P vs NP. Frank Vega Delgado 1

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1 P vs NP Frank Vega Delgado 1 Abstract: The relationship between the complexity classes and is a question that has not been answered by the theory of computation. The existence of a language in that is not in, is sufficient evidence to prove that doesn t equal. If a language is not recursive it can not belong to the complexity class, hence it is proved that if a language is in and is not recursive then this also implies that doesn t equal. A problem with this feature it s shown in this paper if we assume the hypothesis =. That s why it can confirm by reduction ad absurdum the opposite: is unequal to. The new problem, discovered when we formulated this hypothesis, is to find a possible input given an algorithm (which resolve a problem of ) and an output. This can be solved by a Turing s machine, its complement doesn t. 1 Introducción La pregunta =? ha motivado el desarrollo en el campo de la lógica matemática y de la tecnología electrónica durante la mitad del siglo XX y comienzo del XXI. Es considerado en este momento como unos de los problemas más importantes en la Matemática y la Ciencia de la Computación. En la primera mitad del siglo XX se trabajó en formalizar el conocimiento sobre los algoritmos, usando el modelo teórico descrito por las máquinas de Turing y se encontraron ciertos problemas que no eran algorítmicamente solucionables. Por esa fecha surgieron las primeras computadoras y los matemáticos intentaron modelar las capacidades y limitaciones de tales dispositivos, germinando precisamente lo que hoy se conoce como la Ciencia de la Complejidad Computacional. Desde temprano las computadoras agilizaron muchas tareas que el hombre no podía hacer, pero en ocasiones se encontraban problemas difíciles y lentos de resolver por las más veloces computadoras de la época. La única manera de evitar tales demoras era encontrar un método de evadir la búsqueda exhaustiva que venía acompañada de la fuerza bruta. La pregunta =? consiste en saber si existe algún método de impedir esta demora existente. Si los problemas que se pueden verificar rápidamente tuvieran una solución rápida, entonces se podría prescindir en múltiples casos de la ineficiente fuerza bruta. Esta pregunta ha atraído la atención considerable de los especialistas y del mundo en general. 1 Licenciado en Ciencia de la Computación, Ciudad de la Habana, Cuba. 1

2 Church y Turing en su trabajo de Entschiedungsproblem mostraron la existencia de problemas sin solución algorítmica e importantes herramientas que lo prueban. En este artículo se intenta dar respuesta a esta interrogante usando esas mismas herramientas que hoy en día se siguen empleando dentro de la Teoría de la Computabilidad y en la Complejidad Computacional. 2 Definiciones básicas La tesis formulada por Alan Turing y Alonzo Church, de forma independiente a mediados del siglo XX, prueba matemáticamente que para cualquier programa de computadora es posible crear una máquina de Turing equivalente. Eso implica que las máquinas de Turing realmente capturan la noción de lo que es un algoritmo o un procedimiento efectivo llevado a cabo por un humano o por una máquina. Una máquina de Turing posee un conjunto finito de estados donde es el estado inicial y un conjunto finito de símbolos que se le llama el alfabeto de. El alfabeto contiene símbolos especiales como el símbolo inicial. El funcionamiento de una máquina de Turing se basa en una función de transición, que recibe el estado inicial con una cadena de caracteres pertenecientes al alfabeto. Luego se va leyendo las celdas de una o varias cintas donde se encuentran ubicadas las cadenas de caracteres formadas por los símbolos del alfabeto, comenzando con la entrada (la inicial). Al mismo tiempo se borran y escriben en cada paso esos símbolos para finalmente avanzar a la izquierda, a la derecha o permanecer en el mismo lugar (por cada celda a la vez), repitiendo esto según se indique en la función de transición. Por último, se detiene en un estado final que puede ser de aceptación "sí" o de rechazo " ", terminando con una cadena de salida. A la función de transición se le conoce también como el programa de la máquina de Turing y se representa como un trío (, ) =(,, ) por cada estado actual y símbolo actual del alfabeto, con como próximo estado, el símbolo que sobrescribe a y {,, } sería la dirección en la que se mueve el cursor. Cuando existe más de una cinta, sigue decidiendo el próximo estado pero puede sobrescribir símbolos diferentes y moverse en diferentes direcciones sobre cada cinta. Se definen las operaciones realizadas por una máquina de Turing usando una configuración que contiene una completa descripción del estado actual en que se encuentra la máquina. Una configuración es un trío (,, ) donde es el estado actual y, son cadenas sobre el alfabeto que muestran a la cadena a la izquierda del cursor (incluyendo al símbolo escaneado) y a la cadena a la derecha del cursor respectivamente, durante cualquier instante en el que se transite por ; en ocasiones cuando se encuentra vacía alguna de estas cadenas se pone el símbolo. La definición de configuración se puede extender a múltiples cintas utilizando sus respectivos cursores. 2

3 Las cadenas de entrada de un algoritmo definen a un lenguaje. Existen distintos tipos de lenguaje clasificados según su comportamiento en las máquinas de Turing. Ejemplo de ello es el lenguaje recursivo, un tipo de lenguaje formal que también es llamado decidible o Turing-decidible, que se caracteriza porque existe una máquina de Turing que decide al lenguaje (acepta cualquier palabra del lenguaje o de lo contrario rechaza). En caso de que nunca termine en vez de rechazar la palabra se dice que el lenguaje es recursivamente enumerable. Existe una máquina de Turing capaz de simular el comportamiento de otras máquinas de Turing para una determinada entrada y se le nombra como máquina universal de Turing. Realizando una codificación de las máquinas de Turing se puede construir el alfabeto que utiliza esta máquina universal. Alan Turing descubrió por primera vez un problema que era recursivamente enumerable pero no era recursivo, le llamó HALTING (el problema de parada) y es el lenguaje que contiene a todas las máquinas de Turing con entrada codificadas según la máquina universal tal que llega a parar con. Las máquinas de Turing se dividen en dos importantes categorías según la cantidad de posibles ejecuciones en cada paso de su programa. Si en los pasos de una máquina de Turing existe a lo sumo una posibilidad de ejecución, se dice que es una máquina de Turing determinista, mientras que en el caso de que exista más de una posible combinación de actuaciones se trata de una máquina de Turing no determinista. Las máquinas de Turing pueden computar sus cadenas de entrada en una cantidad de pasos constante o en una proporción que dependa del tamaño de la entrada. Un lenguaje es decidido en tiempo polinómico, si existe alguna máquina de Turing que decide a en una cantidad de pasos acotado por la función ( ) =, en la cual es el tamaño de la entrada y N (esto es equivalente a decir que la máquina de Turing decide al lenguaje en un orden ( )). Las máquinas de Turing deterministas y no deterministas, junto con el tiempo de corrida polinómico, caracterizan a dos principales clases de complejidades: las clases y. Una clase de complejidad es un conjunto de lenguajes agrupados por diferentes medidas de complejidad como el tiempo de corrida, la memoria utilizada, etc. La clase es el conjunto de lenguajes que representan a los problemas rápidos de resolver por una computadora. De ahí que tenga tanta importancia dentro de la Ciencia de la Computación. Esta clase está relacionada intrínsecamente con las máquinas de Turing deterministas y también con el tiempo de corrida polinómico en que se ejecutan esas máquinas de Turing para los lenguajes de. La clase al contrario de la clase, resulta difícil encontrarle una solución veloz para muchos de los lenguajes que contiene y se define por aquellos que son decididos por alguna máquina de Turing no determinista en tiempo polinómico. También se puede definir a la clase de 3

4 complejidad como los lenguajes que pueden ser verificados rápidamente por una máquina de Turing determinista. A la cadena que permite la verificación de forma rápida se le conoce con el nombre de certificado y su tamaño es polinómico con relación a la entrada. Ha existido una interrogante que no ha encontrado respuesta dentro de la comunidad científica hasta ahora, y es el hecho de saber si se pueden resolver rápidamente los problemas que son fácilmente verificables. Se intenta resolver más adelante esa interrogante usando los conocimientos descritos en este capítulo, definiendo por hipótesis que =, para luego deducir todo lo contrario a través de la regla por reducción al absurdo. También se define un conjunto de máquinas de Turing capaces de ejecutar rápidamente a los problemas de la clase de complejidad, si esa hipótesis fuera cierta. Luego se expone un problema que permite deducir que la hipótesis inicial era incorrecta y que precisamente. 3 Hipótesis y máquinas de Turing Certificadas Se define la siguiente hipótesis: =. En base a esta hipótesis se llegará a una contradicción, demostrándose por reducción al absurdo lo contrario que es precisamente el resultado que persigue este documento:. Se empieza definiendo un conjunto de maquinas de Turing deterministas que deciden polinómicamente a los lenguajes de la clase. Definición 3.1: Una máquina de Turing Certificada cumple: es una máquina de Turing de -cintas que a) es determinista y decide en tiempo polinómico a un lenguaje. b) El estado inicial de se usa solamente para leer el símbolo de comienzo de cada cinta y avanzar de este modo hacia otros estados en la función de transición de. c), de las -cintas, posee una cinta para la entrada y otra para la salida que serán la primera y última respectivamente. d) Cuando acepte la cadena de entrada, se dice que ( ) =" í" y su configuración final será ( í,,,,,,,,, ), es decir, que en todas las cintas se encuentra el cursor posicionado en el símbolo de comienzo y a excepción de la cinta de salida, todas las demás quedan vacías (esta aseveración no toma en cuenta al símbolo de comienzo). En la cinta de salida se finaliza poniéndose la cadena que es el certificado para la cadena. e) El tamaño del certificado en siempre será mayor o igual que el de la cadena de entrada, o sea. 4

5 El conjunto de las máquinas de Turing Certificadas se representa abreviadamente conjunto se plantea lo siguiente:. De este Proposición 3.1: Para cualquier máquina de Turing de -cintas que decide en tiempo polinómico a un lenguaje, existe otra máquina de Turing de ( +2)-cintas con cintas de entrada y salida que simula a con el mismo orden y. La máquinas y coinciden en el inciso a) de la definición de debido a la propia descripción que se hizo de en la proposición y que se tomará como premisa. Se asume que el inciso b) se puede resolver adicionando de antemano un nuevo estado inicial en. Para los incisos restantes de la definición de se va a utilizar la siguiente demostración constructiva: La máquina de Turing comienza copiando la entrada contenida en la primera cinta sobre la segunda y luego simula las cintas de en las enumeradas desde la 2 hasta la ( +1). Cuando termina, vacía todas las cintas que simulaban a después de copiar la cadena de salida de en la cinta ( +2) y luego regresa todos los cursores hacia el símbolo de comienzo de cada cinta. Si se detiene aceptando, entonces su cadena de salida será el certificado de la entrada. En ese caso, si el certificado de es más pequeño que la entrada, se rellena con ceros en la cinta de salida de hasta que ambas cadenas tengan el mismo tamaño (no se modifica la cadena de salida si es mayor o se rechaza). Después en se borra la cinta de entrada y se finaliza en un estado correspondiente con el que terminó (de aceptación o de rechazo). La cadena de salida producida cuando termina aceptando será el certificado para la cadena de entrada, ya que sigue siendo de tamaño polinómico con relación a la entrada y además puede ser verificada en tiempo polinómico a través de la misma máquina de Turing Certificada. Las máquinas de Turing que decidan en tiempo polinómico a los lenguajes en podrán garantizar la ejecución rápida de esa clase de complejidad, por consiguiente, las máquinas de Turing Certificadas cumplen esa misma función a pesar de contener estas particularidades en su definición. 4 El lenguaje CERTIFICANDO Se define un problema llamado CERTIFICANDO de la siguiente manera: Dada una máquina de Turing Certificada y {0,1}, existe {0,1} tal que ( ) =" í" en orden ( ), con la cadena de salida? 2 2 Se tomó el exponente 3 arbitrariamente, pero en principio podría ser mayor. 5

6 Definición 4.1: CERTIFICANDO (abreviadamente ) es un lenguaje sobre el alfabeto de la máquina universal de Turing definido como: ={ ; :, ( ) ="sí" en orden ( ) } El lenguaje demuestra que precisamente la cadena {0,1} es salida de alguna cadena cuando, ejecutándose en una máquina de Turing Certificada con un orden ( ). De esta definición se deduce una importante proposición: Proposición 4.1: El lenguaje pertenece a la clase. Dada cualquier instancia de este lenguaje ( ; ), esta puede ser verificada polinómicamente una vez hallada {0,1}, simplemente evaluando en y comprobando que el orden no sobrepasa a ( ) y la salida coincide con. Como se definió que en las máquinas de Turing Certificadas y el orden a lo sumo es ( ), se concluye que el tamaño del certificado de es polinómico en relación con su entrada, pues < < ; >. Para demostrar que el problema CERTIFICANDO tiene solución en una computadora es necesario que al menos sea aceptado por alguna máquina de Turing. Proposición 4.2: es recursivamente enumerable. Se necesita diseñar una máquina de Turing que acepte a. Para ello se construye para cualquier máquina de Turing de -cintas donde, otra máquina de Turing de 2 -cintas que cumpla que: - El alfabeto de es el mismo que el de. - Se construye los estados y el programa de a partir de la función de transición y los estados de. Si se tiene que (,,,, ) =,,,,,,, entonces para todos los estados de en que (,,,, ) = (,,,,,,, ), se adiciona en el siguiente paso utilizando y : (,,,,,,,, ) =,,,,,,,,,,,,,, donde se cumpla que ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) ( = ) deba ser verdadero para 1 y =. En el caso 6

7 particular en que = se debe aplicar la modificación en solo si (,,, ) (,,, ). - El estado inicial en se remplaza por el estado final í de, mientras que el estado de rechazo de se mantiene igual en. - El estado de aceptación í de se convierte en el estado inicial en y para cualquier estado que aparezca relacionado con el estado de aceptación de usado en de esta manera (,,,, ) =( í,,,,,,, ), se construye en lo siguiente: (,,,, )=(,,,,,,,,,,,,,, ) donde = y =. - La máquina de Turing ubica su entrada en la -ésima cinta y su salida en la primera cinta. Se deducen varios corolarios a partir de la definición anterior que describen algunas particularidades de esta máquina de Turing. Corolario 4.1: Si no acepta la entrada entonces nunca termina. A través de la construcción de se aprecia que es imposible alcanzar el estado de rechazo desde el estado inicial de. Corolario 4.2: puede ser no determinista. Es suficiente con que en la función de transición de se llegue al estado de aceptación a través de al menos otros dos para que deje de ser una función. La cualidad más relevante de esta máquina de Turing es la que se presenta a continuación: Proposición 4.3: Si es una máquina de Turing de -cintas donde y se cumple que ( ) =" í" con el certificado, entonces ( ) =" í" y su cadena de salida será. En la construcción de sobre se logra que en todos los estados, excepto los estados de parada y el de inicio, se cambien aquellos símbolos que se leen en las cintas por los símbolos que sobrescriben a estos durante los pasos en la función de transición de y viceversa. Se puede además comprobar que es prácticamente un espejo de y transita al revés por los estados de hacia los antecesores que aparecen en la función de transición, cambiando así, la dirección en el movimiento de las -cintas de simulándola hacia atrás. Esto es posible porque las cintas +1 hasta la 2 de permiten que se respete la correspondencia con la secuencia de pasos del programa de, pero en modo inverso. 7

8 Como empieza con la salida de en su cinta de entrada se pudiera alcanzar, dirigiéndose en reverso por los estados de, la configuración ( í,,,,,,,,, ), que prácticamente coincide con la configuración inicial de 3. Por lo tanto se puede concluir que el lenguaje es recursivamente enumerable, pues para cualquier y {0,1}, existe una máquina de Turing que se construye a partir de y si acepta a, entonces se demuestra que (, ). 5 CERTIFICANDO y la clase P Este capítulo comienza con la siguiente pregunta: Pertenece el lenguaje a la clase? La no recursividad del problema CERTIFICANDO podría ser tomado como punto de partida para responder a esta pregunta. Teorema 5.1: El lenguaje no es recursivo. Si se supone que exista una máquina de Turing que decida al lenguaje y se toma a la máquina universal de Turing que acepta al lenguaje HALTING 4 (abreviadamente ), entonces esquemáticamente se puede definir a la máquina de Turing como: (, ) (, ) ="sí" ( ) (, ) Con esta solución se concluye que la recursividad de mediante implicaría de cierta manera que decida también al lenguaje, lo cual resulta imposible dada la naturaleza de este lenguaje 5. El resultado anterior determina al siguiente teorema a modo de conclusión: Teorema 5.2:. Se demostró que, sin embargo no es recursivo, propiedad que cumplen todos los lenguajes que pertenecen a por ser decididos por máquinas de Turing deterministas. Por lo tanto se ha llegado a una contradicción con respecto a la hipótesis inicialmente planteada, por ende, es razonable concluir con la siguiente respuesta:. 3 Exceptuando que tiene -cintas de más y que el estado inicial de se remplazó por el estado í en. 4 El problema de parada descrito por Alan Turing. 5 El lenguaje no es recursivo. 8

9 Bibliografía - Christos H. P. (1994). Computational Complexity. Sand Diego: Addison-Wesley. - Thomas H. C., Charles E. L., Ronald L. R. y Clifford S. (2001). Introduction to Algorithms (2da ed.). Massachusetts: MIT Press. - Michael R. G. y David S. J. (1979). Computers and Intractability. A Guide to the Theory of NP-Completeness. Bell Telephone Laboratories. - Harry R. L. y Christos H. P. (1998). Elements of the Theory of Computation (2da ed.). New Jersey: Prentice-Hall. - Michael S. The History and Status of the P versus NP Question. Massachusetts. 9