Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos (II/II)

Transcripción

1 Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos (II/II) Aida Olalla Díaz Fernández Ingeniera Técnica en Informática de Gestión, estudia en la actualidad º curso de Ingeniería Informática. Javier Rodrigo Licenciado en Matemáticas por la Universidad Autónoma de Madrid. Doctor en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid. María Luisa Guerrero Lerma Licenciada en Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid. Comentarios a: comentarios@icai.es En el presente artículo se desarrolla un método para hallar los emparejamientos de los equipos de la Primera División de fútbol española, distinto al empleado en [DIAZ0], del que éste es continuación. Se aplica este método a la realización de los emparejamientos para el calendario de la temporada 00-00, y se compara con el método desarrollado en [DIAZ0]. Para desarrollar los emparejamientos, se han aplicado conceptos pertenecientes a la teoría de grafos, rama de la Matemática Discreta. Introducción El problema de realizar los emparejamientos entre los equipos de una liga para que jueguen todos contra todos en unas determinadas jornadas, se puede modelar utilizando conceptos de la teoría de grafos. En concreto, si a cada equipo se le asigna un vértice, y se unen dos vértices con una arista, los equipos correspondientes se enfrentan en un partido, en tal caso el problema se reduce a encontrar los posibles emparejamientos máximos disjuntos que se pueden realizar entre los vértices del grafo resultante. Con los emparejamientos obtenidos del grafo completo K n se realizaría el calendario de la Liga (ver definiciones básicas de teoría de grafos en [GRIM, DIAZ0]). Este artículo se centra en la realización de los emparejamientos de la Liga de la Primera División del fútbol español. En ella juegan 0 equipos que se enfrentan unos contra otros sin repetir rival y compitiendo todos contra todos. Por ello, es un requisito imprescindible, como se ha comentado anteriormente, que los emparejamientos que se realicen sean disjuntos. Es decir: Que no repitan aristas, pues si no, se podrían enfrentar dos mismos equipos más de una vez en jornadas diferentes. Que los emparejamientos sean máximos para que en cada jornada jueguen los 0 equipos. Dichos emparejamientos se pueden realizar de dos formas distintas aplicando la teoría de grafos: La primera considerando que 0 es de la forma p +, con p primo impar (0 = + ). Para la segunda forma se considera que 0 es de la forma t * p, siendo también p un número primo impar (0 = * ). En este artículo se ha desarrollado un algoritmo para la elaboración de un calendario de la Primera División de fútbol español, paralelo al oficial, utilizando la segunda forma de las consideradas de emparejar a los equipos (n = t * p), comparando el calendario resultante con el oficial y con el obtenido en [DIAZ0]. Del análisis del calendario oficial realizado por la Federación en la temporada se puede concluir que cada equipo anales de mecánica y electricidad / julio-agosto 00

2 tiene un siguiente, es decir, un equipo que jugará en cada jornada contra el mismo equipo que haya jugado la jornada anterior con el equipo al que sigue. Esto desfavorece a los equipos que se consideran pequeños, es decir, los equipos que suelen estar en la zona baja de la clasificación y no tienen presupuesto para contratar a grandes jugadores. Se puede ver el ejemplo del Levante, que siguió durante esta temporada al Barcelona y descendió a la Segunda División. Otra característica del calendario actual es que cada equipo tiene un equipo contrario, es decir, un equipo con el que no se puede coincidir jugando en casa o fuera. En el calendario que se propondrá, los equipos no tendrán un siguiente y los únicos equipos que tendrán un contrario serán los de aquellas ciudades que tengan más de uno en la Primera División, como pueden ser el caso de Madrid, Barcelona, Sevilla, No como ocurre en la actualidad, en que cada equipo tiene un contrario; ejemplo de ello puede ser el Málaga, cuyo contrario es el Mallorca (en la temporada que se está estudiando), pues no tiene mucho sentido que si el Málaga juega en casa el Mallorca tenga que jugar obligatoriamente fuera de su estadio. Para poder realizar las aplicaciones propias se ha utilizado el compilador Microsoft Visual Basic.0, edición profesional. Se ha decidido utilizar un lenguaje como Visual Basic debido a que, al ser un lenguaje visual, se podrá observar con más claridad cada uno de los emparejamientos que se puedan realizar entre los equipos de fútbol relacionados, todos contra todos sin repetir.y también, debido a que la interfaz gráfica utilizada por Visual Basic es la más conocida para los posibles usuarios de la aplicación, ya que utiliza los recursos de Windows. Para almacenar los equipos de fútbol se ha utilizado una base de datos en ACCESS, que contendrá los nombres de todos los equipos con los que se van a realizar los emparejamientos, así como el número que tiene cada equipo asociado, número que ha sido facilitado por la RFEF. Emparejamientos en grafos completos Se analizará que cuando n se puede expresar como t * p, siendo p un primo impar, se pueden hacer los n- emparejamientos máximos disjuntos requeridos. Para ello se utilizará el grafo Kn con n = t * p, siendo p un número primo impar. En primer lugar se recorren los vértices del grafo con paso k =,,, [ n- ]= n-, dando esto lugar a ciclos de longitud. n (n,k). Cuando (n,k) n sea par, la longitud de los ciclos será par, y entonces de cada ciclo se pueden obtener emparejamientos, por lo que por cada uno de esos pasos habrá emparejamientos máximos disjuntos. Cuando (n,k) n sea un valor impar surge un problema al llegar al caso en que (n, k) = t y t sea menor que [ n- ] = t- * p-, lo que ocurre siempre, debido a que t- * p t- * > t (se pone en la cota, ya que es el primer número primo impar). En estos casos hay t ciclos disjuntos de longitud p. Pero eligiendo un vértice de cada ciclo, y conectando esos vértices de un ciclo a otro como veremos en el ejemplo, se pueden conseguir también emparejamientos por cada ciclo, luego por cada uno de estos pasos también obtenemos emparejamientos máximos disjuntos. Entonces hay en total n- = n- emparejamientos máximos disjuntos que, unido con el formado por las aristas que quedan, hacen n- emparejamientos máximos disjuntos. Para la mejor comprensión de lo analizado anteriormente se estudiará el ejemplo del grafo completo K es decir, k, siendo el estudio * del grafo completo K 0 (k ) análogo a éste. * 0 Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos (II)

3 Para k = se obtiene un ciclo hamiltoniano de longitud, puesto que: (,) =, siendo este ciclo el siguiente: 0 0 Obteniéndose de estos ciclos los siguientes emparejamientos máximos: De este ciclo hamiltoniano se obtienen los siguientes emparejamientos: Para el paso k = se obtienen ciclos de longitud, puesto que. (,) = Los ciclos que se obtienen se muestran a continuación: En el siguiente paso, k =, se obtienen dos ciclos de longitud, ya que (,) = Los ciclos hamiltonianos obtenidos son los siguientes: 0 anales de mecánica y electricidad / julio-agosto 00

4 De estos ciclos los emparejamientos que se obtienen son los siguientes: Para poder formar dos emparejamientos de seis aristas cada uno juntamos los ciclos de longitud tres, dos a dos con paso seis De cada ciclo sobra un vértice sin emparejar, que hay que emparejarlo con otro de otro ciclo y se hace con un paso n, en este caso =, que no se llegará a usar porque sólo llegamos a k = y así esa arista no se ha cogido todavía. Se toman pues: El paso k = se obtienen ciclos de longitud, debido a que (,) = Estos ciclos son los siguientes: Para el primer emparejamiento: {, + = } {, + = } Para el segundo emparejamiento: {, + = } {, + = } Los emparejamientos que se obtienen de esta forma son los siguientes: A continuación se muestran estos mismos ciclos por separado para facilitar la comprensión del análisis. Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos (II/II)

5 Para k = se obtiene un ciclo de longitud, ya que (,) =, siendo éste el ciclo siguiente: El último emparejamiento se obtiene de eliminar del grafo completo K las aristas que ya se han utilizado para realizar los emparejamientos anteriores. De esta manera se obtiene el siguiente emparejamiento: 0 0 De este ciclo se obtienen los siguientes emparejamientos: 0 0 En el caso del grafo completo K 0 el que nos interesa para poder realizar el calendario de la Primera División española los emparejamientos obtenidos son diferentes a los que se obtienen con el caso analizado en el artículo anterior. Se muestran a continuación, en la Figura, los emparejamientos obtenidos del primer ciclo con este nuevo método. Dado que estos emparejamientos distintos se deduce que las jornadas de la liga de fútbol, también serán diferentes a las obtenidas en el anterior caso.veamos en la Figura la primera jornada que se obtiene con el método actual. El calendario resultante del caso del grafo K 0, considerando 0 como *, es también distinto al calendario actual y al calendario obtenido con el caso K 0, considerando 0 = +. Empezando por la primera jornada, en la cual todos los equipos que empiezan jugando en casa tienen asignado un número impar, y los que lo hacen fuera tienen asignado un número par, más parecido a lo que sucede en el calendario actual que a la primera jornada del calendario obtenido con el grafo K +. Las principales diferencias son que en este caso hay ocho equipos que tienen su contrario, según los números que tienen asignados los equipos por la RFEF los equipos contrarios serían Getafe y Racing, Atlético Osasuna y Valencia, Athletic Club y Espanyol y FC Barcelona y Real Sociedad, debido a que no tiene mucho sentido que estos equipos sean contrarios entre sí, dado que son equipos de distintas ciudades, por lo tanto se podrían modificar los números que tienen asignados por los anales de mecánica y electricidad / julio-agosto 00

6 Figura Primera División Emparejamientos Calendario Seleccionar Ver Otros Emparejamientos del ciclo Siguiente VOLVER Figura JORNADA Atlético Osasuna Villareal Athletic Club Real Sociedad Deportivo Racing Real Betis Sevilla Real Madrid Atlético Madrid Málaga Zaragoza Albacete Numancia F.C Barcelona Espanyol Levante Valencia Siguiente VOLVER VOLVER Volver de los siguientes equipos: Betis y Sevilla, Levante, FC Barcelona, Atlético de Madrid y Real Madrid, ya que son los equipos pertenecientes a la misma ciudad dos a dos, se puede observar que los números que tienen asignados el Valencia y el Espanyol no se modifican, pues se les asigna su contrario real, el de la propia ciudad. Ésta sería una mejora frente a los dos calendarios estudiados anteriormente, puesto que tenían todos los equipos un contrario o ningún equipo lo tenía, no influyendo ello en la manera de realizar los emparejamientos. Adicionalmente sigue manteniendo la ventaja del calendario obtenido con el caso K p+, en el que ningún equipo sigue a otro, con los consiguientes beneficios explicados con anterioridad. Bibliografía [ARBO] Árboles, S; Navarro, L: Visual Basic a fondo. Ed. Inforbook s,. [BIGG] Biggs, NL: Matemática Discreta. Ed.Vicens Vives,. [DIAZ0] Díaz,AO; Guerrero, ML; Rodrigo, J: Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos. Revista Anales de Mecánica y Electricidad, 00. [GRIM] Grimaldi, RP: Matemáticas discreta y combinatoria. Ed.Addison-Wesley,. Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos (II/II)