediante la siguiente expresión Q h A T [ ] Btu hr (.5) En dónde Q es el flujo de calor. Para encontrar la relación entre el coeficiente de película h y las otras variables, recordemos la ley de enfriamiento de Newton. Btu q h T0 T hr (.6) En donde q es el flux de calor, T 0 es la temperatura en el seno del fluido y T la temperatura de la pared interna del tubo. Dimensionalmente esta ley se escribe como: H At [ ] ht En donde H es el calor absorbido o cedido debido a una diferencia de temperatura. Ya que no se conoce si todos los términos de energía serán expresados mecánica o térmicamente, se incorpora una constante dimensional, K H ML Ht Entonces, el coeficiente de película puede expresarse como el producto de las variables elevadas a una potencia, tal y como se hizo para la ecuación de continuidad, a b d e f g i P H u C D k K 1 a b d e f g i P H h u C D k K (.7) en forma adimensional: 3

24 a b d f g H L M H e H M M L L 3 L t T t L M T t LT t L H t i a b d f g i i H L M H e H M M L L a 3b d d f f f g g i i L t T t L M T t L T t L H t L H a e i b g i d f L L L 1 M M M H H 1 3b f g a f g i d i d f t T L L L t t t t M H T T Aplicando leyes de los exponentes se tiene que: 1 1 a e i 3b f g a f g i b g i d d f i d f HL t T ( L )( t )( M )( H )( T ) Para encontrar el valor de cada una de las variables, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones. H : 1 d f -i L : - a -3b e - f - g i t : -1 -a - f - g - i T : -1 -d - f M : 0 b - d g i (.8) Tenemos 5 ecuaciones y 7 incógnitas, por lo que el sistema de ecuaciones algebraicas no es cerrado. Una forma de resolver el sistema es hacerlo en términos de las variables a y f. Este sistema se puede resolver con el siguiente resultado, el cual es explicado en el apéndice A.1. b a d 1- f e a -1 g 1- f - a i 0 Sustituyendo estos valores en la Ec..7 se tiene que: a a 1 f a 1 f 1 a f 0 P H h u C D k K h Du a CP k 1 f kd 1 4

25 Reagrupando la expresión anterior, se llega a la siguiente expresión: hd k Du a C P k 1 f (.9) en donde las constantes, a y f deben obtenerse de forma experimental..3 TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGHAM (1914) Este teorema establece que dada una relación física expresada mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k dimensiones físicas, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n k grupos adimensionales. Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. Con el uso de la experiencia se hace la elección de parámetros, ya que la elección de éstos no es única y el teorema no elige cuáles tienen significado físico. Si tenemos una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un cierto problema debe existir una función Φ tal que: A1, A,..., A n 0 (.10) en donde A i son las n variables o magnitudes físicas, y se expresan en términos de k unidades físicas independientes. Entonces la Ec..10 se puede reescribir de la siguiente manera. 1,,..., n k 0 (.11) La notación de i como parámetros adimensionales fue introducida por Edgar Buckingham en su artículo de 1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la autoría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quien lo enunció en

26 Este teorema de Buckingham indica que: 1. No todos los exponentes deben suponerse en una operación, puesto que los grupos adimensionales se componen únicamente por tres o cuatro variables.. Todos los exponentes deben ser usados alguna vez. 3. El número de grupos adimensionales independientes es igual a la diferencia entre el número de variables y el número de dimensiones usadas para expresarlas..3.1 CORRELACIÓN DEL NÚMERO DE NUSSELT A PARTIR DEL TEOREMA EN CONVECCIÓN FORZADA Se tiene una ecuación física que refleja la relación existente entre las variables que intervienen en un problema, de la Ec..11 se sigue que los grupos adimensionales i deben ser construidos a partir de la siguiente expresión. a b d e f g i m P H h u C D k K 1 (.1) O bien, en forma dimensional: a b d e g i m H L M H f H M L M L 3 L t T t L M T t LT H t t L (.13) Para encontrar el valor de cada exponente, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones. H : 0 a e g i L : 0 a b 3d f g m i T : 0 a e g t : 0 a b g m i M : 0 d e m i (.14) Este es un sistema de ecuaciones algebraicas no cerrado puesto que se tiene 5 ecuaciones y 8 incógnitas. Se desea obtener una expresión para h como variable dependiente, por esa razón se escoge a la variable a elevada a la primera potencia. Se 6

27 escoge el valor de uno para asegurar que en la expresión final no aparezca elevada a una potencia fraccionaria. Para saber cuántos grupos adimensionales pueden haber en la expresión final, a partir del teorema se reconoce que hay n 8, variables, h, u,, c, D, k,, K H y k 5 unidades físicas H, L, M, T, t, por lo tanto el número de grupos adimensionales independientes será igual a n k 3, que corresponde al número de grados de libertad del sistema de ecuaciones. En el apéndice A se obtienen con todo detalle estos grupos, dando como resultado: hd k ' ' ( Nu) u D ' ' (Re) C k ' P ' (Pr) La expresión final es: C P h D u D,, 0 k k (.15) De donde se sigue que: hd Re (Pr) k (.16) 1 1 O bien: 1 P hd u D CP DG CP k k k q P q (.17) en donde el valor, P y q se obtiene de métodos experimentales. Cabe señalar que los tres grupos adimensionales encontrados anteriormente no son los únicos que pudieran existir, ya que la obtención de éstos depende de los 7

28 parámetros que se fijen al momento de resolver el sistema de ecuaciones. Puede darse el caso en que los grupos adimensionales obtenidos no tengan sentido físico alguno, aunque se haya aplicado correctamente el teorema pi de Buckingham. Partiendo de la Ec..11 para aplicar el teorema pi se sigue que: ' a b d e f g i m P H h u C D k K 1 Para saber el número exacto de grupos adimensionales que salen de la ecuación anterior, es necesario aplicar la siguiente expresión: Grupos adimensionales n! k!( n - k )! (.18) donde: n k número de variables dimensiones físicas Para este caso el número total de grupos adimensionales que podemos obtener a partir del teorema pi de Buckingham se calcula sustituyendo valores en la Ec..18, tal y como se muestra a continuación. 8! 5! 8 5! 56 a b d e f g i m Figura.3. Matriz de combinaciones posibles usadas con el teorema pi. Como se muestra en el la Fig..3 podemos obtener 56 combinaciones de grupos adimensionales diferentes, los cuales dependen de la elección que tomemos 8

29 para fijar las variables con las que cerremos el sistema de ecuaciones y también repercute directamente en el sentido físico de la expresión final. A continuación se muestra un caso en el que la elección de parámetros a fijar para resolver el sistema de ecuaciones nos da como resultado tres grupos adimensionales totalmente diferentes a los obtenidos anteriormente. a b d e g i m H L M H f H M L M L 3 L t T t L M T t LT H t t L Para encontrar el valor de cada una de las variables, es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones. H : 0 a e g i L : 0 a b 3d f g m i T : 0 a e g t : 0 a b g m i M : 0 d e m i En el apéndice A3 se obtiene con todo detalle tres soluciones a este sistema de ecuaciones algebraicas, dando como resultado los siguientes grupos adimensionales. 1 ' C P hd Derivado de suponer e 1, g 0 y m 1 ' CP k Derivado de suponer a 0, f 0 y m 1 ' u D ' (Re) Derivado de suponer a 0, d 1 y g 0.4 GRUPOS ADIMENSIONALES UTILIZADOS EN TRANSFERENCIA DE CALOR (PI1, 011; BIRD Y COL., 1999; INCROPERA Y COL. 1999) 9

30 Número de Reynolds (1883) Relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y el diámetro de la tubería por donde circula el fluido en una expresión adimensional. Interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Este número es de gran utilidad para identificar el régimen de flujo (laminar o turbulento), Re ud Fuerzas inerciales Fuerzas viscosas (.19) En donde y son la densidad y viscosidad dinámica del fluido, respectivamente; u la velocidad característica del fluido y D la longitud característica del sistema como puede ser el diámetro de la tubería a través de la cual circula el fluido. Para flujo en tuberías el flujo es laminar cuando Re 100 y turbulento cuando x10 Re 10 (Bird y col., 1999). Número de Prandtl (1904) El Número de Prandtl ( Pr ) es un número adimensional proporcional al cociente entre la difusividad de momento (viscosidad) y la difusividad térmica. Se llama así en honor a Ludwig Prandtl y se define como: Pr v Velocidad de difusión de momento Velocidad de difusión de calor (.1) En donde es la viscosidad cinemática o y la difusividad térmica, la cual se rescribe como k, C p p C la capacidad calorífica a presión constante y finalmente k denota la conductividad térmica. Sustituyendo la definición de la difusividad térmica en la Ec..1, el número de Prandtl se reescribe como Pr CP k (.) Número de Schmidt 30

31 El Número de Schmidt (Sc) es un número adimensional definido como el cociente entre la difusión de cantidad de movimiento y la difusión de masa, y se utiliza para caracterizar flujos en los que hay procesos conectivos de cantidad de movimiento y masa. Se llama así en honor a Ernst Schmidt. El número de Schmidt relaciona los grosores de las capas límite de cantidad de movimiento y de masa. Se define como: Sc v D en donde: v es la viscosidad cinemática. D es la difusividad másica. El análogo al número de Schmidt en transferencia de calor es el número de Prandtl. Número de Péclet El número de Péclet (Pe) es un número adimensional que relaciona la velocidad de advección de un flujo y la rapidez de difusión, habitualmente difusión térmica. Es equivalente al producto del número de Reynolds y el número de Prandtl en el caso de difusión térmica, y al producto del número de Reynolds y el número de Schmidt en el caso de difusión másica. Se llama así en honor a Jean Claude Eugène Péclet. Para difusión térmica, el número de Péclet se define como: LV Rapidez de advección de flujo Pe (.3) Rapidez de difusión térmica en donde L es una longitud característica y V es la velocidad del fluido. Número de Grashof 31

32 El Número de Grashof (Gr) es un número adimensional proporcional al cociente entre las fuerzas de flotación y las fuerzas viscosas que actúan en un fluido. Se llama así en honor al ingeniero alemán Franz Grashof. Su definición es: Gr g T T L s 3 Fuerzas de flotación Fuerzas viscosas (.4) En donde g es la aceleración de la gravedad, el coeficiente de expansión térmica, T s la temperatura de la superficie y T la temperatura ambiente. Número de Rayleigh El número de Rayleigh representado por Ra, dentro de lo que es la mecánica de fluidos, es considerado como un número adimensional que se encuentra asociado con la transferencia de calor dentro del fluido. Este número recibe su nombre en memoria a Lord Rayleigh. En el caso que el número de Rayleigh, este se encuentra por debajo de cierto valor, debido al paso de calor que se produce por la conducción; pero cuando se encuentra por encima del valor crítico, entonces la transferencia de calor se realiza por convección. Este número es el resultado del producto del número de Grashof y el número de Prandtl. El número de Rayleigh cuando se encuentra en una convección natural dentro de una pared vertical puede ser definido como: Ra Gr Pr Número de Nusselt El Número de Nusselt (Nu) compara el aumento de la transmisión de calor desde una superficie por la que un fluido fluye (transferencia de calor por convección) con la transferencia de calor si ésta ocurriera solamente por conducción. Así por ejemplo, en transferencia de calor dentro de una cavidad por convección natural, cuando el número de Rayleigh es inferior a 1000 se considera que la transferencia de calor es únicamente por conducción y el número de Nusselt toma el valor de la unidad. En cambio para números de Rayleigh superiores, la transferencia de calor es una combinación de conducción y convección, y el número de Nusselt toma valores superiores, 3

33 Nu hl k Transferencia de calor por convección Transferencia de calor por conducción (.5) Ambas transferencias se consideran en la dirección perpendicular al flujo. Número de Biot El Número de Biot (Bi) relaciona la transferencia de calor por conducción dentro de un cuerpo y la transferencia de calor por convección en la superficie de dicho cuerpo. Este número tiene numerosas aplicaciones, entre ellas su uso en cálculos de transferencia de calor en disipadores por aletas. El número de Biot se define como: Bi Transferencia de calor por convección en la superficie Transferencia de calor por conducción dentro de un cuerpo Bi hl k (.6) Número de Brinkman El Número de Brinkman (Br) es un número adimensional relacionado con la conducción de calor desde una pared a un fluido viscoso en movimiento. Se usa habitualmente en la fabricación y procesado de polímeros, Br u k ( T T ) w 0 (.7) En donde T w y T 0 son las temperaturas de la pared y del fluido, respectivamente. Número de Eckert El Número de Eckert expresa la relación entre la energía cinética de un fluido y su entalpía. Su nombre es en honor del profesor Ernst R. G. Eckert. Se define como: 33

34 Ec u C p T Energía cinética Entalpía (.8) En donde T es la diferencia de temperaturas característica del fluido. Número de Rayleigh En mecánica de fluidos, el Número de Rayleigh (Ra) de un fluido es un número adimensional asociado con la transferencia de calor en el interior del fluido. Cuando el número de Rayleigh está por debajo de un cierto valor crítico, la transferencia de calor se produce principalmente por conducción; cuando está por encima del valor crítico, la transferencia de calor se produce principalmente por convección. Se define como: g 3 Ra ( Tp T ) L v (.9) En donde, T p la temperatura de la pared y T la temperatura en el seno del fluido o corriente libre. Número de Fourier En física e ingeniería el Número de Fourier (Fo) o Módulo de Fourier, llamado así en honor a Joseph Fourier, es un número adimensional que caracteriza la conducción de calor. Conceptualmente es la relación entre la velocidad de la conducción de calor y la velocidad del almacenamiento de energía. Se define como: Fo t L (.30) En donde t es el tiempo característico y L es la longitud a través donde la conducción de calor ocurre. Número de Lewis 34

35 El Número de Lewis (Le) es un número adimensional definido como el cociente entre la difusividad térmica y la difusividad másica. Se usa para caracterizar flujos en donde hay procesos simultáneos de transferencia de calor y masa por convección. Se define como:. Sc Le (.31) Pr Número de Stefan El Número de Stefan (Ste) es un número adimensional que relaciona la capacidad calorífica y el calor latente de cambio de fase o estado de un material. Ste CpΔT H (.3) En donde T es la diferencia de temperaturas entre fases y H es el calor latente, por ejemplo: de fusión..5 EXPERIMENTACIÓN Y CORRELACIÓN Uno de los grandes problemas industriales es determinar la superficie de transferencia de calor requerida para cumplir con las condiciones del proceso, lo cual involucra conocer la correlación del coeficiente de película con otros parámetros del sistema. Mediante el análisis dimensional se encontrarán las correlaciones necesarias, apoyándose también en los resultados experimentales. Para poder obtener las correlaciones recordemos que la ecuación de energía térmica se define como Q mc T T (.33) p 1 En donde M es la masa del fluido y C p es su capacidad calorífica. Las temperaturas del fluido que entra caliente al sistema son T1 y T a la entrada y a la salida, respectivamente. Por otro lado, para el caso de convección forzada es necesario utilizar la ley de enfriamiento de Newton, la cual se define como: Q h T T (.34) b 0 35

36 Siendo T0 y T b las temperaturas de la superficie sólida y la temperatura de mezcla de fluido, respectivamente. Consideremos un aparato experimental de diámetro y longitud conocidos y a través del cual circula un líquido a varios gastos medibles (Kern, 1999) y que cuenta con equipos para medir la temperatura del líquido a la entrada, T 1 y a la salida, T así como la temperatura de la pared del tubo. Igualando las Ecs..33 y.34 obtenemos que para este sistema Q mc T T h A T (.35) p 1 De donde se sigue que el coeficiente de película está dado por: h mc p ( T T1) A T (.36) Similarmente, las temperaturas del fluido que entra frío son t 1 y t a la entrada y a la salida, respectivamente..5.1 APARATO EXPERIMENTAL En la Fig..4 se muestra un aparato utilizado para determinar el coeficiente de película para líquidos que fluyen dentro de tuberías (Kern, 1999). Figura.4. Aparato para determinar el coeficiente de película en un tubo (Kern D. Q., 1999) La parte principal es el intercambiador de prueba que consiste en una sección de prueba parecida a un intercambiador de tubos concéntricos. 36

37 Como se puede observar en la Fig..4 se observa un intercambiador auxiliar, el cual tiene una función opuesta al intercambiador de prueba, es decir, enfría cuando en la sección de prueba es usada para calentar y viceversa. Cuando se realizan experimentos de calentamiento, el líquido se recircula al intercambiador auxiliar mediante una bomba centrifuga para bajar la temperatura del fluido. Cuando se comienza a realizar el experimento, primero se mide la temperatura del fluido con un termómetro, obteniendo t 1, inmediatamente después el fluido entra a la sección de prueba y un tramo de tubo sin calentar antes de mezclarse y de que se registre la temperatura t ; después el fluido entra al intercambiador de calor auxiliar y baja su temperatura hasta t 1. La ejecución del experimento requiere la selección de una temperatura inicial y ésta se logra al recircular varias veces el fluido hasta que la temperatura en el enfriador sea igual a la temperatura del depósito, es decir, la temperatura del depósito sea igual a t 1, después se selecciona un gasto dado. Cuando las temperaturas t 1 y t persisten por cinco minutos o más, se registran estas temperaturas junto con el gasto másico, las lecturas de los termómetros ubicados en el intercambiador y el incremento en el nivel del condensado durante el tiempo de prueba..6 EVALUACIÓN DE UNA CORRELACIÓN FORZADA A PARTIR DE LOS EXPERIMENTOS DE MORRIS Y WHITMAN (198) Morris y Whitman (198) obtuvieron una serie de datos durante calentamiento de gasóleo y aceite de parafina ( straw oil ) con vapor, en un tubo de 0.5in con una longitud de calentamiento de En la Tabla.1 se dan valores de algunos de los parámetros que ellos obtuvieron. el 37

38 Corridas de calentamiento de Gasóleo Corrida m No [ / hr] t 1 [ F] t [ F] t w [ F] Q [Btu/hr] Δt i [ F] h [Btu/ hr F] B B B B Corridas de calentamiento de Straw oil C C Tabla.1. Datos de Morris y Whitman i En donde t1 y t son las temperaturas a la entrada y a la salida del aceite, respectivamente; t w es la temperatura promedio de la superficie exterior del tubo, t p es la temperatura uniforme en la superficie interna del tubo, G es el flujo másico y h i el coeficiente de película. Las viscosidades, conductividades térmicas y calores específicos de los fluidos pueden obtenerse de resultados experimentales (Kern, 1999), los cuales se grafican en las Figs..5,.6 y.7, respectivamente. Como puede verse en esas figuras, ambas cantidades dependen de la temperatura a la que se encuentren los fluidos en ese momento. Generalmente, las propiedades del fluido se evalúan a la t t 1 temperatura promedio t. La conductividad térmica del metal se considera constante e igual a 35 Btu h F. 38

39 300 Temperatura [ F] Gasóleo Strawoil Viscosidad [cp] Figura.5.Viscosidades de gasóleo y aceite de parafina (Kern, 1999) Conductividad térmica k [ Btu/(h F/) ] API Extrapolado 70 API Temperatura [ F] Fig..6. Conductividades térmicas de hidrocarburos líquidos (Kern, 1999) 39

40 SP. GR. Calor Especifico [BTU/Lb F] ETANO PROPANO I-BUTANO N-BUTANO I-PENTANO N-PENTANO N-HEXANO K Temperatura [ F ] A.R.I Factor de corrección para especímenes con k diferente de Figura.7. Calores específicos para hidrocarburos líquidos. Para poder obtener una correlación de la forma dada en la Ec..9 a partir de los datos experimentales, esto es, obtener los valores de los exponentes, se proponen dos tipos de solución, una algebraica y otra gráfica. Teniendo en cuenta que es necesario determinar si el flujo es turbulento, régimen para el cual este tipo de correlación es válida. La Ec..9 puede rescribirse en función de los números de Reynolds y de Prandtl, p q Nu Re Pr (.37) En donde, p y q pueden ser obtenidas algebraicamente tomando los datos para tres puntos de prueba..6.1 MÉTODO ALGEBRAICO PARA CORRELACIÓN DE NUSSELT Para poder demostrar la validez de la Ec..37 se calculan los números de Nusselt, Reynolds, Prandtl, a partir de las propiedades del fluido y del diámetro del tubo, 40

41 considerando las corridas B4, B1 y C1 de la Tabla.1. Los valores de las variables en cada fluido se reportan en la Tabla.. Corridas de calentamiento de Gasóleo Corrida No B B B B Corridas de calentamiento de Straw oil C C Tabla.. Números adimensionales obtenidos a través de los datos experimentales en las corridas. Sustituyendo los datos de la Tabla. en la Ec..37 para cada una de las corridas, se obtienen las siguientes expresiones. C1: B1: B4: p p p q q q Ahora se saca el logaritmo natural a ambos lados de cada ecuación para cambiar la forma de la expresión, ya que de esta forma se quitan las potencias. C1 :.810 log p q B1 :.5514 log p 1.517q B4 : log p q De las tres ecuaciones anteriores se forma un sistema de ecuaciones, el cual esta formado por tres ecuaciones y consta de tres incógnitas, por lo que el sitema es cerrado y puede tener solución. La solución al sistema de ecuaciones se muestra a continuación p 0.93 q

42 Sustituyendo estos valores en la Ec..37 se obtiene la siguiente correlación para el número de Nusselt Nu Re Pr (.38) En algunos casos esta expresión se simplifica haciendo un redondeo para el exponente del número de Prandtl fijando q 1/ 3, esto es: /3 Nu Re Pr (.39).6. MÉTODO GRÁFICO DE LA CORRELACIÓN DE NÚMERO DE NUSSELT Este método es utilizado cuando se tiene un gran número de puntos. Se empezará por rescribir la Ec..37 como q p Nu Pr Re (.40) Esta expresión tiene la forma de una curva dada por la ecuación p y x, tomando el logaritmo en ambos lados de la ecuación para y. log y log a p log x La cual se reduce en coordenadas logarítmica a la ecuación de una recta y α px (.41) De las Ecs..40 y.41 se sigue que x Re, y Nu Pr q y p es la pendiente de los datos cuando se gráfica y vs x ; el valor de alfa representa la ordenada al origen. Para graficar la Ec..40 es necesario considerar un valor de q, para el cual se tenga una mínima dispersión de datos, esto es, que el ajuste de una recta a los valores experimentales sea óptimo. Ahora consideremos la corrida B1 de la Tabla.1, la cual consiste de una prueba de gasóleo. Los datos observados durante el experimento son: 4