RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PACKING EN UNA EMPRESA DE

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1 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PACKING EN UNA EMPRESA DE CALCAMONIAS MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS. Alberto Gómez Gómez, José Parreño Fernández y Isabel Fernández Quesada. RESUMEN. El objetivo del presente trabajo consiste en aplicar la metodología de algoritmos genéticos al problema de packing de una empresa de calcamonias. Debido a la naturaleza de las operaciones del problema de packing en la industria, no es fácil resolverlo con algoritmos exactos de programación lineal entera (Gilmore and Gomory, 1961,63,65,66). Aplicaciones industriales de la metodología de packing pueden verse en (Dyson and Gregory, 1974), (Farley, 1983, 1988), (Haessler, 1978), (Haessler and Talbot, 1983), (Litton, 1977), (Madsen, 1979), (Sculli, 1981), (Stainton, 1977). Y más recientemente (Riehme et al. 1996) y (Spieksma, 1994), todos ellos utilizando modelos lineales enteros. Por todo ellos nosotros hemos decidido utilizar algoritmos genéticos como una herramienta alternativa para resolver problemas complejos de cutting, resultando soluciones muy aceptables. En el trabajo se describen como hemos tenido que desarrollar los algoritmos genéticos en sus apartados de codificación, función de evaluación, selección, reproducción, crossover y mutación para el problema de ubicación de rectángulos en una superficie. 1.DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA A TRATAR. El problema que se trata de resolver consiste en la ubicación óptima de una serie de figuras de diferentes tamaños, que en un principio consideraremos rectangulares y en cuyo interior existe una calcamonia. El problema inicial que resolveremos es el siguiente: Supongamos que tenemos los siguientes 10 rectángulos con dimensiones: (7,8),(4,5), (9,2), (2,4), (5,6), (4,1), (2,3), (4,3), (5,1), (6,7) (coordenada X, coordenada Y). La ubicación inicial será una cualquiera, ocupando una altura que se pretende optimizar o una superficie excesiva que se busca mejorar. 2.SOLUCIÓN IMPLEMENTADAS.

2 A continuación vamos a describir los pasos que corresponden al desarrollo del algoritmo genético utilizado en la resolución del problema packing. El primer paso es la introducción de datos en el sistema se vera en el apartado 3.1, posteriormente se estudia la función de evaluación (apartado 3.2), se continua con el proceso de selección (3.3), posteriormente el de reproducción (3.4) con sus operadores de crossover y de mutación, y por último el proceso de reemplazo (3.5). 3.1 INTRODUCCIÓN DE DATOS EN EL SISTEMA. Las dimensiones de los rectángulos y el número de ellos que existe se almacena en un fichero. Éste es leído por el programa encargado de realizar la colocación de las calcamonias, y a partir de los datos elabora la estructura de la población de AGs. A cada uno de los rectángulos se le asigna un número entero, y la dimensión de los individuos de la población es igual al número de rectángulos que se quieran colocar en la superficie patrón. Por ejemplo, en el caso considerado que tenemos de 10 rectángulos la codificación de un posible individuo sería: Este tipo de codificación presenta la ventaja de generar siempre individuos factibles. 3.2 FUNCIÓN DE EVALUACIÓN. A la hora de establecer una forma de evaluar la bondad de una solución, se han considerado diversas posibilidades, decantandose al final por dos tipos de función de fitness. Fitness en función de la altura: Se mide la altura máxima alcanzada por las rectángulos dentro de la placa base, y se busca minimizarla. Fitness en función del área: Se compara el área total de la placa base con el área utilizada por los rectángulos, se busca utilizar la mayor cantidad de área posible. 3.3 EL PROCESO DE SELECCIÓN. Muestrea, a partir de la población inicial, los n elementos de la población de criadores. El criterio concreto de muestreo depende del problema, los más usados en la práctica son los muestreos por sorteo, universal y por 2

3 torneos. Los muestreos deterministas se usan muy poco, entre otros motivos porque van contra la filosofía del método (Michalewicz, 1994), en este trabajo se ha utilizado el muestreo por sorteo. 3.4 EL PROCESO DE REPRODUCCIÓN. Consiste en aplicar los operadores de transformación (crossover, mutación, inversión,...) sobre ciertos miembros de la población de criadores, de los cuales se obtiene una descendencia de s nuevos miembros. Los dos grupos de operadores que nunca faltan en un algoritmo genético son: el crossover y la mutación (Goldberg,89) OPERADORES DE CROSSOVER. Son el arquetipo de operadores de recombinación: actúan sobre parejas de individuos y normalmente originan otro par de individuos que combinan características de los progenitores. Para resolver el problema de nuestra empresa de calcamonias se han implementado diferentes tipos de operadores de crossover con el objetivo de poder analizar, cual de ellos ofrece mejores soluciones para el problema que se está tratando. En este apartado vamos a considerar tres tipos de operadores de crossover, el partial matching crossover (PMX), cycle crossover (CX) y por último el order crossover (OX), en este último caso existen dos variedades, una con posiciones prioritarias y otra con orden prioritario. Partial matching crossover (PMX): Consiste en elegir un tramo de uno de los dos progenitores v y w, y cruzar preservando el orden y la posición de la mayor cantidad posible de rectángulos del otro. Lo veremos en el siguiente ejemplo, supongamos que la codificación de dos soluciones de rectángulos son: v = (1,2,3,4,5,6,7,8,9) w = (4,5,2,1,8,7,6,9,3) Y queremos hallar la descendencia a través del crossover PMX entre los genes que ocupan la cuarta posición y la séptima. El modo de operación se resume en estos cuatro pasos: 1. Se selecciona un recorrido parcial eligiendo al azar dos puntos de corte. En el presente caso, se marcaron con una línea de separación vertical: (1, 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9) (4, 5, 2 1, 8, 7, 6 9, 3) 2. Se intercambian los segmentos situados entre los puntos de corte: ( x, x, x 1, 8, 7, 6 x, x ) 3

4 ( x, x, x 4, 5, 6, 7 x, x ) Los símbolos x se interpretan como no especificado. Ese intercambio define también un conjunto de emparejamientos 1 <> 4 8 <> 5 7 <> 6 6 <> 7 que serán empleados para despejar las x. 3. Se especifican las x de los progenitores originales que no planteen conflicto (que surgirá cuando exista una repetición de código), es decir: ( x, 2, 3 1, 8, 7, 6 x, 9 ) ( x, x, 2 4, 5, 6, 7 9, 3 ) 4. Las x que plantean conflicto se reemplazan por su pareja. Por ejemplo, el primer elemento del primer progenitor está repetido, el 1, por lo que se sustituye por 4: ( 4, 2, 3 1, 8, 7, 6 5, 9 ) ( 1, 8, 2 4, 5, 6, 7 9, 3 ) De esta manera siempre se obtienen soluciones factibles. Cycle-crossover(CX): Se trata de que cada rectángulo herede sucesivamente la posición de uno de los progenitores. Resulta de gran ayuda construir la tabla de posiciones; para el presente ejemplo la tabla es: v 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º w 4º 3º 9º 1º 2º 7º 6º 5º 8º y se opera completando los llamados ciclos de sucesión, el operador consiste en cuatro pasos: 1. Para el primer descendiente, se parte del primer rectángulo del primer progenitor: (1, x, x, x, x, x, x, x, x) Eso obliga a darle al rectángulo 4 el 4º puesto de ese descendiente, (1, x, x, 4, x, x, x, x, x) quedando así completa el primer ciclo de sucesión. 4

5 2. Se toma el segundo rectángulo de uno de los progenitores al azar, por ejemplo el primero otra vez. Ello obliga a dar al rectángulo 5el 5º puesto, y eso a su vez obliga a dar al 8 el 8º puesto, al 9 el 9º puesto y al 3 el 3º, lo que completa el segundo ciclo de sucesión y proporciona: (1, 2, 3, 4, 5, x, x, 8, 9) 3. Se recorre el último ciclo de la siguiente manera: ahora se parte desde el 6º rectángulo del segundo progenitor para obtener por fin el primer descendiente: (1, 2, 3, 4, 5, 7, 6, 8, 9) 4. El segundo descendiente se obtiene inmediatamente por complementariedad con el primero: (4, 5, 2, 1, 8, 6, 7, 9, 3) Nótese que en el proceso anterior sólo ha habido tres posibles elecciones; una vez hechas, todas las posiciones quedan determinadas. Order-crossover(OX): El crossover por orden básico consiste en elegir para cada descendiente un tramo de uno de los progenitores y a la vez preservar el orden relativo de todas las rectángulos del otro. Para el ejemplo anterior el modo de operación es el siguiente: 1. El primer paso es el mismo de antes, se selecciona un recorrido parcial, eligiendo al azar dos puntos de corte: ( 1, 2, 3 4, 5, 6, 7 8, 9 ) ( 4, 5, 2 1, 8, 7, 6 9, 3 ) 2. Este segundo paso es el mismo de antes, pero sin prestar atención a los emparejamientos: ( x, x, x 4, 5, 6, 7 x, x ) ( x, x, x 1, 8, 7, 6 x, x ) O sea, para cada progenitor se parte de uno de los puntos de corte y se copian los rectángulos del otro progenitor, conservando el orden relativo y omitiendo los que ya estén presentes; al llegar al final de la cadena, se continúa por el principio de la cadena, hasta retornar al punto de partida. En el ejemplo presente, se parte del segundo punto de corte para ambos progenitores; así resulta que para el primero se obtiene el siguiente descendiente: ( 2, 1, 8 4, 5, 6, 7 9, 3 ) Obsérvese que el primer elemento no es ni 4 ni 5, porque ya están incluidos ambos. Análogamente, para el segundo progenitor se obtiene este otro descendiente: 5

6 ( 3, 4, 5 1, 8, 7, 6 9, 2 ) Existen dos variedades de este operador de crossover, que comentaremos a continuación: A. Crossover por orden con posiciones prioritarias: La única diferencia con el crossover anterior estriba en que no se elige un tramo para intercambiarlo entre los progenitores, sino un conjunto de posiciones al azar. B. Crossover por orden con orden prioritario: Los individuos no intercambian rectángulos, sino el orden relativo existente entre ellos. El relleno de las vacantes es el mismo de antes, supóngase que para los individuos del ejemplo anterior se eligen para el intercambio de orden las posiciones 3ª, 4ª, 6ª y 9ª. En el primer progenitor el orden de los rectángulos en esas posiciones es: 3 >> 4 >> 6 >> 9 En el segundo progenitor estos rectángulos ocupan las posiciones 9ª, 1ª, 7ª y 8ª, por lo que el primer descendiente será una copia del segundo progenitor en todas las posiciones salvo en ésas, es decir: ( x, 5, 2, 1, 8, 7, x, x, x ) En ellas se colocarán los rectángulos seleccionados conservando su orden relativo, o sea ( 3, 5, 2, 1, 8, 7, 4, 6, 9 ) y ese será el primer descendiente. El segundo se obtendrá repitiendo el mismo procedimiento para el segundo progenitor: ( 2, 1, 7, 4, 5, 6, 3, 8, 9 ) LOS OPERADORES DE MUTACION. Son los operadores de alteración, dado que actúan sobre individuos, realizando una pequeña modificación de alguno de sus genes. Igualmente como en el caso del crossover se han implementado diferentes tipos de mutación, que comentamos a continuación: Position-based Mutation: Se selecciona dos genes de forma aleatoria, y el segundo se coloca justo delante de la primera. Order-based Mutation: Se seleccionan dos genes de forma aleatoria, y sus posiciones son intercambiadas Scramble Mutation: Suponiendo que el orden de los vecinos es importante. Se seleccionan, de forma aleatoria, subsistemas y se intercambian los ordenes de las operaciones dentro de ellos. 6

7 3.5 EL PROCESO DE REEMPLAZO. A partir de los n miembros de la población de criadores y de los s miembros de la población de descendientes se debe obtener una nueva población de n miembros, para ello existen varios criterios. Se ha implementado el criterio de reemplazo inmediato (o al vuelo), en él los s descendientes sustituyen a sus respectivos progenitores. 3.EXPERIMENTOS REALIZADOS. Se han realizado numerosos experimentos con el fin de averiguar si el programa diseñado se ajustaba a las condiciones de la empresa. A modo de ejemplo, en este apartado se muestran lo resultados que se obtienen cuando se quieren colocar en una superficie 75 piezas. La colocación inicial ocupa una placa de 70 por 41 (2870) como se puede apreciar en la figura 1: Figura 1: Colocación inicial. Posteriormente, una vez aplicado el algoritmo genético que se ha comentado en el apartado anterior se tiene la siguiente ubicación óptima. 7

8 Figura 2: Colocación óptima con algoritmos genéticos. Como se puede apreciar, la solución ofrecida por el nuevo sistema es sensiblemente mejor, sólo se necesita una placa de 70 por 35 (2450), con el consiguiente ahorro de material, que en este caso es del 15%. Se han hecho experimentos con todos los tipos de crossover y mutaciones comentados en los apartados anteriores, siendo los resultados obtenidos similares, no obstante parece que siempre ofrecen mejores resultados el crossover PMX y la mutación Position-based Mutation. Como futuras líneas de investigación se pretende buscar nuevas formas de calcular el fitness. Como se puede observar en la figura 2, la solución que ofrecen este programa todavía no es la óptima, existen demasiados huecos. 4.CONCLUSIONES. En este trabajo se hace un estudio y descripción sobre la aplicación de algoritmos genéticos al problema de packing. Se ha comprobado empíricamente que aplicando esta meta-heurística se obtienen mejores resultados que los métodos tradicionales de programación lineal entera. Para ello se ha desarrollado un programa que se ha aplicado a un problema real de una empresa de calcamonias que quiere optimizar la ubicación de superficies rectangulares sobre un papel. 8

9 5.BIBLIOGRAFÍA. Davis, L. Handbook of Genetic Algorithms. Van Nostrand Reinhold, New York, Dyson, R.G. and Gregory, A.S. (1974). The cutting stock problem in the flat glass industry, Operational Research Quarterly 25, Farley, A.A. (1983). Trim-loss pattern rearrangement and its relevance to the flat-glass industry, European Journal of Operational Research 14, Farley, A.A. (1988). Mathematical programming models for cutting stock problems in the clothing industry, Journal of the Operational Research Society 39, Gilmore, P.C. and Gomory, R.E. (1961). A linear programming approach to the cutting-stock problem. Operations Research, 9, Gilmore, P.C. and Gomory, R.E. (1963). A linear programming approach to the cutting-stock problem. Operations Research, part II, Gilmore, P.C. and Gomory, R.E. (1966). The theory and computation of knapsack functions, Operations Research 14, Gilmore. P.C. and Gomory, R.E. (1965). Multistage cutting-stock problem of two and more dimensiones, Operations Research 13, Goldberg. D. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization & Machine Learning. Addison-Wesley Co., Inc, Reading, MA. Haessler, R.W. (1978). A procedure for solving the 1.5-dimensional coil slitting problem, AIIE Transactions 10, Haessler, R.W. and Talbot, FB (1983). A 0-1 model for solving the corrugator trim problem, Management Science 29, Holland, J. (1975). Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor: University of Michigan Press Litton, C.D. (1977). A frequency approach to th one-dimensional cutting problem for carpet rolls, Operational Research Quarterly 28, Madsen, O.B.G. (1979). Glass Cutting in a small firm, Mathematical Programming 17, Michalewicz, Z. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Springer-Verlag, Riehme, et al. (1996). The solution of two-stage guillotine cutting stock problems having extremely varying order demands. European Journal of Operational Research 91,

10 Sculli, D. (1981). A stochastic cutting stock procedure: Cutting rolls of insulating tape, Management Science 27, Spieksma, F.C.R. (1994). A branch-and bound algorithm for the two-dimensional vector packing problem. Computers Ops. Res. 21, Nº1, Stainton, R.S. (1977). The cutting stock problem for the stock-holder of steel reinforcement bars, Operational Reaerch Quarterly 28,