Repaso de fundamentos básicos de la mecánica del movimiento

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1 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-74 Repaso de fundamentos básicos de la mecánica del movimiento Para imprimirle a una masa m = G / g una aceleración a, se requiere una fuerza F = m.a = (G / g). a G = peso g = aceleración de gravedad m = masa Para llevar a cabo el proceso de aceleración, es necesario un trabajo mecánico, que al final del proceso de aceleración se convierte o se halla presente en forma de energía de movimiento de la masa acelerada. Una fuerza constante F imprime durante el tiempo t a una masa m una aceleración constante a y la lleva a la velocidad v = a.t Como la velocidad, comenzando desde cero, aumenta uniformemente hasta el valor v, se tiene una velocidad media v m = v / 2 y debido a ello, se habrá recorrido un trayecto d = v.t / 2 = a.t 2 / 2 La energía absorbida es anteriores se llega a W 1 = F. d (energía de movimiento) y con las expresiones W 1 = W = m.v 2 /2 Para masas rotativas, esta forma no es útil, porque la energía de movimiento de cada elemento de masa crece con el cuadrado de la distancia al centro del eje. Cada uno de los elementos de masa dm tiene por lo tanto otra velocidad v y otra energía de movimiento dm.v 2 / 2 Si se expresa la velocidad v en función de la velocidad angular ω = 2π n, entonces es v = ω. r y la energía de movimiento dw de un elemento de masa dm será : dw = ω 2. r 2. dm / 2 La energía de la masa total es la suma de las energías de todos los elementos de masa ; o sea W = r 2.ω 2 /2. dm = ω 2 / 2 r 2.dm La expresión que compone el integral está determinado únicamente por las dimensiones y el peso (masa) del cuerpo rotativo y se le denomina MOMENTO DE INERCIA J J = r 2. dm

2 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-75 Y con ello, la energía de masas rotativas es : W = J. ω 2 / 2 Para un cilindro macizo de radio exterior R, el momento de inercia es : J = G.R 2 / 2g (G = Peso) Para un cilindro hueco, con los radios R y r, se obtiene : J = G (R 2 + r 2 ) / 2g Para un anillo (R r), se puede asumir en forma aproximada que todos los elementos tienen igual velocidad. Con la velocidad n y una diámetro medio D = 2(R + r) / 2 2R Se obtiene para la energía de movimiento : W = GD 2. π 2.n 2 /2g La expresión GD 2 se denomina MOMENTO DE IMPULSIÓN de la masa rotativa y hasta hace algunos años se usaba comúnmente en los cálculos en lugar del MOMENTO DE INERCIA. Debido a algunas confusiones que suelen presentarse con el uso del término del MOMENTO DE IMPULSIÓN, se recomienda no usar más este término. Todos los catálogos modernos de maquinaria eléctrica rotativa contienen como dato el MOMENTO DE INERCIA J. Literatura más antigua e inclusive muchos profesionales viejos utilizan a menudo todavía la expresión del MOMENTO DE IMPULSIÓN. En todo caso, la relación entre J y GD 2 se obtiene de las relaciones anteriores según : GD 2 = 4 g. J Debido a que un rotor no es una masa homogénea, el valor exacto del MOMENTO DE INERCIA J no se determina por cálculo sino experimentalmente. NOTA IMPORTANTE : En los catálogos de maquinaria eléctrica rotativa producidos en los ESTADOS UNIDOS DE AMERICA, no se usa la expresión J del MOMENTO DE INERCIA, cuya unidad, de acuerdo a su definición en II-74 es [J] = 1 Kg.m 2 sino, que se usa una expresión equivalente simbolizada por Wk 2 expresada en las unidades de lb.ft 2 (libra. pie cuadrado) La equivalencia entre ambas unidades es : 1 Kg.m 2 = 23,7 lb.ft 2

3 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-76 Aún con catálogos americanos, cualquier cálculo que involucre MOMENTOS DE INERCIA es conveniente realizarlo con las unidades de J (Kg.m 2 ), por lo que la relación de conversión anterior es de muchísima utilidad y se recomienda tenerla siempre a mano. Arranque y Frenado de Motores : Durante el arranque o frenado, así como para variaciones de la carga, la velocidad angular ω no es constante, sino una función del tiempo. De acuerdo a ello, también varía la energía cinética W de las masas rotativas. Si la velocidad angular ω aumenta en el valor dω, entonces el aumento de la energía cinética es : dw = W 2 - W 1 = ½ J [ ( ω + dω) 2 - ω 2 ] Si se desarrolla la expresión, el término ( dω ) 2 que aparece, por ser despreciable con respecto a los demás términos, puede ser considerado nulo. Se obtiene entonces : dw = J. ω. dω Si ese aumento de energía ocurre durante el intervalo dt, entonces la potencia de aceleración será : P a = dw / dt = J. ω. dω / dt El PAR requerido para la aceleración T a = P a / ω se obtiene así como : T a = J. dω /dt = J. ε La variación de la velocidad angular por unidad de tiempo se llama aceleración angular : ε = dω / dt

4 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-77 CASOS MAS IMPORTANTES DE ARRANQUE A) ARRANQUE PARA PAR MOTOR Y PAR DE CARGA CONSTANTES Este caso se produce en buena aproximación en una máquina elevadora (ascensor ), para la cual se tiene una carga determinada para ser elevada ; y para vencer el par resistencia, se requiere de un par constante que designaremos por T r. Si el motor de accionamiento se selecciona o se controla de tal modo que desarrolle un Par T constante, de manera que según la ecuación de movimiento exista disponible un PAR DE ACELERACION T a = T - T r Que permanezca constante durante todo el proceso de arranque, se tendrá el caso mencionado. De la relación entre el Par de aceleración y la Aceleración angular se reconoce que también ε debe permanecer constante. Esto significa, que durante todo el proceso de arranque, la velocidad angular ω y con ello n deben ser proporcionales al tiempo t. De las expresiones mencionadas se puede escribir para la aceleración angular ε = dω / dt = ( T T r ) / J Sabemos que ω es proporcional a t, y con la condición inicial de que para t = 0, la velocidad es cero, se obtiene : ω = ( T T r ). t / J En esta expresión es importante anotar que J es el momento de inercia TOTAL de TODAS las masas rotativas, referidas al eje del motor. Si se introduce n = ω / 2π, se obtiene n = ( T T r ). t / 2π.J Por lo tanto, si el accionamiento se arranca, para alcanzar una velocidad n 1, se requerirá de un tiempo de aceleración de : t 1 = 2π.J. n 1 / (T T r ) = J. ω 1 / T a

5 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-78 De esta expresión se deriva un valor importante para caracterizar un accionamiento, como lo es el TIEMPO NORMAL DE ARRANQUE. Este se obtiene de la expresión anterior asumiendo : a) El Par resistente es cero T r = 0 b) El Par motor es el nominal T N c) El motor llega a la velocidad sincrónica o de vacío n o d) Únicamente existe el MOMENTO DE INERCIA del MOTOR J M entonces t AN = 2π. J M. n o / T N Este TIEMPO NORMAL DE ARRANQUE es una constante para un motor, y para motores de corriente continua y motores de inducción con velocidades nominales cercanas a las 1200 rpm varía en un rango de 0,4 a 5 segundos (tiempo creciente con potencia creciente).

6 0 n o T a = T T r = s. T A T r UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-79 B) ARRANQUE CON PAR DE ACELERACION DECRECIENTE LINEALMENTE Esta característica se da en el arranque de motores con comportamiento shunt, por ejemplo : MOTORES ASINCRONICOS CON ROTOR DE ANILLOS CON RESISTENCIAS INTERCALADAS EN EL CIRCUITO DEL ROTOR. A menudo, el arranque sigue una curva de Par decreciente linealmente, comenzando con el Par de Arranque T A (usualmente el par máximo) para la velocidad n = 0 y con el valor final T = 0 para n = n o T A La relación entre el par motor y el deslizamiento se puede expresar en forma sencilla en este caso, ya que para s = 1 (máquina parada) se tiene el par T A y para un deslizamiento s cualquiera el par T. Vale por lo tanto : T A / 1 = T / s ó s = T / T A Para el Par de aceleración se tiene entonces : Si el par de Resistencia T r es independiente de la velocidad o nulo, entonces el Par de Aceleración es función lineal del deslizamiento. Con ε = dω /dt = (T T r ) / J y con ω = ω o - ω o. s y dω/dt = ω o. ds/dt Se obtiene : ω o. ds/dt = (s. T A - T r ). 1 / J, desarrollando el paréntesis : ds / dt + T A. s / J.ω o T r / J. ω o En esta ecuación, el término central contiene la expresión J.ω o / T A = t A que recibe el nombre de CONSTANTE DE TIEMPO DE ARRANQUE. Esta constante de tiempo está relacionada con el TIEMPO NORMAL DE ARRANQUE a través de la relación PAR NOMINAL a PAR DE ARRANQUE, así :

7 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN t A = t AN. ( T N / T A ). ( J / J M ) J = Momento de Inercia de todas las masas rotativas J M = Momento de Inercia del motor de accionamiento Hoja Nº III-80 C) EL ARRANQUE CON PAR ARBITRARIO. En la mayoría de los casos prácticos, el PAR MOTOR no se mantiene constante durante el proceso de arranque. Ejemplo típico es el ARRANQUE A PLENA TENSION de los motores de inducción Rotor Jaula. En este caso el PAR MOTOR T no es constante y tampoco lo será el PAR RESISTIVO T r de la máquina accionada, ya que en el caso general, este par varía con la velocidad (Ej.: Bomba Centrífuga, Compresores, etc.). Una determinación por cálculo del TIEMPO DE ARRANQUE es muy difícil y se prefiere en este caso la DETERMINACION GRAFICA. PROCEDIMIENTO : 1) Se dibujan en un mismo gráfico las Curvas de PAR vs. VELOCIDAD del MOTOR (dado por el fabricante en sus catálogos) y de la MAQUINA ACCIONADA (dado también por el fabricante). Se recomienda usar valores referidos al PAR NOMINAL del MOTOR. 2) Se obtiene por diferencia de las curvas MOTOR y MAQUINA ACCIONADA, la CURVA DEL PAR DE ACELERACION : T / T N - T r / T N = T a / T N 3) La curva de aceleración se divide apropiadamente en forma de escalones de PAR CONSTANTE, cuidando que los triángulo formados con la curva del par se compensen a cada lado de la curva. A cada rectángulo obtenido por escalón, al tratarse de segmentos de PAR CONSTANTE, pueden aplicarse las expresiones derivadas en la PARTE A t 1 = J. ω 1 / T a y t AN = J M. ω o / T N

8 EL ACCIONAMIENTO ELÉCTRICO TOMANDO EN Hoja Nº III-81 Tratándose de segmentos de magnitudes n y t, los designaremos por n y t Si se divide la ecuación anterior por el tiempo t ANT = J. ω o / T N (1) t ANT : Tiempo Normal de Arranque para el conjunto Motor Máquina accionada t = 2π.J. n / T a (2) Dividiendo (1) entre (2) : t / t ANT = ( T N / T a ). ( n / n o ) Estos intervalos t se pueden graficar hasta cubrir todo el rango de variación de velocidad desde n = 0 hasta n = n o, obteniéndose así el TIEMPO DE ARRANQUE resultante.