XVII OLIMPIADA MATEMÁTICA DE LA REGIÓN DE MURCIA. Fase Comarcal

Transcripción

1 XVII OLIMPIADA MATEMÁTICA DE LA REGIÓN DE MURCIA Fase Comarcal PROBLEMAS Y RESPUESTAS 13 de mayo de 2006

2 PROBLEMAS SEXTO DE PRIMARIA Apartado a) PROBLEMA 1 En una academia de música han decidido organizar una Semana Musical. Para ello durante cuatro tardes habrá actuaciones de Flauta, Guitarra, Piano y Violín, de una hora cada una de ellas. Para evitar la monotonía, quieren que un mismo instrumento no coincida dos veces el mismo día ni tampoco dos días a la misma hora. Los organizadores están confeccionando el horario y tienen ya unas actuaciones fijadas, como muestra el cuadro: LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES 16 a 17 V 17 a 18 G 18 a a 20 V P Podrías ayudarles a completar todo el horario? Apartado b) El rectángulo ABCD se corta por las diagonales en cuatro triángulos y se forma la siguiente figura: La diferencia entre el perímetro de la nueva figura y el perímetro del rectángulo ABCD es 20 cm. Cuánto mide cada una de las dos diagonales del rectángulo ABCD?

3 PROBLEMA 2 Tenemos nueve cartas, numeradas del 1 al 9: Podemos colocar esas nueve cartas de manera que formemos varios números todos ellos impares, por ejemplo así: Nosotros te pedimos que hagas lo siguiente: Tienes que colocar las nueve cartas de manera que formes cinco números primos menores que 100, pero con una condición: tienes que usar todas las cartas y cada carta una sola vez. (Un número primo es el que sólo tiene por divisores él mismo y el número 1. Por ejemplo, el 11 es primo). PROBLEMA 3 En una clase de 6º curso de Educación Primaria la maestra propone a los niños que hagan unos trabajos sobre Mozart, para conmemorar que este año se cumplen 250 años desde su nacimiento. Toda la clase coincidió en señalar a Pablo, Andrea y Raúl, como los autores de los mejores trabajos. Los trabajos fueron sobre La Flauta Mágica, Don Giovanni, y Cosi Fan Tutte, y cada uno de los tres alumnos anteriores eligió una distinta de entre esas tres obras de Mozart. Sabiendo que sólo una de las tres afirmaciones siguientes es cierta: - Pablo ha realizado el trabajo sobre La Flauta Mágica. - Andrea no ha realizado el trabajo sobre Don Giovanni. - Pablo no ha realizado el trabajo sobre Cosi Fan Tutte. Qué trabajo hizo exactamente cada uno de ellos? Explica tu respuesta.

4 PROBLEMA 4 Tenemos tres cubos: uno rojo, otro azul y otro amarillo. En cada uno de ellos, cabe un máximo de 5 litros. El líquido se mide cuidadosamente en una cantidad exacta de litros y se vierte en los cubos. Cada cubo contiene un número diferente de litros. El doble de los litros del cubo rojo es la mitad de los litros del cubo amarillo. Si el líquido del cubo rojo se vierte en el cubo azul, entonces el azul contiene la misma cantidad de líquido que el cubo amarillo. Cuántos litros contiene cada cubo? Tienes que explicar cómo lo has razonado. PROBLEMA 5 Juan juega con fichas rectangulares, todas iguales entre sí. Con 3 fichas forma un cuadrado. Con 6 fichas forma este rectángulo que tiene 18 cm de perímetro. Lo desarma y arma otros rectángulos usando siempre las 6 fichas para hacerlos. Utilizando la cuadrícula que hay debajo, dibuja todos los rectángulos diferentes que Juan puede formar con las seis fichas. (Un rectángulo se considera el mismo que otro si, aunque estén girados, se forman uniendo las seis fichas de la misma manera). Escribe al lado de cada rectángulo que dibujes su perímetro.

5 PROBLEMAS SEGUNDO DE ESO PROBLEMA 1 En una academia de música han decidido organizar una Semana Musical. Para ello durante cuatro tardes habrá actuaciones de cada uno de los cuatro cursos del Grado Elemental de todos estos instrumentos: Flauta, Guitarra, Piano y Violín. En total, dieciséis actuaciones: F 1º, F 2º, F 3º, F 4º, G 1º, G 2º, G 3º, G 4º, P 1º, P 2º, P 3º, P 4º, V 1º, V 2º, V 3º, V 4º. Las actuaciones serán de una hora cada una de ellas. Para evitar la monotonía, quieren que un mismo instrumento no coincida dos veces el mismo día ni tampoco dos días a la misma hora. Además, no quieren que dos actuaciones de un mismo curso tengan lugar en el mismo día de la semana ni dos días diferentes a la misma hora. Los organizadores están confeccionando el horario y tienen ya unas actuaciones fijadas, como muestra el cuadro. Podrías ayudarles a completar el horario? LUNES MARTES MIÉRCOLES JUEVES 16 a 17 V 2º 17 a 18 F 2º 18 a a 20 V 3º F 4º PROBLEMA 2 He aquí diez cartas, numeradas del 0 al 10: Podemos colocar esas diez cartas de manera que formemos varios números todos ellos impares, por ejemplo así: Nosotros te pedimos que hagas lo siguiente: Apartado a) Si quitamos la carta del 0, tienes que colocar las nueve cartas restantes de manera que formes cinco números primos menores que 100, pero con una condición: tienes que usar las nueve cartas y cada carta una sola vez.

6 Apartado b) Ahora has de añadir a las diez cartas otra más, repitiendo una de ellas, la que necesites, y hacer lo siguiente: Usando exactamente esas once cartas, colócalas de manera que formen varios números todos ellos primos. PROBLEMA 3 Un alumno de 2º de ESO, tras salir eufórico de una clase de Tecnología, decide aprovechar lo que ha aprendido y arreglar una pequeña avería eléctrica del instituto, manipulando una serie de cables de muchos colores. Por supuesto, lo hace por su cuenta, sin avisar al profesor ni a la directora. Al día siguiente en el instituto se dan cuenta de lo siguiente: - Cuando el VÍDEO del laboratorio de idiomas funciona, el PROYECTOR de diapositivas del salón de actos falla. - Cuando los ORDENADORES del aula de informática fallan, el PROYECTOR funciona. - Cuando la MEGAFONÍA del gimnasio funciona, las LUCES del aula-taller de matemáticas fallan. - Cuando la MEGAFONÍA falla, el PROYECTOR funciona. - Cuando los ORDENADORES funcionan, la CENTRIFUGADORA del laboratorio de química también funciona. Si el proyector falla, funcionará la centrifugadora? Razona la respuesta. El profesor de matemáticas quiere saber si funcionarán las luces del aula-taller de matemáticas. Le pregunta a su compañero, profesor de inglés, quien le dice que el vídeo sí funciona. Sabiendo esto, funcionarán o fallarán las luces? Razona la respuesta. Y si le hubiese dicho que el vídeo falla, funcionarán las luces del aula-taller de matemáticas? Razona la respuesta. PROBLEMA 4 En una clase de 2º de ESO el profesor de matemáticas llega un día muy contento porque el porcentaje de suspensos en esta asignatura ha bajado un 20 % en la segunda evaluación respecto de la evaluación anterior. Los alumnos, en cambio, habían hecho sus cálculos y estaban enfadados porque el número de aprobados sólo había subido un 5 %. (Por supuesto el número total de alumnos que se examinaron era el mismo). a) Si ocurre esto, pudo haber igual cantidad de aprobados que de suspensos en la primera evaluación? Por qué? b) En la primera evaluación, crees que hubo más aprobados que suspensos, igual número de aprobados que de suspensos o más suspensos que aprobados? Explica por qué. c) Qué porcentaje de alumnos aprobaron las matemáticas en la primera evaluación?

7 PROBLEMA 5 Un polígono se dice bonito si sus vértices están sobre los de una cuadrícula y cada uno de sus lados es horizontal o vertical. La distancia entre dos puntos vecinos de la cuadrícula es de 1cm. Por ejemplo, el polígono de la siguiente figura es bonito. a) Habrá un polígono bonito con perímetro igual a 22 cm y área igual a 14 cm 2? En caso afirmativo, muestra algunos ejemplos y en caso contrario, explica por qué no. b) Habrá un polígono bonito con perímetro igual a 21 cm y área igual a 14 cm 2? En caso afirmativo, muestra un ejemplo y en caso contrario, explica por qué no.

8 PROBLEMA 6 Ana y Bruno se inventan un juego. Colocan un dado gris y dos dados blancos en una bolsa para que no se puedan ver. En primer lugar Ana saca de la bolsa uno de los dados al azar. Después, Bruno saca otro de los dos que quedan. Si los dos cubos que se han sacado son del mismo color gana Ana. En caso contrario gana Bruno. Tienen los dos las mismas posibilidades de ganar? Explica tu razonamiento.