Proporcionar los conocimientos fundamentales

Transcripción

1 Objetivo general: Proporcionar los conocimientos fundamentales Algebra Lineal Ecuaciones Diferenciales Ordinarias que dan las bases sólidas para que le permita desarrollar modelar y abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática entre otras. 1

2 Algebra Lineal Ecuaciones Diferenciales Transformada Laplace 2

3 La teoría cualitativa y cuantitativa de de ecuaciones diferenciales Astronomía y programación lineal Robótica Video juegos Los conceptos y métodos del álgebra lineal han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas áreas del conocimiento de la Matemática, entre las que podemos mencionar : La teoría económica. Teoría de redes La teoría de códigos y Criptografía Algebra Lineal 3

4 Saber descifrar códigos el cálculo de la órbita de un asteroide como saber la distribución de cosecha Problemas tan amplios como: Encontrar la estabilidad estructural de un edificio en ingeniería civil Definir el presupuesto de un país Algebra Lineal 4

5 No es exagerado afirmar que sus ideas y resultados aparecen en casi todo desarrollo humano. Modernamente, las matrices, como los polinomios o las series de potencias formales, bien pueden considerarse como arreglos de datos de algún tipo dado (Sylvester), donde el algebra que se establezca sobre éstas determina la manera en que éstos datos pueden combinarse para generar nueva información (Cayley). La formulación de un problema concreto en términos del algebra lineal ha sido, y sin duda lo seguirá siendo, uno de los métodos más efectivos para hallar su solución. Herramientas tales como el determinante, las formas canónicas y las transformaciones lineales, entre muchas otras, contribuyen decisivamente a facilitar esta labor. Algebra Lineal 5

6 Un ejemplo concreto de una tal situación ha llegado hasta nuestros días en una de las famosas tablillas de Croquetta, que datan del último período sumerio hacia el año 2100 a.c., es el siguiente problema: Existen dos campos cuyas áreas suman 1800 yardas cuadradas. Uno produce granos en razón de 2/3 de saco por yarda cuadrada, mientras que el otro produce granos en razón de 1/2 saco por yarda cuadrada. Si la producción total es de 1100 sacos, cuál es el tamaño de cada campo?" Algebra Lineal 6

7 El álgebra lineal tuvo un fuerte impulso gracias al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, tal como señalamos, y más recientemente, con los sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. En ambos contextos subyacen los importantes conceptos de vector y espacio vectorial. A finales del siglo XVII fueron redescubiertas y desarrolladas las ideas originales de los babilonios, y principalmente de los chinos, sobre el pensamiento lineal. Y tiene su auge con el desarrollo de las computadoras a finales de lo s años 50 del siglo XX. Algebra Lineal 7

8 Robótica Video juegos La teoría control Astronomía y programación lineal Los conceptos y métodos del Ecuaciones diferenciales han contribuido decisivamente al desarrollo de muchas áreas del conocimiento de la Matemática, entre las que podemos mencionar : La teoría económica. Teoría de redes La teoría mecánica de fluidos 8

9 qué tienen en común La propagación de una enfermedad, la dinámica entre la oferta y la demanda en un sistema económico La interacción entre seres en una isla La carrera armamentista entre naciones? La respuesta es que cada una de esta áreas de investigación se puede modelar con ecuaciones diferenciales respecto al tiempo que nos apoyan a representar matemáticamente el comportamiento de éstos procesos. 9

10 Las palabras claves en el curso son: El cambio, el flujo el movimiento, en particular de la rapidez a la que las variaciones tienen lugar. Cada ser experimenta cambios las mareas fluctúan durante el día, los países aumentan o disminuyen sus reservas de armas, el precio de la gasolina baja y sube. En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. 10

11 En este curso se trata de cómo predecir el futuro. Para lograrlo disponemos del conocimiento de cómo son las cosas y cuáles son Las reglas que gobiernan los cambios que ocurrirán. Del cálculo sabemos que el cambio es medido por la derivada Y usarla para describir cómo se modifica una cantidad es de lo que tratan las ecuaciones diferenciales. 11

12 Existen tres tipos de técnicas para efectuar esas predicciones a saber: Las técnicas analíticas, las cuales implican encontrar fórmulas para los valores futuros de la cantidad. Los métodos cualitativos, que se apoyan en la gráfica de la cantidad como función del tiempo y en la descripción de su comportamiento a largo plazo. Las técnicas numéricas requieren que efectuemos cálculos aritméticos ( o la computadora) que den aproximaciones de los valores futuros de la cantidad. En este curso abordaremos dos de estas técnicas: las analíticas, cualitativas y las numéricas. 12

13 Historia de las Ecuaciones Diferenciales %C3%B3n_diferencial os_matem%c3%a1ticos Resultados Otros 13

14 Historia El origen de la dinámica y de las ecuaciones diferenciales se remontan a los trabajos de Newton ( ) y Leibniz ( ) basados en el desarrollo de la nueva parte de las matemáticas: el cálculo A Newton le preocupaban las leyes que gobiernan el movimiento, le interesaba la rapidez del cambio Sin embargo no debe de pensarse que solo los problemas de física se abordan en ecuaciones diferenciales. El mismo tipo de ecuaciones y de análisis de los sistemas dinámicos se pueden utilizar para abordar problemas en otras áreas. 14

15 El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por modelo general de comportamiento dinámico lineal: 15

16 resultados Por ejemplo cuando se desea diseñar un sistema de control automático, se requiere Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la Ecuación Diferencial que describe su comportamiento, utilizando para ello las leyes físicas, químicas y/o eléctricas. A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador. 16

17 resultados Modelación de Sistemas Dinámicos utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) Sistema Físico u(t) Función forzante -Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos) - Sistema Hidráulico (llenado o vaciado de un tanque) - Sistema térmico (temperatura en un horno u otro objeto) -Sistema Eléctrico (velocidad de motores, corriente ) - Sistema Fisiológico (efecto de una dosis de medicamento en el cuerpo ) - Sistema Económico ( inflación) - Sistema de producción (producción entre máquinas) -Sistemas sociales ( población ) Sistema (Físico) a modelar Relación causal y(t) Respuesta del sistema

18 resultados Para construir una ecuación diferencial, podemos utilizar: Leyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés. Pruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida). Por analogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente. Para después mediante la Aplicación de algoritmos y recursos computacionales procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales y ver si el modelo explica la situación.

19 resultados Sistemas físico: Temperatura en un horno Flujo de Combustible : q i (t) Horno Temperatura: T(t) horno Relación causal Temperatura Flujo de gas

20 resultados Sistema Físico:Llenado de un tanque p(t): señal que regula el caudal hacia el tanque. Caudal de entrada q i (t) Tanque Relación causal Nivel: h(t); Caudal de Salida, q o (t) q i (t): Caudal de entrada h(t): altura del tanque q o (t): Caudal de salida R h : resistencia Hidráulica A: área del tanque

21 resultados Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c. 2 d y(t) 2 dt u(t) Función forzante Sistema (Físico) a modelar La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una función forzante u(t) está definida por la ecuación diferencial; y(0)= 2; y (0) = 0 d 2 y( t) dy( t) y( t) 2 d dt = t u( t) dy(t) -3t y(t) = Sen10t dt e u(t): Comportamiento deseado y(t) Respuesta del sistema

22 resultados Función forzante: u(t) Fun ción es calón de magnitud 1.5; Función Senoidal multiplicada por una exponencial e -3t u(t) = Sen10t

23 resultados Las herramientas matemáticas como: Cálculo diferencial e integral permite predecir la magnitud, si admite antiderivada. Si no admite antiderivada se cuenta con análisis cualitativo utilizando conceptos de cálculo vectorial para encontrar la predicción en un punto. Otra forma es utilizar análisis numérico.. 23

24 Resultados Por ejemplo : 1. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad 2. Las transformadas de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas, una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa. La herramienta de la transformada de Laplace, permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples, cobra su mayor ventaja el utilizarla cuando la entrada en el modelo lineal es seccionada 24

25 El convertir las reglas que gobiernan la evolución de una cantidad en una ecuación diferencial se llama modelación, nuestra meta es emplear la ecuación diferencial Para predecir el valor futuro de la cantidad que se esta modelando. 25

26 La presente gráfica intenta aclarar las relación entre: Solucion General, Condiciones iniciales, Solución particular; El valor de c adecuado 26

27 Considere la ED: y' = - x y En ella se representa 1.Por las lineas verdes toda la familia de funciones: y = c e -x2/2 a cual es la solución general de la ED 2.La linea roja representa una solución particular. 3.Las condiciones iniciales están definidas por el punto y están como título de la 4.gráfica. 4.El valor de c que corresponde a la curva de la solución general aparece en el título. 27

28 Conceptos- Teoría Herramientas analíticas Transformada de Laplace Herramientas Tecnología 28

29 Resultados Por ejemplo : 1. Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad 2. Las transformada s de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas, una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa. 29

30 Sugerencia Utiliza el paquete MAPLE para graficar el campo vectorial mediante la subrutina with(detools); Problema La ecuación diferencial Modela la población de cierta especie en donde p(t) es la población (en miles) de cierta especie en el instante t Bosqueja el campo de direcciones En base al campo de direcciones contesta: Si la población inicial es 3000 Qué puede decir se acerca de la población Si p(0)=1.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande? Si p(0)=.5, cuál es la población Cuándo el tiempo es muy grande? Puede una población de 900 crecer hasta 1100? Resultados 30

31 Resultados Ejemplo: La ecuación dy dx = x2 + y 2 nos dice que a lo largo de la curva x 2 + y 2 = 1, las curvas solución de la ecuación tienen pendiente 1, es decir, cruzan la circunferencia de radio 1 con un ángulo de

32 Resultados 2. Las transformada s de Laplace, permite transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas, una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa. 32

33 otros La transformada de Laplace posee propiedades que facilitan la solución de Ecuaciones Dierenciales 33

34 La Transformada de LAPLACE (TL) es una herramienta matemática que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio de La teoría de control La teoría de Comunicación La teoría Computacional 34

35 La importancia de la herramienta radica en que permite reducir Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Ecuaciones Algebraicas lineales. 35

36 resultados Ley de Newton Ley de Kircchof Sistemas Mecánicos y eléctricos d 2 x F = mx = m dt 2 V = E(t) d 2 x dx m + β + kx = dt 2 dt f ( t) d 2 q dq L + β + kq = E( t) dt 2 dt

37 resultados m f(t) Fuerza de entrada x(t) k b Desplazamiento, salida del sistema F = ma f ( t) kx( t) b dx( t) dt = m d 2 x( t) dt 2

38 Suspensión de un automóvil dx( t) d 2 x( t) f ( t) kx( t) b = m dt dt 2 Aplicando la transformada de Laplace a (considerando condiciones inicialesigual F( s) F( s) X ( s) F( s) kx ( s) bsx ( s) = = = X ( s) ms bs k ms bs + k ms 2 X ( s) cada a término cero) Función de transferencia 38

39 MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico e i ( t) = L di( t) dt + Ri( t) + 1 C i( t) dt 1 C i( t) dt = e o ( t)

40 Resultados Otra forma es utilizar análisis numérico. 40

41 Ejemplo de solución de una ecuación Diferencial de 1er Orden, a partir de una condición inicial dada, por el Método de Runge - Kutta para encontrar una curva solución dy y = = 2 xy ; y = dx ( 1) 1 Yn x n + 1 = x n + h 1 y n + 1 = y n k1 = h f ( x n, y n ) h k k, 1 2 = h f xn + y n h k k, 2 3 = h f xn + y n k4 = h f ( xn + h, yn + k3 ) ( k + 2k + 2k + k ) Yn 41

42 La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo Alan Kay 42