I. E. S. A N D R É S D E V A N D E L V I R A

Transcripción

1 4 1 3 B 5 Línea de cierre B I. E. S. N D É S D E V N D E L V I D E P T M E N T O D E T E C N O L O G Í T E C N O L O G Í I N D U S T I L 1 º C U S O : / 0 1 J. G a r r i g ó s

2 Í NDI C E 1. E S T Á T I C E S T Á T I C G Á F I C C O M P O S I C I Ó N D E F U E Z S C O N C U E N T E S E N U N P L N O C O M P O S I C I Ó N D E F U E Z S N O C O N C U E N T E S D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N F U E Z E N D O S C O M P O N E N T E S D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N F U E Z E N T E S : M É T O D O D E C U L M N D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N S I S T E M D E F U E Z S E N D O S C O M P O N E N T E S E S T U C T U S D E F I N I C I Ó N D E E S T U C T U S Y C C I O N E S Q U E S E V E N S O M E T I D S E S T U C T U S E T I C U L E S E S F U E Z O S E N S I S T E M S E T I C U L E S P L N O S C Á L C U L O D E E S F U E Z O S E N E S T U C T U S P O E S T Á T I C G Á F I C C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E C E M O N C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E C U L M N C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E I T T E N E X O : U N I D D E S D E F U E Z P O B L E M S J. G a r r i g ó s P á g i n a 1

3 1. ESTÁTIC E s t á t i c a. - E s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e e s t u d i a e l e q u i l i b r i o d e l o s c u e r p o s s o m e t i d o s a f u e r z a s. l c o n j u n t o d e p r o c e d i m i e n t o s o m e t o d o l o g í a q u e s e f u n d a m e n t a e n p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s p a r a l a r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s d e e q u i l i b r i o d e f u e r z a s, s e d e n o m i n a E s t á t i c a G r á f i c a o G r a f o s t á t i c a. H a s t a l a a p a r i c i ó n d e l o s p r o g r a m a s v e c t o r i a l e s d e C D, e l m é t o d o d e l a e s t á t i c a g r á f i c a t e n í a m e n o s e x a c t i t u d q u e e l m é t o d o a n a l í t i c o m a t e m á t i c o. H o y e n d í a, l a p r e c i s i ó n p u e d e s e r l a m i s m a, y l o q u e e s m e j o r, e s t e e s m u c h o m á s r á p i d o e i n t u i t i v o, d a n d o u n a v i s i ó n m á s g e n e r a l q u e e l c á l c u l o a n a l í t i c o, q u e h a c e n d e é l u n m é t o d o m u y a d e c u a d o d e e s t u d i o p a r a l a m a t e r i a d e t e c n o l o g í a i n d u s t r i a l d e b a c h i l l e r a t o.. ESTÁTIC G ÁF I C. 1. C O M P O S I C I Ó N D E F U E Z S C O N C U E N T E S E N U N P L N O E s t e e s e l c a s o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s s e e n c u e n t r a n s i t u a d a s e n u n p l a n o. E s t a s f u e r z a s p u e d e n t e n e r : E l m i s m o o d i s t i n t o p u n t o d e a p l i c a c i ó n L a m i s m a o d i s t i n t a s d i r e c c i o n e s. L a a c c i ó n c o n j u n t a d e t o d a s l a s f u e r z a s e s p o s i b l e s u s t i t u i r l a p o r u n a s o l a q u e l l a m a r e m o s r e s u l t a n t e ( ). c a d a u n a d e l a s f u e r z a s i n d i v i d u a l e s q u e c o m p o n e n e l s i s t e m a s e d e n o m i n a n c o m p o n e n t e s d e l a r e s u l t a n t e. L a r e s u l t a n t e s e d e t e r m i n a m e d i a n t e l a o p e r a c i ó n c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s. S i l o q u e s e d e t e r m i n a n s o n l a s c o m p o n e n t e s a p a r t i r d e l a r e s u l t a n t e a e s t a o p e r a c i ó n s e d e n o m i n a d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s. E l c a s o m á s s e n c i l l o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s, e s a q u e l, e n q u e t o d o s t i e n e n i g u a l l í n e a d e a c c i ó n o s o p o r t e : J. G a r r i g ó s P á g i n a

4 F 1 F F 3 F 1 + F + F 3 = D a d o q u e s e s o b r e e n t i e n d e q u e e l l e c t o r c o n o c e s o b r a d a m e n t e e l c a r á c t e r v e c t o r i a l d e l a f u e r z a, e n a d e l a n t e n o s e i n d i c a r á a f i n d e f a c i l i t a r e l t r a t a m i e n t o d e t e x t o y g r á f i c o s. S i l a s f u e r z a s s o n d e s e n t i d o s c o n t r a r i o s, s e a g r u p a n, s e g ú n l a f i g u r a, y s e r e s t a n l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s. P 1 P 3 P 4 P P 5 o C u a n d o e l s i s t e m a d e f u e r z a s e s c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o O, a p l i c a m o s a p a r t e e l p o l í g o n o d e f u e r z a s ( P D F ), y t r a s l a d a m o s l a r e s u l t a n t e E a l s i s t e m a, d e m a n e r a q u e p a s e p o r O. O B 1, C 1,,3 P D F D E J. G a r r i g ó s P á g i n a 3

5 L a c o n s t r u c c i ó n s e b a s a e n l a e x t e n s i ó n d e l m é t o d o d e l p a r a l e l o g r a m o, d o n d e s e h a b r í a n i d o o b t e n i e n d o p a r c i a l y s u c e s i v a m e n t e 1, d e P 1 a P ( C ), 1,, 3 d e 1, y P 3 ( D ), y 1,, 3, 4 = ( E ), c o m o s u m a d e t o d a s l a s f u e r z a s. O b s e r v a n d o l a f i g u r a, s e p u e d e a p r e c i a r q u e p a r a q u e l a r e s u l t a n t e f u e s e n u l a, b a s t a r í a q u e e l p u n t o, c o i n c i d i e s e c o n E. D e e s t o e s p o s i b l e o b t e n e r l a s i g u i e n t e c o n c l u s i ó n, p a r a s i s t e m a s c o n c u r r e n t e s e n e q u i l i b r i o : S i u n s i s t e m a c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o, e s t á e n e q u i l i b r i o, l a r e s u l t a n t e e s n u l a, y l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l P D F e s u n a p o l i g o n a l c e r r a d a. s í, s i s e d e s e a r a e n c o n t r a r u n a f u e r z a e n e l s i s t e m a a n t e r i o r p a r a a n u l a r e l s i s t e m a y d e j a r l o e n e q u i l i b r i o, d i c h a f u e r z a s e r í a i g u a l a l a r e s u l t a n t e p e r o d e s e n t i d o c o n t r a r i o... C O M P O S I C I Ó N D E F U E Z S N O C O N C U E N T E S C u a n d o l a s f u e r z a s n o s o n c o n c u r r e n t e s, i r e m o s h a c i e n d o s u m a s p a r c i a l e s ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a ) h a s t a o b t e n e r l a r e s u l t a n t e. S e a e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e f u e r z a s d e s l i z a n t e s y c o p l a n a r i a s, d e l q u e q u e r e m o s h a l l a r s u r e s u l t a n t e : P 1 P P 3 P 4 P 5 J. G a r r i g ó s P á g i n a 4

6 P a r a r e s o l v e r l o o p e r a m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a : ) T o m a m o s u n p u n t o c u a l q u i e r a O ( p o l o ), y s e l l e v a P 1, y a c o n t i n u a c i ó n P, p a r a o b t e n e r 1,. D i c h a 1,, l a d e s p l a z a m o s p a r a l e l a d e s d e e l p o l í g o n o e f u e r z a s a l p o l í g o n o f u n i c u l a r, y h a b r á d e p a s a r p o r ( P 1 P ). B ) L a l í n e a 1, t r a z a d a p o r, c o r t a r á a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 3 e n B. T r a z a m o s e n e l P D F 1,, 3 r e s u l t a n t e d e 1, y P 3, y l a d e s p l a z a m o s p a r a l e l a a l P o l í g o n o F u n i c u l a r ( P F ), h a c i é n d o l a p a s a r p o r B, l a c u a l c o r t a a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 4 e n C. C ) S i g u i e n d o e l m i s m o s i s t e m a, l a r e s u l t a n t e 1,, 3, 4 h a b r á d e p a s a r p o r C, y c o r t a r á e n D a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 5. D ) H a l l a m o s f i n a l m e n t e 1,, 3, 4, 5 q u e s e r á i g u a l a l a r e s u l t a n t e, o b t e n i d a d e 1,, 3, 4 y P 5. H a c i e n d o p a s a r e n P F, 1,, 3, 4, 5 =, p o r e l p u n t o D o b t e n d r e m o s l a r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a. c a d a u n a d e l a s f u e r z a s q u e p a r t e n d e l p o l o d e l P D F s e l e s d e n o m i n a r a d i o s p o l a r e s. 1, 1,,3 1, 1,,3,4 B 1,,3 C 1,,3,4 D E P5 O POLÍGONO DE FUEZS (PDF) P5 POLÍGONO FUNICUL (PF) J. G a r r i g ó s P á g i n a 5

7 E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e c u a l q u i e r t r i á n g u l o d e l P D F e s h o m ó l o g o d e t r e s r e c t a s q u e e n e l P F s e c o r t a n e n u n p u n t o. L o s r a d i o p o l a r e s q u e p a r t e n d e O, s e d e n o m i n a n t e n s i o n e s f u n i c u l a r e s y l a l í n e a p o l i g o n a l B C D S i e n l a l í n e a d e a c c i ó n d e s e e s c o g e u n p u n t o c u a l q u i e r a, c o m o e l E ( P F d e l a f i g u r a a n t e r i o r ), r e s u l t a l a p o l i g o n a l B C D E. S u p o n i e n d o q u e t a l p o l i g o n a l e s u n h i l o f i j a d o e n E y c o n l o s v é r t i c e s m e n c i o n a d o s e n l a s i n t e r s e c c i o n e s d e l a s f u e r z a s c o m p o n e n t e s, e s f á c i l c o m p r o b a r q u e l a d i s p o s i c i ó n a d o p t a d a e s l a d e e q u i l i b r i o d e l h i l o b a j o l a a c c i ó n d e l a s f u e r z a s d a d a s, s i e n d o l a s t e n s i o n e s d e l h i l o d e c a d a t r a m o p r e c i s a m e n t e l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s h a l l a d a s. S u p ó n g a s e a h o r a, q u e d e s e a m o s o b t e n e r l a r e s u l t a n t e p a r c i a l d e P y P 3. E n e l P D F l a r e s u l t a n t e s e r á, 3. P a r a e n c o n t r a r e l p u n t o d e l P F p o r d o n d e p a s a, 3, n o s b a s a r e m o s e n l o s i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e. D a d o q u e e l t r i á n g u l o d e P D F ( P - P 3-3 ), l e c o r r e s p o n d e u n h a z d e r e c t a s c o n c u r r e n t e s e n e l P F, b a s t a r á t r a z a r p o r e l p u n t o X ( i n t e r s e c c i ó n d e P y P 3 ), l a r e s u l t a n t e p a r c i a l, 3, q u e s e r á p a r a l e l a a l, 3, d e l P D F.,3 1, X,3 1,,3 1,,3,4 1, B 1,,3 C 1,,3,4 D E P5 O P5 J. G a r r i g ó s P á g i n a 6

8 E n e l P F s e d a l a s i t u a c i ó n d e l a s f u e r z a s ( n o s i e n d o n e c e s a r i o q u e d i c h o p o l í g o n o i n d i q u e s u m a g n i t u d ). E n e l P D F, s e m u e s t r a l a i n t e n s i d a d, s e n t i d o y d i r e c c i ó n d e l a s f u e r z a s, p e r o n u n c a s u s i t u a c i ó n. P o r l o g e n e r a l e l P D F t a l y c o m o s e h a r e p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e, e s d e c i r, u t i l i z a n d o e l o r i g e n d e l a p r i m e r a f u e r z a c o m o p o l o O, n o s e s u e l e e m p l e a r, y e s m á s u s u a l e l m é t o d o q u e s e d e s c r i b e a c o n t i n u a c i ó n : S u p ó n g a s e e l s i s t e m a d e t r e s f u e r z a s P 1, P y P 3 d e l a s i g u i e n t e f i g u r a, y s e a d o p t a u n p o l o a r b i t r a r i o O, q u e n o c o n t i e n e a P 1. P a r a e s t a c o n s t r u c c i ó n n o s a y u d a r e m o s d e u n a f u e r z a a u x i l i a r a r b i t r a r i a o, q u e p a s e p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a d e P 1, p o r e j e m p l o ( ). L a r e s u l t a n t e d e o y P 1 s e r á 1, e s d e c i r 1 = P 1 + o, d o n d e 1 p a s a p o r e l p u n t o y c o r t a a B e n P. P 1 P P 3 P 1 o o 1 C P 1 B 3 P 3 3 D O P F P D F P a r a t e r m i n a r l a c o n s t r u c c i ó n y h a l l a r l a r e s u l t a n t e b a s t a r á c o m p l e t a r e l P D F, y t r a s l a d a r p a r a l e l a s d e y 3 a l P F. e s u l t a n d o e l P u n t o D ( i n t e r s e c c i ó n d e l o s r a d i o s p o l a r e s o y 3 ), e l l u g a r p o r d o n d e h a b r á d e p a s a r l a r e s u l t a n t e. J. G a r r i g ó s P á g i n a 7

9 O b s e r v e l a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s t r i á n g u l o s d e l P D F y l a i n t e r s e c c i ó n d e t r e s r e c t a s c o n c u r r e n t e s e n e l P F. E n n u e s t r o c a s o l a c o r r e s p o n d e n c i a e s : T r i á n g u l o o, P 1, 1, p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o d e o, P 1, 1 T r i á n g u l o 1, P,, p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o B d e 1, P, T r i á n g u l o, P 3, 3, p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o C d e, P, 3 T r i á n g u l o o,, 3, p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o D d e o,, 3. D e l a m i s m a f o r m a q u e e n e l m é t o d o d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e, c u a n d o e l P D F s e c o n s t r u y e d e e s t a f o r m a a l o s v e c t o r e s a u x i l i a r e s o, 1, y 3 s e l e s d e n o m i n a n a d i o s P o l a r e s. S i e n l u g a r d e d e t e r m i n a r l a f u e r z a, r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a, s e d e b i e r a e n c o n t r a r s u e q u i l i b r a n t e, é s t a s e r í a e n t o d o i g u a l a ( i n t e n s i d a d, d i r e c c i ó n y p o s i c i ó n ), s a l v o e n s u s e n t i d o, q u e s e r í a e l c o n t r a r i o.. 3. D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N F U E Z E N D O S C O M P O N E N T E S S e n o s p u e d e n p r e s e n t a r d i f e r e n t e s c a s o s :. - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e e n d o s, c u y a s l í n e a s d e a c c i ó n s o n c o n o c i d a s ( L 1 y L ). E s t e p r o b l e m a s o l o t e n d r á s o l u c i ó n s i l a s d o s r e c t a s o l í n e a s d e a c c i ó n ( L 1 y L ), s o n c o n c u r r e n t e s e n u n m i s m o p u n t o. L 1 L J. G a r r i g ó s P á g i n a 8

10 L a s o l u c i ó n d e e s t e p r o b l e m a e s m u y s e n c i l l o, p u é s b a s t a r á t r a z a r p o r e l a f i j o d e ( e x t r e m o d e l v e c t o r, d o n d e e s t a l a p u n t a d e f l e c h a ), u n a r e c t a p a r a l e l a a L q u e c o r t e a L 1, y u n a r e c t a p a r a l e l a a L 1 q u e c o r t e a L, r e s u l t a n d o d e l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n y B l o s a f i j o s d e l a s f u e r z a s c o m p o n e n t e s ( P 1 y P ), c u y o p u n t o d e a p l i c a c i ó n e s l a i n t e r s e c c i o n d e L 1 y L. e s t a c o n s t r u c c i ó n s e l e d e n o m i n a l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o. L 1 P 1 O P B L B. - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e e n d o s f u e r z a s, c o n o c i d a l a l í n e a d e a c c i ó n o r e c t a s o p o r t e d e u n a f u e r z a, y u n p u n t o p o r e l q u e d e d e b e p a s a r l a o t r a. e a l m e n t e e s t e e s e l m i s m o p r o b l e m a q u e e l a n t e r i o r, p u e s t o q u e b a s t a r á h a l l a r l a i n t e r s e c c i ó n f r L 1 c o n, u u n i r e s t e p u n t o c o n, o b t e n i e n d o L. P e r o s u p o n g a m o s q u e y L 1 s e c o r t a n f u e r a d e l o s l í m i t e s d e l d i b u j o, c o m o e n e s e l c a s o d e l a s i g u i e n t e f i g u r a. L 1 J. G a r r i g ó s P á g i n a 9

11 P a r a d a r s o l u c i ó n a e s t e p r o b l e m a o p e r a r e m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a : ) T r a z a m o s e l P D F c o n u n p o l o a r b i t r a r i o O, d e s d e d o n d e p a r t e n d o s r a d i o s p o l a r e s 1, a l o s e x t r e m o s d e. B ) C o m o e l t r i a n g u l o 1,,, d a r á l u g a r e n e l P F a u n p u n t o d o n d e s e c o r t a n l a s p a r a l e l a s a 1, y, p o r e l p u n t o d e l P F, t r a z a m o s l a p a r a l e l a a h a s t a q u e c o r t e a e n u n p u n t o B. P o r e l p u n t o B, t r a z a m o s l a p a r a l e l a a 1, q u e c o r t a r á a L 1 e n C. C ) U n i m o s c o n u n a r e c t a 3, e n e l P F l o s p u n t o s y C. D ) E n e l P D F, t r a z a m o s p o r O e l r a d i o p o l a r 3 p a r a l e l o a l a r e c t a 3 d e l P F. E ) S i l l a m a m o s P 1 a l a f u e r z a s i t u a d a e n l a l í n e a d e a c c i ó n L 1 ; l a i n t e r s e c c i ó n e n e l P F d e P 1, 1 y 3 d e b e d a r u n t r i á n g u l o e n e l P D F, p o r l o c u a l, b a s t a r á t r a z a r e n e l P D F d e s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e 1 y, u n a l í n e a p a r a l e l a a L 1 h a s t a c o r t a r a 3, d e d o n d e o b t e n d r e m o s l a f u e r z a P 1. F ) P a r a o b t e n e r l a f u e r z a q u e p a s a p o r e l p u n t o, q u e l l a m a r e m o s P, u n i m o s e n P D F e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e P 1 c o n 3, c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e c o n, o b t e n i e n d o a s í l a s e g u n d a c o m p o n e n t e b u s c a d a. P 1 P L 1 C 1 B 3 P 1 P C. - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e, e n d o s f u e r z a s P 1, y P p a r a l e l a s a l a d a d a y q u e p a s e n p o r l o s p u n t o s y B. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 0

12 s i m p l e v i s t a e s t e p r o b l e m a n o t i e n e s o l u c i ó n d a d o q u e l a s c o m p o n e n t e s n o s o n c o n c u r r e n t e s a l s e r p a r a l e l a s. C u a n d o s e d a e s t e c a s o a d o p t a m o s q u e d i c h a s c o m p o n e n t e s c o n c u r r e n e n e l i n f i n i t o. B E l p r o c e s o p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a e s l e s i g u i e n t e : ) T r a z a m o s u n P D F c o n l a r e s u l t a n t e, y u n p o l o c u a l q u i e r a O, d e s d e d o n d e p a r t e n l o s r a d i o s p o l a r e s 1 y h a s t a l o s e x t r e m o s d e. B ) P o r l a r e g l a d e l t r i á n g u l o 1,, d e l P D F, t r a z a m o s p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a ( X ) d e l a l í n e a d e a c c i ó n d e d e l P F, r e c t a s p a r a l e l a s a 1 y h a s t a c o r t a r a l a s l i n e a s d e a c c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s P 1 y P q u e p a s a n p o r l o s p u n t o s y B. C ) E n e l P F u n i m o s p o r 3, l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e 1 c o n l a l i n e a d e a c c i ó n q u e p a s a p o r, c o n l a i n t e r s e c c i ó n d e c o n l a l í n e a d e a c c i ó n d e B. D ) T r a s l a d a m o s u n a p a r a l e l a a 3 a l P D F, d e f o r m a q u e p a s e p o r e l p o l o O P 1 P B P X J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 1 O

13 E ) L a i n t e r s e c c i ó n e n e l P D F d e 3 c o n, n o s d a r á l a s c o m p o n e n t e s P 1 y P b u s c a d a s, q u e h a b r e m o s d e t r a s l a d a r a l P F.. 4. D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N F U E Z E N T E S : M É T O D O D E C U L M N E s t e p r o b l e m a t i e n e u n a s o l u c i ó n ú n i c a c u a n d o s o n c o n o c i d a s l a s l í n e a s d e a c c i ó n d e l a s f u e r z a s y e s t á n n o s e c o r t a n e n u n p u n t o f o r m a n d o u n h a z. l p r o c e d i m i e n t o q u e p e r m i t e e n c o n t r a r s o l u c i ó n a n u e s t r o p r o b l e m a s e l e d e n o m i n a m é t o d o C u l m a n. S e a l a f u e r z a a d e s c o m p o n e r y l a s t r e s r e c t a s s o p o r t e L 1, L y L 3. D i b u j a m o s u n a r e c t a X Y q u e v a d e s d e e l p u n t o X, i n t e r s e c c i ó n d e c u a l q u i e r a d e l a s r e c t a s s o p o r t e c o n l a f u e r z a, a l p u n t o Y, p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s o t r a s d o s r e c t a s s o p o r t e.. c o n t i n u a c i ó n d e s c o m p o n e m o s e n l a s d i r e c c i o n e s d e L 3 y l a d e l a r e c t a X Y e n e l P D F. XY+ r3 = L r1 + r = XY Y r3 rxy rxy r r1 X L1 L3 C o m o l a f u e r z a r X Y e s c o n c u r r e n t e c o n l a s d i r e c c i o n e s d e L 1 y L s e p u e d e d e s c o m p o n e r e n l a s f u e r z a s r 1 y r e n e l P D F, q u e d a n d o r e s u e l t o e l p r o b l e m a. U n c a s o p a r t i c u l a r s e p u e d e p l a n t e a r c u a n d o L 1 y L s o n p a r a l e l a s e n t r e s í y y L 3 n o l o s o n, n i e n t r e e l l a s, n i c o n l a s a n t e r i o r e s. E l p r o c e d i m i e n t o d e o b t e n c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s e s J. G a r r i g ó s P á g i n a 1

14 p r á c t i c a m e n t e i d é n t i c o a l a n t e r i o r. C o m e n z a m o s p o r d e t e r m i n a X, i n t e r s e c c i ó n d e c o n l a r e c t a s o p o r t e d e P 3, m i e n t r a s q u e Y s e e n c u e n t r a e n e l i n f i n i t o e n l a d i r e c c i ó n d e L 1 y L. P o r t a n t o, r X Y s e r á p a r a l e l a a l a s r e c t a s d e a c c i ó n d e L 1 y L. P a r a d e s c o m p o n e r r X Y t o m a m o s u n p o l o O y l o s r a d i o s v e c t o r e s o r a d i o s p o l a r e s r 1 y r e n e l P D F ; s e g u i d a m e n t e s e c o n s t r u y e e l p o l í g o n o f u n i c u l a r P F i d e n t i f i c a d o c o m o B C y t r a z a m o s e n é s t e ú l t i m o l a l í n e a d e c i e r r e r 3 q u e t r a s l a d a m o s p a r a l e l a a l P D F p a r a o b t e n e r e l v a l o r d e l a s c o m p o n e n t e s r 1 y r. E n e l c a s o d e q u e l a s t r e s f u e r z a s h u b i e r a n t e n i d o q u e e q u i l i b r a r a, s e r í a s u f i c i e n t e c o n c a m b i a r e l s e n t i d o a l a s t r e s c o m p o n e n t e s d e t e r m i n a d a s. L1 X L3 B L r' r1' C r3' Y r' r o r3 r3' r1 r1'. 5. D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N S I S T E M D E F U E Z S E N D O S C O M P O N E N T E S E l p r o b l e m a d e d e s c o m p o s i c i ó n y a h a s i d o d e t a l l a d o a n t e r i o r m e n t e, p o r l o q u e e s t e c a s o n o e s m á s q u e l a c o n j u n c i ó n d e c o n t r u c c i o n e s y a c o n o c i d a s. S u p ó n g a s e e l s i s t e m a d e f u e r z a s P 1, P, P 3, P 4 y P 5 d e l a s i g u i e n t e f i g u r a, l a s c u a l e s s e d e s e a n e q u i l i b r a r p o r d o s f u e r z a s, u n a d e d i r e c c i ó n v e r t i c a l, q u e p a s e p o r e l p u n t o M, y o t r a q u e p a s e p o r e l p u n t o N U t i l i z a n d o l o s m é t o d o s d e s c r i t o s s e c o n s t r u y e e l P D F y e l P F (, B, C ; D, E ), p a r a l o c a l i z a r l a p o s i c i ó n d e l a r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 3

15 M P 1 P P 3 P 4 P 5 N M P 1 P P 3 P 4 P 5 D 5 B C E N P 1 P P 3 P O P 5 U n a v e z c a l c u l a d a l a r e s u l t a n t e, b a s t a r á d e s c o m p o n e r l a e n d o s c o m p o n e n t e s, c o n l a s c o n d i c i o n e s i n d i c a d a s, p a r a l o c u a l o p e r a r e m o s d e l a f o r m a i n d i c a d a e n a p a r t a d o s a n t e r i o r e s, y q u e p a r a e s t e c a s o p a r t i c u l a r t e n d r á e l s i g u i e n t e p r o c e s o : ) E n e l P D F e l t r i á n g u l o 1, 6,, t i e n e s u h o m o l o g o e n u n p u n t o d e l P F, d o n d e s e c r u z a n l a s t r e s r e c t a s. D a d o q u e l a s r e c t a s 1 y 6 t r a z a d a s a n t e r i o r m e n t e n o c u m p l e n l a c o n d i c i ó n d e p a s a r p o r l o s p u n t o s M y N, t r a z a m o s e n P F u n a p a r a l e l a a 6 ( q u e l l a m a r e m o s 6 p a r a n o c o n f u n d i r l a c o n 6 ), q u e p a s e p o r e l p u n t o N y c o r t e a l a r e c t a d e a c c i ó n d e. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 4

16 B ) P o r e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n ( S ) d e 6 c o n l a r e c t a d e a c c i ó n d e, t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a 1 ( q u e l l a m a r e m o s 1 ), q u e c o r t e a l a r e c t a d e a c c i ó n q u e p a s a p o r e l p u n t o M ( l a f u e r z a q u e p a s a p o r e l p u n t o M, h a d e s e r v e r t i c a l s e g ú n e l e n u n c i a d o d e l p r o b l e m a ), o b t e n i e n d o e l p u n t o T. C ) U n i m o s e n e l P F c o n l a r e c t a s l o s p u n t o s N c o n T. l a r e c t a s, s e l e s u e l e l l a m a r e n e l a r g o t d e l a e s t á t i c a g r á f i c a L í n e a d e c i e r r e. D ) T r a s l a d a m o s u n a p a r a l e l a a l a l í n e a d e c i e r r e a l P D F, d e f o r m a q u e p a s e p o r e l p o l o O. E ) O b s e r v a n d o e l P F l a f u e r z a q u e p a s a p o r M ( q u e h a d e s e r v e r t i c a l ) d e b e c o r r e s p o n d e r s e c o n u n t r i á n g u l o e n e l P D F 1 = 1, s, M ; p o r t a n t o t r a z a m o s u n a r e c t a q u e p a r t e d e l a i n t e r s e c c i ó n d e 1 c o n P 1 e n e l P D F d e d i r e c c i ó n v e r t i c a l h a s t a c o r t a r a s, o b t e n i e n d o a s í M. F ) B a s t a r á u n i r e n e l P D F e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n c o n 6, c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n s c o n M, p a r a o b t e n e r l a c o m p o n e n t e d e l a f u e r z a q u e p a s a p o r N, q u e d e n o m i n a r e m o s N. G ) T r a s l a d a n d o p a r a l e l a s d e M y M a l P F, o b t e n d r e m o s l a d i r e c c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s b u s c a d a s y e l p r o b l e m a e s t a r á s o l u c i o n a d o. M T 1 B 3 s C 4 D 5 6 P5 E N M 3 4 N s 1 O P5 S J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 5

17 3. ESTUCTU S D E F I N I C I Ó N D E E S T U C T U S Y C C I O N E S Q U E S E V E N S O M E T I D S S e d e n o m i n a e s t r u c t u r a a t o d a d i s p o s i c i ó n o r d e n a d a y e s t a b l e c a p a z d e s o p o r t a r s i n r o m p e r s e l a s c a r g a s o e s f u e r z o s a l a s q u e s e v e n s o m e t i d a s. N o s e c o n s i d e r a n c o m o e l e m e n t o s d e l a s e s t r u c t u r a s l a s c o n s t r u c c i o n e s a u x i l i a r e s d e e s t a s, c o m o t u b e r í a s, m o n t a n t e s d e d e c o r a c i ó n, a i s l a m i e n t o s, t a b i q u e r í a s, e t c.. P o r e l l o e s p r e c i s o a l d i s e ñ a r e s t r u c t u r a s q u e é s t a s s e a n a u t o s u f i c i e n t e s p a r a s o p o r t a r l o s s i s t e m a s d e c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e l l a s y a s u v e z s e a n c a p a c e s d e t r a n s m i t i r l a s a l t e r r e n o d o n d e e s t á n a s e n t a d a s. C o n d e f o r m a c i o n e s q u e n o s o b r e p a s e n l o s l í m i t e s r e g l a m e n t a r i o s, n i p o n g a n e n p e l i g r o l a e s t a b i l i d a d o r e s i s t e n c i a d e l a e s t r u c t u r a. L a n o r m a v i g e n t e e n n u e s t r o p a í s e s e l d e n o m i n a d o C ó d i g o T é c n i c o d e l a E d i f i c a c i ó n d e ( e a l D e c r e t o / B O E 8 / 0 3 / ) - h t t p : / / w w w. c o d i g o t e c n i c o. o r g / i n d e x. p h p? i d = 3 3 -, d o n d e s e e s t a b l e c e u n a c l a s i f i c a c i ó n d e l o s t i p o s d e c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e d i f i c a c i o n e s y e s t r u c t u r a s. L a s a c c i o n e s a c o n s i d e r a r e n e l d i s e ñ o d e u n p r o y e c t o r e a l s o n : G r a v i t a t o r i a s. D e l v i e n t o. T é r m i c a s. S í s m i c a s E m p u j e s d e t i e r r a e t c.. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 6

18 c c i o n e s g r a v i t a t o r i a s. - S o n l a s c a r g a s p r o d u c i d a s p o r e l p e s o d e l a p r o p i a e s t r u c t u r a, e l d e l o s e l e m e n t o s q u e s o p o r t a y p o s i b l e s o b r e c a r g a d e n i e v e d e p e n d i e n d o d e l a a l t i t u d s o b r e e l n i v e l d e l m a r. c c i o n e s d e l v i e n t o. - S o n l a s c a r g a s q u e l a e s t r u c t u r a h a b r á d e s o p o r t a r d e b i d o a l v i e n t o, e s t a s a c c i o n e s d e p e n d e n d e l a f o r m a d e l a c o n s t r u c c i ó n, s u s u p e r f i c i e y e l l u g a r g e o g r á f i c o d o n d e e s t á i m p l a n t a d a. c c i o n e s t é r m i c a s. - E n e s t e b l o q u e s e c o n s i d e r a n l a s v a r i a c i o n e s d e t e m p e r a t u r a q u e p u e d e n a f e c t a r a l a e s t r u c t u r a. E n e l c á l c u l o d e e s t a s a c c i o n e s, s a l v o q u e s e d i s p o n g a n d a t o s c o n c r e t o s, s e s u e l e t o m a r c o m o m á r g e n e s d e d i s e ñ o ± 3 0 º C. c c i o n e s s í s m i c a s. - S o n l a s a c c i o n e s q u e p u e d e n l l e g a r a p r o d u c i r l o s s e í s m o s s o b r e l a s c o n s t r u c c i o n e s. P a r a e l l o s e e s t a b l e c e p o r m e d i o d e l o s o r g a n i s m o s c o m p e t e n t e s d e c a d a p a í s u n o s c o e f i c i e n t e s q u e h a b r á n d e t e n e r s e e n c u e n t a p a r a e l c á l c u l o e n f u n c i ó n d e d o n d e s e i m p l a n t e l a e s t r u c t u r a. E m p u j e s d e l t e r r e n o. - T i e n e e n c u e n t a l a a c c i ó n q u e e l t e r r e n o p u e d e e j e r c e r s o b r e l a c o n s t r u c c i ó n d e f o r m a l a t e r a l. S u c á l c u l o e x i g e u n c o n o c i m i e n t o b á s i c o d e l a m e c á n i c a d e l s u e l o. E s t a s a c c i o n e s v a r í a n c o n l o s t i p o s d e t e r r e n o, s i e s t o s s o n s e c o s o a n e g a d o s, a s í c o m o e l í n d i c e d e h u e c o s q u e t i e n e n l o s m i s m o s ( e s t a d o d e c o m p a c t a c i ó n ). 3.. E S T U C T U S E T I C U L E S. U n o d e l o s t i p o s d e e s t r u c t u r a m á s c o m u n e s, s o n l o s d e n o m i n a d a s s i s t e m a s r e t i c u l a r e s p l a n o s, q u e e s t á n f o r m a d a s p o r u n c o n j u n t o d e b a r r a s s i t u a d a s e n u n p l a n o c o n s t i t u y e n d o u n a r e d d e t r i á n g u l o s. L o s v é r t i c e s d e l o s t r i á n g u l o s q u e g e n e r a l m e n t e s e s i t ú a n e n e l c o n t o r n o d e l a e s t r u c t u r a, s e l l a m a n n u d o s. L o s n u d o s s e u n e n m e d i a n t e b a r r a s, q u e p u e d e n s e r s u p e r i o r e s o i n f e r i o r e s e n e l c o n t o r n o, o m o n t a n t e s ( b a r r a s v e r t i c a l e s ) y d i a g o n a l e s e n e l i n t e r i o r. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 7

19 P a r a q u e u n s i s t e m a r e t i c u l a r p l a n o s e a e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d o y e s t a b l e d e b e v e r i f i c a r s e q u e, s i N e s e l n ú m e r o d e n u d o s y B e l n ú m e r o d e b a r r a s s e c u m p l a q u e : B = N 3 E n t r e l o s s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e c o n o c e n t r e s t i p o s f u n d a m e n t a l e s : J á c e n a s ( f i g. a ), a r m a d u r a d e c u b i e r t a o c u c h i l l o s ( f i g. b ), y a r c o s o p ó r t i c o s ( f i g. c ) E S F U E Z O S E N S I S T E M S E T I C U L E S P L N O S P a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s e x i s t e n t e s e n l a s b a r r a s s e p u e d e n s e g u i r m e t o d o l o g í a s d i v e r s a s, g r á f i c a s o a n a l í t i c a s, s i b i e n e n t o d o s l o s c a s o s s e p a r t i r á d e l a s s i g u i e n t e s h i p ó t e s i s d e c á l c u l o : a ) L o s n u d o s c o n s t i t u y e n a r t i c u l a c i o n e s i d e a l e s s i n r o z a m i e n t o b ) L a s c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e s u p o n d r á n q u e e s t á n a p l i c a d o s a l o s n u d o s y e n e l p l a n o d e l a e s t r u c t u r a r e s i s t e n t e. J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 8

20 c ) L a s b a r r a s s o n r e c t a s y s u s d e f o r m a c i o n e s d e s p r e c i a b l e s e n r e l a c i ó n a s u s d i m e n s i o n e s. P a r a l a d e t e r m i n a c i ó n d e e s f u e r z o s e n l a s b a r r a s s e e m p l e a n m é t o d o s g r á f i c o s ( C r e m o n a, C u l m a n y i t t e r ) o e l a n a l í t i c o. D e l o s p r i m e r o s, t a n t o e l m é t o d o d e C u l m a n c o m o e l d e i t t e r p e r m i t e n c o n o c e r t e n s i o n e s a i s l a d a s e n s ó l o a l g u n a s b a r r a s, m i e n t r a s q u e e n C r e m o n a l o s e s f u e r z o s s e c a l c u l a n e n t o d a s s u s b a r r a s. L a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s s o n d e d o s t i p o s : t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n. E n e l p r i m e r o l a b a r r a t i e n d e a a l a r g a r s e y e n e l s e g u n d o a a c o r t a r s e. L a s d o s t e n s i o n e s q u e a c t ú a n s o b r e u n a b a r r a q u e u n e l o s n u d o s h y k s e r á n i g u a l e s y o p u e s t a s. S i e l n u d o h s e e n c u e n t r a s o m e t i d o a l a t e n s i ó n T h k ( c o r r e s p o n d i e n t e a l a b a r r a h - k ) y e n l a t e n s i ó n e n e l n u d o k l a d e n o m i n a m o s T k h, s e c u m p l e q u e T h k = - T k h 4. CÁL CULO DE ESFUEZ OS E N EST UCTU S PO E STÁTIC G ÁF I C C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E C E M O N U n o d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s m á s u t i l i z a d o s p a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s e n e s t r u c t u r a s r e t i c u l a r e s e s e l d e n o m i n a d o m é t o d o d e C r e m o n a. E s t á b a s a d o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s i n t e r i o r e s y e x t e r i o r e s d e u n s i s t e m a r e t i c u l a r d e b e n e q u i l i b r a r s e e n c a d a u n o d e l o s n u d o s d e l m i s m o. E l m é t o d o d e C r e m o n a s e r e a l i z a p o r e l l o n u d o a n u d o, r e c o r r i é n d o l o s t o d o s y e s t a b l e c i e n d o l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o ( p o l í g o n o d e f u e r z a s P D F, c e r r a d o ). P a r a l l e v a r a c a b o d e f o r m a o r d e n a d a l a J. G a r r i g ó s P á g i n a 1 9

21 a p l i c a c i ó n d e l p r o c e d i m i e n t o, d e b e e m p e z a r s e p o r u n n u d o d o n d e e x i s t a n ú n i c a m e n t e d o s b a r r a s e i r p r o g r e s a n d o h a s t a c o n c l u i r e n e l ú l t i m o. S u p ó n g a s e l a a r m a d u r a a s i m é t r i c a d e l a s i g u i e n t e f i g u r a, d o n d e s o n c o n o c i d a s l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e l a e s t r u c t u r a. 4 = = 150 kg = 00 kg = 50 kg 1 3 B 5 B L a f o r m a d e p r o c e d e r e n e s t e m é t o d o e s l a s i g u i e n t e : ) E n p r i m e r l u g a r c a l c u l a m o s l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s y B, u t i l i z a n d o l a l í n e a d e c i e r r e. B ) E n u m e r a m o s t o d o s l o s n u d o s d e l a a r m a d u r a, g e n e r a l m e n t e c o m e n z a n d o p o r u n o e n e l q u e s o l o c o n c u r r e n d o s b a r r a s, p o r e j e m p l o e n n u d o n ú m e r o 1 C ) c o n t i n u a c i ó n v a m o s a i m p o n e r a l n u d o 1 l a c o n d i c i ó n d e q u e s e e n c u e n t r e e n e q u i l i b r i o, p a r a l o q u e s e r á s u f i c i e n t e q u e l a s f u e r z a s a p l i c a d a s a é l :, P 1 y l a s t e n s i o n e s T 1, y T 1, 3 d e l a s b a r r a s b 1, y b 1, 3 s e e q u i l i b r e n ; e s d e c i r, d e n u n p o l í g o n o c e r r a d o. J. G a r r i g ó s P á g i n a 0

22 4 = = 150 kg = 00 kg = 50 kg 1 3 B 5 1 Línea de cierre 3 4 O Línea de cierre B B D ) P a r a q u e s e c u m p l a C ), e n e l P F y e n t o r n o a l n u d o 1 s e e s t a b l e c e u n o r d e n d e t r a z a d o d e c a r g a s, c o m e n z a n d o p o r l a s f u e r z a s q u e s e c o n o c e n, y e n s e n t i d o d e l a s a g u j a s d e l r e l o j. E n n u e s t r o c a s o c o m e n z a m o s e n e l P D F p o r e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e, o b s e r v a n d o e l a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 d e l P F, a l a c a b a r s e g u i r e m o s p o r P 1 q u e y a e s t á t r a z a d a e n e l P D F ; l u e g o p o r e l e x t r e m o d e l a f l e c h a d e P 1 t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a l a b a r r a b 1, d e l a e s t r u c t u r a, y p a r a c e r r a r e l p o l í g o n o, t r a z a m o s o t r a p a r a l e l a a l a b a r r a b 1, 3 q u e h a d e p a s a r p o r J. G a r r i g ó s P á g i n a 1

23 e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e l v e c t o r, y q u e c o r t a r a a l a p a r a l e l a t r a z a d a a n t e r i o r m e n t e. E ) c o n t i n u a c i ó n y o b s e r v a n d o e l a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 e n e l P F, n o s s i t u a m o s s o b r e e l i n i c i o d e y v a m o s s i g u i e n d o e l c a m i n o t r a z a d o y a s i g n a n d o e l s e n t i d o a l a s t e n s i o n e s a l a s b a r r a s e n e l s e n t i d o e n q u e n o s m o v e m o s. F ) e c o r d a m o s, q u e a u n q u e e n e l P D F, l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s P 1, P, P 3, P 4, l a r e s u l t a n t e y l a s r e a c c i o n e s y B e s t é n t r a z a d a s e n l í n e a s p a r a l e l a s t o d a s e l l a s r e c a e n s o b r e l a m i s m a l í n e a d e a c c i ó n y s e s e p a r a n a e f e c t o s d e d i b u j o B 5 T1, 1 1 Línea de cierre 3 4 B T1,3 B Línea de cierre O 5 G ) E l s i g u i e n t e p a s o s e r á l o c a l i z a r u n n u d o d e l q u e d e s c o n o z c a m o s e l v a l o r d e d o s d e l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e é l, e n n u e s t r o c a s o a a u n q u e e s t á e l n u d o 5 t o m a m o s e l n u d o p a r a s e g u i r u n o r d e n, d e j a n d o J. G a r r i g ó s P á g i n a

24 e l n u d o 5 p a r a e l f i n a l, e l c u a l, n o s s e r v i r á d e c o m p r o b a c i ó n d e l a c o r r e c c i ó n d e l c á l c u l o. G ) D e l n u d o c o n o c e m o s l a t e n s i ó n d e l a b a r r a b 1,, y l a c o m p o n e n t e P, y d e s c o n o c e m o s l a s t e n s i o n e s T, 3 y T, 4 d e l a s b a r r a s b, 3 y b, 4., p o r l o c u a l, e l a r c o a t r a z a r e n e l P F p a r t i r á d e l a b a r r a b 1, y t e r m i n a r a e n l a b, 3. H ) E n n u e s t r o c a s o, y y a e n e l P D F, p a r t i r e m o s d e l a f i j o ( l u g a r d e l a f l e c h a ) d e l v e c t o r T 1,, l l e g a r e m o s a l o r i g e n d e P, q u e r e c o r r e r e m o s v e r t i c a l m e n t e y h a c í a a b a j o. P o r e l a f i j o d e P t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a l a b a r r a b, 4, y p o r e l a f i j o d e T 1, u n a p a r a l e l a a b, 3 h a s t a c o r t a r a l a p a r a l e l a a n t e r i o r. V o l v i e n d o a r e a l i z a r e l r e c o r r i d o e n e l P D F, e n e l s e n t i d o i n d i c a d o p o r e l a r c o d e l P F, i n d i c a m o s e l s e n t i d o d e l a s t e n s i o n e s T, 4 y T, 3, c o m p r o b a n d o q u e e l p o l í g o n o s e h a c e r r a d o. I ) D e l a m i s m a f o r m a o p e r e m o s c o n l o s n u d o s r e s t a n t e s h a s t a l l e g a r a l n u d o 5 q u e n o s s e r v i r á c o m o c o m p r o b a c i ó n d e l o s t r a z a d o s a n t e r i o r e s. N o t a : C u a n d o h a b l a m o s d e t e n s i ó n e n l a b a r r a b 1, y l a i n d i c a m o s c o m o T 1,, e s t á t e n s i ó n e s t á m i r a d a d e s d e e l n u d o 1 ; s i m i r á r a m o s l a t e n s i ó n d e e s a m i s m a b a r r a d e s d e e l n u d o, l a t e n s i ó n s e r í a T, 1 q u e t e n d r í a e l m i s m o v a l o r q u e T 1,, p e r o s e r í a d e s e n t i d o c o n t r a r i o, e s d e c i r : T 1, = - T, 1 e s t o m i s m o s e c u m p l e p a r a c u a l q u i e r o t r a b a r r a. F i n a l m e n t e e l d i b u j o q u e d a r í a c o m o s e i n d i c a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a. J. G a r r i g ó s P á g i n a 3

25 J. G a r r i g ó s P á g i n a 4

26 kg - 00 kg - 50 kg 1 3 B 5 Li;nea de cierre B ESCL - 1 cm 100 kg - Barra 1- compresión 53.8 kg - Barra 1-3 tracción 463 kg - Barra -3 compresión 503,9 kg - Barra 3-4 tracción 194,4 kg - Barra -4 compresión 45,6 kg - Barra 3-5 compresión 161,6 kg - Barra 4-5 compesión 64.5 kg - eacción en el apoyo - 38,5 kg - eacción en el apoyo B B - 41,5 kg T1,3 T,3 T1, T3,4 T3,5 T,4 T4,5 B Li;nea de cierre O Barra sometida a traccio;n. Barra sometida a compresio;n LBETO GUPO CUSO EVLUCIÓN J.Garrigós D 1º BCH Segunda la tensio;n sale del nudo. Ejemplo T1,3 la tensio;n entra al nudo. Ejemplo T1, I.E.S NDÉS DE VNDELVI LBCETE DEPTMENTO DE TECNOLOGÍ FECH 6/1/009 CÁLCULO DE UN ESTUCTU PO EL MÉTODO DE CEMON ESCL 1cm/100 kg J. G a r r i g ó s P á g i n a 5

27 P a r a s a b e r s i l a s b a r r a s e s t á n s o m e t i d a s a c o m p r e s i ó n o t r a c c i ó n a d o p t a r e m o s l a s i g u i e n t e r e g l a : S i l a t e n s i ó n e n t r a a l n u d o, l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n y l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o. S i l a t e n s i ó n s a l e d e l n u d o, l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a t r a c c i ó n, y l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o. E j e m p l o. S i e s t a m o s e n e l n u d o 1 d e l a e s t r u c t u r a, o b s e r v a m o s e n e l P D F q u e l a t e n s i ó n d e l a b a r r a T 1, e n t r a r í a a l n u d o p o r l a b a r r a b 1,, p o r l o c u a l, l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n. S i e s t a m o s e n e l n u d o 3 d e l a e s t r u c t u r a, o b s e r v a m o s q u e l a t e n s i ó n T 3, 4 d e l a b a r r a b 3, 4 i r í a c o n l a d i r e c c i ó n d e l a b a r r a s a l i e n d o d e l n u d o s e g ú n s e i n d i c a e n e l P D F, p o r l o c u a l, d i r e m o s q u e e s t a b a r r a e s t á s o m e t i d a a t r a c c i ó n. E n e s t e p u n t o, t a n s o l o q u e d a s a b e r e l v a l o r d e l a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s, l o c u a l s a b r e m o s d i b u j a n d o e l P D F a e s c a l a, e n n u e s t r o c a s o a d o p t a r e m o s u n a e s c a l a d e 1 c m = k g 1, c o n l o c u a l b a s t a r á m e d i r e l v a l o r d e l a s t e n s i o n e s y a p l i c a r l e s l a e s c a l a a d o p t a d a p a r a o b t e n e r e l v a l o r d e l a t e n s i ó n d e l a s d i s t i n t a s b a r r a s d e l a e s t r u c t u r a. P o r l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s, e s m u y i m p o r t a n t e l a e x a c t i t u d d e l d i b u j o, d a d o q u e u n p e q u e ñ o e r r o r d e t r a z a d o i m p l i c a a c u m u l a r u n g r a n e r r o r e n e l n u d o f i n a l, d a n d o l a i m p r e s i ó n q u e e l p r o c e s o e s t á m a l r e a l i z a d o, c u a n d o e l e r r o r s o l o e s d e b i d o a l t r a z a d o. 1 E n l o s d i b u j o s a n t e r i o r e s n o s e c u m p l e l a e s c a l a 1 c m = k g, a l h a b e r s i d o d e s f o r m a d o s p o r l a n e c e s i d a d d e l t r a t a m i e n t o d e i m á g e n e s e n u n p r o c e s a d o r d e t e x t o s. J. G a r r i g ó s P á g i n a 6

28 4.. C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E C U L M N P e r t e n e c e a l m é t o d o g e n e r a l d e l a s s e c c i o n e s m u y u t i l i z a d o e n M e c á n i c a p l i c a d a. S e b a s a e n p r a c t i c a r u n c o r t e i m a g i n a r i o e n l a e s t r u c t u r a y e s t a b l e c e r a c o n t i n u a c i ó n l a s c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o e l c o n j u n t o. P a r a d e t e r m i n a r e l e s f u e r z o e n l a s b a r r a s p, q y r d e l a f i g u r a, e n p r i m e r t é r m i n o s e c a l c u l a n l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s m e d i a n t e e l p r o c e d i m i e n t o y a c o n o c i d o. 1 p q 3 C r C' P5 B B P5 1 3 Línea de cierre O C o n t i n u a m o s h a c i e n d o u n c o r t e i m a g i n a r i o C C q u e c o m p r e n d a l a s b a r r a s o b j e t o d e e s t u d i o. L a s t e n s i o n e s ( f u e r z a s ) i n t e r i o r e s d e l a s b a r r a s, q u e d e s i g n a r e m o s p o r P Q y ( P, Q y ), d e b e r á n e s t a r e n e q u i l i b r i o c o n c a d a u n a d e l a s p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o l a a r m a d u r a. D i c h a s t e n s i o n e s s ó l o e s p o s i b l e q u e a c t ú e n e n l a s d i r e c c i o n e s d e l a s b a r r a s, y a q u e d e o t r a m a n e r a h a r í a n g i r a r a é s t a s, p o r l o c u a l t a l e s e s f u e r z o s s ó l o p o d r á n s e r d e t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n. J. G a r r i g ó s P á g i n a 7

29 S e g u i d a m e n t e e s t a b l e c e m o s l a r e s u l t a n t e Fi d e l a s f u e r z a s q u e o b r a n a u n o d e l o s l a d o s d e l c o r t e ( e n n u e s t r o c a s o a d o p t a r e m o s e l l a d o i z q u i e r d o ), i n c l u y e n d o l a r e a c c i ó n e n e l a p o y o. + + = Fi. L a f u e r z a c a l c u l a d a p a s a r á p o r l a i n t e r s e c c i ó n d e 3 c o n l a l í n e a d e c i e r r e d e l P F ( p u n t o C ) Ú n i c a m e n t e n o s q u e d a d e s c o m p o n e r l a f u e r z a F i e n t r e s f u e r z a s P, Q y q u e l a e q u i l i b r e n y e s t é n e n l a s b a r r a s p, q y r ( m é t o d o d e C u l m a n ). E l p r o c e d i m i e n t o e s e l s i g u i e n t e : 1. P r o l o n g a m o s l a d i r e c c i ó n d e u n a d e l a s b a r r a s h a s t a q u e c o r t e a l a l í n e a d e a c c i ó n d e F i ( p u n t o D ).. U n i m o s D c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s b a r r a s p y q ( p u n t o E ). 3. T r a z a m o s e n e l P D F p a r a l e l a s a D E y D F, o b t e n i é n d o s e l a s f u e r z a s y X ( X e s u n a f u e r z a a u x i l i a r d e c o n s t r u c c i ó n s u m a d e P y Q ). S e h a d e c u m p l i r : r + X = Fi ( Fi es la equilibrante. sí, Fi, X y forman un polígono cerrado) 4. L a f u e r z a X c a l c u l a d a s e d e s c o m p o n e e n l a s d i r e c c i o n e s d e l a s b a r r a s p y q, e n c o n t r á n d o s e l a s t e n s i o n e s P y Q. X = P + Q r r r r r v O b s e r v e q u e + P + P + P + Q + 0, e s t o e s, e l s i s t e m a d e f u e r z a s d e 1 = l a i z q u i e r d a e s t á e q u i l i b r a d o p o r l a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s p o r d o n d e s e h a e f e c t u a d o e l c o r t e. Fi D X C P p Q q F C' E r P5 C J. G a r r i g ó s P á g i6 n a B

30 MÉTODO DE CULMN: Si las tensiones se dirigen hacia el nudo situado a la izquierda del corte COMPESIÓN. En sentido contrario TCCIÓN. 1 B Q P X Fi B 3 Línea de cierre O P5 T a l y c o m o s e h a c o n s i d e r a d o e n e l p r o b l e m a, u t i l i z á n d o s e e l s i s t e m a d e f u e r z a s d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a a r m a d u r a, s i l a s t e n s i o n e s e n c o n t r a d a s s e d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a i z q u i e r d a d e l c o r t e, l o s e s f u e r z o s s o n d e c o m p r e s i ó n, e n t a n t o q u e s i s e d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a d e r e c h a d e l c o r t e e s d e t r a c c i ó n. E n e s t e e j e m p l o l a s t e n s i o n e s Q y s o n d e t r a c c i ó n y P e s d e c o m p r e s i ó n C Á L C U L O D E E S T U C T U S P O E L M É T O D O G Á F I C O D E I T T E. S e a u n a e s t r u c t u r a r e t i c u l a r p l a n a s o b r e l a q u e a c t ú a n l a f u e r z a s P 1,,,, P5 y P6, e n l a c u a l d e s e a m o s e n c o n t r a r e l e s f u e r z o a q u e e s t á s o m e t i d a l a b a r r a b 5, e s t o e s, l a b a r r a q u e u n e l o s p u n t o s y 5. P a r a e l l o, s e a p l i c a u n c o r t e C C, d e m a n e r a q u e d i c h o c o r t e p a s e p o r l a b a r r a J. G a r r i g ó s P á g i n a 9

31 q u e s e p r e t e n d e c a l c u l a r. D a d o q u e l a e s t r u c t u r a e s t á e s t á t i c a, l a s d o s p a r t e s e n q u e l a d i v i d i m o s, a t r a v é s d e l c o r t e C C, t e n d r á n q u e e s t a r e n e q u i l i b r i o c o n l a s t e n s i o n e s T 4, T 5 y T 3 5 ( s i t o m a m o s l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n ), o T 4, T 5 y T 5 3 ( s i s e t o m a l a p a r t e d e l a d e r e c h a ). S e g ú n e s t o, s i c o n s i d e r a m o s e l t r a m o d e l a p a r t e i z q u i e r d a, p a r a d e t e r m i n a r T 5, b a s t a r á t o m a r m o m e n t o s r e s p e c t o a l p u n t o K ( p u n t o d o n d e s e c o r t a n l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r l a s b a r r a s b 4 y b 3 5 ), d e t o d a s l a s f u e r z a s e x t e r i o r e s e i n t e r i o r e s q u e o b r a n a l a i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n C C, n o o l v i d a r i n c l u i r l a r e a c c i ó n e n l e a p o y o. S e h a t o m a d o e l p u n t o K c o m o c e n t r o d e m o m e n t o s p o r q u e a l c o n c u r r i r e n é l l a s b a r r a s b 4 y b 3 5, l a s t e n s i o n e s d e e s t a s b a r r a s r e s p e c t o a e s t e p u n t o e s c e r o ( M = B s e n α = 0 y a q u e e l s e n α = 0 p o r p a s a r l a s f u e r z a s p o r e l p u n t o K ). S u p o n d r e m o s i n i c i a l m e n t e q u e t o d a s l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s s o n d e t r a c c i ó n, e s d e c i r, s e a l e j a n d e l o s n u d o s y 3. P o r o t r o l a d o, s e a M K e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e, P 1 y P c o n r e l a c i ó n a K, c u y o s i g n o e s e l i n d i c a d o p o r l a f i g u r a. C o m o e l M h a d e s e r c e r o c o n r e s p e c t o a l p u n t o K, s e v e r i f i c a : M K T 5 * d 5 K = 0 D e d o n d e s e c a l c u l a l a t e n s i ó n T 5, m i d i e n d o d 5 c o n l a e s c a l a d e l o n g i t u d e s y d e t e r m i n a n d o M K p o r l a e x p r e s i ó n : M K = * d K * d p1 K * d p K S i l a t e n s i ó n a d e t e r m i n a r h u b i e s e s i d o T 4 e l c e n t r o d e m o m e n t o s l o t o m a r í a m o s e n e l p u n t o 5 ( d o n d e s e c o r t a n l a s o t r a s d o s b a r r a s d e l a s e c c i ó n t o m a d a ). s í s i M 5 e s e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e l a s f u e r z a s, P 1 y P e n r e l a c i ó n a l p u n t o 5, t e n d r e m o s l a s e x p r e s i o n e s : M M 5 5 = + T 4 * d * d * d = 0 p1 5 * d p 5 J. G a r r i g ó s P á g i n a 3 0