GORPUTZ ZURRUNAREN ZINETIKA

Transcripción

1 ..T.ko 1. aila: EKANKA 16. GAA: DNAKA GORPUTZ ZURRUNAREN ZNETKA Saila: NGENARTZA EKANKOA, ENERGETKOA ETA ATERALENA

2 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Aurkibidea Sarrera 16.. ugiendu lauaren ekuazioak nertzi oentuak eta biderkadurak nertzi oentua Biraketa-erradioa Steinerren teorea nertzi biderkadura nertzi oentu nagusiak Gorputz zurrunean translazioa, biraketa eta edozein ugiendu lau Translazioa Biraketa ardatz finkoaren inguruan Edozein ugiendu lau - -

3 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA 16.1 Sarrera Gorputz zurruna puntu aterialen ultzoa denez, aurreko kapituluan garatutako harreanak erabili ahal izango ditugu. Orduan puntu aterialen sisteari zegokion ugiendua aztertu genuen. Kapitulu honetan askotan aplikatuko da hurrengo ekuazioa: R ag Ekuazio horrek kanpotik aplikatutako indarren R ondoriozkoa eta sistearen G asa- -zentroaren a G azelerazioa erlazionatzen ditu. Kasurik orokorrenean kanpoko indar-sistearen ondoriozkoa G Z-tik pasatzen den R ondoriozko indarra da eta C oentu-parea du. Horretan gorputzak biraketa eta translazioa izango du. Newtonen legeak bakarrik puntu aterial baten ugienduari (translazioari) aplika dakizkioke eta ez dira egokiak gorputz zurrunen ugiendua deskribatzeko, ugienduan translazioa eta biraketa sartzen direnean. ldo horri jarraiki, ekuazio osagarriak behar dira kanpoko indarren oentuak eta gorputzaren ugiendu angeluarra erlazionatzeko

4 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA 16. ugiendu lauaren ekuazioak Ondoren Newtonen legeak hedatuko dira gorputz zurrunaren ugiendu laua zehazteko. ldo horri jarraiki, gorputzaren ugiendu azeleratu lineala eta angeluarra eta hauek sortzen dituzten oentuak eta indarrak erlazionatzeko ekuazioak eskuratuko dira.aipatu ekuazioak honakoak zehazteko erabil daitezke: 1.- Aldiuneko azelerazioak, horiek indar eta oentu ezagunek sortzen badituzte, edo.- Aldez aurretik zehaztutako ugiendua sortzeko indarrak eta oentuak. Aurreko kapituluan puntu aterialen sisteari zegokionez, asa-zentroaren ugiendu-printzipioa garatu zen. Gorputz zurruna puntu aterialen ultzotzat jo daitekeenez, betiere elkarren arteko distantziak aldatu gabe, gorputz zurrunean G Zren ugiendua zehazteko hurrengo ekuazioa erabiliko da: R a kuspegi eskalarretik: G F R ag Fy Ry agy Fz Rz agz Aurreko ekuazioa indarrak batuz lortu zen, beraz, zuzen euskarriaren kokapenez ez dago inforaziorik

5 ..T.ren aila: EKANKA Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila Gorputz zurrun gehienen egiazko ugienduan R ondoriozkoak sortutako translazioa eta zuzen euskarria G Z-tik pasatzen ez denean sortutako indarrari dagokion oentuaren biraketa gainjartzen dira. BRAKETAREN ANALSA: Kontuan har dezagun gorputz zurrun arbitrarioa, hain zuzen ere, irudian adierazitakoa. XYZ koordenatuen sistea finkoa dago espazioan. yz koordenatuen sistea gorputzarekiko solidarioa da A puntuan. A puntuarekiko d asako eleentuaren desplazaendua zehazteko ρ bektorea erabili behar da eta XYZ koordenatu-sistearen O jatorriarekiko R bektoreak adierazten du. XYZ sistearen O jatorriarekiko A puntuaren desplazaendua r bektoreak adierazten du

6 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Kanpoko eta barneko indarren ondoriozkoak d asa-eleentuaren gainean honako hauek dira: F eta f, hurrenez hurren. Honela, F eta f indarren oentua A puntuarekiko hau da: Newtonen. legearen arabera: Beraz: d F ρ ( F + f ) d A ρ ( F + f ) + f d a d R && ρ A ( d) ugiendu lauan gorputz zurrunaren a d azelerazioa hurrengo oduan idatz daiteke: a + & d a A a d d [ ] ( ω ρ ) + ω ( ω ρ ) Ordezkatuz eta integratuz, honakoa lortuko dugu: A { [ ] } d [ ρ ( ω ρ )] d ρ ω ( ω ) ( ρ aa) d + & + ρ - 6 -

7 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Gorputz zurrunaren ugiendu lauan gorputzaren eleentu guztiak plano paraleloetan ugitzen dira eta ugienduaren planoa deritza G Z duen plano paraleloari. rudiaren arabera, abiadura angeluarra eta azelerazio angeluarra bektoreak elkarren artean paraleloak izango dira eta ugiendu- -planoarekiko elkarzutak. yz koordenatuen sistean ugiendua y planoarekiko paraleloa bada, honakoa izango dugu: a Az ω ω α z z ω ω 0 & ω α z y y planoan ugiendua aztertuz gero, A adierazpenaren terino desberdinak A puntua ugienduaren planoan kokatuta dagoenean, ondoren garatzen dira: - 7 -

8 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA i 0 j 0 y k α yα i+ α j z i j 0 0 k ω yω i+ ω j y z A { [ ] } d ( ρ a ) d [ ( )] A + ρ & ω ρ d ρ ω ( ω ) + ρ i j k a A a y Ay z 0 z a Ay i+ z a A j+ ( a y a )k Ay A i 0 yω j 0 ω k ω ω 0 i yω j - 8 -

9 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila A..T.ren aila: EKANKA { [ ] } d ( ρ a ) d [ ( )] A + ρ & ω ρ d ρ ω ( ω ) + ρ z a A Ay i+ z a Ay A i+ j+ zα i y zα j+ + j+ ( a y a )k Az Ay A k A Ay Az ( y ) α k a a a A Ay Ay z d α d a y zω i z ω j z d α y z d + ω A z d + ω y d + α ( + y ) y z d z d d - 9 -

10 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Lehenengo oentuak d y d z d y z Aurreko garapenean agertzen diren integralak honako hauek dira: z d y z d Az Ayz ( + y ) d Az nertzi biderkadurak nertzi oentua y planoan ugiendu laua izanik eta G Z-tik (eta A puntutik) pasata, denez, honakoa dugu: A α Az + ω Ayz Ay Az α a Ay Ayz + ω a A z Az 0 y + α Az

11 ..T.ren aila: EKANKA A Ay Az α α a Ay Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila Ekuazioen sisteak gorputz zurrunaren gainean egiten diren kanpoko indarren oentuak eta abiadura angeluarrak eta gorputzaren inertzi propietateak erlazionatzen ditu. Az Ayz a + ω + ω A Ayz Az y + α ndarren oentuak eta inertzi oentuak eta biderkadurak A puntutik pasatzen diren yz ardatzekiko dira eta gorputzean finkoak daude. Gorputzean finkoak ez baleude, inertzi oentuak eta biderkadurak denboraren funtzioak izango dira. Ekuazioei erreparatuz, baliteke A eta Ay oentuak behar izatea z ardatzaren inguruan ugiendu laua antentzeko. ugiendu lauari buruzko dinaikako ariketa gehienetan aurreko ekuazioak sinplifika daitezke. Az

12 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Kasu bereziak: A.- ugiendu planoarekiko gorputza sietrikoa denean, inertzi biderkadurak baliogabetu egiten dira ( Ayz Az 0), beraz, aurreko ekuazioak honela gelditzen dira: A Ay Az 0 0 a Ay a A y +α B.- ugiendu-planoarekiko gorputza sietrikoa izateaz gain, yz koordenatuen sistearen jatorria ( y 0) gorputzaren G Z-n hartuz gero, aurreko ekuazioak honakoetara urrizten dira: A Ay Az 0 0 α Gz Az - 1 -

13 ..T.ren aila: EKANKA Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila 16.3 nertzi oentuak eta biderkadurak Gorputz zurrunaren ugienduari buruzko aurreko azterketan, zenbait adierazpenetan eleentu tikiaren asa eta zuzen interesgarriarekiko distantziaren karratua biderkatu behar dira. Biderkadurari eleentuaren inertzi oentua deritza nertzi oentua ldo horri jarraiki, d asako eleentu baten d inertzi oentua OO ardatzarekiko honakoa da: d r d Gorputz osoaren inertzi oentua OO ardatzarekiko honakoa da: r d Betiere positiboa izango da: batetik, asa eta, bestetik, ardatzarekiko distantziaren karratua betiere positiboak dira eta L dientsioak dituenez, S-n neurketa-unitatea kg. izango da

14 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Gorputzaren inertzi oentuak yz sistearen koordenatu-ardatzekiko zehatz daitezke irudiko asa-eleentua kontuan hartuta. ldo horri jarraiki: d r d ( y + z )d y eta z ardatzen kasuan, antzeko ekuazioak idatz daitezke eta honela geldituko lirateke: r d ( y + z ) d y r y d ( + z ) d z r z d ( + y )d

15 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Gorputz konposatuen inertzi oentuak Askotan gorputz interesgarri bat zenbait fora bakunetan deskonposa daiteke, hala nola zilindroetan, esferatan, afletan eta hagetan. Horien kasuan aldez aurretik kalkulatu eta taulan jarri dira inertzi oentuak. kusi hurrengo taulak. Edozein ardatzarekiko gorputz konposatuaren inertzi oentua ardatzarekiko osatzen duten zati desberdinen inertzi oentuen batura da. Adibidez, 1 ( y + z ) ( ) ( y + z d + y + z ) d ( y + z ) 1 + r d n Zatiren bat zuloa denean, zati handienetik zuloaren inertzi oentuari kendu beharko zaio inertzi oentua gorputz konposatuaren inertzi oentua lortzeko. d n d

16 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Biraketa-erradioa nertzi oentua (asaren dientsioak eta luzeraren karratua biderkatzen dituenez) hurrengo oduan adieraz daiteke: gorputzaren asa eta k luzeraren karratuaren biderkadura bezala. k-ri Biraketa-erradioa deritza. ldo horri jarraiki, gorputzaren inertzi oentua zuzen zehatzarekiko hurrengo oduan adieraz daiteke: k hau da k Edozein ardatzarekiko gorputzaren asari dagokion biraketa-erradioa honela interpreta daiteke: puntu baten ardatzarekiko distantzia. Bertan kontzentratu beharko litzateke gorputzaren asa osoa egiazko asak ardatzarekiko duen inertzi oentu berdina izateko. Biraketa-erradioari buruzko interpretazio fisiko erabilgarririk ez dago; asaren eta luzeraren arabera, gorputz-asaren inertzi oentua adierazteko bitarteko koenigarria besterik ez da

17 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA nertzi oentuarentzat Steinerren teorea rudiko gorputza kontuan hartuz gero, G asa- -zentroan yz koordenatu-sistearen jatorria hartzen da. Halaber, y z koordenatu-sistea kontuan hartu behar da eta jatorria O puntuan izango du. Ardatzak aurrekoekiko paraleloak izango dira. rudian ikus daitekeenez: + y y + y z z + eta ardatzak bereizten dituen d distantzia honakoa da: d y + z Honela, gorputzaren inertzi oentua ardatzarekiko, asa-zentrotik pasatzen den ardatzarekiko paraleloa dena, haue da: z r d garatuz

18 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA r d [( ) ( ) ] y + y + z + z d ( ) y z d y d y yd + z d z + zd Orain, ( ) G y + z d denez, eta y eta z ardatzak gorputzaren G asa-zentrotik pasatzen direnez, y d 0 z d 0 Beraz, ( ) G + y + z G + d ( z ) y yg + + yg + d y ( y ) d z zg zg z Steinerren Teorea inertzi oentuentzat

19 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ldo horri jarraiki, asa-zentrotik pasatzen den ardatza batekiko gorputzaren inertzi oentua ezagutuz gero, horrekiko paraleloa den beste edozein ardatzekiko inertzi oentua aurkitu ahal izango da, integratu gabe eta aurreko ekuazioak erabiliz. Bi ardatz paralelo hauekiko biraketa-erradioen artean antzeko erlazioa ezar daiteke: k kg + d Beraz, k k G + d k y k yg + d y k z k zg + d z Laukian sartutako bi ekuazio-sisteak baliagarriak dira yz ardatzetatik bestelako ardatz paraleloetara pasatzeko edo alderantziz, yz ardatzak asa-zentrotik pasatzen badira. Ez dira baliagarriak ardatz paralelo arbitrarioentzat!

20 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA nertzi biderkadura Gorputz zurrunen ugienduak aztertzean, batzuetan, adierazpenetan honakoak biderkatzen dira: batetik, eleentu tiki baten asa eta, bestetik, koordenatu-plano pare ortogonalekiko eleentuaren distantzia. Eleentuaren inertzi biderkadura da. Adibidez, irudian adierazitako eleentuaren inertzi biderkadura z eta yz planoekiko honakoa da: d y y d Gorputzaren asa-eleentu guztien inertzi biderkaduren batura plano ortogonal berdinekiko gorputzaren inertzi biderkadura bezala definitzen da. y y d - 0 -

21 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ldo horri jarraiki, irudikatutako gorputzaren hiru inertzi biderkadurak honako hauek dira: y y d yz y z d z z d nertzi oentuek bezala, inertzi biderkadurek L dientsioak dituzte, beraz, neurketa-unitatea S-n kg. da. Gorputzaren inertzi biderkadura positiboa, negatiboa edo nulua izan daiteke, koordenatuek ikur independenteak baitituzte. nertzi biderkadura nulua izango da plano bat edo bestea sietri planoa denean, eleentu sietrikoen pare batek sietri planoarekiko kontrako inertzi biderkadurak izango baitituzte eta batura zero izango da. Xafla eheekρdentsitate eta t lodiera uniforea badute, sekzioa A areakoa bada eta, gainera, eta y ardatzak aflaren plano erdian badaude (sietri planoa), inertzi biderkadurak honakoak izango dira: y yz y d V y ρ dv y z d 0 eta z d 0 A y z ρ t da ρ t V y da ρ t y A - 1 -

22 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA nertzi biderkaduren kasuan Steinerren teorea gara daiteke. Hori gainazaleko bigarren oentu istoen oso antzekoa da eta arestian aztertu dugu. rudian arraztutako gorputza kontuan hartuta, yz koordenatuen sistea du eta jatorria gorputzaren G asa-zentroan agertzen da. Halaber, y z koordenatu-sistea ikus daiteke eta jatorria O puntuan du. Ardatzak aurrekoekiko paraleloak dira. rudian honakoa ikus daiteke: + y y + y z z + Beraz, y z ( + )( y + y) d y d + y d + y d y d + honakoa dugu: y d yg ; y d 0 ; z d 0 denez, y yg + y y z yzg + y z z zg + y d z - -

23 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Zenbaitetan gorputzen analisi dinaikoetan ardatz nagusiak eta gehieneko eta gutieneko inertzi oentuak zehaztu behar dira. Halakoetan arazoa hurrengoan datza: koordenatu-sistea jakin batekiko erraz kalkula daitezkeen inertzi oentuak eta biderkadurak, gero y z sistearekiko kalkulatzea, jatorria O berdina izanik, baina yz ardatzekiko akurtuta. rudiko gorputza kontuan hartuz gero, ardatzak θ, θ y eta θ z angeluak eratzen ditu, y eta z ardatzekin, hurrenez hurren. inertzi oentua definizioz honakoa da: nertzi oentu nagusiak Garatuz eta ardatz nagusiak kokatu nahiz gehieneko eta gutieneko gainazaleko bigarren oentuak zehazteko erabilitako analisi bera erabiliz, inertzi ardatz nagusiak aurki daitezke eta gehieneko eta gutieneko inertzi oentuak zehaztu. r d - 3 -

24 ..T.ren aila: EKANKA Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila 16.4 Gorputz zurrunaren translazioa, biraketa eta edozein ugiendu lau ugiendu lauaren ariketak izaeraren arabera sailka daitezke: 1.- Translazioa..- Biraketa ardatz finkoaren inguruan. 3.- Edozein ugiendu lau. Lehenengo bi kasuak edozein ugiendu lauren berezitasunak dira. Gorputzaren kasuan, odu arbitrarioan, edozein ugiendu lauren ekuazioak hurrengo oduan zehazten dira: F a A α Az + ω Ayz Translazioa F F y a 0 y Ay Az α a Ay Ayz a + ω A Az y + α Az Biraketa - 4 -

25 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Translazioa Gorputz zurrunak translazioko ugiendua du ugienduan zehar gorputzaren tarte lerrozuzen orok hasierako posizioarekiko paraleloa antentzen denean. Translazioan ez dago ugiendu angeluarrik (ω α 0); beraz, gorputzaren zati guztiek a azelerazio lineal berdina dute. Translazioa bakarrik honakoetan gerta daiteke: kanpoko indarren ondoriozko zuzen euskarria G Z-tik pasatzen denean. Translazioaren kasuan, yz koordenatuen sisteak jatorria gorputzaren G Z-n badu ( y 0), edozein ugiendu laurako ekuazioak honakoak dira: F F y Gz a a 0 G Gy - 5 -

26 ..T.ren aila: EKANKA Gorputzaren Z izenekoak kurba laua jarraitzen duenean (. irudian ikus daiteke), koenigarria da eta y ardatzak azelerazioari dagokion aldiuneko osagai noral eta tangentzialaren norabideetan hartzea. Kanpoko indarren oentuak puntu batekiko batzen badira eta puntu hori Z ez bada, oentuen ekuazioa aldatu beharko da a G eta a Gy osagaien efektuak kontuan hartzeko. ldo horri jarraiki, Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila 1. irudiko gorputza translazioaz ugitzen denean, a G azelerazioarekiko ardatz paraleloa har dezakegu eta azelerazioaren a Gy osagaia nulua izango da. F F y Az a a a G Gy Gy a G y - 6 -

27 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA - 7 -

28 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA 16.. ARKETA - 8 -

29 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA - 9 -

30 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Biraketa ardatz finko baten inguruan ugiendu lau hau gorputzaren eleentu guztiek ardatz finkoaren inguruan ibilbide zirkularrak deskribatzen dituztenean gertatzen da. rudia ugiendu-planoarekiko gorputz zurrun sietrikoa da ( Gz 0) Gyz eta ardatz finkoaren inguruan biratzen du. Ardatza gorputzaren G Z-tik pasatzen da ( y 0) Kasu honetan a G 0; beraz, edozein ugiendu lauren kasuan ekuazioak honako hauek dira: F a G 0 F y a Gy 0 Gz Gz α

31 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Sarritan gorputzaren Z-tik pasatzen ez diren ardatz finkoen inguruan biraketak agertzen dira. rudian ugiendu-planoarekiko gorputz zurrun Gz 0 sietrikoa ikus daiteke. ( ) F F y a a G Gy ω α Gyz eta ardatz finkoaren inguruan biratzen du, baina ez da gorputzaren G Z-tik pasatzen Kasu honetan a A 0; beraz, edozein ugiendu lauren kasuan ekuazioak honako hauek dira: Az Gz + a Gz Gy + Az Az α ( Fy ) + ( F ) y Gz + agy + { Gz α + ( α ) ( + ) α α Gz Az ya 0 G

32 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA - 3 -

33 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA bis

34 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA

35 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA

36 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Edozein ugiendu lau rudian pistoia eta bolantea lotuta daude AB bielaren bidez eta ugiendu lauaren hiru fora adierazten dira: 1.- Bolantearen biraketa ardatz finkoaren inguruan..- Pistoiaren translazio lerrozuzena. 3.- AB bielaren edozein ugiendu lau Bolanteak θ angelua biratzen duenean, A kabilak s A R θ distantzia ibiltzen du bide zirkularrean zehar. B kabilaren ugiendua honakoak gainjarriz lortzen dela kontuan har daiteke: bielaren translazio lerrozuzena eta A kabilaren inguruan bielaren biraketa. Bi desplazaendu horien ondorioz, B kabilak s B distantzia egiten du ibilbide horizontalean zehar. ldo horri jarraiki, AB bielaren ugiendu lauan translazioa eta ardatz finkoaren inguruan biraketa gainjartzen dira

37 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA Bielaren Analisi Zinetikoa: Bi aukera ditugu: A.- Koordenatuen jatorria A kabilan jartzen bada eta eta y ardatzak bielaren ardatzaren arabera eta horrekiko elkarzut ( y 0) orientatuak badaude, hurrenez hurren, ugiendu lauaren ekuazio orokorrak honako hauek izango dira: F F y a a G Gy Az a Ay + B.- Koordenatu-sistearen jatorria bielaren G Z-n kokatuz gero, ekuazioak honako hauek dira: F F y a a G Gy Gz Gz α Az α

38 ..T.ren aila: EKANKA 1. adibidea: disko trinkoa ardatzaren gainean untatuta. Diskoaren ardatzarekin θ angelua eratzen du. yz koordenatuen sistean jatorria diskoaren G Z-rekin bat badator: z planoa sietri planoa da. y Gyz G Honakoa izango dugu: F F F y 0, 0 eta a 0 a a 0 G Gy 0 0 A Ay Az Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila Gorputza ugiendu-planoarekiko sietrikoa ez denean, kontu handiz aplikatuko ditugu ekuazioak eta behar bezala urriztu beharko ditugu gorputzarekiko yz koordenatu-sistea solidarioa hautatuz. α ω α Gz denez, Gz Gz

39 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ugiendu-planoarekiko sietrikoak ez diren gorputzen analisiarekin jarraiki, beste adibide bat dugu:. adibidea: afla triangeluarra, lodiera uniforearekin,biratzen ari den ardatz zirkularrarekiko solidarioa. yz koordenatusistean, A jatorria ardatz zirkularraren ardatzean duena z planoa sietri planoa da. y Ayz A 0, 0 y a honakoa izango dugu: F F F y a a 0 G Gy 0 ω α denez, A Ay Az α ω α Az Az Az

40 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA

41 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA bis

42 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA - 4 -

43 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA

44 Departaento de ngeniería ecánica, Energética y de ateriales ngeniaritza ekanikoa, Energetikoa eta aterialeen Saila..T.ren aila: EKANKA ARKETA