MODELAJE MATEMÁTICO Y ANÁLISIS NUMÉRICO

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1 MODELAJE MATEMÁTICO Y ANÁLISIS NUMÉRICO Departamento de Cómputo Científico y Estadística División de Ciencias Físicas y Matemáticas Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela MODELAJE MATEMÁTICO...

2 Contenido 1 Motivación 2 Definición de modelo matemático (MM) 3 Tipos de modelos 4 Ejemplos de MMs 5 Teoría del caos (TC) 6 Teoría de catástrofes (TCs) 7 Sistemas no lineales y linealización 8 El mundo del Análisis Numérico

3 Motivación...

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23 La Teoría del caos: mitos y realidades Mitos: Hay quienes esperaban que del estudio del caos se desentrañen los misterios de las grandes transformaciones sociales o de la relación de las redes neuronales y la psicología.

24 La Teoría del caos: mitos y realidades Mitos: Hay quienes esperaban que del estudio del caos se desentrañen los misterios de las grandes transformaciones sociales o de la relación de las redes neuronales y la psicología. Desencadenó formidables especulaciones sobre el significado del tiempo y del desorden en el Universo.

25 La Teoría del caos: mitos y realidades Mitos: Hay quienes esperaban que del estudio del caos se desentrañen los misterios de las grandes transformaciones sociales o de la relación de las redes neuronales y la psicología. Desencadenó formidables especulaciones sobre el significado del tiempo y del desorden en el Universo. Se le atribuyó un alcance mágico" al caos".

26 La Teoría del caos: mitos y realidades Mitos: Hay quienes esperaban que del estudio del caos se desentrañen los misterios de las grandes transformaciones sociales o de la relación de las redes neuronales y la psicología. Desencadenó formidables especulaciones sobre el significado del tiempo y del desorden en el Universo. Se le atribuyó un alcance mágico" al caos". Contrario a lo que se creyó, para los sistemas caóticos siguió siendo válido el determinismo (si bien no está de más una descripción probabilista de su comportamiento).

27 TC: mitos y realidades... Realidades: Se han formado grupos interdisciplinarios (de biólogos, físicos, matemáticos, sociólogos, economistas, computistas, etc.) para estudiar los problemas inherentes a sistemas dinámicos complejos (como líquidos turbulentos, sistemas ecológicos o modelos económicos y sociales).

28 TC: mitos y realidades... Realidades: Se han formado grupos interdisciplinarios (de biólogos, físicos, matemáticos, sociólogos, economistas, computistas, etc.) para estudiar los problemas inherentes a sistemas dinámicos complejos (como líquidos turbulentos, sistemas ecológicos o modelos económicos y sociales). Todo un vasto campo de fenómenos no lineales, con alta sensibilidad a las condiciones iniciales, no era desconocido por los grandes matemáticos del s. XIX; pero la solución de los sistemas de ecuaciones requería de cálculos numéricos tan engorrosos que los hacían nada aplicables, por lo que se tuvo que esperar a la segunda mitad del s. XX a que aparecieran las computadoras.

29 TC: mitos y realidades... Herramienta fundamental: la computadora. Sin la cual hubiera sido imposible el desarrollo de conceptos tales como: Atractores extraños Fractales Complejidad de algoritmos Avances en el estudio de procesos complejos y sistemas dinámicos etc.

30 TC: Antecedentes El Caos: Sustancia sin forma con la que el Creador modela al mundo Es común a muchos mitos de la creación la batalla entre el Orden" y el Caos" (gr.: abismo), por lo que estos dos conceptos están profundamente arraigados en la mente humana.

31 TC: Antecedentes El Caos: Sustancia sin forma con la que el Creador modela al mundo Es común a muchos mitos de la creación la batalla entre el Orden" y el Caos" (gr.: abismo), por lo que estos dos conceptos están profundamente arraigados en la mente humana. Para la humanidad primitiva, la Naturaleza" era el Caos", un ente caprichoso, sujeto a los antojos de dioses poderosos e indescifrables.

32 TC: Antecedentes El Caos: Sustancia sin forma con la que el Creador modela al mundo Es común a muchos mitos de la creación la batalla entre el Orden" y el Caos" (gr.: abismo), por lo que estos dos conceptos están profundamente arraigados en la mente humana. Para la humanidad primitiva, la Naturaleza" era el Caos", un ente caprichoso, sujeto a los antojos de dioses poderosos e indescifrables. Las cosmologías de muchas culturas imaginaron un estado inicial de Desorden" o Caos" del que surgieron las cosas y los seres.

33 TC: Antecedentes El Caos fue lo primero, y luego la Tierra" (Hesíodo, La teogonía).

34 TC: Antecedentes El Caos fue lo primero, y luego la Tierra" (Hesíodo, La teogonía). Según el mito chino de la creación: Del caos surgieron los dos principios, Yin y Yang".

35 TC: Antecedentes El Caos fue lo primero, y luego la Tierra" (Hesíodo, La teogonía). Según el mito chino de la creación: Del caos surgieron los dos principios, Yin y Yang". Según la Biblia: La Tierra estaba informe y vacía, y había oscuridad sobre la haz del abismo: y el Espíritu de Dios se cernía sobre la haz de las aguas".

36 TC: Antecedentes El Caos fue lo primero, y luego la Tierra" (Hesíodo, La teogonía). Según el mito chino de la creación: Del caos surgieron los dos principios, Yin y Yang". Según la Biblia: La Tierra estaba informe y vacía, y había oscuridad sobre la haz del abismo: y el Espíritu de Dios se cernía sobre la haz de las aguas". Pero los seres humanos necesitan descubrir un orden en la naturaleza. Lentamente, el hombre fue descubriendo comportamientos ordenados, regulares, los que aprendió a registrar, predecir y explotar.

37 TC: Antecedentes... Han pasado cinco décadas desde que se inició esta nueva línea de investigación científica. La teoría del caos es el comienzo de la tercera revolución de la física del s. XX, siendo las dos anteriores la teoría de la relatividad y la teoría cuántica" (Ford, The New Physics).

38 TC: Antecedentes... Han pasado cinco décadas desde que se inició esta nueva línea de investigación científica. La teoría del caos es el comienzo de la tercera revolución de la física del s. XX, siendo las dos anteriores la teoría de la relatividad y la teoría cuántica" (Ford, The New Physics). Quienes contribuyeron al posterior desarrollo de la TC: Escuela rusa de matemáticos y físicos: Kolmogorov, Landau, Andronov, Lyapunov y otros. Poincaré Laplace Euler

39 TC: En la actualidad... Se afianza el término complejidad, para designar el estudio de los sistemas dinámicos que se encuentran en algún punto intermedio entre el orden, en el que nada cambia, como en las estructuras cristalinas, y el estado de total desorden o caos, como el de un gas ideal en equilibrio termodinámico.

40 TC: En la actualidad... Se afianza el término complejidad, para designar el estudio de los sistemas dinámicos que se encuentran en algún punto intermedio entre el orden, en el que nada cambia, como en las estructuras cristalinas, y el estado de total desorden o caos, como el de un gas ideal en equilibrio termodinámico. Estos fenómenos se refieren a sistemas que existen en la naturaleza cuyo comportamiento va cambiando con el transcurrir del tiempo (sistemas diámicos).

41 TC: En la actualidad... Se afianza el término complejidad, para designar el estudio de los sistemas dinámicos que se encuentran en algún punto intermedio entre el orden, en el que nada cambia, como en las estructuras cristalinas, y el estado de total desorden o caos, como el de un gas ideal en equilibrio termodinámico. Estos fenómenos se refieren a sistemas que existen en la naturaleza cuyo comportamiento va cambiando con el transcurrir del tiempo (sistemas diámicos). Aparecen cuando los sistemas se hacen extremadamente sensibles a sus condiciones iniciales de posición, velocidad, etc.

42 TC: En la actualidad... Alteraciones muy pequeñas en sus causas son capaces de provocar grandes diferencias en los efectos. Luego, no es posible predecir con exactitud cómo se corportarán dichos sistemas más allá de cierto tiempo, por lo que parecen no seguir ninguna ley. De allí su aplicabilidad a diferentes ramas del saber humano.

43 TC: En la actualidad... Alteraciones muy pequeñas en sus causas son capaces de provocar grandes diferencias en los efectos. Luego, no es posible predecir con exactitud cómo se corportarán dichos sistemas más allá de cierto tiempo, por lo que parecen no seguir ninguna ley. De allí su aplicabilidad a diferentes ramas del saber humano. Los sistemas dinámicos en estas condiciones presentan pautas de regularidad colectiva aunque no sea posible distinguir el comportamiento individual de cada uno de sus componentes.

44 TC: En la actualidad... Algunos centros internacionales de alto nivel: Santa Fe Institute (Nuevo México) Center for Non-Linear Studies (Los Alamos National Laboratory) Instituto de Tecnología de Georgia Universidad de California (Berkeley) Centro de Investigaciones (Saclay, Francia) Universidad Libre de Brucelas (Bélgica) IMPA (Brasil) etc.

45 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón.

46 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón. Fluctuaciones de la bolsa de valores.

47 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón. Fluctuaciones de la bolsa de valores. Aparición de la vida sobre el planeta.

48 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón. Fluctuaciones de la bolsa de valores. Aparición de la vida sobre el planeta. Comportamiento de sistemas dinámicos (tales como la atmósfera o un líquido en estado de turbulencia).

49 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón. Fluctuaciones de la bolsa de valores. Aparición de la vida sobre el planeta. Comportamiento de sistemas dinámicos (tales como la atmósfera o un líquido en estado de turbulencia). En general, sistemas desordenados y análisis de sus propiedades específicas.

50 TC: Aplicaciones Arritmias en el funcionamiento del corazón. Fluctuaciones de la bolsa de valores. Aparición de la vida sobre el planeta. Comportamiento de sistemas dinámicos (tales como la atmósfera o un líquido en estado de turbulencia). En general, sistemas desordenados y análisis de sus propiedades específicas. etc., etc.

51 Teoría de catástrofes: Antecedentes Fue desarrollada por René Thom en los 60 s.

52 Teoría de catástrofes: Antecedentes Fue desarrollada por René Thom en los 60 s. Llegó a ser muy popular gracias al trabajo de C. Zeeman en los 70s.

53 Teoría de catástrofes: Antecedentes Fue desarrollada por René Thom en los 60 s. Llegó a ser muy popular gracias al trabajo de C. Zeeman en los 70s. Pequeños cambios en determinados parámetros de un sistema no lineal pueden producir que puntos de equilibrio aparezcan o desaparezcan, o que se sucedan cambios de atracción a repulsión y viceversa, produciéndose así cambios grandes y repentinos del comportamiento del sistema. Al ubicarnos en un espacio de parámetros multidimensional, TCs revela que tales puntos de bifurcación tienden a ser parte de estructuras geométricas (cualitativas) bien definidas.

54 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Paradigma o Teoría científica Paradigma científico:... esquema implícito dentro del cual se exponen teorías y se llevan a cabo investigaciones. En su comienzo puede ser muy limitado en alcance y aplicación, pero después, con el tiempo, determina las cuestiones científicas que se plantea." (La estructura de las revoluciones científicas, T. Kuhn)

55 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Paradigma o Teoría científica Paradigma científico:... esquema implícito dentro del cual se exponen teorías y se llevan a cabo investigaciones. En su comienzo puede ser muy limitado en alcance y aplicación, pero después, con el tiempo, determina las cuestiones científicas que se plantea." (La estructura de las revoluciones científicas, T. Kuhn) La TCs ha atraído tanta atención y ha generado tanta discusión que su alcance y aplicación parecen ser virtualmente ilimitados.

56 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Paradigma o Teoría científica Paradigma científico:... esquema implícito dentro del cual se exponen teorías y se llevan a cabo investigaciones. En su comienzo puede ser muy limitado en alcance y aplicación, pero después, con el tiempo, determina las cuestiones científicas que se plantea." (La estructura de las revoluciones científicas, T. Kuhn) La TCs ha atraído tanta atención y ha generado tanta discusión que su alcance y aplicación parecen ser virtualmente ilimitados. la TCs se considera más un paradigma que una teoría.

57 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Primer intento de estudiar matemáticamente ciertos fenómenos complejos.

58 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Primer intento de estudiar matemáticamente ciertos fenómenos complejos. Ayuda fundamental de la computadora.

59 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Primer intento de estudiar matemáticamente ciertos fenómenos complejos. Ayuda fundamental de la computadora. La teoría se complementa con el determinismo.

60 TCs: Hechos de relevancia en la Teoría Primer intento de estudiar matemáticamente ciertos fenómenos complejos. Ayuda fundamental de la computadora. La teoría se complementa con el determinismo. Thom: El carácter científico de la TCs se apoya en su coherencia matemática, que permite hacer deducciones que generan nuevas formas a partir de un conjunto de formas dadas, y permite hacer predicciones cualitativas, realizando en general una considerable reducción de la arbitrariedad".

61 TCs: Validez de la Teoría Es correcta la Teoría? En sus matemáticas, sí; enlafilosofía natural que la inspiró y las aplicaciones científicas derivadas de ella, es demasiado pronto para poderlo decir" (Catastrophe Theory, Woodcock & Davis, 1994)

62 TCs: Validez de la Teoría Es correcta la Teoría? En sus matemáticas, sí; enlafilosofía natural que la inspiró y las aplicaciones científicas derivadas de ella, es demasiado pronto para poderlo decir" (Catastrophe Theory, Woodcock & Davis, 1994) Es útil la Teoría? En las aplicaciones rigurosas sí, ya que proporcionan un vocabulario común para características de muchos procesos diferentes. No, porque cuando se usa la teoría no nos dice nada que no supiéramos ya" (idem)

63 TCs: Validez de la Teoría... Es la Teoría demasiada ambiciosa? Sí. Thom y Zeeman no deberían tener tanta confianza en que sus ideas se correspondan con la realidad." (idem)

64 TCs: Validez de la Teoría... Es la Teoría demasiada ambiciosa? Sí. Thom y Zeeman no deberían tener tanta confianza en que sus ideas se correspondan con la realidad." (idem) Sentido y sin sentido de las matemáticas Zeeman propone una catástrofe en cúspide para ilustrar la diferencia entre el sentido y el sin sentido en las matemáticas." Mientras que la mayoría de los matemáticos siguen el camino b-a, Thom dió el salto e-f-c." (idem)

65 TCs: Sentido y sin sentido de las matemáticas...

66 TCs: Catástrofe: Es cualquier transición discontinua que ocurre cuando un sistema tiene más de un estado estable, o cuando puede seguir más de un curso estable de cambio. La catástrofe es el salto" de un estado a otro.

67 TCs: Catástrofe: Es cualquier transición discontinua que ocurre cuando un sistema tiene más de un estado estable, o cuando puede seguir más de un curso estable de cambio. La catástrofe es el salto" de un estado a otro. Es una transición repentina de un estado de potencial mínimo -un estado de equilibrio estable- a otro. Por ej., consideremos una varilla de plástico que colocamos entre los dedos índice y pulgar, de manera que ésta se arquee ligeramente por compresión...

68 TCs: Catástrofe...

69 TCs: Ejemplo: Ball Cover Catastrophe Parece razonable que elementos elásticos bajo tensiones puedan comportarse de un manera catastrófica, como lo demuestran los experimentos realizados durante el proceso de diseño y construcción de una bola.

70 TCs: Ejemplo: Ball Cover Catastrophe Parece razonable que elementos elásticos bajo tensiones puedan comportarse de un manera catastrófica, como lo demuestran los experimentos realizados durante el proceso de diseño y construcción de una bola. La catástrofe elemental considerada es la cúspide. El comportamiento de cualquier sistema manejado por la cúspide es la superficie de comportamiento tridimensional...

71 TCs: Ball Cover Catastrophe...

72 Sistemas no lineales y linealización Los sistemas lineales cumplen el principio de superposición: Si la respuesta de un sistema lineal ante una entrada u 1 (t) es y 1 (t), y si su respuesta ante la entrada u 2 (t) es y 2 (t), entonces la respuesta de este sistema ante una combinación lineal de las entradas u(t) =αu 1 (t)+βu 2 (t) es la misma combinación lineal de las salidas obtenidas por separado y(t) =αy 1 (t)+βy 2 (t)".

73 Sistemas no lineales y linealización Los sistemas lineales cumplen el principio de superposición: Si la respuesta de un sistema lineal ante una entrada u 1 (t) es y 1 (t), y si su respuesta ante la entrada u 2 (t) es y 2 (t), entonces la respuesta de este sistema ante una combinación lineal de las entradas u(t) =αu 1 (t)+βu 2 (t) es la misma combinación lineal de las salidas obtenidas por separado y(t) =αy 1 (t)+βy 2 (t)". Algunas ecuaciones de un modelo pueden presentar no linealidades Por ej., y(t) =u 2 (t), y(t) = u(t), d 2 y(t) +( dy(t) ) 2 + y(t) =u(t). dt 2 dt Pero si la no linealidad no es muy marcada, y si consideramos que las variables sufrirán pequeñas variaciones entorno a un punto de funcionamiento, es posible linealizar la ecuación entorno a ese punto.

74 Sistemas no lineales y linealización Los sistemas lineales cumplen el principio de superposición: Si la respuesta de un sistema lineal ante una entrada u 1 (t) es y 1 (t), y si su respuesta ante la entrada u 2 (t) es y 2 (t), entonces la respuesta de este sistema ante una combinación lineal de las entradas u(t) =αu 1 (t)+βu 2 (t) es la misma combinación lineal de las salidas obtenidas por separado y(t) =αy 1 (t)+βy 2 (t)". Algunas ecuaciones de un modelo pueden presentar no linealidades Por ej., y(t) =u 2 (t), y(t) = u(t), d 2 y(t) +( dy(t) ) 2 + y(t) =u(t). dt 2 dt Pero si la no linealidad no es muy marcada, y si consideramos que las variables sufrirán pequeñas variaciones entorno a un punto de funcionamiento, es posible linealizar la ecuación entorno a ese punto. La linealización puede ser problemática si uno está tratando de estudiar fenómenos, tales como el caos ylairreversibilidad, que están fuertemente vinculados a la no linealidad.

75 Ejemplo: Para un sistema definido por la ecuación dx dt = F (X, t), podemos escribir el sistema linealizado como dx dt donde X 0 es el punto de interés. = J F (X 0, t).(x X 0 ),

76 Ejemplo: Para un sistema definido por la ecuación dx dt = F (X, t), podemos escribir el sistema linealizado como dx dt donde X 0 es el punto de interés. = J F (X 0, t).(x X 0 ), En el análisis de estabilidad, se pueden utilizar los autovalores de la matriz jacobiana evaluada en un punto de equilibrio para determinar la naturaleza de ese equilibrio. Si todos los autovalores son positivos, el equilibrio es inestable, si todos son negativos el equilibrio es estable, y si los valores son de signos contrarios, el equilibrio es un punto de ensilladura. Los autovalores complejos aparecen en pares conjugados e indican una espiral.

77 El mundo del Análisis Numérico...