MATERIAL DE ENTRENAMIENTO 1/6. 1. Detrmine la distancia cenital delos siguientes astros:

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1 MATERIAL DE ENTRENAMIENTO 1/6 1. Detrmine la distancia cenital delos siguientes astros: a) Un astro con altura de 60 b) b) Un astro situado a 30 por debajo del horizonte celete. 2. Un observador en Bogotá =74 05 W, mide el angulo horario de una estrella y obtiene H= Si en el instante de la observación el TSG=12 h 30 m. deterrmine la ascención recta de la estrella. 3. Una estrella tiene ascención recta igual a y un ángulo horario de para un determinado observador Cual es el tiempo sideral local? 4. La mayoría de los cometas de un solo aspecto entran al Sistema Solar interior directamente de la Nube de Oort. Estime el tiempo que tarda un cometa para hacer este viaje. Supongamos que en la Nube de Oort se encuentra a UA del Sol, el cometa estaba en el afelio. 5. Estime el numero de estrellas en un cúmulo globular de 40 pc de diámetro, si la velocidad de escape en el borde del cúmulo es de 6 km s 1 y la mayoría de estrellas son similares al Sol. 6. Suponiendo que Fobos (Luna del planeta Marte) se mueve se mueve alrededor de Marte en una órbita perfectamente circular respecto al plano ecuatorial del planeta, diga cuanto tiempo permanece Fobos sobre el horizonte para un observador situado en el ecuador de Marte. Use los siguientes datos: Radio de Marte R Marte = km Periodo de Rotación de Marte T Marte = horas Masa de Marte M Marte = kg Radio Orbital de Fobos R F = km. 7. Cuál debe ser el diámetro de un radiotelescopio para trabajar en una longitud de onda de λ = 1 cm con la misma resolución que un Telescopio de diámetro D = 10 cm? 8. Dado que la radiación cósmica de fondo tiene un espectro de un cuerpo negro a lo largo de la evolución del Universo, determine como su temperatura cambia con el redshift o corrimiento al rojo z. En particular, dé la temperatura de la radiación cósmica de fondo época z 10 (del objeto mas lejano que se puede observar). La temperatura actual de la radiación cósmica de fondo es de 2,73 K.

2 OLIMPIADA COLOMBIANA DE ASTRONOMÍA, ASTRONÁUTICA Y ASTROFÍSICA ENTRENAMIENTO - OFICINA DE OLIMPIADAS UNIVERDIDAD ANTONIO NARIÑO 2/6 1. Actualmente los astrofísicos están interesados en la búsqueda de exoplanetas habitables. Una forma de lograrlo es a través del estudio de la curva de luz, generada cuando el exoplaneta transita a través del disco estelar y bloquea parte de la luz que proviene de la estrella. Estime el máximo cambio de luminosidad generado por un planeta como la Tierra y que se encuentra orbitando una estrella similar al sol. 2. Suponiendo que las estrellas tipo G de la secuencia principal (como el Sol) en el disco de la Vía Láctea obedecen a un perfil de densidad exponencial vertical con una altura de escala de 300pc, por cual factor la densidad de estas estrellas generan un cambio entre 0,5 y 1,5 kpc desde el plano medio relativo a la densidad en el plano medio? 3. Un estudiante intenta medir el campo de visión (FOV) del ocular de su telescopio, utilizando la rotación de la Tierra. Para hacer este trabajo, el observador apunta el telescopio hacia la estrella Vega (alfa Lyr, : +38, : 18,5 h ), el estudiante apaga su "unidad de reloj" y registra una medida de tiempo, t = 5,3 minutos, en el que Vega cruza la diámetro completo del campo de visión. Cuál es el FOV del telescopio usado en arcominutes? 4. La longitud galáctica de una estrella es l = 15. Si su velocidad radial con respecto al Sol es V r = 100 km/s. Supongamos estrellas del disco de la galaxia orbitando el centro de esta galaxia con una velocidad constante de V o = 250 km/s en órbitas circulares en el mismo sentido del plano galáctico. Calcule la distancia de la estrella del centro de la galaxia. 5. Una estrella de la secuencia principal con el radio y la masa de R = 4R y M = 6M, tiene un campo magnético promedio de 1x10-4 T. Calcular la fuerza del campo magnético de la estrella cuando esta envuelve a una estrella de neutrones con radio de 20 km. 6. En el centro de nuestra galaxia, la Vía Láctea se encuentra un agujero negro, llamado Sagitario A, con más de 2,6 millones de veces M. Las actuales observaciones han permitido llegar a esta conclusión a través de observaciones de estrellas que orbitan muy cerca del centro de la galaxia. La imagen de Chandra de abajo muestra la luz emitida en rayos X de una región del espacio de unos pocos años luz de diámetro. El agujero negro es invisible, pero está cerca del centro de esta imagen. El gas cerca del centro produce la luz de rayos X, ya que se calienta.

3 Los astrónomos siguieron pacientemente la órbita de una estrella en particular, designada S2. Sus resultados demuestran de manera convincente que S2 se mueve bajo la influencia de la enorme gravedad de un objeto invisible, que debe ser muy compacto y contienen enormes cantidades de materia. Arriba se muestra la forma de la órbita. a) En el año 2006, el HST, encontró que la estrella Polaris tiene una compañera, Polaris Ab, cuya distancia de Polaris es 18,5 UA y tiene un período de 30 años. Cuál es la masa de la estrella polar? b) La estrella S2 órbita al agujero negro supermasivo Sagitario A. Su periodo es 15,2 años, y su distancia de la órbita es de aproximadamente 840 UA. Cuál es la masa estimada del agujero negro en el centro de la Vía Láctea? 7. La NASA envió una nave denominada, Mars Radiation Environment Experiment (MARIE) la cual midió los niveles de radiación diarios obtenidos desde el satélite que orbita al Planeta Marte, entre el 13 de marzo de 2002 y 30 de septiembre 2003, como se muestra en la siguiente figura.

4 Los niveles de radiación se dan en unidades de milirads/día. Los seis picos altos son eventos solares de protones (SPE) que están relacionados con las erupciones solares, mientras que el resto de los datos representados (líneas onduladas) corresponden a los rayos cósmicos galácticos (GCR). La tabla muestra la información para los seis SPE. Los astronautas que viajen a Marte y que pretendan realizar trabajos en su superficie se encontrarán con cientos de SPE durante su viaje de 30 meses y durante la exploración sobre superficie. Una pregunta importante es si las SPE producen más peligro en periodos largos de exposición a la radiación en comparación con la radiación cósmica de fondo que se genere de forma constante. A partir de la gráfica: a) Cuál es el lapso de tiempo aproximado, en días, de los datos en la gráfica? (Respuesta a un día). b) Cuál es la dosis media del componente de rayos cósmicos en milirads/día? (respuesta a los 10 milirads más cercanas). c) Cuál es la exposición a la radiación de rayos cósmicos total de Rads durante este período de tiempo? (Respuesta en Rad más cercano). El producto de los tiempos de duración de la dosificación da la exposición total a la radiación. A partir de los datos tabulados: d) Cuál es el total de exposición de radiación en Rads generados por la combinación de las seis entidades con fines especiales durante este intervalo de tiempo? (Respuesta al Rad más cercano) e) Cuál es la dosis total en Rems si 1 rad = 2 Rems de los rayos cósmicos? f) Durante este período de tiempo, lo que fue la exposición total a la radiación, en Rads, tanto de los rayos cósmicos y los SPE a Marte sin protección? (Respuesta al Rad más cercano) g) Qué fuente de radiación, la SPE o los rayos cósmicos, tiene el mayor porcentaje de contribución a la exposición de radiación total de un astronauta? (Respuesta al porcentaje más cercano)

5 OLIMPIADA COLOMBIANA DE ASTRONOMÍA, ASTRONÁUTICA Y ASTROFÍSICA ENTRENAMIENTO - OFICINA DE OLIMPIADAS UNIVERDIDAD ANTONIO NARIÑO TIEMPO ESTIMADO: 2 horas Apellidos Nombres Colegio Dirección Personal Teléfono Ciudad Grado 1. El planeta Marte llegó a su gran oposición el día 28 de Agosto de 2003 a las 17 h 56 m. La próxima gran oposición de Marte será en el año 2018, estimar la fecha de la oposición. Tenga en cuenta que el semieje mayor de la órbita de Marte es de 1,524 AU. 2. La diferencia de brillo entre dos estrellas de la secuencia principal en un cúmulo abierto es de 2 magnitudes. Sus temperaturas correspondientes son de 6000 K y 5000 K, respectivamente. Estime la relación de sus radios. 3. Una nave espacial es lanzada desde la Tierra y se acelera rápidamente hasta alcanzar una velocidad máxima en la dirección de la órbita heliocéntrica de la Tierra, de modo que su órbita es una parábola con el Sol en su punto focal, y roza la órbita terrestre. Tome la órbita de la Tierra y Marte como círculos en el mismo plano, con un radio de R T = 1 UA y R M = 1,5 UA, respectivamente. Hacer la siguiente aproximación: durante la mayor parte del vuelo sólo la gravedad del Sol es considerada. La trayectoria de la nave (no está a escala). El círculo interior es la órbita de la Tierra, el otro círculo es la órbita de Marte.

6 4. La dilatación del tiempo cerca de un agujero negro es mucho más extrema de lo que la red de GPS experimenta en órbita alrededor de la Tierra. T = 1 2GM Rc 2 T = tiempo medido por alguien situado en un planeta (seg) t = tiempo medido por alguien situado en el espacio (seg) M = masa del planeta (kg) R = distancia de observador distante al planeta (m) En la fórmula de la dilatación del tiempo anterior: a) Evalúe la cantidad 2GM/c 2 para un agujero negro con una masa de una masa solar, y convertir la respuesta a kilómetros y con una aproximación de dos cifras significativas. b) Reescriba la fórmula en una forma más ordenada usando la respuesta obtenida en a. c) Suponga que en un futuro no muy lejano, un puesto de investigación científica se colocará en órbita alrededor de este agujero negro de masa solar a una distancia de 10 km. Cuál será el factor de dilatación del tiempo es en este lugar? d) Si se enviaron una serie cíclica de relojes por el satélite una vez cada hora. Cuál será el intervalo de tiempo en segundos entre los ciclos de reloj en el momento en que lleguen a un observador distante?

7 5. El Sol emite energía electromagnética en longitudes de onda de rayos gamma a longitudes de radio. Los astrónomos estudian el sol en cada banda de longitud de onda para examinar diferentes aspectos de cómo los fenómenos solares funcionan. Para ver todo esta información a la vez, los astrónomos usan una gráfica Log-Log para graficar la emisión en cada longitud de onda (o frecuencia). En un gráfico logarítmico, en lugar de utilizar las unidades de 'x' e 'y', se utiliza el unidades log 10 (x) y Log 10 (y). A partir de los datos de brillo: a) Elabora una tabla que represente log(w) vs log (F) b) Trazar la gráfica longitud de onda y brillo del Sol, F en W/m 2, en cada longitud de onda electromagnética, w, en metros.

8 IDENTIFICANDO OBJETOS Identifique Polaris y apúntela con un telescopio Ubique Saturno Vega Arturo Hadar Alfa Centauri Spica Cruz del Sur Escorpión Shaula Antares Acrab Dschubba Scorpius M 23 M 21 M 6 M 7 Centauro Kappa Cruz Pléyades del Sur M 67 M 13 Triángulo de Verano M 18 M 17 M 31 Cassiopeia Arme todas las constelaciones posible y sus estrellas, β y Identifique galaxias y cúmulos y en lo posible apunte con telescopios Estime ubicación de nebulosas e intente apuntar con telescopios. En qué constelación está la Luna Identifique cráteres de la Luna Cefeo Corona Boreal

9 Apellidos Nombres Colegio Dirección Personal Teléfono OLIMPIADA COLOMBIANA DE ASTRONOMÍA, ASTRONÁUTICA Y ASTROFÍSICA ENTRENAMIENTO - OFICINA DE OLIMPIADAS UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO 3/6 Ciudad Grado 1) A continuación se muestra los datos obtenido del análisis del Doppler de una estrella enana marrón. Se toma el Na como espectro de referencia. Tenga en cuenta las suposiciones o condiciones mínimas que satisfagan la solución de las preguntas solicitadas. ANÁLISIS 1 Espectro Fecha t (días) 1 1Na D 1(Å) Velocidad Radial , , , , , , , , , , , ANÁLISIS 2 Espectro Fecha t (días) 2 2Na D 2 (Å) Velocidad Radial , , , , , , , , , , , Oficina de Olimpiadas Colombianas de Astronomía, Astrofísica y Astronáutica

10 a) Calcule la variación en las longitudes de ondas b) Calcule la velocidad radial del sistema. c) Proponga un modelo que represente la velocidad radial de la estrella. d) Determine el periodo del sistema. e) Puede determinar la amplitud del sistema f) Determine la masa del sistema g) Escriba una expresión que represente la velocidad de rotación del Sistema Oficina de Olimpiadas Colombianas de Astronomía, Astrofísica y Astronáutica

11 2) La luminosidad total de un cuerpo negro (la ley de Stefan) se basa en dos términos cuya medida sólo puede ser indirecta: la luminosidad y el radio. Ambos dependen de la distancia del objeto. Este ejercicio propone investigar cómo resolver esta dificultad cuando se sabe por interferometría el radio angular de la estrella. En lo que sigue, se denotará l al flujo relativo de la estrella, que varía con L/d 2 y el radio angular de la estrella. a) Cómo se expresa en función del radio R y de la distancia d? b) Escribir la relación de la luminosidad del cuerpo negro en función de los observables l y. c) Deducir cómo se puede relacionar la temperatura del cuerpo negro con magnitudes directamente medibles. 3) Con base en los fundamentos del balance radiativo de un planeta que se mueve en una órbita circular de radio a alrededor de su estrella y suponiendo el espacio interplanetario vacío. Lo que implica la conservación del flujo estelar integrado sobre toda superficie que rodea a la estrella. La rotación propia del planeta es suficientemente rápida para que se pueda considerar su temperatura T P como uniforme sobre toda la superficie. Se menosprecia otra fuente de energía que es la proveniente de la estrella. El planeta refleja una fracción A de la radiación solar, y absorbe una fracción (1- A), donde A es el albedo. En una primera aproximación, a baja resolución espectral, se considera que el espectro del planeta se constituye por la superposición de dos espectros de cuerpo negro de los cuales queremos determinar las temperaturas. Se define l r como la componente absorbida y radiada. a) Demostrar que la potencia interceptada por el planeta vale: Donde R representa el radio del planeta. l P = L R2 4a 2 4) El proyecto OWL (Over whelmingly Large Telescope) de la ESO para 2014 se dedicará al estudio de un telescopio con un colector de diámetro a = 100m. Debido al gran número de puntos técnicos difíciles, el concepto del telescopio se modificó en El diámetro del colector medirá 42m. a) Estimar la ganancia esperada de la magnitud límite observable con un telescopio de 100m en comparación a un telescopio de 10m. b) Este telescopio tendrá una óptica adaptativa que permitirá obtener una resolución angular próxima al límite de difracción. Calcular este límite para el dominio visible. 5) Con base a los datos conocidos de nuestra Galaxia: a) Cuántas revoluciones ha hecho el Galaxia desde la formación del Sistema Solar si tomamos la velocidad solar alrededor del centro galáctico que 365 kilómetros/s -1? b) Estime la velocidad de escape desde nuestra Galaxia. Nota: puede dejar expresadas a través de ecuaciones sus deducciones. Oficina de Olimpiadas Colombianas de Astronomía, Astrofísica y Astronáutica

12 ECUACIONES ENTRENAMIENTO TRIGONOMETRIA ESFERICA Teorema del seno de la trigonometría esférica Teorema del coseno de la trigonometría esférica Teorema del seno por el coseno

13 Coordenadas de un Observador en la Superficie de la Tierra Coordenadas geocéntricas, Coordenadas geodésicas, Coordenadas geográficas (astronómicas) Coordenadas Geocéntrica = latitud geocéntrica, = longitud geocêntrica, = distancia radial. -90 (90 S) 90 (90 N) (PNT) = 90 y (PST) = 90 Coordenadas Geodésicas Las coordenadas geodésicas son: = latitud geodésica, = longitud geodésica, h = altura sobre el esferoide. con Coordenadas geográficas (astronómicas) Cuando se determinan la latitud y la longitud mediante observaciones astronómicas, esto es, con respecto al polo celeste y al meridiano local a través de la vertical local, a los valores obtenidos de estos ángulos se les adiciona el adjetivo de geográficos (o también astronómicos).

14 Transformación entre latitudes Distancia radial Latitud geodésica Excentricidad e de un elipsoide e La Bóveda Celeste

15 Observación del cielo según la latitud

16 Coordenadas Horizontales Las coordenadas horizontales tienen como plano de referencia el horizonte matemático del observador. Tales coordenadas permiten ubicar la posición aparente de un astro para un observador cualquiera situado a una latitud y longitud dadas para un instante de tiempo especificado. A = azimut (o acimut), h = altura. Coordenadas ecuatoriales horarias Las coordenadas ecuatoriales horarias tienen como plano de referencia el ecuador celeste. H = Ángulo horario, = Declinación. Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas) Al igual que las coordenadas ecuatoriales horarias, las coordenadas ecuatoriales absolutas tienen como plano de referencia el ecuador celeste. = ascensión recta = declinación. La declinación es el mismo ángulo que definimos al introducir las coordenadas ecuatoriales horarias.

17 Coordenadas eclípticas Las coordenadas eclípticas tienen como plano de referencia a la eclíptica, esto es, a la trayectoria aparente del Sol en la bóveda celeste. = longitud eclíptica = latitud eclíptica Coordenadas galácticas Las coordenadas galácticas tienen como plano de referencia al plano de la galaxia en la que se encuentra el Sol, esto es, la Vía Láctea. En una noche despejada, oscura y lejos de la luz de la ciudad, es posible observar un gran manchón neblinoso que se extiende por el cielo. Dicho manchón resulta de la acumulación de miles de millones de estrellas situadas en su mayoría a cientos y miles de años luz de distancia. l = longitud galáctica b = latitud galáctica

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19 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa Puesto que la declinación es común a ambos sistemas lo único que hay que considerar aquí es la relación entre la ascensión recta y el ángulo horario H. La conexión se establece a través de algo que nos indique la posición del punto vernal. Y este algo se llama tiempo sideral local, TSL. El tiempo sideral local de un observador en un instante dado se define como el ángulo horario del punto vernal: TSL = H Existe una relación entre, H y TSL y deducir una ecuación: TSL = H = + H Conversión entre tiempo sideral y tiempo solar medio

20 El tiempo sideral local El tiempo sideral local (TSL) para un observador dado es el ángulo horario del punto vernal que aprecia dicho observador: TSL = H Por lo tanto, el tiempo sideral local es cero para un observador cuando éste nota que el punto vernal está culminando superiormente. El tiempo solar verdadero El tiempo solar verdadero (TSOLV ) para un observador dado es el ángulo horario del Sol verdadero que aprecia dicho observador, más doce horas : Donde representa el ángulo horario del Sol1 verdadero. Como sabemos, esta escala de tiempo no es uniforme y, por lo tanto, de escasa utilidad al momento de medir la duración de los eventos. El tiempo solar medio El tiempo solar medio (TSOLM) para un observador dado es el ángulo horario del Sol medio que aprecia dicho observador, más doce horas: donde denota el ángulo horario del Sol medio. Esto significa que el d ³a solar medio comienza a contarse a partir de la culminación inferior del Sol medio, esto es, cerca de lo que llamamos en nuestra vida diaria la media noche. Vemos inmediatamente la conexión existente entre el concepto de tiempo solar medio y el tiempo que estamos acostumbrados a utilizar. En efecto, cuando el Sol está en, o muy cerca de su culminación (Hsol 0), sabemos que son cerca de las 12 meridiano; si el Sol está próximo a ocultarse cerca del occidente (Hsol 6 h ) son cerca de las 6 p.m. o las 18 horas, y así sucesivamente. La ecuación del tiempo La ecuación del tiempo (ET) es la diferencia existente entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio: ET = TSOLV TSOLM

21 Tiempo sideral en Greenwich

22 EJERCICIOS VARIOS 1. Detrmine la distancia cenital delos siguientes astros: a) Un astro con altura de 60 b) Un astro situado a 30 por debajo del horizonte celete. 2. Un observador en Bogotá =74 05 W, mide el angulo horario de una estrella y obtiene H= Si en el instante de la observación el TSG=12 h 30 m. deterrmine la ascención recta de la estrella. 3. Una estrella tiene ascención recta igual a y un ángulo horario de para un determinado observador Cual es el tiempo sideral local? La mayoría de los cometas de un solo aspecto entran al Sistema Solar interior directamente de la Nube de Oort. Estime el tiempo que tarda un cometa para hacer este viaje. Supongamos que en la Nube de Oort se encuentra a UA del Sol, el cometa estaba en el afelio. 6. Estime el numero de estrellas en un cúmulo globular de 40 pc de diámetro, si la velocidad de escape en el borde del cúmulo es de 6 km s 1 y la mayoría de estrellas son similares al Sol. 7. Suponiendo que Fobos (Luna del planeta Marte) se mueve se mueve alrededor de Marte en una órbita perfectamente circular respecto al plano ecuatorial del planeta, diga cuanto tiempo permanece Fobos sobre el horizonte para un observador situado en el ecuador de Marte. Use los siguientes datos: Radio de Marte R Marte = km Periodo de Rotación de Marte T Marte = horas Masa de Marte M Marte = kg Radio Orbital de Fobos R F = km. 8. Cuál debe ser el diámetro de un radiotelescopio para trabajar en una longitud de onda de λ = 1 cm con la misma resolución que un Telescopio de diámetro D = 10 cm? 9. La ecuación de la eclíptica en coordendas ecuatoriales (α,δ) tiene la forma: δ = arctan ( sin α tan ε ), Donde ε es el angulo entre el ecuador celeste y el plano de la eclíptica. Encuentre una relación análoga h = f (A) para elecuador galactico en coordenadas horizontales (A, h) para un observador ubicado en la latitud φ = 49 o 34' y tiempo sideral local θ = 0 h 51 m. 10. Dado que la radiación cósmica de fondo tiene un espectro de un cuerpo negro a lo largo de la evolución del Universo, determine como su temperatura cambia con el redshift o corrimiento al rojo z. En particular, dé la temperatura de la radiación cósmica de fondo época z 10 (del objeto mas lejano que se puede observar). La temperatura actual de la radiación cósmica de fondo es de 2,73 K.

23 Apellidos Nombres Colegio Dirección Personal Teléfono OLIMPIADA COLOMBIANA DE ASTRONOMÍA, ASTROFÍSICA Y ASTRONÁUTICA ENTRENAMIENTO EJERCICIOS 6/6 Ciudad Grado 1. Determinar el ángulo horario de la estrella Antares para un observador cuyo tiempo sideral es de 5 h 45.5 m 2. Dadas las coordenadas eclípticas de la Luna en un instante dado ( = y = 8 47 ) determine las coordenadas ecuatoriales. 3. Las coordenadas de la nebulosa del Cangrejo (M1) son 5 h 34 m y Determine sus coordenadas galácticas. 4. Las coordenadas galácticas de un objeto observado son l= y b= Determine sus coordenadas ecuatoriales. 5. Dos estrellas muy próximas tienen magnitudes visuales aparentes de 2.0 y 3.0. Cuál es la magnitud visual aparente del conjunto formado por ambas si no se pudiesen resolver?. 6. Una estrella tiene una magnitud aparente de 18.0 y una paralaje de 0".01 Cuál es su magnitud absoluta?. 7. Estime el tiempo de vida de una estrella tipo Sol de la secuencia principal asumiendo que el 15% de su masa está ubicada en su núcleo de H. Asuma que la luminosidad es constante con el tiempo. Material de Entrenamiento Olimpiadas Colombianas de Astronomía, Astrofísica y Astronáutica