Sistema criptográfico de llave publica RSA. Análisis y diseño de algoritmos Jose F. Torres M.

Transcripción

1 Sistema criptográfico de llave publica RSA Análisis y diseño de algoritmos Jose F. Torres M.

2 Introducción Un mensaje puede cifrarse mediante la aplicación de una regla que transforme el texto en claro del mensaje a un texto cifrado. Para esto el receptor debe conocer la regla inversa para transformar el texto cifrado en el texto original. La mayoría de los sistemas criptográficos se basan en dos técnicas: Sustitución Transposición

3 Introducción (continuación) Cifrado por sustitución: El cifrado por sustitución esta basado en el principio de remplazar cada letra del mensaje original por otra. Cifrado por transposición: Se basa en cambiar el orden los caracteres en el mensaje.

4 Cifrado simétrico (clave secreta) Un sistema de cifrado simétrico es un tipo de cifrado que usa una misma clave para cifrar y para descifrar. Las dos partes que se comunican mediante el cifrado simétrico deben estar de acuerdo en la clave a usar de antemano. Una vez de acuerdo, el remitente cifra un mensaje usando la clave, lo envía al destinatario, y éste lo descifra usando la misma clave.

5 Cifrado simétrico (clave secreta) Ejemplo A y B comparten la clave K (011100) A cifra un mensaje m y lo envía a B E(M)=m XOR k k = m = E(m)= = c B recibe el mensaje y calcula D(c)=c XOR k D(E(m)) = D(m XOR k) = (m XOR k) XOR k = m

6 Cifrado simétrico (clave secreta) Ventajas: Seguro si la clave es escogida de forma aleatoria y es suficientemente grande. Simple de implementar y computacionalmente eficientes Desventajas La necesidad de utilizar nuevas claves para cada mensaje. No sirve para firmar. Tiene graves problemas con la distribución de las claves Ejemplos: DES, 3DES, IDEA, RC2, AES

7 Cifrado asimétrico o de clave publica

8 Cifrado asimétrico (clave publica) Los sistemas de cifrado de clave pública surgieron debido al problema del intercambio de claves. Un sistema de cifrado de clave pública usa dos claves para el envío de mensajes. Ejemplos: RSA, DH, DSA, Curvas Elípticas

9 Cifrado asimétrico (clave publica) Las dos claves pertenecen a la misma persona a la que se ha enviado el mensaje. Una clave es pública y se puede entregar a cualquier persona. La otra clave es privada y el propietario debe guardarla para que nadie tenga acceso a ella. El remitente usa la clave pública del destinatario para cifrar el mensaje, y una vez cifrado, sólo la clave privada del destinatario podrá descifrar este mensaje.

10 Cifrado asimétrico (clave publica) Cada entidad debe poseer una llave publica y una privada y se denotaran como: Pa llave publica de A Sa llave privada de A Pb llave publica de B Sb llave privada de B La función asociada a Px es Px( ) y a Sx es Sx( ) La funciones de clave publica y la privada para un ente x son funciones inversas entre si, por lo que: M=Sa(Pa(M)) M=Pa(Sa(M))

11 Cifrado asimétrico (clave publica) Los sistemas de clave publica se basan principalmente en que todos conocen las claves publicas de los entes con los cuales se van a comunicar. Estas llaves pueden se obtenidas de un directorio publico o del ente con el cual se va ha establecer la comunicación

12 Cifrado asimétrico (clave publica) Cifrado: Para cifrar en un sistema de llave publica. El emisor (B) del mensaje M cifra el mensaje usando la llave publica del receptor (A) por medio de su clave publica C=Pa(M) y lo envía. Cualquiera que intercepte el mensaje C y no posea la llave privada de A no podrá descifrar el mensaje en un tiempo prudencial El receptor (A) utiliza su clave privada para descifrar el mensaje Sa(C)= Sa(Pa(M))= M.

13 Cifrado asimétrico (clave publica) Cifrado de un mensaje de B para A B A Texto Plano M Cifrado Pa Texto cifrado C=Pa(M) descifrado Sa Texto Plano M Llave publica de A Llave Privada de A

14 Cifrado asimétrico (clave publica) Firmado: El emisor A calcula su firma digital δ para el mensaje M usando su llave privada Sa. δ=sa(m ) El emisor A envía el mensaje y la firma electrónica (δ,m ) al receptor. Cuando el receptor B obtiene el mensaje (δ,m ). B puede verificar que el mensaje se origino de A mediante la clave publica de A y la ecuación Pa(δ). Si el mensaje se origino de A entonces Pa(δ) = Pa(Sa(M )) = M y el receptor B puede concluir que el mensaje fue emitido por A. De lo contrario el receptor B puede asumir que el mensaje no fue emitido por o que el mismo fue dañado durante la transmisión.

15 Cifrado asimétrico (clave publica) A M M B Texto Plano M Firma Sa δ= Sa(M ) Texto Plano y firma (δ,m ) Verifica Pa =? M = Pa(δ) Texto Plano M Llave Privada de A Llave Publica de A

16 Cifrado asimétrico (clave publica) Firmado y cifrado de un mensaje de A para B A Texto plano Texto firmado Texto firmado y cifrado Texto firmado Sa Pb Sb Pa B Texto plano Llave privada de A Llave publica de B Llave publica de A Llave privada de B

17 Para que se pueden utilizar los sistemas criptográficos de clave publica? Para garantizar: Integridad: Garantiza el mensaje no ha sido alterado. Confidencialidad: Garantiza que solo quienes posean la llave puedan descifrar el mensaje Autenticidad: Es el equivalente a una firma escrita y de fe de que el emisor es quien dice ser.

18 Fundamentos matemáticos del RSA Enteros relativamente primos: Dos números enteros a y b son relativamente primos si el único común divisor debe es 1 ( mcd(a,b)=1 ). Teorema: Si dos números enteros son cada uno relativamente primos a un numero entero primo p, entonces su producto es relativamente primo a p. Si mcd(a,p)=1 y mcd(b,p)=1 entonces mcd (a*b,p)=1 Multiplicativo inverso Para cualquier numero n > 1, si mcd(a,n)=1, entonces la ecuación ax 1 (mod n) tiene una única solución modulo n. La notación a -1 mod n se requiere a el inverso multiplicativo de a modulo n, cuando a y n son relativamente primos. Para hallar el inverso multiplicativo de a modulo n se puede utilizar el algoritmo extendido de euclides.

19 El algoritmo RSA El algoritmo RSA es un algoritmo de clave pública desarrollado en 1977,en el MIT por Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adelman. Fue registrado el 20 de Septiembre de El 20 de Septiembre del 2000, tras 17 años, expiró la patente RSA, pasando a ser un algoritmo de dominio público. Este popular sistema se basa en el problema matemático de la factorización de números grandes. y es el primer sistema que cumplía con los postulados propuestos por Diffie y Hellman

20 RSA El sistema RSA crea sus claves de la siguiente forma: 1. Se buscan dos números primos lo suficientemente grandes: p y q con p q (de entre 100 y 300 dígitos). 2. Se obtienen los números n = p * q y Ø = (p-1) * (q-1). 3. Se busca un número e (impar) tal que no tenga múltiplos comunes con Ø. (Seleccione un entero de forma aleatoria e tal que 1< e < Ø, MCD(Ø, e) = 1. ). El numero e es llamado exponente publico RSA

21 RSA El sistema RSA crea sus claves de la siguiente forma (continuación): 4. Se calcula el exponente privado de RSA d = e -1 (mod Ø), (Sea d un numero tal que (e*d)-1 sea divisible entre Ø. ). 5. Publique la llave publica (e,n) y guarde la llave privada (d,n)

22 RSA Como funciona RSA? Si el mensaje a cifrar es M Cifrado P(M)= M e (mod n) Desifrado S(C)=C d (mod n) S(C)= C d (mod n)= (M e (mod n)) d (mod n) = M e*d (mod n) = M

23 RSA Las operaciones de llave publica y privada pueden implementadas usando el procedimiento de exponenciacion modular Asuma que la llave publica (e,n) y la llave privada (d,n) satisfacen lg e = O(1), lg d β, y lg n β Entonces aplicar una llave publica requiere O(1) multiplicaciones modulares y usa O(β 2 ) operaciones de bit. Aplicar una llave secreta requiere O(β) multiplicaciones modulares, usando O(β 3 ) operaciones de bit.

24 RSA Ejemplo Escoja 2 números primos p=7, q=17 Calcule n=p*q y Ø=(p-1)*(q-1) 7*17=119 ; Ø=6*16=96 Escoja un numero relativamente primo a (p-1)*(q-1)=96 e=5 -> MCD(e,96)=1 Calcule d = 5 1 mod 96=77 ->d = ((Y * Ø) + 1) / e Publique (5,119) Guarde (77,119), 7, 17

25 RSA Ejemplo (Continuación) Sea M =19 Para cifrar 19 5 mod 119 = 2,476,099 mod 119 = 66 Para descifrar mod 119 = 19

26 RSA Ejemplo (2) Generación de llaves 1. p=11, q=23 2. m= p * q = 253 ; (p-1)*(q-1)= (11-1)*(23-1)= e= 3 4. d = 147 Cifrado Mensaje = adios -> ^3, 3^3, 8^3, 14^3, 18^3, mod 253 = Descifrado ( ) 0^147, 27^147, 6^147, 214^147, 13^147, mod 253 = > adios

27 RSA En RSA la clave es de tamaño variable: Se recomienda utilizar claves no menores de 768 bits n debe ser lo suficientemente grande como para ser inviable su factorización y así evitar el calculo de d a partir de p, q y e. Se Puede demostrarse que las claves de un usuario en un sistema RSA pueden generarse en un tiempo proporcional al cuadrado de su longitud.

28 RSA Ventajas Resuelve el problema de la distribución de las llaves Se puede usar para el manejo de firmas digitales Desventajas La seguridad del cifrado depende de la eficiencia computacional Requiere mayor tiempo de ejecución que el cifrado simétrico La llave privada debe ser cifrada por algún algoritmo simétrico

29 Reto RSA Scientific American challenge (129 dígitos) anunciado Agosto 1977 Roto en 1994 mensaje the magic words are squeamish ossifrage ; el premio era de $100. este fue roto usando cientos de computadoras en Internet RSA CPU años 4 meses calendario Se usaron casi 300 computadoras RSA-576 Diciembre 2003

30 Aplicaciones Conexiones seguras. Navegadores, S/MIME, SSL Cifrado de archivos. PGP, gnugp

31 Sistemas híbridos Por que? Para usar las ventajas de cada uno de los sistemas

32 Fin Gracias por su atención