SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

Transcripción

1 SISTEM DIÉDRICO. EL UNTO Y L RECT OJETIOS 1 Conocer el fundamento teórico del sistema diédrico y su aplicación para describir con exactitud las parti cularidades y tridimensionalidad de los objetos. 2 Entender la utilidad de la tercera proyección, como la representación del cuerpo u objeto visto desde un lateral o perfíl, bien desde el izquierdo o bien desde el derecho. 3 Resolver problemas mediante la representación de puntos y rectas, utilizando vistas auxiliares para determinar segmentos en verdadera magnitud. 1 SISTEM DIÉDRICO: ELEMENTOS Y NOTCIONES Como se ha indicado en la Unidad Didáctica anterior, el sistema diédrico es el sistema de representación más importante y base para el estudio y análisis de los demás. porta una información más detallada y analítica del objeto que ningún otro sistema de representación, pues cada detalle es resuelto por un dibujo a escala verdadera ( sin deformación lineal ni angular ) más la información de sus medidas escritas en cifras de lectura directa. 1.1 lanos de proyección. En este sistema se utiliza la proyección ortogonal y sus elementos principales son los llamados planos de proyección, o planos de referencia fundamentales: el lano orizontal ( ), que se supone en posición horizontal, y el lano ertical ( ), que es perpendicular al. mbos planos de referencia y se cortan bajo un diedro recto y dividen al espacio en cuatro regiones denominadas cuadrantes: rimer cuadrante ( I ): espacio comprendido entre el semiplano horizontal anterior ( ) y el semiplano vertical superior ( ). Segundo cuadrante ( II ): espacio comprendido entre el semiplano horizontal posterior ( - ) y el semiplano vertical superior ( ). Tercer cuadrante ( III ): espacio delimitado por el semiplano horizontal posterior ( - ) y el semiplano vertical inferior ( - ). Cuarto cuadrante ( I ): espacio delimitado por el semiplano horizontal ( ) y el vertical ( - ). 1.2 Línea de tierra ( LT ). Es la recta común a los planos de proyección. Se trata de la recta virtual alrededor de la cual imaginamos gira el plano horizontal ( ) para superponerse sobre el vertical ( ). Su notación simplificada es LT, y se representa en línea fina con dos trazos gruesos y cortos en sus extremos o bien por una línea fina de trazos y doble punto; es lo que genéricamente puede entenderse como línea de plegamiento del plano de proyección horizontal ( ) sobre el plano de proyección vertical ( ) o plano del papel. 1.3 lano de la tercera proyección. Es aquel perpendicular a los dos principales de proyección. Se trata, por tanto, de un plano de perfil o plano lateral, de ahí su designación mediante la letra ( fig.1.3 ). veces ( para facilitar las representaciones y mejorar la comprensión de lo que se proyecta sobre los planos de referencia ), es necesario recurrir a un tercer plano de proyección de estas características (ver lámina 45). 1.4 lanos bisectores. Son dos planos, perpendiculares entre sí, que dividen a cada diedro en dos partes iguales, resultando el espacio dividido en ocho octantes o diedros de 45. Todos los puntos contenidos en estos planos equidistan de los planos de proyección horizontal y vertical. 1.5 Sistema de coordenadas. ntes de intentar la solución gráfica de un ejercicio, es necesario describir la posición relativas de los datos. Uno de los sistemas más utilizados es el de los ejes o coordenadas cartesianas X, Y, Z ; donde la localización de cualquier punto puede llevarse a cabo si se describe su posición con respecto a dichos ejes (fig.1.3). El origen se sitúa en un punto de la LT, el eje X coordenada desplazamiento se extiende con su parte positiva hacia la derecha, el eje Y coordenada alejamiento, perpendicularmente al anterior y con su parte positiva hacia el observador y, el eje Z coordenada altura o cota, perpendicular a los anteriores y con sentido positivo hacia arriba. 1.6 Convencionalismos y notaciones. Los puntos se designan por letras mayúsculas del alfabeto latino. sí, por ejemplo, un punto viene dado por sus proyecciones ortogonales, y sobre el plano horizontal ( ), el plano vertical ( ) y el plano perfil ( ) respectivamente. simismo, las rectas se designan por letras minúsculas del alfabeto latino. sí, una recta r del espacio viene dada por sus proyecciones r, r y r sobre los planos de proyección, y respectivamente. 127

2 2 EL UNTO Cualquier objeto tridimensional está formado por un conjunto de puntos. El punto no tiene dimensiones: representa una posición específica en el espacio, así como el extremo de una línea o la intersección de dos líneas. Gráficamente, la posición del punto se indica mediante una cruz o por un círculo diminuto que visualmente le ubica en su centro. 2.1 Representación. Si imaginamos un punto en el espacio ( fig. 2.1a ) la proyección ortogonal sobre el plano horizontal es otro punto. Se comprende que cualquier otro punto de la recta tiene la misma proyección sobre, lo que nos indica que la proyección no es suficiente para representar al punto del espacio. ara individualizar la representación del punto se proyecta sobre el plano vertical, obteniendo. Estas dos proyecciones y situadas en y, respectivamente, representan el punto en el espacio. Esta representación es reversible, esto es, si se conocen las proyecciones y, el punto del espacio estaría en la intersección de las perpendiculares a y, por y, respectivamente. ara pasar de las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano, hacemos coincidir el plano horizontal con el plano vertical utilizado como plano del dibujo, y todo lo que está situado sobre el horizontal se superpone sobre el vertical haciéndole girar, alrededor de la recta intersección de ambos (LT). La línea de referencia que liga la proyección con, sobre el papel, es perpendicular a la LT. Todo punto del espacio, tal como el, se ubica mediante sus tres coordenadas cartesianas ( X, Y, Z ) referidas al triedro de ejes con origen en un punto (O) de la LT, siendo: X : la coordenada desplazamiento. Con referencia a un plano de perfil que pasa por el origen de coordenadas. 1 SO - - Z LT X O Y LT O -X la n o o r iz o ntal X O -Z Y - o ri z la n o - El punto C, perteneciente al tercer cuadrante, tiene negativos su cota y su alejamiento. or eso su proyección C queda por debajo de la LT ( zona perteneciente al semiplano - ), y su proyección horizontal C queda por encima de la LT ( zona perteneciente al semiplano - ). - C demás de los planos fundamentales de proyección y, existen dos planos que tienen gran interés en el Sistema Diédrico: los llamados planos bisectores (fig. 2.2.b). Son aquellos que dividen a los cuadrantes en diedros de 45. Todos aquellos puntos situados en ellos equidistan de los planos y y, por tanto, tendrán, en valor absoluto, igual cota que alejamiento. En la fig. 2.2.b se han representado los puntos M y R situados en el primer plano bisector y los puntos N y S en el segundo bisector, aunque en ambos casos en distintos cuadrantes. C I lano del papel F F F F E F E E D E E C la n o III - El punto D, del cuarto cuadrante, tiene cota negativa (D queda por debajo de la LT) y, por tener alejamiento positivo, su proyección D se sitúa por debajo de la LT, es decir, en el semiplano horizontal. En resumen, todos los puntos situados en el cuadrante I y el II tienen su proyección vertical por encima de la LT (cota positiva) y los del cuadrante III y I por debajo de la LT (cota negativa). simismo, los puntos del cuadrante I y I tienen su proyección horizontal por delante de la LT (alejamiento positivo) y los del II y III por detrás de la LT (alejamiento negativo). 2.1.b Representación de un punto (X,Y,Z). al ertic lano X tuados en dicho cuadrante tienen positivo tanto el alejamiento como la cota (figs. 2.1.b y 2.2.a). II Y Y o n ta l 2.1.a Secuencia virtual para la representación, sobre el plano del papel, de un punto. Cuando el punto, caso del, se encuentra en el segundo cuadrante, la cota es positiva pero su alejamiento negativo ( fig. 2.2.a): aparecerá por encima de la LT pero la proyección cae sobre - ( alejamiento negativo ) por lo que su representación diédrica se sitúa también por encima de la línea de tierra. Z Z X -Y Z X Z Z : la coordenada cota o altura. Distancia del punto al plano horizontal (). Se considera positiva, cuando el punto está situado por encima del plano horizontal. El punto, situado en el primer cuadrante, caracteriza la posición de todos los puntos ubicados en este diedro: su proyección horizontal siempre se encuentra por debajo de la LT, mientras que la proyección vertical se sitúa por encima de ésta. or tanto, todos los puntos si- lano del papel al ertic lano Y Finalmente, el punto E pertenece al plano horizontal (cota cero) y está situado sobre el semiplano. El punto F en el semiplano vertical y, por tanto, con alejamiento cero. Las infinitas posiciones que un punto puede tener en el espacio respecto a los planos de proyección pueden reducirse a 17 posiciones distintas. El análisis y estudio de todas ellas ( lámina 44 ) amplía la visualización espacial y ofrece la base de orientación de los objetos en el espacio real, dando una clara interpretación en la pantalla visual del entendimiento. 2 al ertic lano Y : la coordenada alejamiento. Distancia del punto al plano vertical ( ). lejamientos positivos son los que ocupan aquellos puntos situados por delante del plano vertical. 2.2 osiciones de puntos en el espacio. 128 SO C D o r iz o F ntal D C E D D D I 2.2.a erspectiva de las posiciones más significativas que puede tomar un punto en el espacio y, a la derecha, su representación diédrica. no do pla Segunor t bisec N al ertic lano lano del papel M M N - o r plan rime or bisect R R M M N N N N S M R - la n o S o ri z o n ta l S S S S R R M R 2.2.b erspectiva de los puntos situados en los planos bisectores y, a la derecha, su representación diédrica.

3 3 L RECT Geométricamente una recta queda definida mediante dos de sus puntos. R 1: r Ø R2 R 2 En la fig. 3 se representa la recta r dada por los puntos y situados en el primer y cuarto cuadrante respectivamente. - I - Todo punto perteneciente a una recta, tiene sus proyecciones sobre las proyecciones correspondientes de dicha recta. 2 - I I II Cuadrante Cuadrante Cuadrante 2 C (M) q h. p (N) p q I (1) N p f - h F1 RECT ORIZONTL q C RECT FRONTL 1 RECT QUE S OR LT RECT DE ERFIL lano del papel 2 unto intersección de la recta con el 2º bisector: h Ø 2º (M) C 2 h f (p) q M p (N) F 1 N (1) M f Ø 2º h q f J J F 1 p N 3.5 osiciones más notables de una recta. ORIZONTL h: paralela al plano horizontal lano de perfil M (p) C f or análogo razonamiento, el punto I ( I - I ) es el de intersección de la recta con el primer bisector, y queda determinado trazando rectas que partiendo de los puntos de corte de las proyecciones con la línea de tierra, formen ángulos iguales con ellas, como se aprecia en la fig. 3. Entre las posiciones más significativas de una recta se encuentran las siguientes: R 1 f h 3.4 untos de intersección de la recta con los planos bisectores. El punto de intersección J ( J - J ) de la recta con el segundo plano bisector ( fig. 3 ), resulta ser el punto común a sus dos proyecciones diédricas: punto con igual cota que alejamiento, en valor absoluto. J J erspectiva y representación diédrica de una recta r cualquiera, dada por dos puntos y situados en el primer y cuarto cuadrante respectivamente. 3 En la representación diédrica, supuestos opacos los planos de proyección y, se representa en línea continua el segmento de recta perteneciente al primer diedro, el resto se dibuja con línea discontinua. r R 2 R1 R 1 I 3.3 Trazas y cuadrantes de paso: partes vistas y ocultas de una recta. ara determinar los puntos traza, se secuencian las dos proyecciones principales de la recta hasta sus puntos de corte con la línea de tierra: en esa vertical se localizan dichos puntos ( fig. 3 ). R 1 R Criterio de pertenencia de punto a recta. Se llaman trazas de una recta a los puntos de intersección de dicha recta con los planos de proyección. Si la recta se designa por r ( r - r ), llamamos R 1 ( R 1 - R 1 ) y R 2 ( R 2 - R 2 ) a sus puntos traza con el plano horizontal y vertical, respectivamente. Lógicamente una recta tiene como máximo dos trazas, puesto que en el mejor de los casos pasará por tres cuadrantes. Si sólo tuviera una traza, por ser paralela a uno de los planos de proyección, pasaría únicamente por dos cuadrantes. También puede suceder que la recta no tenga trazas: es el caso de todas las rectas paralelas a la línea de tierra. r r J : r Ø 2º 2º r R 1 I : r Ø 1er r R 2 : r Ø III R 2 lano del papel r : recta 3.1 Representación. En el sistema diédrico una recta r del espacio vendrá dada, al menos, por dos proyecciones: la horizontal r y la vertical r. En ocasiones, será conveniente y necesario representar la tercera proyección r (sobre un plano de perfil ), como recurso para definir con claridad su porción en el espacio. LEYEND II C II I I I III 1 I F RONTL f: paralela al plano vertical. Que S OR L LÍNE DE TIERR. D E ERFIL p: contenida en el plano de perfil. 3.5 Características y representación de una recta horizontal, de una recta frontal, de una recta que pasa por la línea de tierra y de una recta de perfil. 129

4 4 OSICIONES RELTIS DE DOS RECTS Si dos rectas se cortan, tienen un punto en común y, por tanto, las proyecciones diédricas de dicho punto se encuentran ligadas, lógicamente, por la misma línea de referencia: es el caso de las rectas r y s (fig. 4.1) que se cortan en el punto cuya línea de referencia hace corresponder la proyección vertical con la horizontal y viceversa. Cuando dos rectas o dos segmentos tales como y CD no se cortan (fig. 4.2) es, obviamente porque se cruzan. Cuando esto sucede, los puntos comunes de las proyecciones homónimas no se encuentran en la misma línea de referencia. sí, los puntos y Q que parecen coincidir en la proyección vertical ( Q ) no tienen correspondencia única sobre la proyección horizontal. nálogamente sucede al secuenciar los puntos M y N, que siendo coincidentes sobre la proyección horizontal no lo son sobre la correspondiente proyección vertical, como se aprecia en la fig ERDDER MGNITUD DE UN SEGMENTO: IST UXILIR Un segmento aparecerá con su magnitud real en una vista, si es paralelo al plano de proyección correspondiente. La confirmación del paralelismo debe obtenerse si se observa la imaginaria línea de tierra o línea de plegamiento paralela a la vista o proyección adjunta: es el caso de un segmento frontal con su proyección horizontal paralela a la línea de tierra, o el de un segmento horizontal con su proyección vertical paralela a la línea de tierra considerada. ueden emplearse varias técnicas para encontrar la verdadera magnitud de un segmento oblicuo. qui exponemos en dos pasos, el método de la vista auxiliar o también llamado método de cambio de plano de proyección. En el ejemplo que se acompaña se conocen las proyecciones diédricas de un segmento, oblicuo a los planos de proyección principales y, del que se desea conocer su verdadera dimensión. z lano vertical r Nuevo plano vertical 1 r lano horizontal r 5.1 erspectiva del cambio de plano vertical al plano vertical, posicionando el segmento como frontal a éste. r 1 erdadera magnitud 1 1 z s r r z r z r s 4.1 Rectas r y s que se cortan C C M Q N M N Q D D SO 1 Dibujadas las proyecciones diédricas ( y ) del segmento, se traza una nueva línea de tierra paralela a la proyección horizontal y a una distancia arbitraria de ella. El interés radica en dibujar una proyección auxiliar que posicione al segmento paralelo al nuevo plano de proyección vertical 1. 1 r SO 2 or los extremos del segmento en la proyección horizontal se lanzan líneas de referencia perpendiculares a la nueva línea de tierra, llevando a continuación las cotas de los puntos y, que se mantienen constantes. sí, se consiguen las nuevas proyecciones verticales 1 y 1 respectivamente: obsérvese que, en este caso concreto, el extremo tiene cota cero. 1 r z erdadera magnitud del segmento r Rectas y CD que se cruzan. 5.2 Obtención de la verdadera magnitud de un segmento, aplicando el método de la vista auxiliar, en dos pasos 130

5 RERESENTCIÓN Y LFETO DEL UNTO 37 2 SISTEMS DE RERESENTCIÓN 3 SISTEM DIÉDRICO. EL UNTO Y L RECT 1 Representa, en ROYECCIONES DIÉDRICS, los puntos,, C, D... y R, dados por sus coordenadas X, Y, Z (desplazamiento, alejamiento y cota, respectivamente), indicando en el cuadro inferior su OSICIÓN ESCIL con relación a los ELEMENTOS RINCILES que configuran el Sistema Diédrico: planos de proyección y ; planos bisectores; línea de tierra; y plano de perfil que pasa por el origen de coordenadas, situado en el punto medio de la línea de tierra. modo de ejemplo, se ubica la OSICIÓN del punto y se comenta la SITUCIÓN y UICCIÓN CONCRET de los puntos y L. C D F G J J M N Z C D O X L Q Y E N E F G K K L L M Q R R UNTO (-120, 60, 25 ) (-105,-30, 50 ) C (-90,-30, 0) D (-75, 0, 50) E (-60, 25,-60) F (-45, 40, 40) G (-30,-32,-50) (-15,-35, 35) I ( 0,-50, -40 ) SITUCIÓN rimer cuadrante y por debajo del primer plano bisector Segundo cuadrante y por encima del segundo plano bisector Semiplano horizontal posterior ( - ) Semiplano vertical superior ( ) Cuarto cuadrante y por debajo del segundo plano bisector rimer cuadrante y primer plano bisector Tercer cuadrante y por debajo del primer plano bisector Segundo cuadrante y segundo plano bisector Tercer cuadrante y por encima del primer plano bisector UNTO SITUCIÓN J ( 15, -45, 30 ) Segundo cuadrante y por debajo del segundo plano bisector K ( 30, 65, -44 ) Cuarto cuadrante y por encima del segundo plano bisector L ( 45, 55, 0 ) Semiplano horizontal anterior ( ) M ( 60,-40, -40 ) Tercer cuadrante y primer plano bisector N ( 75, 30, 50 ) rimer cuadrante y por encima del primer plano bisector ( 90, 0, 0 ) En la línea de tierra Q ( 105, 0, -55 ) Semiplano vertical inferior ( - ) R ( 120, 45, -45 ) Cuarto cuadrante y segundo plano bisector

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7 OSICIONES DE UN SEGMENTO 38 2 SISTEMS DE RERESENTCIÓN 3 Un SEGMENTO (de magnitud arbitraria) puede tomar, respecto a los planos de proyección, y, tres claras posiciones: ser ORI- ZONTL, ser ERTICL o ser OLICUO. La propuesta consiste en dibujar las proyecciones diédricas LZDO, LNT y LTERL IZQUIERDO de un segmento, en cada una de las OSICIONES que muestran las perspectivas caballeras adjuntas. En todos los ejercicios se parte de conocer la posición del punto, extremo del SEGMENTO que, en cada una de las seis posiciones, se ha de dibujar. El otro extremo, el punto, se dimensionará, en cada caso, estableciendo la correcta correspondencia entre vistas. simismo, y sobre las vistas en que se produzca, indica sobre qué proyección el segmento representado se observa en ERDDER MGNITUD. SISTEM DIÉDRICO. EL UNTO Y L RECT 1 1 SEGMENTO ERTICL 2 SEGMENTO DE UNT : verdadera magnitud 3 SEGMENTO ORIZONTL 4 SEGMENTO DE ERFIL 5 SEGMENTO FRONTL 6 SEGMENTO OLICUO

8 ERIFICCIONES 1. Dibujar las ISTS DIÉDRICS de de un un segmento,, paralelo paralelo a los a planos los planos de de ROYECCIÓN ERTICL ERTICL y ORIZONTL, y ORIZONTL, esto es, a la LÍNE DE TIERR. Sobre qué qué ROYECCIONES se puede se puede obtener su su ERDDER MGNITUD? 2. Conocidas las ROYECCIONES o o ISTS RINCILES del del segmento de perfil de perfil Q, Q, se pide: se pide: a) Situar las ROYECCIONES de de su su punto medio M. M. b) Determinar la ROYECCIÓN ORIZONTL del del punto N. N. c) Medir la ERDDER MGNITUD del del segmento Q Q dado. d) Determinar los ÁNGULOS que el el segmento forma con los LNOS DE DE ROYECCIÓN y. y. N M Q Q 30º M N erdadera magnitud de Q 60º Q M N COMENTRIO a).- El punto medio M del segmento, siempre está situado en el punto medio de sus correspondientes proyecciones. c).- erdadera magnitud del segmento Q 50 mm. d).- Ángulo de Q con el plano : 30º y, con el plano : 60º. 134

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13 ERDDER MGNITUD DE UN SEGMENTO: ISTS UXILIRES 41 2 SISTEMS DE RERESENTCIÓN 3 Dado el segmento mediante sus proyecciones diédricas, te propone- esta última posición, cambia el LNO ORIZONTL para convertir mos utilices el «Método de las vistas auxiliares» para disponer el la recta en FRONTL. segmento en otras posiciones más favorables: como segmento frontal 2. Siguiendo análogo proceso al anterior, convierte al segmento dado o como segmento horizontal. en ORIZONTL cambiando el LNO ORIZONTL : el seg- 1. Cambia el plano por otro 1 para convertir el segmento en mento estará en ERDDER MGNITUD en la nueva proyección. FRONTL respecto a este último y poder medir su ERDDER NOT.- Comprueba que obtienes la misma dimensión que en el DIMENSIÓN sobre la nueva proyección vertical. Después, y bajo apartado anterior e indica NUMÉRICMENTE la longitud del mismo. SISTEM DIÉDRICO. EL UNTO Y L RECT 1 1 CMIO DE LNOS DE ROYECCIÓN: ISTS UXILIRES DE UN SEGMENTO OLICUO R SITURLO EN OSICIÓN FRONTL (ERTICL) 2 CMIO DE LNO DE ROYECCIÓN ORIZONTL: IST UXILIR DE UN SEGMENTO OLICUO R SITURLO EN OSICIÓN ORIZONTL Z Z DTOS istas diédricas del segmento oblicuo a los planos de proyección iniciales y. erdadera magnitud de 1 Y 1 istas diédricas del segmento horizontal respecto al nuevo plano horizontal de referencia 1 ; lo que implica que la nueva línea de tierra debe ser paralela a la nueva proyección vertical del segmento. 1 Y 1 Z erdadera magnitud de Z 1 1 SO 1 istas diédricas del segmento frontal respecto al nuevo plano vertical de referencia 1. DTOS istas diédricas del segmento oblicuo a los planos de proyección y (idénticos datos que los dados en el ejercicio 1). Y Y SO 2 istas diédricas del segmento vertical respecto al nuevo plano horizontal de referencia 1 ; lo que implica que la nueva línea de tierra debe ser perpendicular a la nueva proyección vertical 1 del segmento. ERDDER MGNITUD DEL SEGMENTO 50 mm.

14 12 SISTEM DIÉDRICO. ELLNO.