UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS SISTEMAS DE MEDICIÓN. Datos y errores

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E INGENIERÍAS SISTEMAS DE MEDICIÓN Datos y errores Texto original: M.C. Anuar Benjamín Beltrán González Modificaciones y texto en L A TEX: Ing. Roberto Carlos Barragán Campos 23 de febrero de

2 1. Datos y errores El objetivo de un sistema de medición es presentar a un observador un valor numérico correspondiente a la variable que se mide. En general, este valor numérico o valor medido no es igual al valor verdadero de la variable. Figura 1: Sistema de medición. Los sistemas de mediciones juegan un papel importante en la validación de las leyes de la ciencia. También son esenciales para estudiar, desarrollar y vigilar muchos dispositivos y procesos. Sin embargo, el proceso mismo de medición implica muchos pasos antes de producir un conjunto útil de información. Para estudiar los métodos que produzcan mediciones efectivas, se considerará el proceso de medición como una secuencia de cinco operaciones. Estas operaciones se pueden citar como sigue: 1. El diseño de un dispositivo eficiente de medición. Este paso comprende una selección adecuada del equipo disponible y una interconexión correcta de los diferentes componentes e instrumentos. 2. El manejo inteligente del aparato de medición. 3. El registro de los datos de un modo claro y completo. La información registrada debe dar una referencia inequívoca para interpretaciones futuras. 4. El cálculo de la exactitud de la medición y las magnitudes de posibles errores implícitos. 5. La preparación de un informe que describa la medición y sus resultados para aquellos que puedan interesarse en su empleo. El objetivo de un sistema de medición es presentar a un observador un valor numérico correspondiente a la variable que se mide. En general, este valor numérico o valor medido no es igual al valor verdadero de la variable.los cinco puntos se deben completar con éxito antes de poder considerar que una medición sea en verdad útil Registro e informe de las mediciones La hoja original de datos es el documento más importante. Se pueden cometer errores al transferir la información, y por lo tanto las copias no pueden tener la validez de un original. Si surgen diferencias, la hoja original de datos es la base con la cual se zanjan. Por lo tanto, es una práctica excelente rotular, registrar y anotar los datos conforme son tomados. Una breve declaración en el encabezado de la hoja de datos debe explicar el objetivo de la prueba y listar las variables por medir. 2

3 Se deben anotar cosas tales como la fecha, los diagramas de conexiones empleados los números de serie del equipo y modelos, y cualquier comportamiento anormal de instrumento. Los datos mismos de las mediciones deben tabularse en forma nítida e identificarse de manera adecuada. En general, los registros del experimento en las hojas de datos deben ser bastante completos como para especificar exactamente lo que se hizo y, si fuera necesario, dar una guía para duplicar el trabajo en alguna fecha posterior. El informe que se presenta al final de una medición también debe prepararse con cuidado. Su objetivo es explicar lo que se hizo cómo se logró. Debe dar los resultados obtenidos, así como una explicación de su significado. Además de contener toda la información pertinente y las conclusiones, el informe debe escribirse con claridad con la debida atención a la estructura de redacción y la gramática. Para ayudar en la organización del reporte y evitar omitir información importante debe emplearse siempre una descripción y un borrador. El borrador se puede pulir después para producir un documento legible y conciso. La forma del reporte debe consistir de tres secciones: 1. Resumen de resultados y conclusiones. 2. Detalles esenciales del procedimiento, análisis, datos y estimaciones de errores. 3. Información, cálculos y referencias de soporte. En las prácticas industriales y científicas, es probable que los gerentes de mayor nivel y demás usuarios revisen los informes, lean el resumen para conocer el posible contenido del cuerpo del informe. Los detalles, por otra parte, generalmente los leerán aquellos quienes necesitan la información específica del reporte, o quienes quieran duplicar la medición en alguna forma. Estos últimos estarán interesados en los detalles de las hojas de datos, el análisis del nivel de exactitud, y los cálculos y resultados que respalden las conclusiones y recomendaciones. Para esos lectores también se deben proporcionar las referencias de donde se obtuvo el material y la información de consulta. Los resultados y conclusiones del informe son sus partes más importantes. Se hizo la medición para determinar cierta información y contestar algunas preguntas específicas. Los resultados indican qué tan bien se lograron esas metas Presentación gráfica de datos La representación gráfica es un modo eficiente y conveniente de presentar y analizar los datos. Se emplean las gráficas para ayudar a visualizar las expresiones analíticas, interpolar los datos y discutir los errores. Esta sección es una breve introducción a los métodos adecuados para graficar los datos. Una gráfica siempre debe tener un título. La fecha de cuando se tomaron los datos, los ejes identificados en forma adecuada y con su escala correcta. Un método efectivo de localizar errores experimentales es graficar los datos teóricos antes de llevar a cabo un experimento. Después, a medida que se lleva a cabo el experimento, se comparen los datos reales con los datos predichos, esto es, los datos se grafican al mismo tiempo que se toman, y no después. En muchos casos, se puede detener el experimento, para analizarlo, tan pronto como se noten muchas discrepancias entre los datos predichos y los reales. Además, cualquier punto inesperado puede verificarse antes de desmantelar el experimento. Al decidir si graficar la variable independiente o dependiente en el eje de las ordenadas (el eje vertical) o en la abscisa (eje horizontal), lo convencional es graficar la variable dependiente (es decir, el parámetro controlado como lo es el voltaje de entrada) en la abscisa y la variable independiente (es decir, la respuesta medida del parámetro controlado) en la ordenada. La decisión final debe basarse en lo que se esté tratando de mostrar al lector. Se debe considerar lo que ilustre mejor 3

4 la información de modo inequívoco. Es muy importante la claridad de la presentación. Se pueden presentar los datos, por ejemplo en forma de una gráfica de barras, de líneas, o como un pastel, dependiendo de lo que se desee enfatizar. Los puntos de los datos en la gráfica se muestran por lo común como círculos pequeños, cuyo diámetro es proporcional al error estimado de las lecturas, A veces, sin embargo, se emplean barras tipo para graficar los puntos de los datos. En tales casos, la parte superior e inferior de la barra debe indicar los errores aproximados del punto del dato. Cuando sea necesario graficar más de una línea, se pueden emplear cuadrados, rombos o triángulos, como símbolos para diferenciar los puntos de datos asociados con cada una de las líneas. Una vez que se han graficado los datos, se debe dibujar una línea uniforme que mejor coincida con los datos. Cuando los puntos de datos parecen estar a lo largo de una línea recta, la mejor opción es. Por lo general un línea que tiene los puntos de datos tan ceca como se posible a cada lado de la línea. Una vez que se han graficado los datos, se debe dibujar una línea uniforme que mejor coincida con los datos. Cuando los puntos de datos parecen estar a lo largo de una línea recta, la mejor opción es. Por lo general una línea que tiene los puntos de datos tan cerca como sea posible a cada lado de la línea. Una técnica útil para localizar la línea de mejor ajuste es el método de los mínimos cuadrados. 2. Resistores Comúnmente llamados resistencias, es uno de los componentes más utilizados. Éstas limitan la circulación de corriente a través de un circuito. Los circuitos electrónicos necesitan incorporar resistencias. Es por esto que se fabrican un tipo de componentes llamados resistores cuyo único objeto es proporcionar en un pequeño tamaño una determinada resistencia, especificada por el fabricante. El símbolo de un resistor es: Figura 2: Símbolos de la resistencia en los dos sistemas eléctricos. Resistencias bobinadas: Sobre una base de aislante en forma de cilindro se arrolla un hilo de alta resistividad (wolframio, manganina, constatan). La longitud y sección del hilo, así como el material de que está compuesto, darán una resistencia. Esta suele venir expresada por un número impreso en su superficie. Se utilizan para grandes potencias, pero tienen el inconveniente de ser inductivas. Resistencias aglomeradas: Una pasta hecha con gránulos de grafito (el grafito es una variedad del carbono puro; la otra es el diamante). El valor viene expresado por medio de anillos de colores, con un determinado código. Resistencias de película de carbón: Sobre un cilindro de cerámica se deposita una fina película de pasta de grafito. El grosor de ésta, y su composición, determinan el valor de la resistencia. 4

5 Resistencias piro-líticas: Similares a las anteriores, pero con la película de carbón rayada en forma de hélice para ajustar el valor de la resistencia. Son inductivas Resistores variables Figura 3: Resistencias más comunes. Hay veces en que interesa disponer de una resistencia cuyo valor pueda variarse a voluntad. Son los llamados reostatos o potenciómetros. Se fabrican bobinados o de grafito, deslizantes o giratorios. Se suelen llamar potenciómetros cuando poseen un eje practicable, y resistencias ajustables cuando para variarlas se precisa la ayuda de una herramienta, porque una vez ajustados no se van a volver a retocar más Resistencias especiales Existen resistores fabricados con materiales especiales, comúnmente semiconductores, cuya resistencia no es constante, sino que depende de algún parámetro exterior. Por ejemplo: LDR (Litgh Dependent Resistance), Resistencia dependiente de la luz. VDR (Voltage Dependent Resistance), Resistencia dependiente del Voltaje. PTC (Positive Temperature Coefficient), Coeficiente de Temperatura Positivo. NTC ( Negative Temperature Coefficient), Coeficiente de Temperatura Negativo Limitaciones de los resistores A la hora de escoger un resistor hay que tener en cuenta, además de su valor óhmico, otros parámetros, tales como la máxima potencia que es capaz de disipar y la tolerancia. Respecto a la primera, es preciso considerar que una resistencia se calienta al paso por ella de una corriente (como se verá más adelante). Debido a esto, hace falta dimensionar el resistor de acuerdo con la potencia calorífica que vaya a disipar en su funcionamiento normal. Se fabrican resistores de varias potencias nominales, y se diferencian por su distinto tamaño. 5

6 La tolerancia es un parámetro que expresa el error máximo sobre el valor óhmico nominal con que ha sido fabricado un determinado resistor. Por ejemplo, un resistor de valor nominal 470Ω con una tolerancia del 5 % quiere decir que el valor óhmico real de ese resistor puede oscilar entre el valor nominal más el 5 % del mismo, y el valor nominal menos el 5 %. Es decir, entre : 2.4. Código de colores 470Ω ( ) = 446.5Ω 470Ω + (0, ) = 493, 5Ω Ya se ha dicho que los valores óhmicos de los resistores se suelen representar por medio de unos anillos de color pintados en el cuerpo de los mismos. Los resistores del 1 % llevan cinco bandas de color : Cuatro para el valor y una para la tolerancia. Los resistores de valor inferior a 1Ω llevan la tercera banda de color oro, que representa la coma. Por ejemplo, una resistencia de colores amarillo, violeta, oro, oro tiene un valor de 4,7 y una tolerancia del 5 %. Figura 4: Código de resistencias de 4,5 y 6 bandas. 6

7 2.5. Valores comerciales A continuación se listan los valores comerciales de las dos primeras cifras de las resistencias: 10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82 Nótese que estos valores distan entre sí un 20 % aproximadamente. No se fabrican resistores de todos los valores posibles por razones obvias de economía. Además sería absurdo, ya que, por ejemplo, en un resistor de 100 W y 10 % de tolerancia, el fabricante nos garantiza que su valor está comprendido entre 90 W y 100 W, por lo tanto no tiene objeto alguno fabricar resistores de valores comprendidos entre estos dos últimos. Hay tolerancias del 1 por mil, del 1 %, 5 %, 10 % y 20 %. Resistores de valores muy pequeños no son comunes, por la dificultad que entraña ajustar su valor. Resistores de valores muy grandes son difíciles de conseguir, porque en ellos comienza a tener importancia fenómenos como la resistencia superficial, condiciones ambientales, étc. y tampoco es normal su uso. Por ejemplo: En la serie de resistores con tolerancia del 10 % el valor más pequeño es de 4,7Ω y el mayor de 22MΩ. En la serie del 5 % los valores extremos son 0,33 y 10M. Existen valores intermedios, como 11, 20 o 62, que completan un conjunto de valores distantes un 10 % entre sí, propios de las resistencias con tolerancia de ±5 %; aunque estos valores no son tan utilizados como los anteriores. 3. Cifras significativas y errores 3.1. Definiciones Curiosidad, el abrumador deseo de saber, algo que no es característico de la materia muerta. Ni tampoco parece formar parte de todos de organismos vivientes, que, por toda clase de razones, podemos escasamente decidirnos a considerar vivas. Aunque la curiosidad, como cualquier otro impulso humano, ha sido utilizada en forma infame la invasión de la vida privada, que ha dado a la palabra su absorbente y peyorativo sentido, sigue siendo una de las más nobles propiedades de la mente humana. En su definición más simple y pura es el deseo de saber el cual impulsa a realizar actividades menos limitadas y más complejas, como asignar valores a los objetos y cantidades que nos rodean, es decir a medir. A continuación se presentan algunas de las definiciones más comunes, utilizadas en los procesos de medida. Valor verdadero: Valor nominal: Valor medido: Sensibilidad: Rango: Resolución: Exactitud: Precisión: Conformidad: Cifras signifivativas: Valor asignado por convención, que siempre llevará asignado a él una tolerancia o incertidumbre. Es generalmente el valor asignado por el fabricante a un componente. El valor indicado por el instrumento ó determinado en el proceso de medida. Relación de la señal de salida o respuesta del instrumento a un cambio en la entrada o cantidad medida. La sensibilidad del instrumento depende del rango, tamaño de la escala y del tipo de indicador. Límites dentro de los cuales se permiten introducir señal al instrumento. El cambio más pequeño en la cual el instrumento responderá. Cercanía de la lectura de un instrumento al valor verdadero. Es una medida de la repetibilidad (o reproducibilidad) de las mediciones. Se compone de la conformidad y el número de cifras significativas. Es la consistencia en el valor de una lectura. Dan información de la magnitud y la precisión de las mediciones de una cantidad. 7

8 Tolerancia: Error absoluto: Error humano: Error sistemático: Errores aleatorios: También llamada incertidumbre. Expresa la exactitud de una medida. La diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Malas lecturas, ajustes incorrectos, aplicación incorrecta del instrumento, errores de cómputo, etc., debidos principalmente al descuido y malos hábitos de quienes operan los aparatos. Proviene de los instrumentos, tal como el desgaste o defectos de fabricación y los efectos del medio ambiente. Aquellos cuya causa no puede ser establecida directamente debido a que su aparición es aleatoria o intermitente. Se desconoce su fuente Cifras significativas Sargento, cuántos soldados enemigos vio? Mil uno, mi general. Y cómo es que lo sabe con tanta precisión? Es que venía uno adelante y como mil atrás... Lo que ocurre en este cuento es muy común en las ciencias físicas y para evitarlo se utilizan las cifras significativas. Cuánto es mil más uno? Mil uno? No. Depende de la precisión con la que se haya determinado el mil. Si tenemos aproximadamente mil y le sumamos uno, obtenemos aunque usted no lo crea aproximadamente mil. El uno queda por debajo de la incertidumbre del aproximadamente mil. Y a qué nos referimos con cifras significativas? Son las cifras que se miden con precisión, según el instrumento utilizado; o también, si se realizan cálculos a partir de los valores medidos, son las cifras del resultado en las que podemos tener confianza de que son precisas. Para saber cuántas cifras significativas hay en un resultado se pueden utilizar ciertas reglas que veremos a continuación. Todo esto suena muy cualitativo. Cómo se sabe, para una magnitud dada, cuáles son las cifras significativas? Los ceros a la izquierda no son significativos. Por lo tanto, el número 103 tiene tres cifras significativas, y el también. Esto se debe a que los ceros a la izquierda no le añaden precisión a la medición, sino que solamente sirven para establecer la posición del punto decimal. Generalmente es mejor hacer esto utilizando la notación exponencial; así, los números mencionados se convertirían en y Entonces, para contar las cifras significativas se parte del primer dígito distinto de cero y se cuentan todos los dígitos a partir de éste. Los ceros a la derecha sí son significativos. Esto es muy importante: los ceros a la derecha deben escribirse si y solamente si son una parte verdadera de la medición. Por lo tanto, no es lo mismo decir que algo pesa 1 kg que decir que pesa 1.00 kg. La primera magnitud implica que la medición se realizó con una balanza graduada en kilogramos. La segunda medición fue realizada en una balanza graduada en centésimos de kilogramo. La segunda medición es cien veces más precisa que la primera; la primera tiene una cifra significativa y la segunda tiene tres cifras significativas. Por ello es extremadamente importante no olvidar escribir los ceros a la derecha cuando se sabe que son significativos. Por ejemplo, en una balanza analítica que tiene precisión de diezmilésimas de gramo, si la balanza marca g es necesario registrar el número con los dos ceros a la derecha, y no como 0.57 g. Sin embargo, a veces hay que tener cuidado con los ceros a la derecha. Para eso está la siguiente regla. 8

9 Los ceros a la derecha no son significativos cuando su función es únicamente la de especificar la posición del punto decimal. Por ejemplo, si se dice que el sol está a una distancia de m, cuántas cifras significativas hay? Ciertamente no son doce, porque esto implicaría que se conoce la distancia con una precisión del orden de 1 m. Además de que es una precisión imposible en la práctica, sería demasiada coincidencia que tal magnitud física tuviera tantos ceros. Pero podría ser que el primer cero, o tal vez incluso el segundo, fueran significativos. Así como está escrito el número, no hay manera de saberlo. La única manera de evitar esta ambigüedad es utilizando la notación científica. Si nos dicen que el sol está a m, podemos saber sin duda alguna que sólo el primer cero es significativo y por lo tanto hay tres cifras significativas. Los números que son enteros por naturaleza se consideran como si tuvieran una cantidad infinita de cifras significativas. Dicho de otra manera, los enteros por naturaleza se pueden conocer con exactitud perfecta. Por ejemplo, en electroquímica hay una ecuación que dice: G = nf E. Sin meternos en más detalles, basta con saber que n es el número de electrones intercambiados en una reacción redox. Por ejemplo, si tenemos la reacción Cu 2 + Zn Cu + Zn 2+. Aquí se intercambian dos electrones y no hay ninguna incertidumbre al respecto. Por ello, para determinar el número de cifras significativas en el resultado final, no se toma en cuenta la precisión de n. Podemos verlo como si n fuera igual a Los factores de conversión generalmente son exactos. O sea que, al igual que los números enteros, puede considerarse como si tuvieran un número infinito de cifras significativas. Aunque hay algunos casos de conversiones que no son exactas porque están determinadas empíricamente, otras son exactas. Por ejemplo, una pulgada es exactamente igual a 2.54 cm por definición, y una caloría son J. Además, todas las conversiones dentro de un mismo sistema son exactas (1 km son exactamente 1000 m, y un pie son exactamente 12 pulgadas). Ahora veremos cómo se decide cuántas cifras significativas tiene el resultado de un cálculo. En una multiplicación o división, hay que quedarse con el número de cifras significativas del factor menos preciso. Por ejemplo, = 4.7. No importa que la calculadora diga ; el resultado tiene solamente dos cifras significativas y debe reportarse como 4.7. No hay que olvidar redondear el último dígito: por ejemplo, 10.0 / 1.5 = 6.7, aunque la calculadora diga En una suma o resta, hay que alinear los puntos decimales quedarse con la precisión del número que tenga menos cifras significativas después del punto decimal. Veamos varios ejemplos = Aunque la calculadora dice , el segundo sumando es despreciable con respecto al primero, por lo que no afecta la suma. Para que quede claro a que nos referimos con alinear el punto decimal, hay que ver la suma de la siguiente manera: (dos cifras después del punto) (siete cifras después del punto, pero solo tres significativas) 1.44 (se toman solo dos cifras después del punto) 9

10 Veamos ahora otro ejemplo: = 45.9 (la calculadora da 45.89; no hay que olvidar el redondeo) (dos cifras después del punto) (una cifra después del punto) 45.9 (una cifra después del punto) Con las restas hay que tener especial cuidado, ya que dos números con muchas cifras significativas pero valores muy parecidos pueden dar un resultado con muy pocas cifras significativas. Por ejemplo, = 1.4 x Los errores se presentan en todos los experimentos. Son inherentes al acto mismo de la medición. Como no se puede obtener una exactitud perfecta, la descripción de cada medición debe incluir un intento de evaluar las magnitudes y las fuentes de los errores. Desde este punto de vista, un primer paso para reducir los errores es la consciencia de su existencia y su clasificación en grupos generales (seis cifras después del punto) (seis cifras después del punto) (seis cifras después del punto, pero solamente dos son significativas) 1. Como último ejemplo de esta sección, no olvidemos que en el resultado pueden quedar ceros a la derecha = 3.20 (la calculadora da 3.198) (dos cifras después del punto) (tres cifras después del punto) 3.20 (dos cifras después del punto) 2. Los resultados intermedios conviene guardarlos con todas sus cifras, o por lo menos con una cifra no significativa. Las cifras significativas hay que tomarlas en cuenta para reportar el resultado final de una operación con una precisión realista; sin embargo, en los resultados intermedios conviene guardar más cifras porque con cada redondeo que se haga se va perdiendo precisión. Si la cadena de operaciones es muy larga estos pequeños errores se van acumulando hasta volverse significativos. Nota: si es necesario reportar un resultado intermedio hay que reportarlo con sus cifras significativas, pero también hay que apuntarlo con todas sus cifras en la hoja de operaciones (o en la memoria de la calculadora) para su uso en cálculos posteriores. 3. Para operaciones combinadas, hay que hacer el análisis paso por paso. ( ) Paso 1: = Los números más pequeños son cifras no significativas que se guardan para las siguientes operaciones. Paso 2: = Paso 3: /4.4 = Paso 4: =

11 Por lo tanto, el valor que hay que reportar finalmente es 13 ( no hay que olvidar el redondeo!). o, para que no haya dudas, se puede reportar como Finalmente, para operaciones como raíces cuadradas, potencias, logaritmos y exponenciales no hay reglas tan sencillas. Pero como primera aproximación se pueden usar las mismas reglas que para la multiplicación y división ( solamente recuerda que al elevar un número al cuadrado o al cubo lo estás elevando a una potencia entera!) Acumulación de errores Este tema queda pendiente. Aun no esta cubierta la información necesaria para esté tema y debido a que es un tema medular para las mediciones, se explicara con mayor detalle y ejemplos. Se les avisará cuando este listo Errores en la medición Los errores se presentan en todos los experimentos. Son inherentes al acto mismo de la medición. Como no se puede obtener una exactitud perfecta, la descripción de cada medición debe incluir un intento de evaluar las magnitudes y las fuentes de los errores. Desde este punto de vista, un primer paso para reducir los errores es la consciencia de su existencia y su clasificación en grupos generales. 11