5 Puntos/palabra 100 puntos

Transcripción

1 1er examen parcial de Estructura de la Materia RESUETO I. El siguiente texto está repleto de afirmaciones falsas. En la hoja de respuestas reemplaza las palabras resaltadas de manera que diga la verdad. Faraday fue un intenso experimentador que popularizó el uso de electrodos e investigó la disociación electrolítica de compuestos en disolución. os rayos catódicos fueron intensamente estudiados por Crookes quien determinó que estaban formados por cargas negativas. Roëntgen descubre a los rayos X como una forma de radiación oculta en los rayos catódicos. Por otra parte Millikan encuentra la carga del electrón con el experimento de la gota de aceite. Mientras tanto, Thomson descubre que los rayos catódicos están formados por partículas y propone el modelo atómico del panqué con pasas. Becquerel descubre los diferentes tipos de radiación y lo s estudia junto con Marie y Pierre Curie. as ideas sobre radiación motivan a Rutherford para efectuar el experimento del bombardeo con partículas alfa de laminillas de oro y encuentra que el átomo debe estar formado como un sistema planetario. Posteriormente, en 193, Chadwick encuentra al neutrón, el cual pesa aproximadamente lo mismo que el protón pero carece de carga eléctrica. 5 Puntos/palabra 1 puntos II. a rapidez promedio de las moléculas en un gas a cierta temperatura está dada por: v 8RT Donde R = J/K mol es la constante de los gases y Μ es la masa molecular (en kg/mol). Cuál es la longitud de onda de DeBroglie para una molécula de N a 3 K? Para longitud de onda de DeBroglie: 1 puntos 1 puntos h h h p m v m 8RT 11.8 kg mol K Js kg J molk m

2 III. En mecánica clásica el momento angular se define como: r p Mientras que en mecánica cuántica, para sistemas tridimensionales en coordenadas cartesianas, el operador posición y el operador momento lineal están dados respectivamente por: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r xi ˆ yj ˆ zk ˆ p i i ˆ j kˆ x y z Con base en lo anterior, cómo se expresa en coordenadas cartesianas el operador momento angular en mecánica cuántica? Sustituyendo los operadores cuánticos en la expresión clásica: O por componentes: 1 puntos iˆ ˆj kˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d ˆ ˆ ˆ d d ˆ ˆ ˆ d d i x y z i i y z j z x k xˆ yˆ dz dy dz dy d d d dy dz ˆ d d ˆ ˆ x i y z dz dy ˆ d d ˆ ˆ y i z x dz ˆ d d ˆ ˆ z i x y dy

3 IV. Un núcleo de 4 Pb tiene la longitud de onda asociada igual a la de un fotón con una energía de.641 ev a. A qué región del espectro electromagnético pertenece el fotón? A partir de su energía, la longitud de onda del fotón es: a cual pertenece al infrarrojo hc hc E E b. Cuál es la energía cinética del núcleo? Utilizando las relaciones de DeBroglie: m μm Js kg h K J m m ev c. Si ambos tuvieran la misma energía, Cuál sería la longitud de onda asociada al núcleo y a qué región del espectro pertenece? Si ambos tienen E = K =.641 ev, despejando la longitud de onda de la relación de DeBroglie: h mk kg Js J m.51 p m Una onda electromagnética con esta longitud pertenece a los rayos gamma. 15 puntos

4 V. Una lámpara de 1 W irradia luz con número de onda k = rad/m. El haz de dicha lámpara se expande de forma cónica a partir del foco con un ángulo de 4. Si se coloca una celda fotovoltáica a 1 m de la fuente. a. Qué área mínima necesita tener la celda de forma cuadrada para captar toda la luz que le llega? Si el haz se expande en forma cónica, el área del cuadrado debe ser tal que el radio de la base del cono sea la mitad del lado del cuadrado. Para sacar el radio de la base, hay que tomar en cuenta que el cono puede verse como un triángulo rectángulo que gira. Y el lado que nos interesa es el cateto opuesto y conocemos el cateto adyacente, entonces: r co ca tan 1 m tan º.364 m Como este radio es la mitad del lado del cuadrado, el área se expresa como: 4 A r r.53 m b. Si por cada 1 fotones que inciden sobre la celda, se desprende un electrón cuya energía de amarre es de J, cuánta corriente se obtendrá de la celda del inciso anterior? Para la corriente, usamos las relaciones: De donde la corriente queda como: En términos del número de onda: Y tomando en cuenta el factor de eficiencia: nh ne P A t t Pe A h Pe A hck Pe A 1hck

5 Sustituyendo valores: 19 1 W1.61 C rad A Js 3. 1 m s rad s A Sin embargo, la función trabajo debe decir algo, así que hay que averiguarlo. Para la diferencia de potencial: V h e En términos del número de onda: 1 hck V e Js3.1 m s1.481 rad m J C rad Js3.1 m s1.481 rad m J C rad J C 1.5 V J Como la diferencia de potencial es negativa, implica que la lámpara no emite luz suficientemente energética como para producir efecto fotoeléctrico. Por lo tanto no se obtiene corriente eléctrica. 15 puntos

6 VI. Un electrón en un átomo monoelectrónico que describe una órbita de Bohr de Å de perímetro se relaja a una órbita menos energética emitiendo un fotón con frecuencia angular ω = rad/s. a rapidez del electrón en la segunda órbita es de m/s. a. Calcula los números de las órbitas de Bohr entre los que ocurrió la transición e identifica al elemento. Se tienen los datos para usar las ecuaciones de: Rapidez de la segunda órbita: Radio de la primera órbita: Ze v 4 n 4 n r m Ze 1 e Fórmula espectroscópica de Rydberg: 1 1 v Z R n 1 n Como este es un proceso de emisión, n 1 es mayor a n lo cual no es admitible en la fórmula de Rydberg, por lo que se intercambian los subíndices y despejando n 1 y n, ya corregidas, de las dos primeras fórmulas: Sustituyendo en la fórmula espectroscópica: Ze n n mezr 1 4 v e Reemplazando la constante de Rydberg: v Z R 4 v 4 Ze meze r v Z m e 16 v 4 4 e h c Z e meze r mee 4 v 1 Z 8 hc Ze mer mv e Ze hc 8 hcr Y con la frecuencia espacial en términos de la frecuencia angular: mv e Ze c hc 8 hcr

7 Despejando el número atómico: Z m v h 4 hr e e Y tomando en cuenta que el dato con el que se cuenta es perímetro: Sustituyendo valores: r m C kg m s Js s Hz Hz Y con este valor de Z: C m N Js m rad s Z Z C kg m n C m N m s Js n C Js C m N 34 1 Por lo tanto, la transición ocurre entre las órbitas 5 y del átomo de Ne rad b. Qué principio de la física cuántica moderna dice que el planteamiento de este problema no tiene sentido y por qué? El principio de indeterminación de Heisenberg, ya que no se puede conocer posición y cantidad de movimiento al mismo tiempo, lo cual no se está tomando en cuenta al usar como datos el radio de la órbita y la rapidez tangencial. 15 puntos

8 VII. Se tiene un cuerpo con masa m y cantidad de movimiento p, y un fotón a. Si la longitud de onda asociada al cuerpo es igual que la del fotón, Cómo se escribe el cociente E/K (energía del fotón entre energía cinética del cuerpo) en términos de las variables y constantes de que dependen. Para la energía del fotón: Para la cinética del cuerpo: Al dividirlas: hc E h K m E hc h K m 1 mc h b. Si la energía del fotón y la energía cinética del cuerpo son iguales, cómo se escribe el cociente de sus longitudes de onda en términos de las variables y constantes de que dependen? Para la longitud de onda del fotón: Para la longitud de onda del cuerpo: fotón hc E cuerpo h Em Al dividirlas: fotón cuerpo 1 hc h c Em c E Em E m E 15 puntos

9 VIII. os alvéolos son finos sacos de aire de los pulmones que tienen un diámetro promedio de m. Cuál es la incertidumbre en la rapidez de una molécula de O que queda atrapada en uno de esos sacos? Despejando al momento de la expresión para el principio de indeterminación: p x Expresando en términos de rapidez y masa: v mx Y si se considera que la incertidumbre en la posición viene dada por el tamaño del alveolo: Js v kg 5. 1 m m s 1 puntos

10 IX. as funciones de onda para la caja de potencial unidimensional son de la forma: n x n sen x a. Escribe las funciones de onda con los números cuánticos: 1 y. Sustituyendo los números cuánticos requeridos se tiene: 1 x x sin x sin x b. Verifica que ψ 1 (x) y ψ (x) satisfacen la ecuación de Schrödinger. El hamiltoniano para la caja de potencial es: Hˆ d m Y se debe de cumplir que: Hˆ E n n n Sustituyendo la primera función: d d sin m m 1 x x d cos x m sin x m 1 m Por lo tanto ψ 1 (x) sí satisface la ecuación de Schrödinger. x

11 Sustituyendo la segunda función: d d m m x sin x d cos x m 4 sin x m m Por lo tanto ψ (x) sí satisface la ecuación de Schrödinger. x c. Verifica que ψ 1 (x) y ψ (x) son ortogonales y que están normalizadas. Para verificar ortogonalidad: x x sin x sin x 1 Como la integral da cero, las funciones son ortogonales. Para verificar normalización: sin x sin x

12 1 sin x x sin sin 1 x x sin 1 Ambas integrales dan la unidad por lo que las funciones están normalizadas. x x d. Obtén las matrices de para el operador momento, ; posición,, y para el hamiltoniano,. Para el operador momento: d p11 sin x i sin x i sin x cos x Por hermiticidad: d p1 sin x i sin x 4 i sin xcos x 4 sin cos 8i 3 i x x 8i p1 3

13 Y por último: d p sin x i sin x i sin x cos x Por lo tanto: 8i 1 pˆ 3 1 Para el operador posición: x11 sin x x sin x xsin x Por hermiticidad: Y por último: x1 sin x x sin x xsin x sin x 16 9 x x sin x x sin x xsin x

14 Por lo tanto: ˆx Y el hamiltoniano es la matriz diagonal de energías, así que: Hˆ 1 m 4 e. Para el estado basal (n = 1) determina la incertidumbre en p, la incertidumbre en x y comprueba que se cumple el principio de indeterminación de Heisenberg. Para la incertidumbre en la posición se necesita: x sin x x sin x x sin 6 Por lo que para la incertidumbre se tiene: 3 x x x x x 3

15 Para el momento: d p sin x i sin x sin d x sin x d sin x sin x d sin x cos x sin 3 x Por lo que la incertidumbre queda: p p p p Y su producto: 6 xp Se cumple la desigualdad y por lo tanto el principio de indeterminación. 5 puntos