Universidad de Manizales

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1 Universidad de Manizales INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL JULIAN GONZÁLEZ LÓPEZ ALVARO SALAS SALAS

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3 UNIVERSIDAD DE MANIZALES INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL JULIÁN GONZÁLEZ LÓPEZ Profesor Asociado Universidad de Manizales Departamento de Matemáticas Universidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas ALVARO SALAS SALAS Profesor Auxiliar Universidad de Caldas - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Manizales, Octubre de 2000

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5 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL TABLA DE CONTENIDO CAPÍTULO I. PROGRAMACIÓN LINEAL. INTRODUCCIÓN.. Modelos de programación lineal 3... Forma matricial del modelo de programación lineal Forma estándar de un modelo de programación lineal 4.2. Formulación de modelos de programación lineal 8 Ejercicios propuestos 20 CAPÍTULO II. MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN. INTRODUCCIÓN Método gráfico para el caso de dos variables de decisión Graficación de un sistema de desigualdades Isocuantas de la función objetivo 27 Ejercicios propuestos 32 5

6 UNIVERSIDAD DE MANIZALES CAPÍTULO III. MÉTODO SÍMPLEX. INTRODUCCIÓN Preparación para el método símplex Variables de holgura 3.2. Forma algebraica del método símplex Forma tabular del método símplex Método símplex usando la técnica M (método de penalización) 67 Ejercicios propuestos 7 HOJA DE RESPUESTAS 73 BIBLIOGRAFIA 76 6

7 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PRESENTACIÓN La Investigación de Operaciones y en particular una de sus áreas la programación lineal ha tenido bastante difusión y aplicación en los últimos años. La necesidad de asignar en forma óptima, entre diversas actividades, recursos en general escasos como; dinero, mano de obra, energía, materia prima y muchos otros factores limitados; es importante para el profesional que en su ejercicio diario requiere tomar decisiones. La programación matemática dentro de la cual se encuentran los modelos de programación lineal difiere de los métodos de optimización clásica, ya que enfrenta problemas donde las limitaciones o restricciones se expresan como desigualdades, lo que le imprime mayor realismo a los modelos; en estos casos los métodos clásicos basados en el cálculo no funcionan. Este libro presenta de una manera sencilla, los conceptos básicos de la programación lineal y algunas de sus múltiples aplicaciones; va dirigido a estudiantes de las ciencias económicoadministrativas y solo requiere de parte del lector conocimientos básicos de álgebra matricial. En el capítulo I se exponen los modelos de programación lineal y la solución de problemas cuyo planteamiento conduce a este tipo de modelos. El capítulo II presenta la solución de modelos de programación lineal con dos variables de decisión a través del método gráfico. El capítulo III desarrolla el algoritmo simplex inicialmente en forma algebraica con lo cual se busca una mejor comprensión de éste por parte del estudiante y posteriormente en su forma tabular más eficiente desde el punto de vista computacional. El capítulo IV muestra la implementación del algoritmo simplex en la plataforma del paquete MATHEMATICA a través de un programa interactivo, el cual permite además analizar los casos especiales que se presentan en estos modelos tales como; modelos sin solución, con soluciones óptimas alternativas y no acotados, se proporcionan también los criterios para detectar en el desarrollo del algoritmo la presencia de éstas situaciones. Agradecemos a nuestros lectores sus sugerencias y comentarios a fin de mejorar este material en futuras ediciones. JULIAN GONZALEZ LOPEZ ALVARO SALAS SALAS Manizales, septiembre de

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9 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPÍTULO I PROGRAMACIÓN LINEAL INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales en la toma de decisiones es elegir dentro de un conjunto posible de alternativas (soluciones factibles de un problema de interés), la mejor decisión, o la óptima, según un criterio previamente definido. La optimización es una técnica que busca, con base en distintos modelos matemáticos, la asignación eficiente de recursos, siempre escasos, requeridos en diversas actividades productivas que compiten entre sí, con el propósito de satisfacer los objetivos deseados en el sector productivo, financiero, agrícola, entre otros, y que suelen ser la maximización o minimización de alguna cantidad tal como: costo, beneficio, tiempo, desperdicio, etc. Existen varios métodos de optimización; algunos clásicos utilizan el cálculo diferencial y funcionan bien en muchos casos; los no clásicos, cuyo desarrollo es más reciente, se basan en una serie de modelos llamados Modelos de Programación Matemática, como los modelos de programación lineal, modelos de programación entera, modelos de programación no lineal, etc. Los modelos de programación matemática relacionan una variable de interés Z que se desea optimizar en términos de un conjunto de variables x, x 2,, x n, denominadas variables de decisión, conformando una función objetivo que matemáticamente se expresa así: 9

10 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Z = f (x, x 2, x n ) La optimización de la variable Z normalmente está sujeta o condicionada a un conjunto de restricciones que son impuestas por el medio, o que reflejan limitaciones reales. Dichas restricciones se expresan en función de las variables de decisión a través de ecuaciones o inecuaciones según el tipo de limitación. Matemáticamente una restricción se expresa de la siguiente forma: g i (x, x 2,, x n ) = b i con i =, 2, 3,, n Por la naturaleza de las variables de decisión x, x 2, x n, puede ser necesario agregar restricciones adicionales; por ejemplo, que sean enteras, o que sean no negativas. Resumiendo, un modelo de programación matemática adopta la siguiente forma: Sujeta a: maximizar o minimizar. [ Z = f (x, x 2,, x n )] Función Objetivo g (x, x 2,, x n ) = b g 2 (x, x 2,, x n ) = b 2. Restricciones Principales.. g m (x, x 2,, x n ) = b m x 0, x 2 0,, x n 0 Restricciones de no Negatividad En este modelo de programación matemática los métodos clásicos de optimización basados en el cálculo diferencial no funcionan debido a la presencia de restricciones expresadas como 0

11 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL desigualdades, por lo cual es necesario desarrollar nuevos métodos para encontrar la solución óptima. Los métodos de optimización no clásicos utilizan técnicas iterativas (paso a paso) los que en la actualidad con ayuda de los ordenadores resultan relativamente fáciles de implementar, permitiendo la solución de problemas donde intervienen gran cantidad de variables y de restricciones... MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Un modelo de programación lineal es un modelo de programación matemática donde la función objetivo y las restricciones son lineales; es decir, tiene la forma: Sujeta a: max. o min. [ Z = c x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n ] a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b a m x + a m2 x a mn x n = b m x 0, x 2 0 x n 0 Las restricciones de no negatividad no son estrictamente necesarias, sin embargo, en problemas de naturaleza económica o financiera, entre otros, suelen estar presentes.

12 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En el modelo de programación lineal se tiene que: Z es la función objetivo o variable a optimizar, x, x 2,, x n son las variables de decisión y c, c 2,, c n, a, a 2,, a mn, b, b 2,, b m son los parámetros. Los parámetros se pueden interpretar según el contexto donde surja el modelo; de esta forma se tiene que: c, c 2,, c n, son beneficios unitarios, costos unitarios o precios unitarios, entre otros, a i j para i=, 2,, m ; j =, 2,, n son los coeficientes tecnológicos y b, b 2,, b m pueden representar recursos disponibles, o bien demandas, etc.... FORMA MATRICIAL DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL El modelo de programación lineal puede escribirse de una manera más compacta usando la notación matricial, así: C= c c 2... c n, A= a a 2...a n a 2 a 22...a 2n a m a m2...a mn, X= x x 2... x n, B= b b 2... b m 2

13 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL El modelo queda: max. o min. [ Z = C X ] Sujeta a AX = B X 0 con C = Matriz transpuesta de C..2. FORMA ESTÁNDAR DE UN MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Un modelo de programación lineal puede escribirse de tal forma que sus restricciones principales sean todas de igualdad, es decir, que formen un sistema lineal de ecuaciones. Lo anterior es necesario para su solución por el método Símplex. El modelo de programación lineal así expresado se conoce como Modelo de Programación Lineal en Forma Estándar. Para escribir una desigualdad como igualdad es necesario sumar o restar una variable adicional según sea del tipo menor o igual o mayor o igual, así: g i (x, x 2,, x n ) b i g i (x, x 2,, x n ) + X i = b i g k (x, x 2,, x n ) b k g k (x, x 2,, x n ) - X k = b k Las variables X i o X k se denominan Variables de holgura y excedente, deben ser no negativas y su significado o interpretación económica se hace en el contexto de un problema real. Un modelo de programación lineal está en forma estándar si cumple las siguientes condiciones: 3

14 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Ÿ Todas las restricciones, con excepción de las restricciones de no negatividad son igualdades. Ÿ Los elementos del lado derecho de cada igualdad son no negativos ( 0). Ÿ Todas las variables son no negativas ( 0). Ÿ Se tiene como objetivo maximizar o minimizar Z. Ejemplo.. Escriba el siguiente modelo de programación lineal en su forma estándar. min. [Z = x - 3x 2 ] sujeta a: -x + 2x 2 5 x + 3x 2 = 0 x, x 2 son irrestrictas en signo. Nota: Cuando se dice que una variable es irrestricta en signo, significa que ella puede tomar valores positivos, negativos o cero. Solución: Se debe obtener un modelo con todas las variables de decisión no negativas,por lo cual se definen x, x 2 en terminos de las variables x +, x -, x 2+, x 2 - no negativas. x = x + - x - con x + 0 y x - 0. x 2 = x x 2 - con x y x 2-0. Reemplazando x, x 2, el modelo queda: sujeta a: min. [ Z = x + - x - - 3x x 2 - ] x + x + 2x 2-2x x - x + 3x 2-3x 2 = 0 - x +, x -, x 2+, x 2 0 4

15 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL - Nota: Si al resolver este modelo se obtienen valores para x +, x entonces en el modelo + - original el valor de x será x = x - x La misma aclaración es válida para las demás variables. Llevando la primera restricción a igualdad sumándole una variable de holgura X 3 en el lado izquierdo, obtenemos la forma estándar: sujeta a: min. [Z = x - x - 3x 2 + 3x 2 ] x + x + 2x 2-2x 2 + X 3 = x - x + 3x 2-3x 2 = 0 x +, x -, x 2+, x 2-, X 3 0 Ejemplo.2. Obtenga la forma estándar del modelo de programación lineal: sujeta a: max. [Z = x - 2x 2 + x 3 ] x + x 2 + x 3-3 2x + x 2 - x 3 x + x 3 3 x, x 2 0, x 3 0 Solución: * Se define x 3 = - x 3 con lo que se obtiene x 3* 0 5

16 UNIVERSIDAD DE MANIZALES * Reemplazando x 3 y multiplicando por (-) la primera restricción se llega al modelo: max. [Z = x - 2x 2 -x 3* ] - x - x 2 + x 3* 3 2x + x 2 + x 3* x - x 3* 3 * x, x 2, x 3 0 Se agregan las variables de holgura X 4, X 5, X 6 para obtener la forma estándar: sujeta a: max. [Z = x - 2x 2 - x 3* ] * - x - x 2 +x 3 - X 4 = 3 * 2x + x 2 +x 3 - X 5 = * x - x 3 + X 6 = 3 x, x 2, x, X 3* 4, X 5, X FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Sin duda la formulación de un modelo matemático para una situación real o un fenómeno natural no es algo fácil. Sin embargo, existen algunas pautas que pueden orientar al alumno en este proceso. No existen fórmulas mágicas ni recetas, pero sí estrategias que ayudan a abordar los problemas. Un problema de optimización, a menudo formulado verbalmente, debe expresarse en términos matemáticos. Se recomienda la siguiente estrategia: 6

17 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ÿ Con base en una lectura cuidadosa, comprender el problema e identificar las variables involucradas (variable a optimizar, variables de decisión) y el objetivo (maximizar o minimizar). Ÿ Separar la información necesaria de la información que no se requiere en la construcción del modelo. Si es necesario organice adecuadamente la información en cuadros o tablas. Ÿ Definir en forma apropiada las variables de decisión x, x 2,, x n y la función objetivo. Puede realizarse de varias formas, aunque una buena definición de las variables facilita la construcción del modelo, mientras que otras pueden complicar innecesariamente este proceso. Ÿ Construir la función objetivo en términos de las variables de decisión. No olvide considerar el análisis de dimensiones, el cual consiste en verificar que las unidades del lado izquierdo de una igualdad o desigualdad coincidan con las unidades del lado derecho. No tiene sentido, por ejemplo, una igualdad o desigualdad donde el lado izquierdo tiene unidades de tiempo y el lado derecho unidades de longitud. Ÿ Construir las restricciones en términos de las variables de decisión, de acuerdo con los aspectos mencionados en el numeral anterior. Cerciórese de que para usted es claro el significado de expresiones como: por lo menos, a lo sumo, como máximo, cuando mucho, al menos, como mínimo, entre otras. No olvide incluir todas las restricciones. Ÿ Exprese las restricciones implícitas o que aparecen disimuladas en el problema, pero que son claras por la naturaleza de las variables. Por ejemplo, las variables por su naturaleza pueden requerir que sean no negativas o enteras, o pueden carecer de restricciones. Sin ser exhaustivas, las anteriores recomendaciones, a pesar de que no garantizan éxito en la formulación de modelos, son de gran ayuda en el proceso. Recuerde que el factor principal es el ingenio y la creatividad en combinación con la experiencia. 7

18 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Veamos algunos ejemplos de formulación de modelos de programación lineal, en distintos campos. Ejemplo.3. Planeación de la Producción. Una planta industrial puede manufacturar 5 productos (A, B, C, D, E) en cualquier combinación. Cada producto requiere tiempo en 3 máquinas como se muestra en la tabla. Cada máquina está disponible 28 horas a la semana. Los productos son netamente competitivos y cualquier cantidad fabricada puede venderse a $5, $4, $5, $4, $4 la libra respectivamente. Los costos variables por hora de trabajo son $4 para las máquinas y 2, y $3 para la máquina 3. Los costos de material para cada línea de producto son $2 para A y C y $ para B, D, E por libra. Construya un modelo de programación lineal que permita determinar el nivel óptimo de producción (ver Cuadro Ejemplo.3) Solución: El nivel óptimo de producción es el número de unidades (libras) a producir de cada producto A, B, C, D, E, con el fin de obtener la mayor utilidad. Definición de variables. Variable a optimizar : Z :Utilidad en pesos. Variables de decisión: x, x 2, x 3, x 4, x 5 : Número de libras a producir de A, B,C,D y E, respectivamente. La información básica del sistema de producción se presenta en el siguente cuadro. 8

19 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tiempo en minutos/libra MÁQUINA PRODUCTO 2 3 Precio Venta Costo Materia Prima $/Libra $/Libra A B C D E Cuadro Ejemplo.3 Construcción de la función objetivo: Para construir la función objetivo se requiere conocer la utilidad por libra de cada producto. Costos por libra de cada producto: Una libra de producto A requiere: Materia prima $ 2 2 Minutos en la máquina A a $ 4 da hora 2 60 $ horas 4 = $ 0.8 hora 8 Minutos en la máquina B a $ 4 da hora 8 60 $ horas 4 = $ 0.53 hora 9

20 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 5 Minutos en la máquina C a $ 3 da hora 5 60 $ horas 3 = $ 0.25 hora Total Costo Libra producto A $ De igual forma obtenemos los costos por libra de los otros productos que aparecen en la tabla. La utilidad por libra de cada producto se obtiene restando del precio de venta por libra el costo por libra. Se propone al lector la verificación de las cifras en la siguiente tabla: PRODUCTO Precio Libra en $ Costo Libra en $ Utilidad Libra en $ A B C D E Por lo tanto la función de utilidad se construye sumando la utilidad total obtenida para x libras de A, x 2 libras de B, x 3 libras de C, x 4 libras de D, x 5 libras de E obteniéndose: Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 Construcción de las restricciones: Cada máquina impone una restricción, pues la disponibilidad en horas a la semana está limitada a 28 horas o sea 7680 minutos. 20

21 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Totalizando el número de minutos que se ocupa la máquina en la producción de x libras de A, x 2 libras de B, x 3 libras de C, x 4 libras de D, x 5 libras de E, éste no debe sobrepasar el tiempo total disponible, es decir debe ser menor o a lo sumo igual a 7680 minutos. Máquina. 2 min min x libra A + 7 x2 libra B + 8 x3 + 0 x4 + 7 x libra A libra B La restricción queda: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x De igual forma se tiene restricción de tiempo para el uso de las máquinas 2 y 3 así: Máquina 2 8x + 9x 2 + 4x 3 + 0x Máquina 3 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x Se deja como ejercicio la deducción de estas dos últimas restricciones. Como las variables de decisión son el número de libras a producir de cada producto, ésta debe ser una cantidad no negativa, es decir, 0 (cero) o positiva, por lo que son necesarias las restricciones de no negatividad sobre las variables de decisión. 2

22 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El modelo de programación lineal finalmente queda: sujeta a: max [ Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 ] 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x x + 9x 2 + 4x x x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x x, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Ejemplo.4. Planeación Financiera Un empresario tiene la opción de invertir su dinero en dos planes: el plan A le garantiza que cada peso invertido ganará 70 centavos dentro de un año, el plan B le ofrece que en 2 años su dinero se triplica, pero exige que las inversiones sean por periodos múltiplos de dos años. Construya un modelo de programación lineal para saber cuál será un plan de inversión para $ con el fin de obtener el máximo dinero posible en el año 3. Solución: Con un diagrama de tiempo se definen las variables en forma apropiada, las flechas hacia abajo son las inversiones y hacia arriba representan las rentas o ingresos. Plan A 22

23 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Plan B (Inversiones por períodos múltiplos de dos años) 3X 0B 3X B Años X0B X B Sea X i j : Cantidad de dinero a invertir en el plan j (j = A, B) en el año i ( i = 0,, 2 ) El objetivo es maximizar la suma de dinero disponible en el año 3. Sea Z suma de dinero a retirar en el año 3, es decir Z =.7X 2A + 3X B Las restricciones se relacionan con la cantidad de dinero disponible en cada período anual. En 0 hay disponible Por lo tanto, X 0A + X 0B En hay disponible.7x OA. Por lo tanto, X A + X B.7X OA En 2 hay disponible.7x A + 3X OB, luego X 2A.7X A + 3X 0B Además, X 0A, X A, X 2A, X 0B, X B 0, X 2B = 0 23

24 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El modelo de programación lineal queda: Sujeta a: max [ Z =.7X 2A + 3X B ] X 0A + X 0B < X 0A - X A - X B 0.7X A - X 2A + 3X OB 0 X 0A, X A, X 2A, X 0B, X B 0 Ejemplo.5. Puntos de Equilibrio Múltiple La compañía ATI S.A. fabrica dos tipos de productos A y B. La firma ha contratado 800 unidades de A y desea saber cuál es el punto de equilibrio óptimo teniendo la siguiente información: Precio $/Unidad Costo $/Unidad Costos Fijos Producto A Producto B Solución: Sean X : Número de unidades del producto A vendidas y producidas. X 2 : Número de unidades del producto B vendidas y producidas Y : Ingresos por la venta del número de unidades producidas de A y B. C : Costo de producir X unidades de A y X 2 unidades de B. El equilibrio se logra cuando los ingresos son iguales a los costos. 24

25 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Como Y = 500X + 750X 2 $ (Ingresos) C = 300X + 340X $ (costos) Equilibrio Y - C = 0 Recta de Equilibrio: 200X + 40X 2 = Si dibujamos la recta de equilibrio tenemos: Para buscar el punto de equilibrio debe asumirse algún criterio. Caso : Si el criterio es maximizar los ingresos se tiene el siguiente modelo: Sujeta a: max [ Y = 500X + 750X 2 ] 200X + 40X 2 = (Equilibrio) X 800 (Demanda comprometida) X, X

26 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Caso 2: Si el criterio es minimizar costos se obtiene el modelo. sujeta a: min. [ C = 300X + 340X 2 ] 200X + 40X 2 = X 800 X, X 2 0 Ejemplo.6. Mezclas. Un vinatero desea mezclar vino de 5 años diferentes para fabricar tres tipos de vino mezclados. La oferta disponible en galones del año i (con i =, 2, 3, 4, 5) es de 800, 900, 500, 900 y 600 respectivamente. La mezcla A se considera especial por lo que no se producirán más de 200 galones (ver Tabla Ejemplo.6) Cuántos galones debe producir de cada mezcla para maximizar el beneficio? Elabore un modelo de programación lineal. Solución: Para definir las variables de decisión en este caso conviene usar doble subíndice. Sea X ij : Cantidad en galones del año i (i =, 2, 3, 4, 5) utilizados en la mezcla j ( j = A, B, C). Luego se tienen 5 variables de decisión a saber: X A X 2A X 3A X 4A X 5A X B X 2B X 3B X 4B X 5B X C X 2C X 3C X 4C X 5C 26

27 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La siguiente tabla da los requerimientos y el beneficio por galón para cada tipo de vino mezclado. MEZCLA REQUISITO Beneficio por Galón en $ A Al menos el 60% debe provenir 4000 de los años y 2 y no más del 0% de los años 4 y 5. B Al menos el 50% debe provenir 3000 de los años, 2 y 3. C No más del 50% del año Tabla Ejemplo.6 Función Objetivo: Z (utilidad en $) Objetivo: Maximizar utilidad. Se tiene además que: 5 i= X ia ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla A. 5 i= X ib ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla B. 5 i= X ic ; Cantidad total de galones producidos de la mezcla C. 27

28 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La función utilidad queda entonces: 5 Z = X ia X ib i= 5 i= 5 XiC i= Restricciones asociadas con la calidad del vino mezclado: Las restricciones determinan la calidad del la mezcla. Para el vino mezclado tipo A: Por lo menos el 60% de los años y 2; Se obtiene la restricción lineal: X 0.6 i= No más del 0% de los años 4 y 5: 5 A 5 i= + X X ia 2 A 0.6 X ia - X A - X 2A 0 X 4 A 5 i= + X X ia 5 A 0. Se obtiene la restricción lineal: 0. = i 5 X ia - X 4A - X 5A 0 28

29 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Para el vino mezclado tipo B: Al menos el 50% debe provenir de los años, 2, 3: X B + X 5 i= 2B X ib + X 3B 0.5 Se obtiene la restricción lineal : = i X ib - X B - X 2B - X 3B 0 Para el vino mezclado tipo C: No más del 50% del año 5. De donde resulta la restricción lineal: 5 X i= 5C X ic i= X ic - X 5C 0. Restricciones debido a la disponibilidad de recursos: Oferta de vino del año X A + X B + X C 800 Oferta de vino del año 2 X 2A + X 2B + X 2C 700 Oferta de vino del año 3 X 3A + X 3B + X 3C 500 Oferta de vino del año 4 X 4A + X 4B + X 4C 900 Oferta de vino del año 5 X 5A + X 5B + X 5C

30 UNIVERSIDAD DE MANIZALES De la mezcla A no se producirán más de 200 galones. X A + X 2A + X 3A + X 4A + X 5A 200 Restricciones de no negatividad: Todas las variables deben ser no negativas. X ij 0 para i =, 2, 3, 4, 5; j = A, B, C. Finalmente, el modelo de 5 variables con 0 restricciones queda: 5 max [Z = X ia X ib i= 5 i= 5 i= X ic ] sujeto a: ( i= 5 0. ( i= ( i= ( i= X ia ) - XA - X 2A 0 X ia ) - X4A - X 5A 0 X ib ) - XB - X 2B - X 3B 0 X ic ) - X5C 0 X A + X B + X C 800 X 2A + X 2B + X 2C

31 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL X 3A + X 3B + X 3C 500 X 4A + X 4B + X 4C 900 X 5A + X 5B + X 5C 600 X A + X 2A + X 3A + X 4A + X 5A 200 X ij 0 i =, 2, 3, 4, 5 j = A, B, C EJERCICIOS PROPUESTOS.. Un inversionista puede elegir entre los planes de inversión A o B disponibles al comienzo de cada uno de los próximos cinco años. Cada peso invertido en el plan A al iniciar un año le reditúa el 42% dos años más tarde, y el plan B le reditúa por cada peso invertido a principio de año 0.60 pesos tres años más tarde, cantidades que puede reinvertir. Además cuenta con los planes C y D disponibles una sola vez sin posibilidad de reinvertir. Cada peso invertido en C al comienzo del segundo año le produce $2 cuatro años más tarde. Cada peso invertido en D al final del tercer año, le produce $.70 dos años después. El inversionista comienza con $ y desea conocer cuál es el plan óptimo de inversión que le maximice la cantidad de dinero al final del quinto año. Construya un modelo de programación lineal y resuélvalo con el paquete que le recomiende su profesor..2. Un editor imprime un nuevo libro, para lo cual considera dos alternativas de empastado, en cartón duro o encolado. Un libro en cartón duro deja una utilidad de $4.000, mientras que en pasta blanda o encolado la utilidad es de tan sólo $900. Para empastar un libro en cartón duro se requieren 5 minutos y con pasta ordinaria 8 minutos. Se dispone de 70 horas para empastar y se estima que las ventas serán hasta 200 3

32 UNIVERSIDAD DE MANIZALES copias para el libro con pasta dura y 400 copias a lo sumo del libro encolado. Formule un modelo de programación lineal que permita saber el número de libros a empastar de cada clase..3. Un restaurante que presta servicio las 24 horas del día, requiere las siguientes meseras: Horas del día No. Mínimo de Meseras Cada mesera trabaja 8 horas consecutivas al día. Elabore un modelo de programación lineal que permita hallar el número óptimo (mínimo requerido) de meseras para cumplir los requisitos anteriores..4. Una tienda de animales ha determinado que cada Hamster debe recibir al día por lo menos 78 unidades de proteína, 0 unidades de carbohidratos y 6 unidades de grasa. Si la tienda vende los 4 tipos de alimentos mostrados. Qué mezcla de alimento satisface las necesidades nutricionales de los Hamster a un mínimo costo para la tienda? Elabore un modelo de programación lineal. Alimento Proteinas Carbohidratos Grasa Costo Unidad/Onza Unidad/Onza Unidad/Onza Centavo/Onza I II III IV

33 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL.5.Una persona hereda US$6.000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir en efectivo. Con el primer amigo tendría que invertir U$5.000 y 400 horas y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería U$ Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son U$4.000 y 500 horas, con una ganancia de U$ Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como el heredero está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo) ha decido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Formule el modelo de programación lineal para este problema..6. Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable, lo cual creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de máquina Disponibilidad Coeficiente de productividad Horas - Máquina/Semana Horas - Máquina/Unidad Prod. Prod.2 Prod.3 FRESADORA TORNO RECTIFICADORA

34 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25 respectivamente para los productos, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule un modelo de programación lineal para este problema..7. En el ejemplo.3, verificar los datos del cuadro para la utilidad por libra de cada producto y deducir las restricciones para las Máquinas 2 y 3. 34

35 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPÍTULO II MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES DE DECISIÓN INTRODUCCIÓN Cuando un modelo de programación lineal tiene dos variables de decisión, las restricciones determinan regiones del plano. El conjunto de m restricciones define por lo tanto una región del plano que contiene todos los puntos (x, x 2 ) que las satisfacen. Esta región del plano se denomina región de soluciones factibles, ya que cualquier punto de ella satisface las restricciones y por lo tanto es una solución del problema. De entre todas las soluciones factibles se trata de buscar la solución óptima, es decir, aquella que maximice o minimice la función objetivo. 2.. MÉTODO GRÁFICO PARA EL CASO DE DOS VARIABLES DE DECISIÓN Los pasos a seguir para resolver un modelo de programación lineal de dos variables de decisión usando el método gráfico son: Paso : Dibujar la región de soluciones factibles. Paso 2: Dibujar algunas isocuantas de la función objetivo, es decir curvas en el plano donde para cualquier punto sobre cada una de ellas la función objetivo tiene un valor constante. Las ecuaciones de estas curvas son de la forma Z = const. 35

36 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Paso 3: Ubicar el vértice de la región factible donde ocurre el máximo o el mínimo dependiendo de la dirección en que crecen o decrecen las isocuantas. Una isocuanta crece en la dirección en que la función objetivo aumenta su valor y decrece en la dirección en que la función objetivo disminuye su valor GRAFICACIÓN DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES Para determinar la región del plano que satisface una desigualdad de la forma ax + bx 2 + c 0 se procede de la siguiente manera: Ÿ Se dibuja en primer lugar la ecuación ignorando la desigualdad, es decir, graficamos ax + bx 2 + c = 0: c a La recta ax + bx 2 + c = 0 determina en el plano dos semiplanos denominados I y II. Los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad ax + bx 2 + c = 0, los puntos fuera de la recta en los semiplanos I y II satisfacen las desigualdades (> ó < ). 36

37 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ÿ Para determinar cuál de los dos semiplanos satisface la desigualdad ax + bx 2 + c < 0 se escoge un punto arbitrario del semiplano I o del II, y se reemplaza en la desigualdad. Por ejemplo, puede escogerse el origen (0, 0); si éste satisface la desigualdad, entonces todos los puntos del semiplano I que contiene a (0, 0) la satisfacen, en caso contrario la desigualdad la verifican los puntos de la región II. Ejemplo 2.. Gráficar la región del plano que satisface la desigualdad 2x + 3x 2 6 Solución: Se grafica la ecuación 2x + 3x 2 = 6 : X 2 I II II 2 X + 3 X 2 = 6 I X 37

38 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Tomamos (0, 0) como punto de prueba: 2(0) + 3(0) < 6 0 < 6 Verdadero Por lo tanto la región sombreada que contiene el punto de prueba, satisface la desigualdad y los puntos sobre la recta satisfacen la igualdad. Ejemplo 2.2. Dibujar la región del plano cuyos puntos satisfacen las restricciones. Solucion: 2x + x 2 = 4 ; 2x + x 2 4 x + x 2 x 0, x 2 0 Punto de prueba (0, 0); 0 4 Verdadero 38

39 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL x + x 2 = : Punto de prueba (0, 0): 0 Falso. x 0 y x 2 0, primer cuadrante: 39

40 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Por lo tanto, la región del plano que satisface las restricciones dadas es la intersección de las tres regiones anteriores: 40

41 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Para mayor claridad, la región se muestra en la gráfica siguiente: ISOCUANTAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Para un modelo de programación lineal con dos variables de decisión se tiene que la función objetivo es: Z = c x + c 2 x 2 Esta es la ecuación de un plano en el espacio tridimensional. Las isocuantas (curvas de nivel) se obtienen dando valores fijos a la variable Z obteniéndose una familia de rectas en el plano x - x 2. Si Z = k con k constante tenemos: c x + c 2 x 2 = k, distintos valores de k darán diferentes elementos de la familia de rectas. 4

42 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Ejemplo 2.3. Dibujar las Isocuantas de la función Z = 3x + 2x 2,cuando Z = 6, Z = 2, Z = 8 en el mismo plano. Solución: Si Z = 6 3x + 2x 2 = 6 Si Z = 2 3x + 2x 2 = 2 Si Z = 8 3x + 2x 2 = 8 Ejemplo 2.4. Resolver el modelo de programación lineal. max. [Z = 2x + x 2 ] Sujeto a: x 2 0 I 2x + 5x 2 0 II x + x 2 4 III 5x - 3x 2 20 IV x, x

43 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles. Las restricciones de no negatividad indican que la región de soluciones factibles se encuentra en el primer cuadrante. En el mismo plano se dibujan dos isocuantas de Z = 2x + x 2 Si Z = 4 se tiene: 4 = 2x + x 2 Z = 6 se tiene: 6 = 2x + x 2 43

44 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Si visualmente se sigue la dirección en que crece Z se observa que el máximo valor de Z se obtiene en el vértice C. Las coordenadas del vértice C se obtienen resolviendo por la regla de Cramer, el sistema de ecuaciones correspondientes a las restricciones III y IV. Solucion del sistema de ecuaciones, para hallar las coordenadas del vertice C: x + x 2 = 4 5x - 3x 2 = 20 III IV 4 X = = 3 5 = 62 8 = X 2 = 5 20 = = 50 8 = Por lo tanto los valores óptimos de x y x 2 son: X = 3/4 y X 2 = 25/4 y el máximo valor de Z es, Z max =87/4. 44

45 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ejemplo 2.5. Resolver el modelo de programación lineal. Sujeta a: min. [Z = 50x + 20x 2 ] 2x - x 2 0 I x + 4x 2 80 II x + x 2 40 III 4x + 3x IV x, x 2 0 Solución: Dibujamos la región de soluciones factibles y dos isocuantas. 45

46 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Isocuantas de Z = 50x + 20x 2 Si Z = = 50x + 20x 2 Z = = 50x + 20x 2 Se observa que el valor mínimo de Z se alcanza en el vértice A. Para obtener las coordenadas de A resolvemos el sistema: 2x - x 2 = 0 x + x 2 = 40 obteniendose como solución x = 40/3, x 2 = 80/3. Luego, el nivel óptimo se alcanza cuando, X = 40/3, X 2 = 80/3 y Z min = 200. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO II 2.. Una pequeña firma maneja dos procesos para combinar cada uno de dos productos: fluido para marcha y fluido para encendedor. La firma está tomando la decisión de cuántas horas correrá cada proceso. Por una hora del proceso I se consumen 3 unidades de kerozeno y 9 de benceno para producir 5 unidades de fluido para marcha y 6 unidades de fluido para encendedor. Por una hora del proceso II se consumen 2 unidades de kerozeno y 6 de benceno para producir 9 y 24 unidades de los dos tipos de fluidos respectivamente. Debido a un programa federal de asignaciones, la máxima cantidad de kerozeno y benceno disponibles son 300 y 400 unidades respectivamente. Los compromisos de venta requieren que se produzcan al menos 600 unidades de fluido 46

47 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL para marcha y 225 de fluido para encendedor. Las utilidades por hora que reditúan los procesos I y II son 0 y 2 dólares por hora respectivamente. Formule un modelo de programación lineal para maximizar la utilidades y resuélvalo usando el método gráfico Resolver los siguientes modelos de programación lineal. a) max [ Z = 3x + 4x 2 ] sujeta a: -x + x 2 3 x + 2x 2 9 3x + 2x 2 3 x - x 2 x + x 2 x, x 2 0 b) min [Z = 9x + 9x 2 ] sujeta a: x + x 2 0 5x + x 2 8 x + 2x 2 2 x 2 8 x, x 2 0 c) min [ Z = 5x + 2x 2 ] sujeta a: 3x + 6x 2 8 5x + 4x x + 2x 2 6 7x + 6x 2 42 x, x

48 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 2.3. Una dieta se diseña de forma que contenga al menos 6 gramos de V y 5 gramos de V 2 (V y V 2 son dos tipos de vitaminas). Estos requerimientos mínimos van a obtenerse a partir de dos tipos de alimentos: F que contiene gramo por libra de V y 2 gramos por libra de V 2, y de F 2 que contiene gramo por libra de V y 5 gramos por libra de V 2. Si el costo de F y F2 es de.20 y.80 pesos por libra, Qué cantidad de cada tipo de cada tipo de alimento deberá comprarse y consumirse para satisfacer los requerimientos mínimos de la dieta de la forma más económica? 2.4. Resolver el modelo del ejemplo Resolver los modelos del ejemplo Resolver el modelo del ejercicio propuesto Resolver el modelo del ejercicio propuesto Un propietario quiere pintar su casa y desea que sea suficiente con una pasada. Para satisfacer este requisito la pintura debe tener una viscosidad de por lo menos 200 unidades. Otro requerimiento para obtener un nivel deseado de brillo es que debe incluir como mínimo 4 gramos de un ingrediente químico Y por galón de pintura. Además, para asegurar cierta durabilidad, también deberá tener por lo menos 30 gramos de una sustancia Z por cada galón de pintura. Hay dos tipos de pintura (I y II) a su disposición. El tipo I cuesta 6 dólares y el tipo II 4 dólares por galón. Las especificaciones de cada una de ellas son: 48

49 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PINTURA I (Por galón) PINTURA II (Por galón) Viscosidad (Unidades) Y (Gramos) 20 0 Z (Gramos) El propietario decide mezclar I y II a efecto de cumplir con las tres condiciones a un costo mínimo. Qué cantidad de I y II han de mezclarse? Cuál es el costo mínimo de la mezcla? 2.9. Una empresa local está planificando anunciar una venta especial de aniversario por radio y televisión durante una semana, y para ello se aprueba un presupuesto máximo de dólares. Se sabe que el costo por 30 segundos de anuncio en la radio comercial es de 800 dólares. Por otra parte, la televisión comercial cuesta dólares por anuncio. A causa de la fuerte demanda, solamente pueden realizarse 4 anuncios de televisión en la semana prevista. Sobre la base del grado estimado de audiencia y otros factores, se cree que un anuncio de televisión es 6 veces más efectivo que un anuncio de radio sobre los potenciales consumidores. Cómo distribuiría la empresa su publicidad para atraer el mayor número posible de consumidores potenciales? 49

50 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 50

51 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Capítulo III MÉTODO SÍMPLEX INTRODUCCIÓN El método símplex es un procedimiento general para resolver problemas de programación lineal. Desarrollado por George Dantzig en 947, ha probado ser un método extraordinariamente eficiente que se usa en forma rutinaria para resolver problemas grandes en las computadoras de hoy en día. Excepto en el caso de problemas muy pequeños, su ejecución se hace siempre en una computadora y existe una amplia gama de complejos paquetes de software para ello. Este capítulo describe y ejemplifica la características principales del método símplex en su forma tanto algebraica como tabular. El método símplex es un algoritmo. Aun cuando el lector no haya oido este nombre, sin duda se ha encontrado con muchos algoritmo por ejemplo, el procedimiento familiar para hacer una división larga, es un algoritmo. También lo es el procedimiento para calcular la raíz cuadrada. De hecho, cualquier procedimiento iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el procedimiento sistemático se realiza una iteración. ( Puede el lector ver cuál es la iteración para el algoritmo de la división?). 5

52 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Este método se emplea para resolver el problema de programación lineal (forma estándar) (ver Capítulo I, Sección..2) TERMINOLOGIA PARA LAS SOLUCIONES DEL MODELO Es posible que para el lector el término solución signifique la respuesta final a un problema, pero en programación lineal la convención es bastante distinta. Mas aún, cualquier conjunto de valores específicos para las variables de decisión x, x 2,... x n se llama solución, sin importar si es una posibilidad deseable o ni siquiera permitida. Los diferentes tipos de soluciones se identifican usando un adjetivo apropiado. Una solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. La región factible es la colección de todas las soluciones factibles (puede suceder que esta región sea el conjunto vacío). Una solución óptima es una solución factible que lleva al valor más favorable de la función objetivo. El valor más favorable es el valor más grande o más pequeño, dependiendo si el objetivo es maximizar o minimizar, de modo que una solución óptima maximiza / minimiza la función objetivo sobre toda la región factible. En programación lineal, un problema puede tener más de una solución óptima, aunque en la práctica sólo hay una solución óptima. Otra posibilidad es que el problema carezca de soluciones óptimas. Esto ocurre sólo si: a) no tiene soluciones factibles o b) las restricciones no impiden que el valor de la función objetivo Z crezca indefinidamente en la dirección favorable (positiva o negativa). 52

53 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 3.. PREPARACION PARA EL METODO SÍMPLEX Variables de holgura. El primer paso en el método simplicial es llevar el modelo de programación lineal a su forma estándar (ver Capítulo I, Sección..2), mediante la introducción de variables adicionales llamadas variables residuales o variables de holgura, con lo que se obtiene para las restricciones un sistema de m ecuaciones con n incógnitas, de la forma: a x + a 2 x a s x s + x s+ = b a 2 x + a 2 x a 2s x s + + x s+2 = b a m x + a m2 x a ms x s + x s+m = b m x m 0, x 2 m 0,..., x s m 0, x s+ m 0,..., x s+m m 0 Aquí, x s+, x s+2,..., x s+m son las variables de holgura. El sistema de ecuaciones así obtenido puede escribirse en forma matricial como A x = b, con x 0, en donde: A = a a 2... a s a 2 a a 2s a m a m2... a ms , x = x x 2... x s+m, b = b b 2... b m 53

54 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Esta forma es mucho más conveniente para la manipulación algebraica y la identificación de las soluciones factibles en un vértice. Esta se llama forma aumentada del problema, ya que la forma original se ha aumentado con algunas variables adicionales necesarias (las variables de holgura) para aplicar el método símplex.. Una solución aumentada es una solución para las variables originales que se ha aumentado con los valores correspondientes de las variables de holgura. Una solución básica es una solución en un vértice aumentada. Ahora, una solución básica factible es una solución factible en un vértice aumentada. La única diferencia entre las soluciones básicas y las soluciones en un vértice (o entre soluciones básicas factibles y soluciones factibles en un vértice) es el que estén incluidos los valores de las variables de holgura. El siguiente ejemplo será utilizado para ilustrar el método símplex en su forma tanto algebraica como tabular para maximizar una función lineal en cinco variables. Lo llamaremos ejemplo prototipo. Si el problema consiste en minimizar una función Z = c x + c 2 x 2 + c 3 x c n x n, se maximiza la función Y= -Z, de modo que si Y* es el maximo de Y, entonces el minimo de Z de -Y*. 54

55 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO 3.. En el Ejemplo.3 del Capítulo I sobre plan de producción se debe resolver el problema de maximizar la función Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 sujeta a las restricciones 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x x + 9x 2 + 4x x x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x x, x 2, x 3, x 4, x 5 0 En nuestro caso, s = 5, m = 3. Introducimos tres variables de holgura x s = x6 x = x s+ 2 7 y s m n 8 +, x + = x = x para convertir las tres restricciones de desigualdad en un conjunto de tres ecuaciones lineales con ocho incógnitas junto con las restricciones de no negatividad: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + x 6 = x + 9x 2 + 4x x 5 + x 7 = x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 8 = 7680 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x

56 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La forma matricial de este sistema es A x = b, x 0, en donde: 2 A = , x x x x x = x x x x , 7680 b = En este ejemplo el sistema de restricciones funcionales tiene cinco variables más (en total son ocho variables) que ecuaciones (de las cuales tenemos tres). Este hecho proporciona cinco grados de libertad o cinco variables libres para resolver el sistema, pues se pueden elegir cinco variables cualesquiera y asignarles cualquier valor arbitrario para resolver las tres ecuaciones en términos de las tres variables restantes (con esto se excluyen redundancias). El método símplex usa cero para este valor arbitrario. Las variables que por el momento se hacen igual a cero se llaman variables no básicas, todas las demás se llaman variables básicas. La solución que resulta es una solución básica. Si todas las variables básicas son no negativas, entonces se tiene una solución básica factible. En términos generales, el número de variables no básicas de una solución básica siempre es igual a los grados de libertad del sistema de ecuaciones y el número de variables básicas siempre es igual al número de restricciones funcionales. 56

57 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Dos soluciones básicas factibles son adyacentes si todas menos una de sus variables no básicas son las mismas (de manera que la misma aseveración se cumple para sus variables básicas). Entonces, transladarse de una solución básica factible a una adyacente significa cambiar el estado de una variable no básica a básica y viceversa para otra variable. Sea c + i 0, i =,2,...,m. Entonces s = n j= c j x j = c x + L + cs xs + 0 xs+ + L + 0 xn = c j x j = Z (3..2) s j= La relación entre las soluciones del problema original y el problema en su forma aumentada viene dada por el siguiente teorema. Teorema. Supongamos que x* = (x *, x 2*,..., x s*, x *, s+ x*,..., s+2 x* ) es una solución s+m maximal factible para las restricciones transformadas ( 3.. ) y la función objetivo ( 3..2 ), siendo el máximo valor Z. Entonces los primeros s elementos x * *, x 2*,..., x s de x representan una solución maximal factible al modelo de programación lineal en la que es el valor máximo. Además, cada solución factible x de ( 3.. ) y ( 3..2 ) se corresponde con una y sólo una solución factible del modelo; a saber, la solución que contiene los primeros s elementos de x y cada solución maximal factible Z x de 3.. ) ( y ( 3..2 ) se corresponde con una única solución maximal factible del modelo, o sea, la 57

58 UNIVERSIDAD DE MANIZALES solución que contiene los primeros s elementos de x. Según el teorema anterior, si podemos encontrar una solución que maximice ( 3..2 ) sujeta a las restricciones ( 3.. ), hemos resuelto el problema de la programación lineal. De esta manera, dada cualquier solución básica, la solución en el vértice correspondiente se obtiene con sólo quitar las variables de holgura. Al trabajar con el problema en forma de igualdades conviene tomar en cuenta y manipular la ecuación de la función objetivo al mismo tiempo que las nuevas ecuaciones de las restricciones. Antes de comenzar con el método símplex es necesario escribir el problema una vez más en una forma equivalente: Maximizar Z, sujeta a; (0) Z -.47x -.433x x x 4 -.7x 5 = 0 () 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + x 6 = 7680 (2) 8x + 9x 2 + 4x x 5 + x 7 = 7680 (3) 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 8 = 7680 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Es justo como si la ecuación (0) fuera una de las restricciones originales que, como ya se encuentra en forma de igualdad, no necesita variable de holgura. Con esta interpretación, las 58

59 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL soluciones básicas no cambian, excepto que Z puede verse como una variable básica adicional permanente FORMA ALGEBRAICA DEL METODO SÍMPLEX. Una vez adaptado el problema inicial a la forma descrita por ( 3.. ) y ( 3..2 ) debemos proceder a contestar las siguientes preguntas: Ÿ Paso inicial: Cómo se selecciona la solución factible en un vértice (la solución básica factible) inicial? Ÿ Paso iterativo: al buscar un traslado a una solución factible en un vértice adyacente (una solución básica factible adyacente). Cómo se selecciona la dirección del traslado? ( Qué variable no básica se selecciona para que se convierta en básica?) 2. A qué lugar se hizo el traslado? ( Cuál variable básica se convierte en no básica?) 3. Cómo se identifica la nueva solución? Ÿ Prueba de optimalidad: Cómo se determina que la solución factible en un vértice actual (solución básica factible) no tiene soluciones factibles en un vértice adyacentes (soluciones básicas factibles adyacentes) que sean mejores? 59

60 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En la presente sección se responderán estas preguntas. Para propósitos didácticos, se mostrará el procedimiento en la solución del problema del ejemplo prototipo (ejemplo 3.). Ÿ Paso inicial. El método símplex puede comenzar en cualquier solución factible en un vértice (solución básica factible), de manera que se escoge una que sea conveniente. Antes de tomar en cuenta las variables de holgura, esta elección es el origen (con todas las variables originales iguales a cero), es decir ( 5 x, x 2, x 3, x4, x ) = ( 0, 0, 0, 0, 0 ) (la notación ( x, x2, x3, x4, x5 ) = ( a, a2, a3, a4, a5 ) significa que x = a, x 2 = a 2, etc). En consecuencia, después de introducir las variables de holgura, las variables originales son variables no básicas y las variables de holgura son las variables básicas de la solución básica factible inicial. Esta elección se muestra en el siguiente sistema de ecuaciones en el que las variables básicas se escribieron con mayúscula: 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + X 6 = x + 9x 2 + 4x x 5 + X 7 = x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + X 8 = 7680 Nótese que al escoger el origen el lado izquierdo de todas las restricciones funcionales en el problema original es igual a cero. por lo tanto, bajo las suposiciones actuales sobre la forma del modelo, incluyendo restricciones del tipo y lados derechos positivos, esta solución en un vértice es automáticamente factible 60

61 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Como las variables no básicas son iguales a cero, el resto de la solución se lee como si no existieran: entonces, X 6 = 7680, X 7 = 7680 y X 8 = 7680, de ahí que la solución básica factible inicial resulta igual a ( 0, 0, 0, 0, 0,7680,7680,7680 ). Nótese que la razón por la que esta solución se puede leer de inmediato es porque cada ecuación tiene sólo una variable básica, que tiene coeficiente +, y que esta variable básica no aparece en ninguna otra ecuación. Pronto se verá que cuando el conjunto de variables básicas cambia, el método símplex utiliza un procedimiento algebraico (el de eliminación de Gauss) para poner las ecuaciones en esta forma tan conveniente para leer igual todas las soluciones básicas factibles subsecuentes. Esta forma se llama la forma apropiada de eliminación gaussiana. Ÿ Paso iterativo. En cada iteración el método símplex se mueve de la solución básica factible actual a una solución factible básica adyacente mejor. Este movimiento consiste en convertir una variable no básica (llamada variable básica entrante) en variable básica, y al mismo tiempo convertir una variable básica (llamada variable básica que sale) en variable no básica, y en identificar la nueva solución básica factible. PREGUNTA. Cuál es el criterio para seleccionar la variable básica entrante? Los candidatos para la variable básica entrante son las s variables básicas actuales. La que 6

62 UNIVERSIDAD DE MANIZALES se elija, cambiará su estado de no básica a básica, por lo que su valor aumentará de cero a algún valor positivo y las otras se mantendrán en nivel cero. Como se requiere que la nueva solución básica factible sea mejor (un valor más grande de Z) que la actual, es necesario que la tasa de cambio en Z al aumentar el valor de la variable básica entrante sea positivo. Usando la ecuación (0) para expresar Z sólo en términos de las variables no básicas, el coeficiente de cada una de estas variables es la tasa a la que Z cambiaría si se incrementara el valor de esa variable. Se elige como variable básica entrante 2 la que tiene el coeficiente positivo mayor, ya que es la que hace que Z se incremente a la tasa más rápida. Como aclaración, los cinco candidatos para variable básica entrante en nuestro ejemplo son las variables no básicas actuales x, x 2, x 3, x4 y x 5. Como la función objetivo ya está escrita sólo en términos de estas variables, puede analizarse tal como está: Z =.47x +.433x x x 4 +.7x 5 Todas las variables tienen coeficientes positivos, así que al aumentar cualquiera de ellas, el valor de Z aumenta pero con tasas distintas, iguales a.47,.433,.85, 2.83 y.7 por cada unidad de aumento en la variable. La mayor de estas tasas es 2.83, la cual corresponde a la variable x, así que esta variable se convierte en variable básica entrante. Así, se incrementará el valor de x y el de las demás variables no básicas se dejará 4 4 en cero. 2 Nótese que este criterio no garantiza la elección de la variable que más aumenta a Z debido a que puede ser que las restricciones no permitan que esta variable aumente tanto como otras. No obstante, los cálculos adicionales que se requieren para verificar esto hacen que no valga la pena hacerlo. 62

63 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PREGUNTA 2. Cómo se identifica la variable básica que sale? Al aumentar el valor de x 4 mientras que el de las demás variables no básicas x, x 2, x 3 x se mantiene en cero, una o todas las variables básicas actuales X 6, X 7 y X 8 y 5 deben cambiar sus valores para mantener satisfecho el sistema de ecuaciones. Algunas de estas variables decrecerán al crecer x 4. La solución básica factible adyacente se alcanza cuando la primera variable básica (variable básica que sale), llega a cero. Ahí se debe detener para evitar la no factibilidad. Entonces, una vez elegida la variable básica entrante, la variable básica que sale no es cuestión de elección. Debe ser la variable básica actual cuya restricción de no negatividad impone la cota superior más pequeña, sobre cuánto puede aumentar el valor de la variable básica entrante, como se ilustra enseguida. En nuestro ejemplo, las posibilidades para la variable básica que sale son las variables básicas actuales X 6, X 7 y X 8. Al hacer las demás variables iguales a cero, excepto x, el conjunto de restricciones se convierte en 4 0x 4 + X 6 = 7680 X 7 = x 4 + X 8 = , X 0, X 0, X 0. x La primera ecuación junto con la restricción X 6 0 nos proporcionan la desigualdad 63

64 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 0 X = x 4, y equivale a 7680 x 4, lo cual nos dice que si x 4 > entonces X <, que violaría la condición de no negatividad sobre X 6. La segunda de estas ecuaciones nos dice que x 4 puede crecer sin límite sin afectar el valor de X 7, mientras que la tercera ecuación nos dice que x 4 debe cumplir la condición 7680 x 4 para que x 3 8 sea no negativa.. De esta manera, tenemos dos cotas superiores para x : x 4 impuesta por la variable básica X 6 y x 4 impuesta 3 por X 8. De estas cotas, la menor es 7680, así que la variable básica que sale es 0 X 6. Por lo tanto, en la nueva solución factible debe ser x 6 = 0 (no básica) y 7680 X 4 = (básica). 0 La variable básica que sale se puede determinar en términos de la matriz A y el vector b; x 2 A = 8 5 x x x x X X 7 X , b b = b b =

65 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Dado que x 4 es la variable básica entrante, observamos que sus coeficientes en las ecuaciones vienen dados por la cuarta columna de la matriz A, es decir, por el vector: A a = a a = Enseguida calculamos los cocientes b a i i 4 para i =,2, 3 ; b a b b = = 768, = = 0 a 0, = = a Escogemos el menor cociente, el cual corresponde a i =. Esto nos indica que la variable básica saliente está ubicada en la primera fila de la matriz A. En nuestro caso, dicha variable es, X 6 pues en la primera fila su coeficiente es y el de las demás es 0. PREGUNTA 3. Cómo puede identificarse la nueva solución básica factible en una forma conveniente? Después de identificar las variables básicas entrante y saliente (incluyendo el nuevo valor de la variable básica entrante), todo lo que se necesita hacer para identificar la nueva solución básica factible es encontrar los nuevos valores de las variables básicas restantes. Con este propósito reducimos el sistema de ecuaciones a la misma forma apropiada de eliminación 65

66 UNIVERSIDAD DE MANIZALES de Gauss que se tenía en el paso inicial (aquella en la que cada ecuación tiene sólo una variable básica con coeficiente +, y esta variable básica no aparece en ninguna otra ecuación). Esta conversión se realiza con dos tipos de operaciones algebraicas: Operaciones algebraicas para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Multiplicar (o dividir) una ecuación por una constante diferente de cero. 2. Sumar (o restar) un múltiplo de una ecuación a otra. Estas operaciones son legítimas porque aplican sólo: ) multiplicar cosas iguales (ambos lados de una ecuación) por la misma constante y 2) sumar cosas iguales a cosas iguales. Por tanto, una solución satisfará un sistema de ecuaciones después de estas operaciones si y sólo si lo hacía antes de realizarlas. Para ilustrar, considérese el sistema de ecuaciones original, en donde las nuevas variables básicas se muestran en mayúscula (y donde Z tiene el papel de variable básica en la ecuación de la función objetivo): (0) Z -.47x -.433x x X 4 -.7x 5 = 0 () 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0X 4 + 7x 5 + x 6 = 7680 (2) 8x + 9x 2 + 4x x 5 + X 7 = 7680 (3) 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3X 4 + 2x 5 + X 8 =

67 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Así, x 4 ha sustituido a X 6 en la ecuación (). Es necesario resolver este sistema de ecuaciones para encontrar los valores de Z, X 4, X 7 y X 8 (Obsérvese que X 4 x4, X 7 x7 y X 8 x8. La escritura en mayúscula es para distinguir las variables básicas de las no básicas). Como X 4 tiene coeficiente 0 en la ecuación () (se escoge la ecuación () y no otra porque esta ecuación contiene a la variable que sale, la cual es x 6 ), ésta ecuación se dividirá por 0 para que la nueva variable básica tenga un coeficiente igual a (este es un ejemplo de operación algebraica ), de lo cual resulta el sistema: (0) Z -.47x -.433x x X 4 -.7x 5 = 0 () 2 x x x3 + X x5 + x6 = (2) 8x + 9x 2 + 4x 3 + x 5 + X 7 = 7680 (3) 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3X 4 + 2x 5 + X 8 = 7680 Ahora debe eliminarse X de las otras ecuaciones en que aparece. Con este fin realizamos 4 las siguientes operaciones: a. Multiplicamos la ecuación () por 2.83 y la sumamos a la ecuación (0). b. Multiplicamos la ecuación () por - 3 y la sumamos a la ecuación (3). 67

68 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Una vez realizadas estas operaciones se obtiene el sistema: (0)* Z x x x x x ()* 2 x x x3 + X x5 + 0 x6 = (2)* 8x + 9x 2 + 4x 3 + x 5 + X 7 = 7680 (3)* 7 x x x3 5 0 x 3 x X 8 = 5376 Ahora, al comparar este último conjunto de ecuaciones con el conjunto inicial que se obtuvo en el paso inicial, se observa que se encuentra en la misma forma apropiada de eliminación de Gauss que permite leer de inmediato la solución básica factible actual después de ver que las variables no básicas x, x 2, x 3, x 5 y x 6 son iguales a cero. Igualando estas variables a cero en las ecuaciones ()*, (2)* y (3)* obtenemos de manera inmediata los valores de las variables básicas; X 4 = 768, X 7 = 7680 y X 8 = Se cuenta ahora con la nueva solución básica factible: ( x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 ) = (0,0,0,768,0,0,7680,5376), lo que significa un valor de Z = Para dar una perspectiva más amplia a este procedimiento algebraico, se acaba de resolver el conjunto original de ecuaciones para obtener la solución general para Z, x 4, x 7 y x 8 en 68

69 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL términos de x, x 2, x 3, x 5 y x 6. Esto se logra despejando Z, x 4, x 7 y x 8 en las ecuaciones (0)*, ()*, (2)* y (3)*, pero no se hará aquí. Después se obtuvo una solución específica (la solución básica factible) haciendo de x, x 2, x 3, x 5 y x 6 (las variables no básicas) iguales a cero. Este procedimiento para obtener la solución simultánea de ecuaciones lineales se llama método de eliminación de Gauss Jordan o, en forma corta, eliminación gaussiana. El concepto clave de este método es usar dos tipos de operaciones algebraicas para reducir el sistema de ecuaciones original a la forma apropiada de eliminación de Gauss, en donde cada variable básica se elimina de todas las ecuaciones menos una (su ecuación) y en esa ecuación tiene coeficiente +. Una vez obtenida la forma apropiada de eliminación de Gauss, la solución para las variables básicas se puede leer directamente en el lado derecho de las ecuaciones. Ÿ Cómo se identifica la nueva solución? Ÿ Prueba de optimalidad. Para determinar si la solución básica factible actual es óptima, se usa la ecuación (0) para reescribir la función objetivo, sólo en términos de las variables no básicas actuales, Z = x x x x x ( ) Aumentar el valor de cualquiera de estas variables no básicas (con el ajuste de los valores de las variables básicas para que cumplan todavía con el sistema de ecuaciones) significa trasladarse a una de las dos soluciones básicas factibles adyacentes. 69

70 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En términos generales, la solución básica factible actual es óptima si y sólo si todas las variables no básicas tienen coeficientes no positivos ( 0 ) en la forma actual de la función objetivo. Esta forma actual se obtiene despejando Z en la ecuación (0)* (ecuación (0) actual) después de haber convertido todas las ecuaciones a la forma apropiada de eliminación de Gauss (que elimina las variables básicas de esta ecuación). En nuestro caso, esta es la ecuación ( ). De acuerdo a esto, la solución básica factible actual x = ( x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 ) = (0,0,0,768,0,0,7680,5376), no es óptima ya que, por ejemplo, en la ecuación ( ) el coeficiente de x 3 es positivo. En forma equivalente, sin despejar Z, la prueba de optimalidad consiste en que todas las variables no básicas tengan coeficientes no negativos ( 0 ) en la ecuación (0) actual. La razón para usar la forma actual de la función objetivo en lugar de la original es que la forma actual contiene todas las variables no básicas y ninguna variable básica. Se necesitan todas las variables no básicas para poder comparar todas las soluciones básicas factibles adyacentes con la solución actual. Las variables básicas no deben aparecer, pues sus valores pueden cambiar cuando se incrementa alguna variable no básica, en cuyo caso el coeficiente de la variable no básica ya no indica la tasa de cambio de Z. A causa de las ecuaciones de las restricciones en forma de igualdad, las dos formas de la función objetivo son equivalentes, por lo que se usa la que contiene toda la información necesaria. 70

71 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL La ecuación (0) se incluye desde el principio en el sistema de ecuaciones de restricción y después en el proceso de eliminación de Gauss precisamente para poder obtener esta nueva forma, más conveniente, de la función objetivo. Puesto que, según vimos, la solución básica actual no es óptima, debemos proseguir con el método símplex hasta lograr una solución óptima, es decir, debemos proseguir con la siguiente iteración. Antes de realizarla, conviene hacer un resumen del método símplex. Resumen del método símplex. PASO INICIAL. Se introducen las variables de holgura. Si el modelo no se ajusta a la forma estándar del problema general de programación lineal, se deben hacer los ajustes necesarios. Para obtener la solución básica factible inicial, se seleccionan las variables originales como las variables no básicas (es decir, iguales a cero) y las variables de holgura como las variables básicas (y por tanto, iguales al lado derecho de las ecuaciones). Se realiza la prueba de optimalidad. 2. PASO ITERATIVO. Parte : se determina la variable básica entrante; para esto se selecciona la variable no básica que, al aumentar su valor, aumente el valor de Z más rápidamente. Esta elección se 7

72 UNIVERSIDAD DE MANIZALES puede hacer usando la ecuación (0) para expresar Z sólo en términos de las variables no básicas y eligiendo aquella cuyo coeficiente positivo sea el mayor. 3 Parte 2: se determina la variable básica que sale: se elige la variable básica que primero alcanza el valor cero cuando se incrementa la variable básica entrante. Cada variable básica aparece sólo en su ecuación, de manera que esta ecuación se usa para determinar cuándo llega a cero esta variable básica si se aumenta el valor de la que entra. Un procedimiento algebraico formal para realizarlo es el siguiente: sea j el subíndice de la variable básica entrante. Sea ' a íj su coeficiente actual en la ecuación (i) y sea de esta ecuación i=,2...,m. Entonces la cota superior para ' b i el lado derecho actual x j en la ecuación (i) es x j + ' bi ' a ij si si a ' ij a ' ij 0 > 0, en donde la variable básica de esta ecuación se hace cero en esta cota superior. Entonces se determina la ecuación con la cota superior más pequeña y se elige la variable básica actual en esta ecuación como la variable básica que sale. 3 En forma equivalente la ecuación (0) actual se puede usar en forma directa, en cuyo caso se seleccionaría la variable no básica con el coeficiente mas negativo. Esto es lo que se hace en la forma tabular del método simplex que se presenta mas adelante. 72

73 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Parte 3: se determina la nueva solución básica factible: comenzando con el conjunto actual de ecuaciones, se despejan las variables básicas y Z en términos de las soluciones no básicas por el método de eliminación de Gauss Jordan. Las variables no básicas se igualan a cero y cada variable básica (y Z) es igual al nuevo lado derecho de la ecuación en que aparece (con coeficiente +). 3. PRUEBA DE OPTIMALIDAD. Se determina si la solución es óptima: se verifica si el valor de Z puede aumentar al hacer que una de las variables no básicas crezca. Esto se puede realizar al reescribir la función objetivo en términos de las variables no básicas y pasar estas variables al lado derecho de la ecuación (0) (es decir, despejando Z en esta ecuación) y al observar el signo de los coeficientes de cada una. Si todos los coeficientes son negativos o cero, entonces la solución es óptima, y el proceso termina. De otra manera, se regresa al paso iterativo. A manera de aclaración, se aplicará este resumen a la siguiente iteración de nuestro ejemplo prototipo. 73

74 UNIVERSIDAD DE MANIZALES ITERACIÓN 2 DEL EJEMPLO. Parte : Como la ecuación (0) actual (o sea, la ecuación (0)*) da Z = x x x x x , elegimos a x 5 como la variable básica entrante, pues ésta posee el mayor coeficiente positivo. Parte 2: Los límites superiores (o cotas superiores) sobre x 5 se muestran en la siguiente tabla: Variable Número de Coeficiente Parte derecha Cota superior básica ecuación ' a i5 de x5 ' bi para x5 x x x A partir de esta tabla se concluye que la menor cota superior para x 5 es igual a 4.698, la cual corresponde a la variable básica x 7, es decir x 7 tiene la menor cota superior sobre x 5. Por lo tanto, la variable x 7 se convierte en variable básica que sale para dar lugar a la variable entrante x 5. Parte 3: Debemos eliminar la variable x 5 de todas las ecuaciones, excepto de la ecuación (2)* en la cual x 5 sustituye a x 7. El sistema correspondiente, junto con las nuevas 74

75 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL variables básicas, las cuales aparecen en mayúscula, antes de dicha eliminación es (0)* Z x x x X x 6 = ()* 2 x x2 + x3 + X X5 + 0 x6 = (2)* 8x + 9x 2 + 4x 3 + X 5 + x 7 = 7680 (3)* 7 x x x3-0.x 5 5 x6 + X 0 8 = 5376 Se procede a eliminar x 5 de las ecuaciones (0)*, ()* y (3)* por medio de las siguientes operaciones: Ÿ Se dividen ambos miembros de la ecuación (2)* por el coeficiente de x 5 en dicha ecuación, es decir, por para obtener la ecuación x x x 3 + X x7 = (2)** Ÿ Se multiplica la ecuación (2)** por 0.79 y se suma a la ecuación (0)*. Ÿ Se multiplica la ecuación (2)** por se suma a la ecuación ()*. Ÿ Se multiplica la ecuación (2)** por 0. y se suma a la ecuación (3)*. Una vez realizadas estas operaciones se obtiene el sistema : ( 0 )* * ( )* * ( 2 )* * ( 3 )* * Z +.328x 0.69x x.473x x x x x x x x x + + X X x 0.x 6 0.3x x 0.06 x 0.09x x X = 797 = = =

76 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Así, la nueva solución factible básica es : = ( x, x 2, x 3, x4, x5, x6, x7, x ) = x 8 ( 0, 0, 0, 279.3, 698.2, 0, 0, 5446 ) Esta solución no es óptima, dado que en la ecuación (0)** el coeficiente de x 3 es negativo. Por consiguiente, debemos realizar una iteración adicional.. ITERACIÓN 3 DEL EJEMPLO. Parte : La ecuación (0)** es equivalente a =.328 x x x 0.28 x 0.06 x 797. Z La variable con mayor coeficiente positivo ( y único!) es x 3, así que la escogemos como variable básica entrante. Parte 2: Los límites superiores (o cotas superiores) sobre x 3 se muestran en la siguiente tabla: Variable básica Número Coeficiente a Parte derecha Cota superior de ecuación de x3 ' i3 ' bi para x3 x x x A partir de esta tabla se deduce que la variable que impone la menor cota superior sobre x3 es x 4, así que esta variable se convierte en variable que sale y en su lugar entra x 3. 76

77 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Parte 3: Debemos eliminar la variable x 3 de todas las ecuaciones, excepto de la ecuación ()** en la cual x 3 sustituye a x 4. Procediendo de manera semejante a como se hizo en la segunda iteración, se obtiene el sistema Z +.38 x.267 x x 4.4 x x x x 6.9 x X x x x x X x 0.83 x 0.07 x x x 0.2x 0.33 x x X 8 = 88 = 52 = 52 = 3072 De esta manera, la nueva solución factible básica es: = ( x, x 2, x 3, x4, x5, x6, x7, x ) = x 8 ( 0, 0, 52, 0, 52, 0, 0, 3072 ). Afortunadamente, esta solución es óptima, pues todos los coeficientes de las variables no básicas en la primera ecuación son positivos. En forma equivalente, al escribir la primera ecuación del último sistema en la forma Z = x x x x6 0.0x7 Observamos que ningún coeficiente de las variables no básicas es positivo, lo cual prueba que la solución obtenida es óptima. Aquí termina la aplicación del método símplex.. Conclusión: La solución deseada para la forma original del problema es x = 0, x 2 = 0, x 3 = 52, x 4 = 0 y x 5 = 52, lo cual nos proporciona para la función objetivo un máximo de Z =

78 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 3.3. FORMA TABULAR DEL MÉTODO SÍMPLEX. La forma algebraica del método símplex presentada en la sección 3.2 puede ser la mejor para entender la lógica que fundamenta el algoritmo. Sin embargo, no es la más conveniente para realizar los cálculos necesarios. Para resolver un problema a mano (o en computadora), se recomienda la forma tabular descrita en esta sección. La forma tabular del método símplex es matemáticamente equivalente a la forma algebraica, nada más que en lugar de escribir cada conjunto de ecuaciones con todo detalle, se usa una tabla símplex para registrar sólo la información esencial, a saber: ) los coeficientes de las variables, 2) las constantes del lado derecho de las ecuaciones y 3) las variables básicas que aparecen en cada ecuación. Esto ahorra la escritura de los símbolos de las variables, pero es más importante al permitir hacer que sobresalgan los números usados en los cálculos aritméticos y registrarlos en forma muy compacta. Expondremos la forma tabular del método símplex en la solución del ejemplo prototipo sobre un problema de producción (Ejemplo 3..). En este problema el sistema de ecuaciones es: (0) Z -.47x -.433x x x 4 -.7x 5 = 0 () 2x + 7x 2 + 8x 3 + 0x 4 + 7x 5 + x 6 = 7680 (2) 8x + 9x 2 + 4x x 5 + x 7 = 7680 (3) 5x + 0x 2 + 7x 3 + 3x 4 + 2x 5 + x 8 = 7680 x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x

79 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Este sistema de ecuaciones se representa en la siguiente tabla: Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x 3 x 4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Etapa inicial del método símplex Esta tabla contiene la distribución de cualquier tabla símplex, donde la columna de la izquierda indica la variable básica que aparece en cada ecuación de la solución básica factible actual (aunque sólo las variables x j son básicas o no básicas, Z juega el papel de variable básica para la ecuación (0)). Por ejemplo, la columna de la variable básica de la tabla 3.3. indica que la solución básica factible inicial tiene las variables x 6, x 7 y x 8, es decir, las variables no básicas son las que no están en la lista: x, x 2, x 3, x 4 y x 5. Después de establecer x = 0, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 y x 5 = 0, la columna denominada lado derecho proporciona la solución para las variables básicas, de manera que la solución básica factible inicial es: x ) = ( x, x, x, x, x, x, x, x ) = ( 0, 0, 0, 0, 0,7680,7680,7680 con Z = 0. 79

80 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La razón por la que la columna lado derecho siempre da los valores de las variables básicas en la solución básica factible actual, es que el método símplex requiere que la tabla símplex al iniciar (o terminar) cada iteración esté en la forma apropiada de eliminación de Gauss. En esta forma, cada columna de cada variable básica contiene sólo un coeficiente distinto de cero y este coeficiente es en el renglón o fila de esta variable básica (las columnas de las variables no básicas pueden tener cualquier elemento). Obsérvese en la tabla 3.3. que las columnas de x 6, x 7 y x 8 (lo mismo que la de Z) se ajustan a este patrón especial. En consecuencia, cada ecuación contiene exactamente una variable básica con coeficiente distinto de cero, en donde este coeficiente es, por lo que esta variable básica es igual a la constante en el lado derecho de esta ecuación (recuérdese que las variables no básicas son iguales a cero). Según las suposiciones actuales (establecidas al comenzar el capítulo) sobre la forma original del modelo, la tabla símplex inicial queda automáticamente en la forma apropiada de eliminación gaussiana. Cuando el método símplex se traslada de la solución básica factible actual a la siguiente, la parte 3 del paso iterativo utiliza la eliminación de Gauss para restablecer esta forma para la nueva solución. El método símplex construye una tabla símplex para cada solución básica factible que se obtiene, hasta alcanzar la solución óptima. A continuación se describe el procedimiento, que 80

81 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL es sólo una representación tabular del procedimiento algebraico presentado en la sección 3.2. PASO INICIAL. Se introducen las variables de holgura. Si el modelo no se encuentra en la forma estándar del problema general de programación lineal, se deben hacer los ajustes necesarios. De otra manera, se seleccionan las variables originales como variables no básicas iniciales (se igualan a cero) y las variables de holgura como las variables básicas iniciales. Este paso está representado en la tabla 3.3. para nuestro ejemplo prototipo, en donde la solución factible básica inicial es ( 0, 0, 0, 0, 0,7680,7680,7680 ). Ahora debe realizarse la prueba de optimalidad para determinar si la solución es óptima. PRUEBA DE OPTIMALIDAD. La solución básica factible actual es óptima si y sólo si todos los coeficientes de la ecuación (0) son no negativos ( 0 ). Si es así, el proceso termina, de lo contrario, se lleva a cabo otra iteración para obtener la nueva solución básica factible, lo que significa el cambio de una variable no básica por una básica (parte ) y viceversa (parte 2), y después despejar las variables de la nueva solución (parte 3). Apreciando la tabla 3.3., observamos cinco coeficientes negativos en al ecuación (0), lo cual indica que la solución básica factible actual no es optimal (basta con al menos un coeficiente negativo en la ecuación (0) para que la solución no sea óptima). Con esta información debe irse al paso iterativo. 8

82 UNIVERSIDAD DE MANIZALES PASO ITERATIVO. Parte : se determina la variable básica entrante mediante la elección de la variable (automáticamante se refiere a una variable no básica) con el coeficiente negativo que tiene el mayor valor absoluto en al ecuación (0) (o sea, se escoge la variable no básica con el coeficiente más negativo). Se enmarca o sombrea la columna correspondiente a este coeficiente y se le da el nombre de columna pivote. En nuestro ejemplo, el coeficiente negativo más grande (en términos de valor absoluto) es 2.83 para x 4, por lo que x 4 debe convertirse en variable básica. Este cambio se indica en la tabla con un sombreado en la columna de x 4 abajo del Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Selección de la variable básica entrante 82

83 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Parte 2: se determina la variable básica que sale; para lograrlo, a) se toma cada coeficiente estrictamente positivo de la columna sombreada; b) se divide el lado derecho de cada renglón entre estos coeficientes; c) se identifica la ecuación con el menor cociente, y d) se selecciona la variable básica para la ecuación (esta variable básica es la que llega a cero primero cuando se incrementa la variable básica entrante). Se sombrea o enmarca el renglón de esta ecuación en la tabla símplex sin incluir la columna Z y se le da el nombre de renglón pivote (de aquí en adelante se usará el término renglón para hacer referencia a los números de ese renglón que se encuentran a la derecha de la columna Z, y que incluyen las constantes del lado derecho; los renglones se etiquetan con los números en la columna denominada Ec. Núm.). El número que está en la intersección de ambos recuadros se llama número pivote. Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 der. Cociente Z x Mínimo x x Tabla Selección de la variable básica que sale. Primera Tabla Símplex 83

84 UNIVERSIDAD DE MANIZALES En la tabla se muestran los resultados de las partes y 2 para el ejemplo; la prueba del cociente mínimo para determinar la variable básica que sale se muestra a la derecha de la tabla (en su última columna). En el renglón 2, el coeficiente de la columna pivote es cero, así que los únicos dos coeficientes estrictamente positivos se encuentran en los renglones y 3 (en el renglón el coeficiente es 0, mientras que el coeficiente en el renglón 2 es 3 ) Las razones para estos renglones son = 768 (para el renglón ) y = (para el renglón 2), por lo que la razón mínima de 768 identifica al renglón como el renglón pivote (con 0 como número pivote). En consecuencia, la variable básica que sale es x 6, es decir, la variable básica del renglón (las otras variables básicas x 7 y x 8 no aparecen en este renglón, por cuanto sus coeficientes son 0). Parte 3: se determina la nueva solución básica factible construyendo una nueva tabla símplex en la forma apropiada de eliminación de Gauss, debajo de la que se tiene. En la nueva tabla, las primeras tres columnas son las mismas que en la tabla inicial, sólo que la variable básica entrante sustituye a la variable básica que sale en la columna de Variable básica. Para cambiar el coeficiente de la nueva variable básica en el renglón pivote a, se divide todo el renglón entre el número pivote, así que renglón pivote antiguo Renglón pivote nuevo =. número pivote En el ejemplo, como el renglón pivote antiguo es el renglón sombreado en la tabla 3.3.3, 84

85 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL y el número pivote es 0, al aplicar la última fórmula se obtiene el nuevo renglón pivote, como se muestra en la tabla Para completar la primera iteración es necesario seguir usando la eliminación de Gauss para obtener coeficientes de 0 para la nueva variable básica x 4 en los otros renglones (incluso el renglón 0) de la tabla Como el segundo renglón ya tiene coeficiente 0 para x4 en la primera tabla símplex, este segundo renglón se puede copiar a la segunda tabla (que corresponde a la iteración ) sin cambios. No así los renglones 0 y 3 que tienen coeficientes en la columna pivote de y 3 respectivamente, así que cada uno de ellos necesita cambiarse usando la siguiente fórmula: Renglón nuevo = Renglón antiguo (coeficiente de la columna pivote renglón pivote nuevo) Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Preparación para la primera iteración del método símplex. 85

86 UNIVERSIDAD DE MANIZALES De otra forma, cuando el coeficiente de la columna pivote es negativo (como en el renglón 0), una expresión más conveniente para esta fórmula es Renglón nuevo = Renglón antiguo + ( ( coeficiente de la columna pivote ) renglón pivote nuevo) A manera de ilustración, los renglones que aparecen en la tabla se obtienen como sigue: Renglón 0 : ( , 0 ) + ( 2.83)( , 768 ) nuevo renglón 0 = ( , 677 ) Renglón 2; Sin cambio porque el coeficiente de la columna pivote es cero. Renglón 3 nuevo renglón 3 = : ( ( 3)( 5.2 ( , 0,, 7680 ) 768 ) 677 ) 86

87 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Estos cálculos llevan a la nueva tabla símplex que se muestra en la tabla 3.3.5: Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Final de la primera iteración.. Como las variables básicas siempre son iguales al lado derecho de la ecuación que les corresponde, la nueva solución básica factible es : x = ( x, x 2, x 3, x4, x5, x6, x7, x8 ) = con Z = 677. ( 0, 0, 0,7680, 0, 0,7680, 5376 ), Este trabajo completa el paso iterativo, así que debe proseguirse con la prueba de optimalidad para verificar si la nueva solución básica es óptima. Como el nuevo renglón (0) todavía tiene coeficientes negativos, la solución no es óptima, por lo que se necesita una iteración más. La tabla nos muestra las variables entrante y la que sale en la siguiente iteración: 87

88 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 der. Cociente Z x x Mínimo x Tabla Iteración. Segunda Tabla Símplex Así, vemos que la variable entrante es x 5 y la saliente es x 7. Procediendo como en la primera iteración, de la tabla se obtiene la tabla Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Final de la segunda iteración. 88

89 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Dado que el renglón (0) aún contiene coeficientes negativos, se debe realizar una iteración adicional. La tabla nos muestra las variables entrante y saliente para la tercera iteración: Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 der. Cociente Z x Mínimo x x Tabla Tercera Tabla Símplex Aplicando reducción gaussiana se obtiene la tabla Variable Ec. Coeficiente de Lado básica Núm. Z x x 2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 derecho Z x x x Tabla Final de la tercera iteración. 89

90 UNIVERSIDAD DE MANIZALES El rengón (0) de esta última tabla no contiene coeficientes negativos, luego la solución obtenida x = 0, x 2 = 0, x 3 = 52, x 4 = 0, x 5 = 52, x 6 = 0, x 7 = 0 y x 8 = 0 es óptima, dando un valor máximo para la función objetivo de Z = MÉTODO SÍMPLEX USANDO LA TÉCNICA M (MÉTODO DE PENALIZACIÓN) En los modelos de programación lineal aparecen con frecuencia restricciones de tipo igualdad o desigualdades del tipo ( ), por lo que no es posible en estos casos obtener una solución factible básica de inicio con las variables de holgura. Para disponer de una solución básica factible de inicio, se usan variables artificiales, las cuales son no negativas y se suman al primer miembro de cada ecuación en la forma estándar del modelo que no contenga variables de holgura, que sirvan de variables básicas de inicio. Las variables artificiales desempeñan igual función que las variables de holgura. Sin embargo, no tienen significado físico ni económico, de ahí el nombre de artificiales. Para que el proceso de optimización sea válido se requiere que en la solución óptima estas variables valgan cero, y se logra penalizándolas en la función objetivo. El método consiste en 90

91 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL utilizar coeficientes positivos muy grandes ( M > > 0 ) para las variables artificiales en la función objetivo, sumadas si el problema es de minimización o restadas si es de maximización. Lo anterior se verá más claro en los siguientes ejemplos. OBSERVACIÓN. En los ejemplos que se resuelven en esta sección, las variables de holgura se denotan por, S, S 2,..., etc. Ejemplo I. Resolver el problema sujeta a Max [ Z = 2x + 3x2 5 x3 ] 2x 5 x2 + x3 0 x + x2 + x3 = 7 x 0,x2 0,x3 0. Solución: Escribimos el modelo en forma estándar sujeta a; max [ Z = 2 x + 3x 2 5 x 3 MR MR2 ] 2x 5 x2 + x3 S + R x + x2 + x3 + R x, x2, x3, S, R, R2 0 2 = 0 = 7 9

92 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Construimos el siguiente tablero: Variables Z Básicas x x 2 x 3 S R R2 Solución Z M M 0 R R Tabla Para obtener el tablero inicial debemos obtener en el renglón Z coeficientes cero para las variables artificiales R y R 2, multiplicando el renglón R y R 2 por sumándoselo a l renglón Z, con lo que se obtiene: M y Variables Z Básicas x x 2 x 3 S R R2 Solución Z - 3M - 2 4M - 3-2M + 2 M M R R Tabla Tablero inicial. Aplicando el método símplex se obtiene la siguiente tabla óptima (los detalles se dejan al lector): 92

93 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Variables Z Básicas Z 0 0 x 0 0 x x x 2 x 3 S R R M M Solución Tabla Solución óptima al Ejemplo I Por lo tanto, la solución óptima es: 02 max Z =, x = 7 Ejemplo II. Resolver el problema sujeta a 45 7, 4 x 2 = 7, x 3 = 0 [ Z = 5 x 6 x 7 x ] min 2 3 x + 5 x2 3x3 5 5 x 6 x2 + 0 x3 20 x + x2 + x3 = 5 x, x2, x3 0, S = 0. Solución: Reescribimos el modelo en forma estándar e incluimos las variables artificiales. El problema se puede expresar en la siguiente forma equivalente: min Z = 5 x x2 7 x3 MR MR2 93

94 UNIVERSIDAD DE MANIZALES sujeto a x 5 x x x, + 5 x 6 x + x x 2 2, 2 2 3x + 0 x + x x 3 3, 3 3 X X, + R X 2, + X R 2, + R R = = = Construimos el tablero: VB Z x x 2 x 3 X R X 2 R2 Sol. Z M 0 M 0 R X R Tabla Enseguida obtenemos coeficientes cero para R y R 2 en el renglón Z conformando el tablero inicial; VB Z x x 2 x 3 X R X 2 R2 Sol. Z 2M 5 6 M M M M R X R Tabla Tablero inicial para el ejemplo II. 94

95 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ahora se aplica el método símplex para obtener: VB Z x x 2 x 3 X R X 2 R2 Sol. Z - 5 / / 8 / 8 - M 0 - M - 53 / 8-25 / 4 x 2 0 / / 8 / / 8 5 / 4 X x 3 0 / 2 0 / 8 - / / 8 5 / 4 Tabla Solución óptima al Ejemplo II. Este tablero es óptimo, puesto que los coeficientes de la función objetivo (Renglón Z) son todos no positivos ( 0 ). Por lo tanto, se obtiene como solución óptima factible 25 minz = 5 5, x 0 4 =, x 2 =, x 3 =,,. X 4 4 * = 0, X * = Existe otra técnica alternativa para llevar a cabo el algoritmo símplex con variables artificiales denominado TECNICA DE LAS DOS FASES, el cual no se discutirá en este módulo, pero se recomienda su consulta al lector. EJERCICIOS PROPUESTOS DEL CAPITULO III. METODO SÍMPLEX. 3.. Obtener la tabla Obtener la tabla

96 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 3.3. Maximizar la función Z = x + x 2 sujeta a 2x 7 x x, + 3x2 + 2 x2 x 0 2. = Maximizar la función Z = x + 5 x 2 + 3x 3 sujeta a x 2 x x 0, + 2x x x , x + x = = 3 4 Utilice una variable artificial en la segunda restricción y use x 3 como variable básica de inicio Maximizar Z = 3x + 2x 2 + 3x 3 sujeta a 2 x 3x x 0, + x + 4 x x , + x + 2 x x

97 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL 3.6. Minimizar Z = x + 4 x 2 sujeta a x 3x x, + 2 x + 2 x x Resuelva este problema por medio de: a. Método gráfico. b. Método Símplex. Compare los resultados de a y b Minimícese la función Z = 6 x + x 2 + 3x 3 2x 4 sujeta a x 2 x x x 0, + x + 3x x , x + 2 x x , x x + x = Resolver el modelo del ejemplo.4. 97

98 UNIVERSIDAD DE MANIZALES 98

99 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Capítulo IV IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO SIMPLEX EN MATHEMATICA 4.. PROGRAMA SIMPLEX EN MATHEMATICA El programa Símplex y otros aquí presentados fueron escritos por Alvaro Salas. El propósito de este capítulo consiste en mostrar el algoritmo PASO A PASO y de una manera INTERACTIVA entre el usuario y el computador. El programa se presenta al final en el anexo y corre en MATHEMATICA, versiones 2.2 y posteriores. Los comandos creados, junto con sus respectivos formatos, se presentan a continuación :. Comando Símplex. Sus formatos son : Símplex[Max,función objetivo Z, {restricción, restricción 2,...,restricción k}] ( si se trata de maximizar Z) Símplex[Min,función objetivo Z, {restricción, restricción 2,...,restricción k}] ( si se trata de minimizar Z) Este programa proporciona el problema original e introduce en forma automática las variables de holgura,artificiales y/o de superávit. Muestra el problema en forma estándar, en donde todas las restricciones son ecuaciones junto con la tabla símplex inicial. Además, el programa supone que todas las variables son no negativas. 99

100 UNIVERSIDAD DE MANIZALES EJEMPLO I. Maximizar la función Z = x + x2 sujeta a 2x 7 x x, + 3x + 2x x = 5 6 In[]:= T0=Símplex[Max,x+x2,{2*x+3*x2==5,7*x+2*x2<=6}]; Out[]= Problema Original : Maximizar : W = x + x2 Sujeta a : 2 x + 3 x2 == 5 7 x + 2 x2 <= 6 Forma Estándar del problema : Maximizar : Z =x + x2 - M R Sujeta a : 2 x + 3 x2 + R == 5 7 x + 2 x2 + S == 6 00

101 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tipos de Variables : Variables Originales ={x, x2} Variables de Holgura ={S} Variables Artificiales ={R} Variables Básicas ={R, S} Tabla Símplex inicial : 2. Comando sumar. Su formato es : sumar[tabla,i,k,j] Esta instrucción multiplica la i -ésima fila ( renglón ) de la tabla Tabla por k y la suma al renglón j de la misma. Esta operación se aplica, en particular, cuando se usa la técnica de la M (técnica de la penalización) con el fin de volver consistente la tabla símplex inicial con el valor que la función objetivo penalizada toma en la solución básica inicial. 0

102 UNIVERSIDAD DE MANIZALES EJEMPLO II. Multipliquemos la fila de la tabla T0 por -M y sumemos este resultado a la fila 0 de dicha tabla : In[2]:= T= sumar[t0,,-m,0] Out[2] = 3. Comando buscar. Su formato es : buscar[tabla] Este comando se aplica cuando se tiene una tabla símplex consistente con el valor que la función objetivo toma en la solución básica factible inicial. El comando buscar, como su nombre lo indica, busca la variable que entra y la variable que sale en la primera iteración. 02

103 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO III. Apliquemos el comando buscar a la tabla T : In[3]:= T2 = buscar[t]; Out[3]= Sale R; Entra x2. Aplique: iterar[%#salida,,2] 3. Comando iterar. Su formato es : iterar[tabla,i,j] Este comando convierte en uno el elemento que se encuentra en la intersección del rengló (fila) i y la columna j (el elemento pivote) y simultáneamente crea ceros arriba y debajo del pivote. Al mismo tiempo, ubica el nuevo elemento pivote ( si tal existe ). 03

104 UNIVERSIDAD DE MANIZALES EJEMPLO IV. Apliquemos el comando iterar a la tabla T2 : In[4]:= T3 = iterar[t2,,2]; Out[4] = Sale S; Entra x. Aplique : iterar[%#salida,2,] Una vez más, apliquemos el comando iterar : In[5]:= T4 = iterar[t3,2,]; Out[5]= Valores de las variables básicas : 04

105 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CONCLUSION. Solución óptima : Como puede apreciarse, al aplicar el comando «iterar» reiteradamente, obtenemos la 3 conclusión. En el caso que tenemos, el máximo valor de Z es igual a, el cual se alcanza para x = y x 2 = El siguiente ejemplo ilustra el aspecto geométrico del algoritmo símplex. En las gráficas se puede apreciar la ruta del algoritmo, es decir, cómo pasa de un vértice de la región factible a uno adyacente. EJEMPLO V. Maximizar la función sujeta a : Z = x + 2x2 x + x 2 3 x 2 6 x + x x + x x + x 39 2 x, x

106 UNIVERSIDAD DE MANIZALES SOLUCION. In[6]:= T0=Símplex[Max,x+2x2,{-x+x2<=3,x2<=6,x+x2<=0, 2x+x2<=5,6x+x2<=39}] Out[6]= Problema Original: Maximizar : W=x+2x2 Sujeta a: -4x +x2 <= 0 -x +x2 <= 3 x2 <= 6 x +x2 <= 0 2x +x2 <= 5 6x +x2 <= 39 Forma estándar del problema : Maximizar : Z = x+2x2 Sujeta a : -4x +x2+s ==0 -x +x2 +S2 ==3 x2 +S3 ==6 x +x2 +S4 ==0 2x +x2 +S5 ==5 6x +x2 +S6 ==39 06

107 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tipos de variables: Variables Originales = {x,x2} Variables de Holgura = {S,S2,S3,S4,S5,S6} Variables Básicas = {S,S2,S3,S4,S5,S6} Tabla Símplex inicial : Por cuanto esta tabla símplex es consistente (no se aplica la técnica de la M, ya que todas las restricciones tienen el signo y los lados derechos de las mismas son no negativos) procedemos a buscar la variable que entra y la que sale en la primera iteración : In[7]:= T=buscar[T0]; Out[7]= 07

108 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Sale S; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,,2] In[8]:= T2=iterar[T,,2]; Out[8]= Sale S2; Entra x. Aplique : iterar[%#salida,2,] 08

109 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Interpretación gráfica : In[9]:= T3 = iterar[t2,2,]; Out[9]= 09

110 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Sale S3; Entra S. Aplique : iterar[%#salida,3,3] Interpretación gráfica : In[0]:=T4=iterar[T3,3,3]; Out[0]= Sale S4; Entra S2. Aplique : iterar[%#salida,4,4] 0

111 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Interpretación gráfica : In[]:= T5 = iterar[t4,4,4]; Out[] =

112 UNIVERSIDAD DE MANIZALES CONCLUSION. Solución óptima : {Z->6,x->4,x2->6}. Interpretación gráfica : 4.2. CASOS ESPECIALES EN LA APLICACIÓN DEL MÉTODO SIMPLEX Enseguida mostraremos la aplicabilidad del programa en diferentes situaciones (casos especiales del método símplex). 2

113 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL PROBLEMAS SIN SOLUCIÓN EJEMPLO VI ( Problema sin solución factible ). Un problema de programación lineal no tiene solución factible alguna cuando al aplicar la técnica de la M al menos una variable artificial es básica y toma un valor positivo en la tabla símplex final. Esto significa que las restricciones no pueden ser satisfechas simultánaeamente. Minimizar : Z = x 4 x2 Sujeta a: x x x x + 2x x2 + x2 6 0, x 0 SOLUCION. Primero que todo, es evidente que el problema carece de soluciónes básicas, por cuanto las restricciones + x y + x 6 son contradictorias. Verifiquemos esto usando el x 2 x 2 algoritmo símplex : In[2]:=T0 = Símplex[Min,x-4x2, {x+2x2>=2,x+x2<=,x+x2>=6}] 2 3

114 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Out[2] = Problema Original : Minimizar W = x-4x2 Sujeta a : x+2x2>=2 x +x2<= x +x2>=6 Forma estándar del problema : Maximizar : Z = x-4x2-m*r-m*r2 Sujeta a : x +2x2 -Y +R ==2 x + x2 +S == x + x2 -Y2 +R2 ==6 Tipos de variables : Variables Originales = {x,x2} Variables de Holgura = {S} Variables Artificiales = {R,R2} Variables de Superávit = {Y,Y2} Variables Básicas = {R,S,R2} 4

115 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tabla símplex inicial : Esta tabla nos proporciona la solución básica factible inicial x = 0, x 2 = 0, Y = 0, S =, R = 2, R 2 = 6. Esta tabla no es consistente con el valor que la función objetivo Z = x 4 x2 MR MR2 toma en la solución básica, el cual es símplex inicial, el valor de Z es Z = 0 Z = M 2 M 6 = 8M. En la tabla. Con el fin de volver consistente la tabla símplex es preciso anular los coeficientes de R y R en la función objetivo. 2 Inicialmente anulamos el coeficiente de R multiplicando la fila por M y sumando este resultado a la fila 0 : In[3]:= T = sumar[t0,,-m,0]; Out[3] = Enseguida anulamos el coeficiente de R multiplicando la fila 3 de la tabla T por M y 2 sumándola a la fila 0 : 5

116 UNIVERSIDAD DE MANIZALES In[4]:= T2 = sumar[t,3,-m,0]; Out[4] = En este momento la tabla símplex es consistente. Por lo tanto, podemos empezar a aplicar el algoritmo símplex, para lo cual usamos el comando buscar : In[5]:= T3 = buscar[t2]; Out[5] = Sale R; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,,2] In[6]:= T4 = iterar[t3,,2]; Out[6] = Sale S; Entra Y. Aplique : iterar[%#salida,2,6] 6

117 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL In[7]: = T5 = iterar[t4,2,6]; Out[7] = CONCLUSION : El problema carece de solución factible, por cuanto una de las variables artificiales (R2) es básica y toma un valor positivo en la tabla símplex final PROBLEMAS NO ACOTADOS EJEMPLO VII ( Problema cuya función objetivo es no acotada ). Minimizar : W = 3x 4 x2 Sujeta a : SOLUCION. x 2x2 2 x 6 x2 x + x2 6 x, x2 0 Al observar las restricciones podemos apreciar que si x = 0 y x toma cualquier valor 2 positivo 6, entonces W = 4 x decrece sin límite y no se viola ninguna de las restricciones. 2 Por lo tanto, si x = 0 y x es suficientemente grande, entonces 2 W es suficientemente grande y toma valor negativo. Geométricamente, este hecho se ilustra como sigue : 7

118 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Matemáticamente, W 4 x cuando x = 0 y x. Esto nos dice que la = 2 2 función objetivo es no acotada en la dirección de x. Por lo tanto, 2 Veamos que la función es no acotada por medio del algoritmo símplex : Min W = -. In[7]:= T0 = Símplex[Min,3x-4x2,{x-2x2<=2,x-6x2<=,x+x2>=6}]; Out[7] = Problema Original : Minimizar : W = 3x-4x2 Sujeta a : x-2x2<=2 x-6x2<= x +x2>=6 8

119 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Forma Estándar del problema : Maximizar : Z=-3x+4x2-M*R Sujeta a : x-2x2+s ==2 x-6x2 +S2 == x +x2 -Y+R==6 Tipos de variables : Variables Originales = {x,x2} Variables de Holgura = {S,S2} Variables Artificiales = {R} Variables de Superávit = {Y} Variables Básicas = {S,S2,R} Tabla Símplex inicial : 9

120 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Enseguida volvemos consistente la última tabla símplex : In[8]:= T =sumar[t0,3,-m,0]; Out[8] = En este momento procedemos a aplicar el algoritmo símplex : In[9]:= T2 =buscar[t]; Out[9] = In[20]:= T3 =iterar[t2,3,2]; Out[20] = Sale R; Entra x2. Aplique: iterar[%#salida,3,2] 20

121 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CONCLUSION : LA FUNCION OBJETIVO ES NO ACOTADA. El programa obtiene como conclusión que la función objetivo es no acotada. El criterio para determinar la no acotabilidad de una función objetivo es que en la tabla símplex inicial ( que sea consistente) o en determinada iteración todos los coeficientes de alguna variable sean menores o iguales a cero. En el ejemplo que estamos trabajando, podemos observar que todos los coeficientes de la variable Y (que se ubica en la columna 6 de la última tabla símplex) son negativos. De ahí la no acotabilidad de nuestra función objetivo PROBLEMAS CON SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNATIVAS EJEMPLO VIII ( Optimos alternativos ) Maximizar : Sujeta a : W = 20 x + + 2x2 25 x3 5 x x x x x , 3x 2 x , x 3 x

122 UNIVERSIDAD DE MANIZALES SOLUCION. In[2]:= T0 =Símplex[Max,20x+2x2+25x3, {5x+3x2+25/4*x3<=47/4,x<=,x2<=,x3<=}]; Out[2] = Problema Original : Maximizar W = 20x+2x2+25x3 Sujeta a : 5x+3x2+25x3/4<=47/4 x<= x2<=2 x3<=3 Forma Estándar del problema : Maximizar Z= 20x+2x2+25x3 Sujeta a : 5 x+3 x2+25/4 x3+s == 47/4 x +S2 == x2 +S3 == x3 +S4 == 22

123 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Tipos de Variables : Variables Originales = {x,x2,x3} Variables de Holgura = {S,S2,S3,S4} Variables Básicas = {S,S2,S3,S4} Tabla Símplex Inicial : In[22]:= T=buscar[T0]; Out[22]= Sale S4; Entra x3. Aplique : iterar[%#salida,4,3] 23

124 UNIVERSIDAD DE MANIZALES In[23]:= T2=iterar[T,4,3]; Out[23] = In[24]:= T3 = iterar[t2,2,]; Out[24] = Sale S3; Entra x. Aplique : iterar[%#salida,2,] In[25]:= T4 = iterar[t3,,2]; Out[25] = Sale S3; Entra x2. Aplique : iterar[%#salida,,2] 24

125 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CONCLUSION: Solución Optima : Existen óptimos alternativos. Para obtenerlos, aplique sucesivamente : OptAlt[%#salida,3,5]; OptAlt[%#salida,3,7] In[26]:= T5 = OptAlt[T4,3,5]; Out[26] = In[27]:= T6 = OptAlt[T4,3,7]; Out[27] = 25

126 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Lo anterior corresponde al resultado del programa al interactuar con el usuario. Observemos la tabla T4 del último ejemplo. Al observar las variables no básicas S,S2 y S4, vemos que dos de ellas tienen coeficiente cero en la función objetivo. Esto significa que cualquiera de ellas puede entrar en una nueva solución básica sin cambiar el valor de Z pero ocasionando un cambio en los valores de las variables. La tabla T5 es el resultado de aplicar una iteración del método símplex, escogiendo como pivote el elemento que se encuentra en la intersecciión dela fila 3 y la columna 5 de la tabla T4, es decir, sale S3 y entra S2. En esta iteración, se escogió la variable S2 como la variable que entra por tener coeficiente cero en la columna 5 y para determinar que S3 es la variable que sale de la solución básica se ha aplicado el criterio del cociente no negativo mínimo. Esta iteración nos proporciona una nueva solución básica óptima : Z = 47, x =, x2 =, x3 =. 2 De manera análoga, a partir de la tabla T4 se obtiene la tabla T6, en donde ha entrado S4 y ha salido S3. La tabla T6 nos proporciona una nueva solución óptima : 3 Z = 47, x =, x2 =, x3 =. 5 De esta manera, a partir de la tabla T4, la cual nos proporciona la solución óptima Z = 47, x =, x2 =, x3 =, 6 se obtienen dos soluciones óptimas adicionales, dadas por las tablas T5 y T6. Estas soluciones constituyen óptimos alternativos. 26

127 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Geométricamente, estos óptimos alternativos se interpretan como sigue: Las líneas de nivel de la función objetivo vienen dadas por ecuaciones de la forma 20 x + 2 x x3 = c, en donde c es una constante. Las gráficas de estas ecuaciones en el espacio tridimensional x representan una familia de planos mutuamente paralelos. La función objetivo crece x2 x3 en la dirección del vector v = ( 20, 2, 25 ), cuyas coordenadas son los coeficientes de x, x y x 2 3 en la función objetivo, respectivamente. Entonces, al aumentar el valor de c, estamos moviendo el plano 20 x + 2x x3 = c en la dirección del vector v. De otro lado, la gráfica de la región factible, dada por las restricciones 5 x x x x x , 3x 2 x , x 3 x es un cubo con uno de sus vértices cortado en forma de triángulo. En un momento dado uno de los planos coincide en parte con la superficie del triángulo. Cada uno de los vértices 3 P,,, Q,, y R,, del triángulo PQR representa una solución óptima para nuestro problema. Cabe anotar que cualquier punto X que se encuentre sobre la superficie del triángulo también representa una solución óptima para nuestro problema. 27

128 UNIVERSIDAD DE MANIZALES La expresión general para X es X = λ P + α( λ )Q + ( α )( λ )R en donde 0 α y 0 λ α 5λ 3 2α 2λ = ( λ), -, + + ( α ), α 5λ x = ( λ), x entonces = 20 x + 2 x + 25 x 47. W 2 3 =. En otras palabras, si 3 2α 2λ x 3, = y = + + ( α ) El punto P se obtiene cuando λ = cualquiera que sea α. El punto Q resulta al tomar y λ = 0. Finalmente, R se obtiene al hacer α = 0 y λ = 0. De esta manera, el triángulo PQR y su superficie constituyen un conjunto de óptimos alternativos. En la siguiente gráfica se ilustra lo anteriormente comentado: 28

129 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Ahora examinemos la ruta del algoritmo símplex : Las tablas T, T2, T3 y T4 nos proporcionan la siguiente sucesión de soluciones básicas : ( 0, 0, 0) M = ( 0, 0, ) N = (, 0, ) P (, /6, ) O = = T T2 T3 T4 Esta sucesión corresponde a vértices consecutivos de la región factible (cubo) como se ilustra a continuación : 29

130 UNIVERSIDAD DE MANIZALES ANEXO CÓDIGO DEL PROGRAMA QUE REALIZA EL ALGORITMO SÍMPLEX EN EL LENGUAJE DE MATHEMATICA <<LinearAlgebra MatrixManipulatuions ; Mat[ecu_,Var_]:=Module[{coe,ind}, {coe[e_,v_]:=map[coefficient[e[[]]-e[[2]],#]&,v], ind[e_,v_]:=(-e[[]]+e[[2]])/.array[v[[#]]- >0&,Length[v]]}; Map[Flatten[{coe[#,Var],ind[#,Var]}]&,ecu]]; ver0[mat_,var_,bas_]:= Module[{SOLBA,pr,Mat,b,nv,MR,fila,fila2,fila3,fila4, fila5,res}, {SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity]; SOLBA[TT_]:=Module[{Art,Vorig,nn,k,zna,zna,vb}, {Art=Select[Var,Level[#,{-}][[]]===R&], Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-}][[]]===R Level[#,{-}][[]]===S Level[#,{-}][[]]===Y]&], nn=delete[var,map[{#}&, Flatten[Map[Position[Var,#]&,Bas]]]], k=length[nn],zna=flatten[takecolumns[tt,{-,-}]], 30

131 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL zna=drop[zna,],vb=inner[rule,bas,zna,list]}; Join[{ Z ->First[zna]},vb]]; pr[uu_]:=uu, Mat=Module[{f,posli,f2}, {f=map[pr,drop[mat[[]],-]], posli=last[mat[[]]],f2=insert[f,posli,-]}; ReplaceHeldPart[Mat,f2,]], b=length[bas],nv=length[var],mr=delete[mat,], fila=flatten[join[insert[var,{ Vb.,, #, },], {, Sol.,, }]], fila2=join[{,,, },Array[#&,nv],{,,, }], fila3=insert[array[ &,nv+7],,-], fila4=flatten[join[insert[ Flatten[Insert[ Mat[[]],{ Z,, 0", },]],,-2],{, Coc. }]], fila5=array[ &,nv+8], demfi[ii_]:=module[{ff}, {ff=join[insert[join[{bas[[ii]],,ii, }, MR[[ii]]],,-2],{,h[ii]}]};ff], Res=Transpose[Drop[Transpose[Join[{fila,fila2,fila3, fila4,fila5}, Table[demfi[i],{i,,Length[Bas]}]]],-2]]; Print[TableForm[Res, TableAlignments->{Center,Center}, TableSpacing->{0,2}]];Print[ ]; Print[ Valores de las variables básicas: ]; Print[SOLBA[Mat]];};{{},{Mat,Var,Bas}}]; 3

132 UNIVERSIDAD DE MANIZALES ver[mm3_]:=ver0[mm3,var,bas]; sim[mat_,var_,bas_,cocientes_]:= Module[{pr,Mat,b,nv,MR,fila,fila2,fila3,fila4,fila5}, {SetOptions[TableForm,TableAlignments->{Center,Center}, TableSpacing->{0,2}]; pr[uu_]:=uu, Mat=Module[{f,posli,f2}, {f=map[pr,drop[mat[[]],-]],posli=last[mat[[]]], f2=insert[f,posli,-]}; ReplaceHeldPart[Mat,f2,]], b=length[bas],nv=length[var],mr=delete[mat,], fila=flatten[join[insert[var, { Vb.,, #, },],{, Sol.,, }]], fila2=insert[array[ &,nv+7],,-], fila3=flatten[join[insert[ Flatten[Insert[Mat[[]], { Z,,, },]],,-2],{, Coc. }]], fila4=join[{,, 0", },Array[#&,nv],{,,, }], fila5=array[ &,nv+8], demfi[ii_]:=module[{ff}, {ff=join[insert[join[{bas[[ii]],,ii, },MR[[ii]]],,-2],{,Cocientes[[ii]]}]};ff]}; Join[{fila,fila2,fila3,fila4,fila5}, Table[demfi[i],{i,,Length[Bas]}]] ](*El programa sim es auxiliar para las funciones buscar e iterar.*); 32

133 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Hallmin[L_,MM_]:=Module[{L,men,L2,L3}, {L=Map[Coefficient[Expand[#],MM]&,L], men=flatten[position[l,min[l]]], L2=L[[men]],L3=Sort[L2, Coefficient[#,MM,0]<=Coefficient[#2,MM,0]&]}; First[L3]], fila=drop[ma[[]],-],clear[m]; polnieb=flatten[map[position[var,#]&, Complement[Var,Bas]]],menor=Hallmin[fila,M], cm=coefficient[expand[menor],m], cl=coefficient[expand[menor],m,0], ncol=flatten[position[fila,menor]][[]], ulc=drop[last[transpose[ma]],], coi=drop[transpose[ma][[ncol]],], decidir=if[cm>0 cm===0&&cl>=0 Max[coi]<=0,{},menor], crit[{a_,b_}]:=if[n[b]<0 N[a]<=0, *,N[b/a]], otnosh=map[crit[#]&,inner[list,coi,ulc,list]]/. { * ->Infinity}, nfil=if[decidir==={} Max[coi]<=0,{}, Flatten[Position[otnosh,Min[otnosh]]][[]]],}; Which[decidir==={}&&posib==={}, {{},ver0[ma,var,bas];otviet0[ma,var,bas]; {MA,Var,Bas}}, Not[decidir==={}]&&posib==={}, Print[TableForm[intro[sim[MA,Var,Bas, otnosh/.{infinity-> * }], nfil+5,ncol+4]]]; 33

134 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Print[SequenceForm[ Sale, Bas[[nfil]], ; Entra,Var[[ncol]],. Aplique:,iterar, [%#salida,, nfil,,,ncol, ] ]];{{nfil,ncol},{ma,var,bas}}, decidir==={}&&not[posib==={}], {{},ver0[ma,var,bas]; {MA,Var,Bas}}]]; buscar[ll_]:=apply[buscar0,ll[[2]]]; iterar0[nn_,var_,bas_,i_,j_,posib_:{}]:= Module[{pr,NN,nuevas,uno,nuli}, {SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity]; SetOptions[TableForm,TableAlignments->{Center,Center}, TableSpacing->{0,2}];pr[uu_]:=uu, NN=Module[{f,posli,f2}, {f=map[pr,drop[nn[[]],-]],posli=last[nn[[]]], f2=insert[f,posli,-]}; ReplaceHeldPart[NN,f2,]], nuevas=replaceheldpart[bas,hold[var[[j]]],i], uno[i_,j_,a_]:=module[{fn,a}, {fn=if[a[[i,j]]===0,a[[i]],/a[[i,j]]*a[[i]]], A=ReplaceHeldPart[A,Hold[fn],i]}; Chop[A,0^-5]], nuli[i_,j_,a_]:=module[{a,f,a,a2}, {a=a[[i,j]],f[s_]:=-a[[s,j]]*a[[i]]+a*a[[s]], A[]:=If[i===,A,ReplaceHeldPart[A,Hold[f[]],]], 34

135 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL A[kk_]:=A[kk]=If[kk===i,A[kk-], ReplaceHeldPart[A[kk-],Hold[f[kk]],kk]], A2=A[Length[A]]}; Chop[A2,0^-5]]; V=uno[i+,j,NN], V2=Map[Expand[#]&,nuli[i+,j,V],Infinity]}; buscar0[v2,var,nuevas,posib]]; iterar[ll_,ii_,jj_]:=iterar0[ll[[2]][[]],ll[[2]][[2]], LL[[2]][[3]],ii,jj]; OptAlt[LL_,ii_,jj_,posib_:{{}}]:=iterar0[LL[[2]][[]],LL[[2]][[2]],LL[[2]][[3]],ii,jj,posib]; sumar0[a0_,var_,bas_,i_,k_,j_]:= Module[{i,j,m,n,f,f2,A,A2}, {SetOptions[TableForm,TableAlignments- >{Center,Center}, TableSpacing->{0,2}]; SetOptions[$Output,PageWidth->Infinity]; i=i+,j=j+,f=k*a0[[i]],f2=f+a0[[j]], A=ReplaceHeldPart[A0,Hold[f2],j], ver0[chop[a,0^-5],var,bas]}; {{},{A,Var,Bas}}]; sumar[a0_,i_,k_,j_]:=sumar0[a0[[2]][[]], A0[[2]][[2]],A0[[2]][[3]],i,k,j]; 35

136 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Otviet0[M_,Var_,Bas_]:=Module[ {Art,Vorig,polnieb,pobap,colni,crit,cociente,alt, alt,hallmin,solba,stroka,fila,pequ,naim,col,stolb, ulc,nec}, {Art=Select[Var,Level[#,{-}][[]]===R&], Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-}][[]]===R Level[#,{-}][[]]===S Level[#,{-}][[]]===Y]&], polnieb=flatten[map[position[var,#]&, Complement[Var,Bas]]],pobap=Module[{c2,i3,i4}, {c2=drop[last[transpose[m]],],i3=select[c2,#>0&], i4=union[flatten[map[position[c2,#]&,i3]]]};i4], colni=module[{mt,xx}, {Mt=Transpose[M], xx[jj_]:=first[jj]}; Select[Map[{#,Mt[[#]]}&, polnieb],max[#[[2]]]>0&&xx[#[[2]]]===0&]], crit[{a_,b_}]:=if[n[b]>0&&n[a]>0,b/a,infinity], cociente[col_,ul_]:=module[{col,ul,coc,ii,jj}, {col=drop[col[[2]],],ul=drop[ul,], coc=map[crit[#]&,inner[list,col,ul,list]], ii=flatten[position[coc,min[coc]]][[]], jj=col[[]]}; If[Min[coc]===Infinity colni=== } ii==={}, {},{ii,jj}]], alt=module[{l}, {L=Map[cociente[#,Last[Transpose[M]]]&,colni]}; 36

137 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL If[Select[L,Not[#==={}]&]==={},{}, Select[L,Not[#==={}]&]]], alt=if[alt==={},{},alt[[]]], Hallmin[L_,MM_]:=Module[{L,men,L2,L3}, {L=Map[Coefficient[Expand[#],MM]&,L], men=flatten[position[l,min[l]]], L2=L[[men]], L3=Sort[L2,Coefficient[#,MM,0]<= Coefficient[#2,MM,0]&]};First[L3]]; SOLBA[TT_]:=Module[{Art,Vorig,int,nn,k,zna, zna,vb,vno,vor,vb,sust}, {Art=Select[Var,Level[#,{-}][[]]===R&], Vorig=Select[Var,Not[Level[#,{-}][[]]===R Level[#,{-}][[]]===S Level[#,{-}][[]]===Y]&], int=intersection[bas,art], nn=delete[var,map[{#}&, Flatten[Map[Position[Var,#]&,Bas]]]], k=length[nn], zna=flatten[takecolumns[tt,{-,-}]], zna=drop[zna,],vb=select[inner[list,bas,zna,list], Not[Intersection[#,Vorig]==={}]&], vno=map[{#,0}&,complement[vorig,map[#[[]]&,vb]]], vor=map[#/.{list->rule}&,union[vb,vno]], vb=inner[rule,bas,zna,list], sust=module[{uu,uu2}, 37

138 UNIVERSIDAD DE MANIZALES {uu=select[inner[list,bas,zna,list], Not[Intersection[#,int]==={}]&], uu2=select[uu,#[[2]]>0&]};uu2]}; If[sust==={}, Join[{ Z ->First[zna]},vor], Join[{{},{ Z ->First[zna]},vor]]]; stroka=m[[]],fila=stroka[[polnieb]], pequ=hallmin[fila,m],naim=limit[pequ,m->infinity], col=flatten[position[stroka,pequ]][[]], stolb=drop[transpose[m][[col]],], ulc=last[transpose[m]], nec=(hallmin[drop[ulc,],m]/.{m->})>=0}; If[Not[nec],Print[ Tabla incorrecta, puesto que en la última columna\nhay números negativos. ], Which[naim>0&&Not[SOLBA[M][[]]==={}], Print[ ];Print[ CONCLUSION : ]; Print[ Solución óptima : ]; Print[SOLBA[M]], naim>0&&solba[m][[]]==={} SOLBA[M][[]]==={}, Print[ ];Print[ CONCLUSION : ]; Print[ El problema carece de solución factible\npor cuanto una de las variables artificiales es básica\ny toma un valor positivo en la tabla símplex final. ], naim===0&&alt==={}, Print[ ];Print[ CONCLUSION : ]; 38

139 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Print[ Solución óptima : ]; Print[SOLBA[M]], naim===0&&not[alt==={}], Print[ ];Print[ CONCLUSION : ]; Print[ Solución óptima : ]; Print[SOLBA[M]]; If[Length[alt]===, Print[ Existe un óptimo alternativo. ]; Print[SequenceForm[ Para obtenerlo, aplique :, Map[SequenceForm[ OptAlt[, % #salida,,#[[]],,, #[[2]], ] ]&, alt]]], Print[ Existen óptimos alternativos. ]; Print[ Para obtenerlos, aplique sucesivamente: ]; Print[TableForm[Map[SequenceForm[ OptAlt[, %#salida,,#[[]],,, #[[2]], ] ]&, alt]]]; Print[ ]], naim<0&&max[stolb]<=0, Print[ ];Print[ CONCLUSION : ]; Print[ LA FUNCION OBJETIVO ES NO ACOTADA. ]]]]; Otviet[M2_]:=Otviet0[M2[[2]][[]],M2[[2]][[2]], M2[[2]][[3]]]; 39

140 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Símplex[prob_,obj_,res_]:=Module[ {transf,l,l,k,l2,k2,l3,k3,w,w2,w3,w4,w,basresh, coefob,pierem,art,holgura,superávit,vorig,bas,var,uravniéniya,aa,mensaje,imprima}, {Clear[s,R,y,M], transf[expr_,uu_,vv_,ii_]:=append[replaceheldpart[expr, Hold[expr[[ii]]+uu],ii],vv], L=Map[{Expand[#[[]]],Head[#],#[[2]],Flatten[Position[res,#]][[]]}&,res], L=Select[L,MemberQ[#,LessEqual]&],k=Length[L], L2=Select[L,MemberQ[#,GreaterEqual]&],k2=Length[L2], L3=Select[L,MemberQ[#,Equal]&],k3=Length[L3], W=If[k===0,{}, Array[transf[L[[#]],SequenceForm[S,#], SequenceForm[S,#],]&,k]//.{LessEqual->Equal}], W2=If[k2===0,{}, Array[transf[L2[[#]],-SequenceForm[Y,#]+ SequenceForm[R,#],SequenceForm[R,#],]&,k2] //.{GreaterEqual->Equal}], W3=If[k3===0,{}, Array[transf[L3[[#]], SequenceForm[R,k2+#],SequenceForm[R,k2+#],]&,k3]], W4=Sort[Join[W,W2,W3],#[[4]]<=#2[[4]]&], W=Map[Equal[#[[]],#[[3]]]&,W4], BASRESH=Map[{#[[5]],#[[3]]}&,W4], coefob=complement[level[obj,{-}], Select[Level[obj,{-}],NumberQ[N[#]]&]]; pierem=level[w,{-}], 40

141 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL Art=Array[SequenceForm[R,#]&,Count[pierem,R]], holgura=array[sequenceform[s,#]&,count[pierem,s]], superávit=array[sequenceform[y,#]&,count[pierem,y]], Vorig=Union[ coefob,complement[pierem, Union[{R,S,Y},Select[pierem,NumberQ[N[#]]&]]]], Bas=Map[#[[]]&,BASRESH], Var=Union[Join[ coefob,vorig,superávit,holgura,art]], uravniéniya=which[prob===max, Prepend[W,-obj+Apply[Plus,M*Art]==0], prob===min,prepend[w,obj+apply[plus,m*art]==0],true,{}], AA=Mat[uravniéniya,Var], mensaje={{ Variables Originales =,Vorig}, { Variables de Holgura =,holgura}, { Variables Artificiales =,Art}, { Variables de Superávit =,superávit}, { Variables Básicas =,Bas}}, imprima=delete[mensaje, Map[Flatten,Map[Position[mensaje,#]&, Select[mensaje,#[[2]]==={}&]]]]}; Print[ Problema Original : ];Print[ ]; Which[prob===Max, Print[ Maximizar : ];Print[ ]; Print[SequenceForm[ W, =,obj]], prob===min, Print[ Minimizar : ];Print[ ]; Print[SequenceForm[ W, =,obj]]];print[ ]; 4

142 UNIVERSIDAD DE MANIZALES Print[ Sujeta a : ];Print[ ]; Print[TableForm[res]];Print[ ]; Print[ Forma Estándar del problema : ];Print[ ]; Print[ Maximizar : ];Print[ ]; Which[prob===Max, Print[SequenceForm[ Z =,obj-apply[plus,m*art]]], prob===min, Print[SequenceForm[ Z =,-obj-apply[plus,m*art]]], True,{}];Print[ ]; Print[ Sujeta a : ];Print[ ]; Print[TableForm[W]];Print[ ]; Print[ Tipos de Variables : ];Print[ ]; Print[TableForm[Map[Apply[SequenceForm,#]&,imprima]]]; Print[ ]; Print[ Tabla Símplex inicial: ];Print[ ]; ver0[aa,var,bas]]; 42

143 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL SOLUCION A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS CAPITULO I.. Z es no acotado. Esto significa que la cantidad de dinero a obtener al final del año 5 es no acotada (crece ilimitadamente), lo cual implica que las condiciones del problema no se ajustan a la realidad. Deben imponerse otras restricciones..2. El número óptimo de libros a empastar en cartón duro es de 200 y encolado 0. La máxima utilidad obtenida será entonces de pesos..3. El número óptimo de meseras (mínimo) que permite cumplir los requisitos del restaurante para atender a sus clientes es de 27. Estas personas se han de distribuir de la siguiente manera: 4 meseras que comienzan el turno a las 2 a.m. meseras que comienzan el turno a las 6 a.m. 8 meseras que comienzan el turno a las 4 (2 p.m.) 4 meseras que comienzan el turno a las 8 (6 p.m..).4. El número de onzas a mezclar de cada tipo de alimento para optimizar el costo (minimizarlo) y satisfacer los requerimientos diarios mínimos de proteinas, carbohidratos y grasas de los Hamster es: onzas de alimento y,.859 onzas de alimento IV.Los alimentos II y III no se utilizan en la mezcla.el costo mínimo en estas condiciones es. centavos..5. La persona que heredó los 6000 dólares debe invertir 5000 dólares en el plan de inver- 43

144 UNIVERSIDAD DE MANIZALES sión que le propone el primer amigo y 400 horas de trabajo con lo que obtendrá una utilidad máxima de 4500 dólares.en el segundo plan no debe invertir..6. La compañía manufacturera debe producir 20 unidades del producto, 62.5 unidades del producto 2 y ninguna unidad del producto 3. La utilidad máxima obtenida es de 2250 pesos. CAPITULO II 2.. La pequeña firma debe correr el proceso durante horas y el proceso 2 durante horas para combinar cada uno de los dos productos: fluido para marcha y fluido para encendedor, con lo que obtendrá una utilidad máxima de 533,333 dólares a) Z * =Z max =20 con x * =2 y x* =3.5 2 b) Z = Z min = 56 con x = y x 2 = c) Z * =Z min = con x * =.0909 y x* = Para la dieta deben comprarse 5 libras del alimento F y libra del alimento F2 con lo que se obtendrá el costo mínimo de 7.8 pesos y a la vez se satisfacen los requerimientos mínimos de vitaminas en la dieta Para pintar la casa cumpliendo los requisitos exigidos a un mínimo costo el propietario debe comprar sólo 0.7 galones de pintura I, obteniendo un costo mínimo de 4.2 dólares. No hay necesidad de mezclar La empresa debe contratar sólo 4 anuncios en TV a la semana, lo cual agota su presupuesto máximo de dólares y logra maximizar el número posible de clientes potenciales. 44

145 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL CAPITULO III 3.3. Z = Z max = con x = y x 2 = Z * =Z max =5 con x * =2, x* =0 y 2 x* = Z = Z max = 4 con x = x 3 = 0, x 2 = Z * =Z min =8 con x * =8, x* = Z * =Z min = con x * =0, x* =3.333, 2 x* =0 y 3 x* = El plan óptimo de inversión del millón de pesos con el fin de maximizar la suma a recibir al final del año 3 es: Invertir al inicio del primer año de pesos en el plan A e invertir al comienzo del segundo año $ en el plan B. En las demás fechas no se debe invertir en ninguno de los dos planes. Con lo anterior se logra obtener al final del año 3 un máximo de $

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147 INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL BIBLIOGRAFIA [] Taha, Hamdy A. Investigación de Operaciones. Alfaomega, Segunda Edición. [2] Davis K. Roscoe / Mc Keown Patrick G. Modelos Cuantitativos para Administración. Grupo Editorial Iberoamérica. [3] Hillier F.S., Lieberman G.J. Introducción a la Investigación de Operaciones. Quinta Edición, Editorial Mc Graw Hill, 99. [4] Varela, Jaime E. Introducción a la Investigación de Operaciones. Fondo Educativo Interamericano. [5] G.D. Eppen, F.J. Gould. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. [6] Alpha C., Chiang. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. 3a. Edición, Editorial McGraw Hill. [7] Bronson, Richard. Investigación de Operaciones. Teoría y 30 Problemas Resueltos. Serie Schaum, Editorial McGraw Hill. [8] Wolfram, Stephen. Mathematica. A system for doing mathematics by computer. Second Edition, Addison Wesley,

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