MATEMATIKA II SELEKTIBITATE AZTEKETAK EKFM

Transcripción

1 MATEMATIKA II SELEKTIBITATE AZTEKETAK EKFM

2 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 010ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 010 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bat erantzun behar duzu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

3 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 010ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 010 MATEMÁTICAS II A AUKERA A 1 ariketa Izan bedi ekuazio linealetako sistema hau: x + y + z = S = α x + y + z = α + 1 x + y + α z = 1. Aztertu sistemaren bateragarritasuna α parametroaren arabera. Sistema ebatzi α = 0 kasuan. A ariketa Izan bitez A eta B espazioko puntuak, eta A = (3, 4, 1 + a), B = ( 3, a, 0) haien koordenatuak. Kalkulatu A eta B puntuetatik igarotzen den zuzenaren ekuazio parametrikoa. Galdera hau erantzun, eta arrazoitu: Existitzen al da a parametroaren baliorik non (9, 4, 6) puntua zuzenean dagoen? A 3 ariketa Aztertu f(x) = x 3 1x 8 funtzioaren maximo eta minimoak eta gorapen- eta beherapen-tarteak. Adierazi grafikoki f funtzioa. A 4 ariketa Kalkulatu integral mugagabe hau: x + 8 x + x dx. Azaldu kalkuluan erabilitako metodoa. A 5 ariketa Zenbaki baten hiru zifren batura 18 da. Zenbaki horri bere zifra berak baina alderantzizko ordenean dituen zenbakia kenduz gero, 594 lortzen da. Horrez gain, hamarrekoen zifra beste bi zifren batezbesteko aritmetikoa da. Aurkitu zenbaki hori.

4 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 010ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 010 MATEMÁTICAS II B AUKERA B 1 ariketa Aztertu ekuazio linealetako sistema honen bateragarritasuna α parametroaren arabera: x + y + 3 z = S = 3 x y z = 3 α x y + z = α. Sistema ebatzi indeterminatua denean. B ariketa Izan bedi A = (1, 0, ), B = (0, 1, 3) eta C = (a,, 4) puntuetatik igarotzen den planoa. Posible al da a parametroaren balioa aurkitzea P = (, 3, 0) puntua planoan egon dadin? Baiezkoan kalkulatu balio hori. B 3 ariketa Idatzi y = 10 x + zuzenarekin paraleloak diren eta f(x) = 4x 3 x + 1 kurbaren ukitzaileak diren zuzenen ekuazioak. Aztertu f funtzioaren maximo eta minimoak. B 4 ariketa Izan bitez f(x) = x(4 x) eta g(x) = x(x 6). Egin bi kurba horiek mugatzen duten eskualdearen eskema grafikoa, eta haren azalera kalkulatu kalkulu integrala erabiliz. B 5 ariketa Izan bitez x eta y bi zenbaki positibo, eta haien biderkadura 16. Izan al daiteke x + y batura 7 baino txikiagoa? Erantzuna arrazoitu.

5 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 011 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

6 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 011 MATEMÁTICAS II A AUKERA A 1 ariketa Izan bedi ekuazio linealetako sistema hau: x + y + 3 z = 1 S = x + 5 y + 4 z = x + 3 y + m z = m. a) Aztertu sistemaren bateragarritasuna m parametroaren arabera. b) Sistema ebatzi m = 0 kasuan. A ariketa Izan bitez r eta s zuzen hauek: x = 3 + t r = y = 4 + 3t z = 0 x + y z = 1, s = x y = 6 Kalkulatu r eta s zuzenekin perpendikularra den eta P = (3, 1, ) puntutik igarotzen den zuzenaren ekuazioa. A 3 ariketa Izan bedi f(x) = x e x funtzioa. a) Aztertu funtzioaren gorapen- eta beherapen-tarteak. b) Aztertu funtzioaren maximo eta minimoak eta egin haren grafikoaren eskema. A 4 ariketa Kalkulatu integral mugagabe hauek, eta azaldu zein metodo erabili duzun kalkulu horretan: x ln(x) dx, x sin( x) dx.. A 5 ariketa 7 zenbakiaren ondoz ondoko 30 multiploren batura dela jakina da. Aurkitu, eta erantzuna arrazoitu, multiplo horien zerrendaren lehenengo eta azken zenbakiak.

7 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 011 MATEMÁTICAS II B AUKERA B 1 ariketa Izan bedi A matrize hau: 1 0 α α a) Galdera hau erantzun, eta arrazoitu: Existitzen al da α R parametroaren baliorik non A matrizearen alderantzizkoa balio horretarako existitzen ez den? b) Kalkulatu, posiblea bada, A matrizearen alderantzizkoa α = 0 denean. B ariketa Izan bitez x y + z = 0 ekuazioko π planoa eta P = (, 1, 3) puntua. Kalkulatu P puntuaren simetrikoa π planoarekiko, eta jarraitutako prozedura azaldu. B 3 ariketa Izan bedi f(x) = x 3 + a x + b x + c. Aurkitu a, b eta c parametroen balioak baldintza hauek aldiberean bete daitezen: f funtzioaren grafikoa (0, 1) puntutik igarotzen da; f funtzioaren ukitzaileak x = 0 eta x = 1 balioetarako y = 3 x + 5 zuzenarekin paraleloak dira. B 4 ariketa Izan bitez f(x) = x + 3 x + eta g(x) = x 3 x + 10 funtzioak. a) Egin bi funtzioen grafikoen eskema. b) Kalkulatu bi funtzioek mugatutako eskualdearen azalera. B 5 ariketa Ane, Berta eta Carlos elkarrekin jolasean ari dira. Bi dado aldi berean jaurtitzen dituzte. Anek dadoen puntuazioen batura kalkulatzen du, Bertak, aldiz, puntuazio handienaren eta txikienaren arteko diferentzia kalkulatzen du, eta Carlosek, azkenik, puntuazioen biderkadura egiten du. Anek 6 zenbakiaren aldeko apustua egiten du, Bertak zenbakiaren aldekoa eta Carlosek 4 zenbakiaren aldekoa. Orekatuak al dira aurreko apustuak ala hiruretakoren batek abantaila du? Erantzuna arrazoitu.

8 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 011 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

9 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 011 MATEMÁTICAS II A AUKERA A 1 ariketa Izan bedi ekuazio linealetako sistema hau: λ x + y = 3 S = x + λz = 1 3 x y 7 z = λ + 1. Aztertu aurreko sistema λ parametroaren arabera. Sistema indeterminatua deneko kasuak existitzen badira, ebatzi kasu horiek. Bestela, azaldu zergatik ez diren existitzen. A ariketa Aurkitu zer koordenatu izan behar dituen puntu batek A = (0, 1, 1) puntuaren simetrikoa izan dadin r zuzenarekiko, r zuzenaren ekuazioa hau izanik: x 5 = y = z. 3 Deskribatu, eta arrazoitu, jarraitutako prozedura. A 3 ariketa Aztertu funtzio honen muturrak eta asintotak: Egin haren grafikoaren eskema. f(x) = x x 1. A 4 ariketa Kalkulatu integral mugagabe hau, eta azaldu zein metodo erabili duzun hura kalkulatzeko: 3x + 8 x x + 5 x + 6 dx. A 5 ariketa Ikasturtearen hasieran, Fakultateko ikastaro bateko ikasleen artean, gizon/emakume proportzioa 7/8 zen. Lehenengo lauhilabetea bukatzean, 4 gizonek eta 10 emakumek ikastaroa utzi zuten eta orduan, gizon/emakume proportzioa 1/11 bilakatu zen. Kalkulatu ikastaroa hastean zenbat gizon eta zenbat emakume zeuden.

10 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 011ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 011 MATEMÁTICAS II B AUKERA B 1 ariketa A matrizeak bi errenkada eta bi zutabe ditu, eta berdintza hau betetzen du: ( ) ( ) ( ) A + A = Kalkulatu A matrizea, eta prozedura arrazoitu. B ariketa Izan bitez P = (0,, 5) puntua eta r zuzen hau x = 1 + t r = y = t z = 3 + t. Kalkulatu r zuzena barruan duen eta P puntutik igarotzen den planoaren ekuazioa, eta prozedura arrazoitu. B 3 ariketa f funtzio bati buruz datu hauek ezagunak dira: R osoan deribagarria da, R osoan gorakorra da eta puntu guztietan f(x) > 0 desberdintza betetzen da. Datu horiekin froga al daiteke h(x) = e f(x) f(x) gorakorra dela R osoan? Erantzuna arrazoitu. B 4 ariketa a) Egin y = 9 x eta y = x 3 kurbek mugatutako eskualdearen eskema grafikoa. b) Kalkulatu a) ataleko eskualdearen azalera kalkulu integrala erabiliz. B 5 ariketa Saskibaloiko txapelketa batean 14 taldek parte hartu dute. Denek denen kontra jokatu dute joan-etorriko txandan. a) Zenbat partida jokatu dira guztira? b) Talde-kopurua N balitz, zenbat partida jokatuko lirateke?

11 01 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBA Matematika II BATXILERGOA LANBIDE HEZIKETA GOI MAILAKO HEZIKETA-ZIKLOAK Azterketa Kalifikazio eta zuzenketa irizpideak

12 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 01 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Haietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jarri behar duzula. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da. Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

13 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 01 MATEMÁTICAS II A AUKERA A1 ariketa Sistema hau emanda: x ( A 1) y Ay z x y Az 0 1 A 1 a) Eztabaidatu ezazu A parametroaren balioaren arabera. b) Ebatz ezazu, ahal bada, A = 4 kasurako. A ariketa A(1,, 3), B(1, -, 4) eta C(1, -3, a) puntuak emanda: a) Kalkula ezazu a parametroaren balioa A, B eta C puntuak lerrokatuta egon daitezen. b) a = 5 kasuan, aurkitu ezazu jatorritik pasatzen den eta, gainera, A, B eta C puntuak dauzkan planoaren perpendikularra den zuzena. A3 ariketa 3 f ( x) Ax Bx funtzioa izanik, badakigu P(1, 1) puntutik pasatzen dela eta, gainera, puntu horretan haren tangentea y 3x zuzenaren paraleloa dela. a) Datu horiek jakinik, kalkula itzazu A-ren eta B-ren balioak. b) Kalkula itzazu funtzioaren mutur erlatiboak eta goratze- eta beheratze-tarteak; azkenik, marraztu ezazu funtzioa. A4 ariketa 4 y x eta y x kurbak izanik, a) Marraztu ezazu bi kurben grafikoek mugatutako esparru finitua. b) Kalkula ezazu esparru horren azalera. A5 ariketa Institutu bateko patioan 80 ikasle daude, 8 lerro eta 10 zutabetan lerrokatuta. Ikasle bakoitzak eskua eman die inguruan dituen ikasle guztiei. Baldin eta bi pertsonaren arteko esku-ematea esku-emate bat baldin bada, zenbat esku-emate izan ziren guztira?

14 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 01 MATEMÁTICAS II B1 aukera B AUKERA (a,b) zenbaki errealen bikote bakoitzerako, matrize hauek daude: a b a 1 A eta B 1 b a) Kalkula itzazu A eta B matrizeen determinanteak. b) a = b = 1 kasurako, kalkula ezazu A B biderkadura-matrizearen determinantea. c) Kalkula ezazu, arrazoituz, a-ren eta b-ren zer baliotarako betetzen den bi matrizeek alderantzizko matrizerik ez izatea. B ariketa x + y + z = 4 planoa AB segmentuarekiko perpendikularra da, eta bi zati berdinetan erdibitzen du segmentua. A puntua (1, 0, 0) da. Aurkitu itzazu B puntuaren koordenatuak, eta kalkula ezazu AB segmentuaren eta planoaren arteko ebaki-puntua. B3 ariketa Enpresa batek estalkirik gabeko kartoizko kaxak egiten ditu, zentimetro kubikoko bolumenekoak. Kaxen oinarria karratua da. Kalkula ezazu zer altuera duen eta oinarrian zer alde izan behar duen kaxa bakoitzak fabrikazioan ahal den kartoirik gutxiena erabiltzeko. B4 ariketa Kalkula itzazu integral hauek: a) x 3 ln( x) dx b) B5 ariketa x x 1 dx Frogatu ezazu 6 aldeko poligono konbexu batek 9 diagonal dituela. a) Zenbat diagonal izango ditu n aldeko poligono konbexu batek? b) Zenbat alde ditu 30 diagonal dituen poligono konbexu batek?

15 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK MATEMATIKA II EBALUATZEKO IRIZPIDE OROKORRAK 1. Probaren puntuazioa guztira 0 eta 10 puntu bitartekoa izango da.. Ariketa guztiak berdin baloratuko dira: 0 eta puntu artean. 3. Planteamendu egokiak baloratuko dira, bai planteamendu orokorra bai atal bakoitzaren planteamendua (halakorik balego). 4. Zenbakizko akatsak, kalkuluetan egindakoak, eta abar ez dira kontuan hartuko, baldin eta akats kontzeptualak ez badira. 5. Positiboki baloratuko dira ariketa eta haren soluzioa hobeto ikusarazten dituzten ideiak, grafikoak, aurkezpenak, eskemak, eta abar. 6. Azterketa txukun aurkeztea aintzat hartuko da. ARIKETA BAKOITZARI DAGOZKION IRIZPIDE BEREZIAK A AUKERA A.1 ariketa ( puntu) a) Sistemaren eztabaidak, gehienez, 1,5 puntuko balioa izango du. b) A = 4 kasurako ebazpen osoak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. A. ariketa ( puntu) Ataletariko bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa du. A.3 ariketa ( puntu) a) A eta B zuzen kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. b) Goratze- eta beheratze-tarteak kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. c) Kurba marrazteak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. A.4 ariketa ( puntu) a) Grafikoen ebaketa-puntuak kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. b) Esparrua eta bi funtzioen grafikoak marrazteak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. c) Dagokion integral mugatua aplikatuz esparruaren azalera kalkulatzeak, gehienez, puntu bateko balioa du. A.5 ariketa ( puntu) Adierazpen-eskema on bat egiteak edo egoera argitzeko azalpen bat emateak (ikasleen posizio motak bereiziz), gehienez, 0,75 puntuko balioa du. Problemaren ebazpena zuzen kalkulatzeak, gehienez, 1,5 puntuko balioa du.

16 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD B AUKERA B.1 ariketa ( puntu) CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK a) Matrize bakoitzaren determinantea zuzen kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. b) Matrizeen biderkadura adierazitako balioetarako kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. c) Ezarritako baldintza betetzen duten balioak kalkulatzeak, gehienez, puntu bateko balioa du. B. ariketa ( puntu) Zuzenaren bektore zuzentzailea kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. Tarteko puntua kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. Puntu simetrikoa kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. B.3 ariketa ( puntu) Problema planteatu eta helburu-funtzioa lortzeak, gehienez, puntu bateko balioa du. Soluzioa deribatuaren bidez kalkulatzeak, gehienez, puntu bateko balioa du. B.4 ariketa ( puntu) Integral bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa du. B.5 ariketa ( puntu) a) Formula orokorra, azalpen egoki batez lagunduta, lortzeak, gehienez, 1,5 puntuko balioa du. b) Alde kopurua kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du.

17 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK A AUKERA A.1 ariketa EBAZPENAK a) Koefiziente-matrizearen determinanteak A(1 - A) balio du. A desberdin 0 eta 1 denean, matrizearen heina 3 da, eta bat dator matrize zabalduaren heinarekin eta ezezagun kopuruarekin; beraz, kasu horietan sistema bateragarri determinatua da. A = 0 kasurako, bi matrizeen heina da. Kasu horretan, sistema bateragarri indeterminatua da. Azkenik, A = 1 kasurako, koefiziente-matrizearen heina da eta zabalduarena 3 da; beraz, sistema bateraezina da. b) A = 4 soluzio bakarreko kasuetariko bat da. Hau da soluzioa: ( x, y, z) = (,, ) A. ariketa a) Puntuak lerrokatuta daude AB bektorea eta AC bektorea proportzionalak direnean, hau da, m AB = AC edo m (0, -4, 1) = (0, -5, a - 3). Bigarren koordenatua berdintzetik lortzen den ondorioa da proportzionaltasun-faktoreak m = 5/4 izan behar duela, eta hirugarrena berdintzetik, berriz, a = 17/4 dela. Gainerako balioetarako, hiru puntuak ez daude lerrokatuta. b) a = 5 denean, hauek dira puntuak: A = (1,, 3), B = (1,-; 4) eta C = (1, -3, 5). Planoaren bektore propioa AB = (0, -4, 1) eta AC = (0,-5, ) bektoreekiko perpendikularra da; beraz, v = (1, 0, 0) da, eta aurkitu nahi den zuzenak norabidebektore hori du. Gainera, P = (0,0,0) puntutik pasatzen da; beraz, ekuazio parametriko hau du: x = t y = 0 z = 0 eta ekuazio kartesiarra, berriz, hau da: y = 0 z = 0 A.3 ariketa a) Grafikoak P = (1, 1) puntua daukanez, A + B = 1. Beste baldintzak berekin dakar f-ren deribatua 3 izatea x = 1 puntuan. Beraz, hau lortzen da: 3A + B = - 3. Ondorioz, A = eta B = 3; eta hau da funtzioa: f ( x) = x 3 + 3x b) Lehen deribatua f ( x) = 6x + 3 da, eta bigarren deribatua f ( x) = 1x da. 1 1 Beraz, muturrak balioan minimo bat da eta balioan maximo bat 1 1 (, ) ( 1, ) da daude. Funtzioa beherakorra da tartean, gorakorra 1 (, ) tartean eta beherakorra tartean. Hau da haren grafikoa:

18 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK A.4 ariketa a) Esparrua planoaren goialdean dago 1 x 1 denean, eta y = x kurba 4 y = x kurbaren gainean dago. Esparrua OY ardatzarekiko simetrikoa da. b) Hau da eskatutako azalera: A.5 ariketa Barnealdean dauden ikasleek inguruan dituzten 8 ikasleei ematen diete eskua. Kanpoaldeko lerroetan daudenek 5 ikasleri ematen diete eskua, izkinetan daudenek izan ezik, haiek 3ri baino ez baitiete ematen eskua. Kanpoaldeko lerroetan, guztira, 3 daude izkinetan 4 eta alboetan 8 ; barnealdean, berriz, gainerako 48ak daude. Gainera, kontuan hartu behar da bi ikasleren arteko esku-ematea esku-emate bakar moduan zenbatu behar dela. Beraz, hau izango da esku-emateen kopurua:

19 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK B AUKERA B.1 ariketa a) Hauek dira: det(a) = (5a -4b + ) eta det(b) = -a -4b + 6. b) Biderkadura-matrizearen determinantea determinanteen biderkadura da. Beraz: det(a B) = (5a - 4b + )(-a -4b + 6); a = b = 1 kasu partikularrerako, 6 izango da. c) Bi matrizeek alderantzizko matrizerik ez izateko, bi determinanteek zero izan behar dute; hau da, aldi berean bete behar dira (5a - 4b + ) = 0 eta (-a - 4b + 6) = 0. Sistemaren soluzioa hau izango da: a = /3 eta b = 4/3. B. ariketa a) eta b) Planoaren bektore propioa v = (1, 1, 1) da, eta hori da A eta B lotzen dituen zuzenaren norabide-bektorea. Hau da zuzenaren ekuazioa: x = 1+ t y = t z = t Aurkitu nahi den tarteko puntua planoan dago. Horregatik, hau beteko da: x + y + z - 4 = 0, hau da, (1 + t) + t + t - 4 = 0; hortik, t = 1 eta tarteko puntua C = (, 1, 1) da. Azkenik, B puntuaren koordenatuek egiaztatzen dute C = 1/(A+B) dela; hau da: B = C - A = (4,, ) - (1, 0, 0) = (3,, ). B.3 ariketa Izan bitez x oinarriaren aldea eta h altuera. Bolumena V = x. h = 4000 da; alegia, kaxak estalkirik ez duenez, haren azalera osoa oinarriaren azalera, x, eta lau aldeazaleren batura da. Lau aldeen azalera hau da: Beraz, x aldeko oinarria duen kaxa egiteko, kartoi-azalera hau behar da: S( x) = x +. x Minimizatzean, x = 0 baliorako lortzen da bilatu nahi den minimoa. Dagokion altuera hau da: h = 10. B.4 ariketa a) Lehen integrala zatika integratuz lor daiteke. Hau da emaitza: x x ln( x) x.ln( x) dx = + + C 8 b) Bigarren integralerako, frakzio sinpletan deskonposatu behar da. Hau da emaitza:

20 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD B.5 ariketa CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK x 1 3 dx = ln( x 1) + ln( x + 1) + C x 1 a) Erpin bakoitzetik erpin guztietarako diagonalak irteten dira, bere burura eta aldameneko bietara izan ezik; alegia, n 3 erpinetara. Guztira n erpin daudenez eta diagonalak bi aldiz zenbatuta daudenez, n aldeko poligono konbexu batek (1/)n(n-3) diagonal ditu. b) n aurkitu behar da, hau bete dadin: (1/)n(n-3) = 30. Hau da emaitza: n = 3.

21 01 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBA Matematika II BATXILERGOA LANBIDE HEZIKETA GOI MAILAKO HEZIKETA-ZIKLOAK Azterketa Kalifikazio eta zuzenketa irizpideak

22 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 01 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Haietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jarri behar duzula. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da. Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

23 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 01 MATEMÁTICAS II A1 ariketa Sistema hau emanda: A AUKERA ( m 1) x + y + z x + ( m 1) y + z y + z = 1 = m = 0 a) Eztabaidatu ezazu m parametroaren balioaren arabera. b) Ebatz ezazu, ahal bada, m = 0 eta m = 3 kasuetarako. A ariketa A(-1, 3, ), B(, -1, -1) eta C(a -, 7, b) puntuak emanda: a) Kalkula itzazu a eta b parametroen balioak puntu horiek lerrokatuta egon daitezen. b) Aurreko atalean kalkulatutako balioetarako, aurkitu ezazu P(0, -3, 5) puntutik pasatzen den eta AC bektorearen perpendikularra den planoaren ekuazioa. A3 ariketa Har dezagun f (x) = x 3 + Ax + Bx + C funtzioa: a) Kalkula itzazu A, B eta C parametroen balioak f-ren grafikoa (1, 1) puntutik pasa dadin, x = -4 balioan maximo bat izan dezan eta x = 0 balioan ukitzaile horizontal bat izan dezan. b) Kalkula itzazu funtzioaren mutur erlatiboak eta goratze- eta beheratze-tarteak, eta marraztu ezazu funtzioaren grafikoa. A4 ariketa Kalkula ezazu integral hau: 5x dx x 4. A5 ariketa Zenbaki palindromo (edo kapikua) deritzo notazio hamartarrean idatzita egonik eskuinetik ezkerrera eta ezkerretik eskuinera berdin irakurtzen den zenbaki oso eta positiboari; adibidez, 3 eta 8778 zenbakiak palindromoak dira. Kalkula ezazu zenbat zenbaki palindromo dauden baino txikiagoak.

24 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 01ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 01 MATEMÁTICAS II B1 ariketa B AUKERA Izan bitez B = 1+ m 1 matrizea eta I = 1 0 unitate matrizea. 1 1 m 0 1 a) Kalkula ezazu m-ren zer baliotarako betetzen den hau: B = B + I. b) Kalkula ezazu B-ren alderantzizko matrizea aurreko ataleko m-ren balioetarako. B ariketa 3 x + 4 y + 5 z = 0, x + y + z = 0 planoak eta A(-1,, 1) puntua izanik: a) Kalkula ezazu A puntutik eta aurreko bi planoen arteko ebakidura-zuzenetik pasatzen den planoa. b) Kalkula ezazu plano bat B(0, 0, -3) puntutik pasatzen dena eta aurreko ataleko planoaren paraleloa dena. B3 ariketa Denda batean olioa saltzen da euroan litroa. x litro saltzen direnean, era guztietako kostuak (eurotan adieraziak) hauek dira: 0,5x + C x. Eta badakigu 750 litro saltzen direnean lortzen dela etekin maximoa. Aurkitu itzazu C-ren balioa eta lortutako etekin maximoa. B4 ariketa Hiru funtzio hauek emanda: f x) = x ( ; g ( x) = x ; h ( x) = x / 4 a) Marraztu ezazu hiru funtzioen grafikoek mugatutako esparru finitua. b) Kalkula ezazu esparru horren azalera. B5 ariketa Zenbaki arrunten segidan: 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11,1, 13,14, 5en lehenengo 40 multiploak ezabatzen badira, beste segida bat sortzen da. Kalkula ezazu segida berriaren lehenengo 160 terminoen batura.

25 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK MATEMATIKA II EBALUATZEKO IRIZPIDE OROKORRAK. 1. Probaren puntuazioa guztira 0 eta 10 puntu bitartekoa izango da.. Ariketa guztiak berdin baloratuko dira: 0 eta puntu artean. 3. Planteamendu egokiak baloratuko dira, bai planteamendu orokorra, bai atal bakoitzaren planteamendua (halakorik egonez gero). 4. Zenbakizko akatsak, kalkuluetan egindakoak, eta abar, ez dira kontuan hartuko, baldin eta akats kontzeptualak ez badira. 5. Positiboki baloratuko dira ariketa eta haren soluzioa hobeto ikusarazten dituzten ideiak, grafikoak, aurkezpenak, eskemak, eta abar. 6. Azterketa txukun aurkeztea aintzat hartuko da. ARIKETA BAKOITZARI DAGOZKION IRIZPIDEAK A AUKERA A1 ariketa ( puntu) a) Sistemaren eztabaidak, gehienez, 1,5 puntuko balioa izango du. b) Adierazten diren kasuen ebazpen osoak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. A ariketa ( puntu) Ataletariko bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa du. A3 ariketa ( puntu) a) A, B eta C zuzen kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. b) Goratze- eta beheratze-tarteak kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. c) Azkenik, kurba marrazteak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. A4 ariketa ( puntu) Integrala zuzen lortzeak, gehienez, puntu bateko balio du. A5 ariketa ( puntu) Probleman puntuak lortzeko, hau hartuko da kontuan: Egoera argitzeko azalpen on bat emateak (eskema, taula, zenbaki palindromoak antolatzea: bat, bi, hiru, lau eta bost zifrakoak), gehienez, 0,75 puntuko balioa du. Problemaren ebazpena zuzen kalkulatzeak, gehienez, 1,5 puntuko balioa du.

26 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD B AUKERA B1 ariketa ( puntu) CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK a) m parametroa zuzen lortzeak eta haren eztabaidak, gehienez, 1,5 puntuko balioa izango du. b) Alderantzizko matrizea lortzeak, bi kasuetan, 0,75eko balioa du gehienez. B ariketa ( puntu) Ataletariko bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa du. B3 ariketa ( puntu) Salmenten araberako etekinaren formula lortzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. C salmenten kalkuluaren planteamenduak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. C-ren kalkuluari eta etekin maximoaren kalkuluari, bakoitzari, 0,5 puntuko balioa emango zaio gehienez. B4 ariketa ( puntu) a) Hiru grafikoen ebaketa-puntuak kalkulatzeak, gehienez, 0,5 puntuko balioa du. b) Esparrua eta hiru funtzioen grafikoak marrazteak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. c) Dagokion integral mugatua aplikatuz eskatutako esparruaren azalera kalkulatzeak, gehienez, 0,75 puntuko balioa du. B5 ariketa ( puntu) Egoera argitzeko azalpen on bat emateak (zer termino batu behar diren adieraziz...), gehienez, 0,75 puntuko balioa du. Problemaren ebazpena zuzen kalkulatzeak, gehienez, 1,5 puntuko balioa du.

27 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK A AUKERA A1 ariketa EBAZPENAK a) Koefiziente-matrizearen determinantea (m-)(m-1) da; beraz, m 1 eta m denean, sistema bateragarri determinatua da. m = 1 denean, matrizearen eta matrize zabalduaren heina da; beraz, sistema bateragarri indeterminatua da. m = denean, koefiziente-matrizearen heina da, eta matrize zabalduarena 3; beraz, sistema bateraezina da, kasu horretan. b) m = 0 denean, hau da soluzioa: (x, y, z) = (1, 1, 0). m = 3 denean, hau da soluzioa: (x, y, z) = (1, -, 3). A ariketa a) AB eta AC bektoreek proportzionalak izan behar dute; hau da, m-ren balio erreal bat existitu behar du, hau beteko duena: m(3, -4;-3) = (a 1, 4, b - ) Hortik ateratzen da m = -1 dela eta, datu horrekin, a = - eta b = 5 direla. b) AC bektorea v = (-3, 4, 3) da, eta planoaren ekuazioa hau: -3x + 4y + 3z + D = 0. Orain, P puntua planoan dagoelako baldintza ezarri behar da, eta, hala, D = -3 lortzen da; horrenbestez, planoak ekuazio hau betetzen du: -3x + 4y + 3z - 3 = 0. A3 ariketa a) Lehen baldintzaren arabera, 1 = 1 + A + B + C. Beste bi baldintzen arabera, deribatua zero da x = -4 eta x = 0 puntuetan. Hortik, hau ateratzen da: 48-8A + B = 0 eta B = 0. Horiek ebatzita, balio hauek lortzen dira: A = 6, B = 0 eta C = b) Funtzioa f ( x) = x + 6x 6 da. Lehen deribatua f ʹ ( x) = 3x( x + 4) da, eta bigarrena, berriz, f ʹ ʹ ( x) = 6( x + ). Hala lortzen da x = -4 balioari maximo bat dagokiola, eta x = 0 balioari minimo bat. Funtzioa gorakorra da (, 4) beherakorra da (-4, 0) denean, eta gorakorra da ( 0, ) denean. denean,

28 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK A4 ariketa Integral hau kalkulatzeko, zuzenean deskonposatu behar da funtzioa frakzio sinpletan. Hau lortzen da: A5 ariketa 5x dx = 3ln(x + )+ ln(x )+ C x 4 Zifra batekoak 1; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8 eta 9 dira, alegia, guztira 9. Bi zifrakoak ere 9 dira. Hiru zifrakoetarako, 0-9 bitarteko digituak erabil daitezke erdiko zifran, eta 1etik 9rakoak lehenbiziko zifran; beraz, hiru zifrakoak 90 dira, eta badira, halaber, lau zifrako 90. Azkenik, bost zifrakoak 900 dira. Eta guztira: = 1098.

29 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK B AUKERA B1 ariketa a) Hauek kalkulatu behar dira: " B + m + m = $ # m + m % ' eta & B + I 3 + m = 3 m Bi matrizeen berdintzarekin, hau lortzen da: m 1 = 0, eta hortik, m = 1 eta m = -1. b) m = 1 denean, hau da alderantzizko matrizea: m = -1 denean, berriz, hau da alderantzizko matrizea: B ariketa a) Problema ebazteko, zenbait modu daude; haietako bat plano sorta bat erabiltzea da. Aurkitu nahi dugun planoa sorta honetakoa izango da: 3x + 4y + 5z + m(x + y + z) = 0 A( 1,, 1) puntutik pasatu beharra ezarriz gero, m = -10 da. Beraz, planoa 17x + 6y + 5z = 0 da. b) Paraleloa denez, ekuazioa 17x + 6y + 5z + C = 0 izango da; gainera, B(0, 0, -3) puntua daukanez, C = 0 bete behar da; beraz, C = 15. Horrenbestez, hau da eskatutako planoa: 17x + 6y + 5z = -15 B3 ariketa Salmentaren diru-sarrerari kostuak kenduta kalkulatzen da irabazia. x litro saltzen badira, diru-sarrera hauek lortzen dira: B(x) = x - (0,5x + Cx ). Funtzio horren lehen deribatua hau da: B (x) = 1,5 Cx. Ematen diren datuen arabera, zero izan behar du x = 750 denean. Hau da: C = 1/ C-ren balio horretarako, B(750) = 56,5 euro da. B4 ariketa a) Hiru funtzioen irudia nahikoa adierazgarria da.

30 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK Grafikoen arteko ebakitze-puntuak ebatziz, egiazta daiteke zuzenak eta g parabolak x = 1 puntuan ebakitzen dutela elkar, eta zuzenak eta h parabolak, berriz, x = 4 puntuan. Puntu horiek mugatzen dute kalkulatu beharreko esparrua. b) Azalera honela kalkulatzen da: B5 ariketa 1 0 ( x 0,5x ) dx ( x 0,5x ) dx = Guztira, lehenbiziko 00 zenbaki naturaletatik 5en 40 multiploak kentzen dira. Beraz, lehenbiziko 00 zenbaki naturalen baturari bosten lehenengo 40 multiploen batura kendu behar zaio. Beraz, hau da eskatutako baturaren emaitza: = 30 1 = 10 4 Batura = (00)(01) (40)(41) 5 =

31 013 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBA Matematika II BATXILERGOA LANBIDE HEZIKETA GOI MAILAKO HEZIKETA-ZIKLOAK Azterketa Kalifikazio eta zuzenketa irizpideak

32 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 013 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

33 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 013 MATEMÁTICAS II A AUKERA A1 ariketa A 0 a 0 matrizea emanda, non a parametro erreal bat baita, a 1 1 a) Kalkula ezazu, arrazoituz, A matrizearen heina a parametroaren funtzioan. b) Azaldu ezazu ea matrizeak alderantzizkoa duen a = 1 kasurako, eta, baldin badu, kalkula ezazu. A ariketa x y 1 z 1 a 4 ekuazioaren bidez definitutako r zuzena eta x y + bz = 0 planoa emanda: Kalkula itzazu a-ren eta b-ren balioak kasu hauetan: a) r zuzena planoarekiko perpendikularra da. b) r zuzena planoaren barnean dago. A3 ariketa f funtzioa ekuazio honek definitzen du: f (x) x 5x. Kalkula itzazu, arrazoituz: 6 a) f(x) funtzioaren definizio-eremua eta asintotak. b) f(x) funtzioaren goratze- eta beheratze-tarteak. c) Egin ezazu funtzio horren grafikoaren gutxi gorabeherako marrazki bat. A4 ariketa y ( 1/ ) x parabolak bi esparrutan zatitzen du (0,0), (4,0), (4, ) eta (0,) erpinak dituen laukizuzena. Kalkula ezazu bi esparru horietako bakoitzaren azalera. A5 ariketa Zenbat zero ditu amaieran 50! = zenbakiak?

34 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko EKAINA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JUNIO 013 MATEMÁTICAS II B AUKERA B1 ariketa Sistema hau emanda: mx my z m x (m )y 1 y z a) Egin eztabaida m parametroaren balioen arabera. b) Ebatz ezazu, ahal bada, m = 5 kasurako. B ariketa A = (,1,0) puntua eta x + 3y + 4z = 0 ekuazioa duen π planoa emanda: a) Aurkitu ezazu zein den A puntutik distantzia minimora dagoen π-ren puntua, eta kalkula ezazu distantzia hori. b) Aurkitu ezazu π planoarekiko A-ren simetrikoa den B puntua. B3 ariketa 00 cm luzeko segmentu bat bitan zatitu da. Zati batekin karratu bat eratu da, eta, bestearekin, oinarria garaiera baino bi aldiz handiagoa duen laukizuzen bat. Kalkula ezazu zati bakoitzaren luzera, baldintza hau kontuan izanik: karratuaren eta laukizuzenaren azaleren baturak minimoa izan behar du. B4 ariketa Kalkula ezazu integral hau: a-ren eta b-ren funtzioan. ax b x 3x dx B5 ariketa Lehen 10 zenbaki arrunten segidan: 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 10 7ren multiploak ezabatu dira. Kalkula ezazu, arrazoituz, gainerako terminoen batura.

35 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK MATEMATIKA II EBALUATZEKO IRIZPIDE OROKORRAK. 1. Probaren puntuazioa guztira 0 eta 10 puntu bitartekoa izango da.. Ariketa guztiak berdin baloratuko dira: 0 eta puntu artean. 3. Planteamendu egokiak baloratuko dira, bai planteamendu orokorra bai eta atal bakoitzaren planteamendua ere (egotekotan). 4. Zenbakizko akatsak, kalkuluetan egindakoak, etab., ez dira kontuan hartuko baldin eta akats kontzeptualak ez badira. 5. Positiboki baloratuko dira ariketa eta haren soluzioa hobeto ikusarazten dituzten ideiak, grafikoak, aurkezpenak, eskemak, etab. 6. Azterketa txukun aurkeztea aintzat hartuko da. Ariketa bakoitzari dagozkion irizpide bereziak A AUKERA A.1 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Heinaren eztabaidak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez. b) a = 1 kasurako alderantzizko matrizea lortzeak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. A. ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Ataletariko bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa izango du. A.3 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Domeinua eta asintotak zuzen kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. b) Goratze- eta beheratze-tarteak kalkulatzeak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. c) Azkenik, kurba marrazteak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. A.4 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Esparru osoa zuzen marrazteak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. b) Barrowen teorema aplikatuz esparru bakoitzaren azalera lortzeak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez. A.5 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Adierazpen-eskema on bat egiteak edo egoera argitzeko azalpen bat emateak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. Problemaren soluzioa zuzen kalkulatzeak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez.

36 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK B AUKERA B.1 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Matrize bakoitzaren determinantea zuzen kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. b) Sistemak m parametroaren funtzioan nola jokatzen duen eztabaidatzeak 1 puntuko balioa izango du gehienez. c) m = 5 kasurako ebazteak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. B. ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Planoarekiko perpendikularra den zuzena lortzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Tarteko puntua kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Puntu simetrikoa kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Planorainoko distantzia kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. B.3 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Problema zuzen planteatzeak 1 puntuko balioa izango du gehienez. b) Deribatuaren irizpideak aplikatuz soluzioa lortzeak 1 puntuko balioa izango du gehienez. B.4 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Integrala integral sinpletan deskonposatzeak eta parametro egokiak kalkulatzeak puntuko balioa izango dute gehienez, bien artean. B.5 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Zenbaki guztien batura kalkulatzeak 1 puntuko balioa izango du gehienez. b) 7ren multiploen batura eta problemaren azken emaitza kalkulatzeak 1 puntuko balioa izango du gehienez.

37 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD A AUKERA CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK EBAZPENAK A.1 ariketa a) Matrizearen determinantea a ( a 1) da. Beraz, a 0 kasuan, A-ren heina 3 da. a 0 kasuan, A-ren heina da, determinantea zero ez duen ordenako minor bat baitago. b) a = 1 kasurako, alderantzizkoa existitzen da, eta balio hau du: A / 1/ 1 1/ 1/. A. ariketa a) Baldin eta zuzena eta planoa perpendikularrak badira, orduan, zuzenaren bektore zuzentzailea eta planoaren bektore normala paraleloak izango dira, eta, beraz, haien osagaiak proportzionalak. Hau da: a 4, eta hortik: a = - 8 eta b = - ½. 1 b b) Zuzena planoan egongo bada, zuzenaren bektore zuzentzaileak eta planoaren normalak perpendikularrak izan behar dute, eta, gainera, zuzenaren edozein puntuk planoan egon behar du. P (, 1, 1) puntua planoan dagoelako baldintza ezarrita, hau izango dugu: 11 b ( eta hortik: b = 3. Orain bektoreen perpendikulartasun-baldintza ezartzen badugu, hau izango dugu: a + 4(-1) + (3) = 0 ; eta hortik: a = 1. 1) 0 A.3 ariketa a) Funtzioa ez da existitzen izendatzailearen zeroetan; beraz, haren definizioeremua zuzen erreal osoa da, eta 3 balioak izan ezik. Asintotak hauek dira: Horizontalak: y = 0, plus infinituan zein minus infinituan. Bertikalak: x = eta x= 3 Zeiharrak: Ez du. 10 4x b) Lehen deribatua f ( x) da. Bi asintota bertikal dituenez, ( x 5x 6) 5 funtzioa gorakorra da (,) eta (, ) tarteetan, eta beherakorra, berriz, 5 (,3) eta ( 3, ) tarteetan. A.4 ariketa

38 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK Esparrua aski adierazgarria da. Laukizuzen osoaren azalera 8 unitate karratu da; C eskualdeak 4 unitate karratu ditu; eta B eskualdearen azalera hau izango da: B 0 0,5x dx Horrenbestez, parabolak bi eskualdetan banatzen du laukizuzena, B + C eta A, eta haien azalerak, hurrenez hurren, 16/3 unitate karratu eta 8/3 unitate karratu dira. A.5 ariketa 50! zenbakiaren faktorizazioan 1 bost agertzen dira guztira: 5 zenbakiaren 10 multiploak, eta, gainera, 5 eta 50 zenbakien bi 5ak. Biak behar beste agertzen dira azken hamabi zeroak sortzeko. 4. 3

39 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD B AUKERA CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK EBAZPENAK B.1 ariketa Koefiziente-matrizearen determinantea (m 1)(m ) da; beraz, m 1 edo ez denean, sistema bateragarri determinatua da. m = 1 denean, matrizearen eta matrize zabalduaren heina da; beraz, sistema bateragarri indeterminatua da. m = kasuan, heinak desberdinak dira; beraz, sistema bateraezina da. m = 5 kasuan, soluzioa hau da: (x,y,z) = (1, /3, 5/3). B. ariketa A puntutik pasatzen den eta planoarekiko perpendikularra den zuzen bat aurkitzea da metodoa; zuzen horrek planoa ebakitzen duen puntua AB segmentua bi zati berdinetan banatzen duen puntua izango da, B puntua Aren planoarekiko puntu simetrikoa izanik. Hau da zuzen perpendikularra: x y 1 z. 3 4 Zuzen horren eta planoaren arteko ebaketak puntua ematen digu: C(44/9, 8/9, 8/9). B puntu simetrikoa, beraz, B(30/9, 13/9, 56/9) izango da. Planotik C punturainoko distantzia hau izango da: B.3 ariketa Karratuaren aldea x bada, eta laukizuzenarenak y eta y badira, erlazio hau minimizatu egin behar da: A x y. 4x + 6y = 00 denez, x-ren balioa bakanduz eta M-n sartuz, hau izango dugu: 100 3y M y M minimizatzeko, y aldagaiarekiko deribatuko dugu, eta 17 y 300 minimoaren baldintza ezarriko dugu; hala, M = 0 lortuko dugu. Hortik, y = 300/17 cm izango da, eta x = 400/17 cm izango da. B.4 ariketa Frakzio sinpletako deskonposizio hau hartzen da: ax b A B ( x 1)( x ) x 1 x Behar diren eragiketak eginez, hau lortzen da: A = (a + b) eta B = a + b. Beraz:

40 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK ax b ( a b) a b dx dx dx ( a b)ln x 1 (a b)ln x. x 3x x 1 x C B.5 ariketa Termino guztien batura (7ren multiploena barne) hau da: ren multiploen batura hau da: = 7( ) = Horrenbestez, eskatutako batura hau izango da: =

41 013 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBA Matematika II BATXILERGOA LANBIDE HEZIKETA GOI MAILAKO HEZIKETA-ZIKLOAK Azterketa Kalifikazio eta zuzenketa irizpideak

42 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 013 MATEMÁTICAS II Azterketa honek bi aukera ditu. Horietako bati erantzun behar diozu. Ez ahaztu azterketako orrialde bakoitzean kodea jartzea. Azterketa 5 ariketaz osatuta dago. Ariketa bakoitza 0 eta puntu artean baloratuko da Programagarriak ez diren kalkulagailuak erabil daitezke. Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.

43 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 013 MATEMÁTICAS II A AUKERA A1 ariketa Ekuazio-sistema hau emanda: x y az ay z x ay a) Egin eztabaida a-ren balioen arabera. b) Ebatzi sistema, bateragarri indeterminatua denean. A ariketa x y 4z 7 P (1,0, -) puntua eta r zuzena honela definitua: emanda: x y 5 a) Zehaztu ezazu zuzen bat, r ebakitzen duena, r-ren perpendikularra dena eta P puntutik pasatzen dena. b) Kalkula ezazu P puntuaren eta r zuzenarekiko haren simetrikoa den Q puntuaren arteko distantzia. A3 ariketa Elektronikako denden frankizia batek kalkulatu du asteko irabaziak (mila eurokotan adierazia) irekia duen n denda kopuruaren mende daudela, adierazpen honen arabera: B ( n) 4n(n 15n 4). Arrazoituz, kalkula ezazu hau: a) Zenbat denda izan behar dituen asteko irabaziak maximoak izan daitezen. b) Irabazi maximo horien balioa. A4 ariketa Hiru funtzio hauek emanda: f(x) = 1/x, g(x) = 9 x, h(x) = 5 x a) Marraztu ezazu lehen koadrantean hiru grafikek mugatzen duten esparrua. b) Kalkula ezazu esparru horren azalera. A5 ariketa N 3 7 zenbakia oso handia da. Jakingo zenuke lortzen batekoei dagokien digitua? Arrazoitu erantzuna.

44 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK 013ko UZTAILA MATEMATIKA II PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD JULIO 013 MATEMÁTICAS II B AUKERA B1 ariketa Matrize hau emanda: a) Azter ezazu A-ren heina m parametroaren balioen arabera. b) m = 0 baliorako, kalkula ezazu A-ren alderantzizko matrizea. A 1 m 1 B ariketa A = (1, -1, 0) eta B = (,0, 3) puntuak emanda. a) Aurkitu al daiteke plano bat A eta B lotzen dituen zuzenarekiko perpendikularra dena eta, gainera, C = (,, 3) puntutik pasatzen dena? Baiezkoan, aurkitu ezazu plano horren ekuazioa; ezezkoan, arrazoitu erantzuna. b) Aurkitu daiteke A, B eta C-tik pasatzen den zuzen bat? Baiezkoan, aurkitu ezazu zuzen horren ekuazioa; ezezkoan, arrazoitu erantzuna. B3 ariketa 3 f ( x) x Ax Bx C funtzioa emanda: a) Kalkula itzazu A, B eta C parametroen balioak, funtzioak x = 0-an mutur bat izan dezan eta x = -an beste mutur bat izan dezan. Balio bakarrekoak dira parametro horiek? b) Zehaztu ezazu zer mutur mota den (maximoa edo minimoa). c) Irudika ezazu funtzioa C = 0 kasuan. B4 ariketa Azaldu ezazu zer den zatikako integrazioaren metodoa, eta aplika ezazu integral hauek kalkulatzeko: m 3 m x ln( x) dx eta x cos( x) dx. B5 ariketa 13ren ondoz ondoko 5 multiploren batura da. Zein da batura horretan agertzen den 13ren lehenengo multiploa? Zein da batura horretan agertzen den 13ren azken multiploa?

45 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK MATEMATIKA II EBALUATZEKO IRIZPIDE OROKORRAK. 1. Probaren puntuazioa guztira 0 eta 10 puntu bitartekoa izango da.. Ariketa guztiak berdin baloratuko dira: 0 eta puntu artean. 3. Planteamendu egokiak baloratuko dira, bai planteamendu orokorra bai eta atal bakoitzaren planteamendua ere (egotekotan). 4. Zenbakizko akatsak, kalkuluetan egindakoak, etab., ez dira kontuan hartuko baldin eta akats kontzeptualak ez badira. 5. Positiboki baloratuko dira ariketa eta haren soluzioa hobeto ikusarazten dituzten ideiak, grafikoak, aurkezpenak, eskemak, etab. 6. Azterketa txukun aurkeztea aintzat hartuko da. Ariketa bakoitzari dagozkion irizpide bereziak A AUKERA A.1 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Sistemaren eztabaidak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez. b) Adierazten den kasurako ebazpen osoak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. A. ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Planoarekiko perpendikularra den zuzena lortzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Tarteko puntua kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Puntu simetrikoa kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Puntuen arteko distantzia kalkulatzeak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. A.3 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Problema planteatzeak eta helburu-funtzioaren muturreko puntuak lortzeak, gehienez, puntu bateko balioa izango dute bien artean. Soluzioa mutur motari buruz eztabaidatuz lortzeak puntu bateko balioa izango du gehienez. A.4 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Esparrua zuzen lortzeak, dagozkion hiru grafikoekin, puntu bateko balioa izango du gehienez. b) Esparruaren azalera Barrowen teorema aplikatuz lortzeak puntu bateko balioa izango du gehienez. A.5 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Egoera argitzeko azalpen on bat (eskema, taula, arrazoibidea eta abar) emateak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. Problemaren ebazpena zuzen kalkulatzeak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez.

46 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK B AUKERA B.1 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) Determinantea, m-ren funtzioan, zuzen lortzeak eta, ondoren, heinari buruz eztabaidatzeak, gehienez, 1,5 puntuko balioa izango dute bien artean. b) Alderantzizko matrizea lortzeak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. B. ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Ataletariko bakoitzak, gehienez, puntu bateko balioa izango du. B.3 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: a) A eta B zuzen kalkulatzeak eta C parametroari buruzko eztabaidak, gehienez, 0,75 puntuko balioa dute bien artean. b) Zer mutur mota den zehazteak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. c) Azkenik, kurba marrazteak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. B.4 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Azalpen teorikoak 0,5 puntuko balioa izango du gehienez. Integral bakoitzak 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. B.5 ariketa ( puntu) Ariketa baloratzean kontuan hartu beharrekoak: Egoera argitzeko azalpen on bat emateak (zer termino batu behar diren adieraziz, formulak edo ekuazioak lortuz) 0,75 puntuko balioa izango du gehienez. Problema zuzen ebazteak 1,5 puntuko balioa izango du gehienez.

47 UNIBERTSITATERA SARTZEKO PROBAK PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CRITERIOS DE CORRECCIÓN Y CALIFICACIÓN ZUZENTZEKO ETA KALIFIKATZEKO IRIZPIDEAK A AUKERA A.1 ariketa EBAZPENAK a) Koefiziente-matrizearen determinantea (a 1) da; a = 1 denean baino ez da zero. a = 1 denean, matrizearen eta matrize zabalduaren heina da; beraz, sistema bateragarri indeterminatua da. a-ren balioa 1 ez denean, koefiziente-matrizearen heina 3 da; beraz, sistema bateragarri determinatua da. b) Bateragarri indeterminatua den kasurako ebaztea eskatzen digutenez, a = 1 izango dugu, eta hau ebatziz lortzen da soluzioa: x y y 1 1 z z eta hortik: x y z 1 z z z A. ariketa a) Zuzen horren plano perpendikular guztien ekuazioak 4x + 8y + 4z + D= 0 dira, zeren eta (4, 8, 4) bektorea planoaren bektore normala baita (r zuzena osatzen duten bi planoen bektore normalen biderkadura bektorial gisa lortua). P(1, 0, -) puntutik pasatzen den planoa interesatzen zaigunez, hau lortuko dugu: D = 4. Orain, zuzenaren eta lortutako planoaren arteko ebaki-puntuaren koordenatuak kalkulatuko ditugu. Hala, M(, -1, -1) puntua lortuko dugu. Beraz, hau izango da eskatutako zuzenaren ekuazioa: x 1 y z b) PM bektorea (1, -1, 1) denez, haren modulua PM-ren distantzia izango da, hau da, PM 3 ; beraz, eskatutako distantzia PQ 3 izango da. A.3 ariketa Deribatua zein puntutan den 0 bilatuko ditugu: B (n) 4n 10n 96. Deribatuaren balioa zero izatea dakarten puntuak hauek dira: n = 1 eta n = 4. Maximoa zein den jakiteko, bigarren deribatua erabiliko dugu: B (n) 48n 10. n = 1 denean, minimo bat dago, eta n = 4 denean, maximo bat dago. Asteko irabaziak euro izango dira.