Fundamentos de la Computación TC4001

Transcripción

1 Fundamentos de la Computación TC4001 Centro de Manufactura / Centro de Sistema Inteligentes ITESM TC p. 1/11

2 Hasta ahora se han abordado problemas que en su mayoría pueden resolverse en tiempo polinomial. Clase P Clase NP TC p. 2/11

3 Hasta ahora se han abordado problemas que en su mayoría pueden resolverse en tiempo polinomial. Sin embargo, hay problemas, como el de encontrar en un grafo un ciclo de Hamilton, en el cual la única solución en apariencia es resolverlos en forma casi exhaustiva. Clase P Clase NP TC p. 2/11

4 Hasta ahora se han abordado problemas que en su mayoría pueden resolverse en tiempo polinomial. Sin embargo, hay problemas, como el de encontrar en un grafo un ciclo de Hamilton, en el cual la única solución en apariencia es resolverlos en forma casi exhaustiva. En el caso del ciclo de Hamilton da una complejidad factorial. Clase P Clase NP TC p. 2/11

5 Hasta ahora se han abordado problemas que en su mayoría pueden resolverse en tiempo polinomial. Sin embargo, hay problemas, como el de encontrar en un grafo un ciclo de Hamilton, en el cual la única solución en apariencia es resolverlos en forma casi exhaustiva. En el caso del ciclo de Hamilton da una complejidad factorial. Lejos de intentar encontrar un algoritmo polinomial para el problema específico o para los problemas que vengan, se ha optado por una postura más radical: Clase P Clase NP TC p. 2/11

6 Hasta ahora se han abordado problemas que en su mayoría pueden resolverse en tiempo polinomial. Sin embargo, hay problemas, como el de encontrar en un grafo un ciclo de Hamilton, en el cual la única solución en apariencia es resolverlos en forma casi exhaustiva. En el caso del ciclo de Hamilton da una complejidad factorial. Lejos de intentar encontrar un algoritmo polinomial para el problema específico o para los problemas que vengan, se ha optado por una postura más radical: pensar en lo que se podrá alguna vez llegar a hacer en lugar de lo que ahora se puede hacer. Clase P Clase NP TC p. 2/11

7 Agenda Clase P Definir el concepto de problema de decisión y contrastarlo contra el problema de optimización (cuando hay lugar). Clase P Clase NP TC p. 3/11

8 Agenda Clase P Definir el concepto de problema de decisión y contrastarlo contra el problema de optimización (cuando hay lugar). Mostrar algunos ejemplos: Coloreo de Grafos Calendarización de trabajos Empacamiento Subconjuntos Satisfactibilidad Agente viajero Clase P Clase NP TC p. 3/11

9 Agenda Clase P Definir el concepto de problema de decisión y contrastarlo contra el problema de optimización (cuando hay lugar). Mostrar algunos ejemplos: Coloreo de Grafos Calendarización de trabajos Empacamiento Subconjuntos Satisfactibilidad Agente viajero Clase P Clase NP Definición de la clase P TC p. 3/11

10 Agenda Clase NP Contrastrar entre resolver y verificar. Clase P Clase NP TC p. 4/11

11 Agenda Clase NP Contrastrar entre resolver y verificar. Algoritmo no determinista. Clase P Clase NP TC p. 4/11

12 Agenda Clase NP Contrastrar entre resolver y verificar. Algoritmo no determinista. Ejemplo Clase P Clase NP TC p. 4/11

13 Agenda Clase NP Contrastrar entre resolver y verificar. Algoritmo no determinista. Ejemplo Definición de la clase NP Clase P Clase NP TC p. 4/11

14 Agenda Clase NP Contrastrar entre resolver y verificar. Algoritmo no determinista. Ejemplo Definición de la clase NP P NP Clase P Clase NP TC p. 4/11

15 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Clase P Clase NP TC p. 5/11

16 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Clase P Clase NP TC p. 5/11

17 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Teorema de Cook: El problema de la satisfactibilidad es NP-Completo Clase P Clase NP TC p. 5/11

18 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Teorema de Cook: El problema de la satisfactibilidad es NP-Completo Clase P Clase NP TC p. 5/11

19 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Teorema de Cook: El problema de la satisfactibilidad es NP-Completo Lista de Karp Clase P Clase NP TC p. 5/11

20 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Teorema de Cook: El problema de la satisfactibilidad es NP-Completo Lista de Karp Clase P Clase NP Teorema: Si un problema NP-Completo cualquiera está en P, entonces P = NP. TC p. 5/11

21 El concepto de reducción polinómica y reducibilidad Definición de problema NP-Completo y de NP-Hard. Teorema de Cook: El problema de la satisfactibilidad es NP-Completo Lista de Karp Clase P Clase NP Teorema: Si un problema NP-Completo cualquiera está en P, entonces P = NP. Conjetura del millón de dolares: P = NP. TC p. 5/11

22 Enfoque: La solución exacta a un problema de optimización es para fines prácticos inalcanzable en un tiempo razonable, pero una solución aproximada y rápida tiene sentido en el problema y tiene un valor práctico. Clase P Clase NP TC p. 6/11

23 Enfoque: La solución exacta a un problema de optimización es para fines prácticos inalcanzable en un tiempo razonable, pero una solución aproximada y rápida tiene sentido en el problema y tiene un valor práctico. El concepto de Heurísticas de solución. Clase P Clase NP TC p. 6/11

24 Enfoque: La solución exacta a un problema de optimización es para fines prácticos inalcanzable en un tiempo razonable, pero una solución aproximada y rápida tiene sentido en el problema y tiene un valor práctico. El concepto de Heurísticas de solución. Clase P Clase NP Heurísticas ejemplo para: TSP Apareamiento mínimo TC p. 6/11

25 Enfoque: La solución exacta a un problema de optimización es para fines prácticos inalcanzable en un tiempo razonable, pero una solución aproximada y rápida tiene sentido en el problema y tiene un valor práctico. El concepto de Heurísticas de solución. Clase P Clase NP Heurísticas ejemplo para: TSP Apareamiento mínimo Garantía de calidad de una heurística TC p. 6/11

26 Clásicas La clase P fue introducida por Alan Cobham en: Cobham A: The intrinsic computational difficulty of functions. In Proceedings of the Congress for Logic, Methodology, and the Philosophy of Science, pages North-Holland Clase P Clase NP TC p. 7/11

27 La clase P también fue independientemente definida por Jack Edmonds que también introdujo la definición de NP y conjeturó que P NP. Edmonds, J: Paths, trees, and Flowers. Canadian Journal of Mathematics. 17: , Clase P Clase NP TC p. 8/11

28 El concepto de problema NP- Completo fue introducida por Stephen Arthur Cook (Turing Award 1982) dió la demostración de que el problema de satisfactibilidad de expresiones 3-CNF era NP-Completo. Clase P Clase NP Cook, S: The complexity of the theorem proving procedures. Proceedings of the Third Annual ACM Symposium on Theory of Computing. pages TC p. 9/11

29 Richard Manning Karp (Turing Award 1985) introdujo una metodología para reducción de problemas a otros y demostró una variedad de problemas en: Karp, R: Reducibility among combinatorial problems. Complexity of Computer Computations, pages Plenum Press, Clase P Clase NP TC p. 10/11

30 Manindra Agrawal was born in May 1966, and since 2001 he has been a full professor at the Indian Institute of Technology in Kanpur, India. For some years he has been interested in finding a polynomial time algorithm to test whether a given number is prime. Although random algorithms can solve this problem with high certainty in polynomial time, it remained a longstanding challenge to find a method that works in every case. To the great surprise of the experts, Agrawal solved this problem in August 2002, working together with two undergraduate students: Neeraj Kayal and Nitin Saxena. Their proof establishes the correctness of a conjecture made in 1999 by Agrawal and Biswas. Clase P Clase NP TC p. 11/11