Algoritmo Cuántico de Búsqueda Paralelo

Transcripción

1 Marcos Barreto Add your company slogan

2 Agenda 1 Complejidad y el Problema 3 SAT 2 Computación Cuántica 3 Algoritmo de Shenvi 4 Algoritmo de Shenvi con vecindad 5 Algoritmo de Shenvi paralelo híbrido 6 Resultados y Conclusiones

3 Complejidad Algorítmica Clases de complejidad Se caracterizan a los problemas por el tiempo necesario para resolverlos Clase P Clase de complejidad de los problemas resolubles en tiempo polinomial Clase NP Clase de complejidad de los problemas no resolubles en tiempo polinomial, pero para los cuales la verificación de una solución puede realizarse en tiempo polinomial. Clase NP Completo P NP? Subconjunto de los problemas NP tal que todo problema NP se puede reducir a uno NP Completo en orden polinomial. Es la principal conjetura de la informática teórica

4 El Problema 3 SAT K SAT Dado un conjunto {x1,..., Xn} de variables que pueden tomar el valor booleano 0 o 1 y un conjunto de cláusulas {C1,..., Cm} donde cada cláusula es la diyunción de un conjunto de K literales o negación de literales Para K=3, la siguiente cláusula sería válida C1 = X1 ν X2 ν X4 El problema consiste en encontrar un conjunto de valores para las variables xi tal que haga verdadera simultaneámente a todas las cláusulas. Siendo la fórmula F = C1 AND AND Cm, el problema de K SAT consiste en encontrar una distribución de variables tal que F evalue verdadero.

5 El Problema 3 SAT Perteneciente a la clase de complejidad NP Completo Interesante por ser NP Completo ya que de resolverlo eficientemente implícitamente se estarían resolviendo todos los problemas NP eficientemente. Mejor algoritmo que lo resuelve Algoritmo de Schöning O(1.33^N) Realiza un sorteo aleatoreo y de no ser solución realiza una búsqueda local. En caso de no encontrar solución salta a otro lugar en el espacio de soluciones.

6 Bit : Unidad básica clásica Posibles valores: 0 o 1 Computación Cuántica Qubit : Unidad básica cuántica Sea { 0>, 1>} una base ortonormal, un ket ψ> queda definido por ψ>= α 0> + β 1>, tal que α²+ β²=1. α y β son amplitudes del estado cuántico y su cuadrado es la probabilidad que al realizar una medida sobre el estado cuántico, obtener el correspondiente estado de la base. ψ> puede ser a una superposición de estados clásicos! Contra intuitivo Los humanos tenemos percepción macroscópica del mundo Los efectos cuánticos ocurren a nivel microscópico

7 Computación Cuántica Motivación Un sistema de N qubits se representa en espacio lineal de dimensión 2ⁿ. Clásicamente esta operación se debe realizar sobre los 2ⁿ estados Cuánticamente esta operación se realiza simultáneamente sobre las 2ⁿ dimensiones. Motivación Utilizar el paralelismo instrínseco proporcionado por la mecánica cuántica para crear un algoritmo cuántico mas eficiente que el mejor algoritmo clásico para resolver el 3SAT.

8 Algoritmo de Shenvi Caminata Clásica Proceso de Markov en donde cada desición es estocástica En un espacio de dimensión 2, el caminante tira una moneda y se mueve a la izquierda o derecha Restricciones de búsqueda espacial: en cada paso o se tira la moneda o se mueve a una posición vecina. Caminata Cuántica (Quantum Walk) Proceso reversible Se sustituye la moneda por un estado cuántico que determina las probabilidades de moverse en diferentes direcciones. En espacio de dimensión 2 En cada paso se mueve simultáneamente hacia la izquierda y derecha ya que la moneda es una superposición de cara y número

9 Algoritmo de Shenvi Algoritmo de Shenvi Busca un elemento en una base de datos no ordenada de dimensión N=2ⁿ, con restricciones de búsqueda espacial en el plano Cuadráticamente mas rápido que su contraparte clásica En O( N) pasos se obtiene el estado buscado con probabilidad 1/2. La técnica utilizada se llama amplificación de amplitud y amplifica la probabilidad de que al medir el estado cuántico el mismo colapse al estado marcado Algoritmo: Preparar una superposición uniforme en posición y moneda Aplicar un quantum walk U' modificado (π/2) N veces Medir el estado del quantum walk

10 Algoritmo de Shenvi Paralelización del algoritmo Problema No se cuenta con computadoras cuánticas con lo cual se necesita simular el algoritmo cuántico en una computadora clásica.

11 Algoritmo de Shenvi Paralelización del algoritmo Problema Costo de simulación No se cuenta con con computadoras cuánticas cuánticas con lo cual con se lo cual se necesita simular el algoritmo cuántico en clásica. una computadora clásica. necesita simular el algoritmo cuántico en una computadora La mecánica cuántica tiene un paralelismo intrínsico que clásicamente no existe y debe ejecutarse secuencialmente, con lo cual una simulación siempre tiene un costo exponencial

12 Algoritmo de Shenvi Paralelización del algoritmo Problema No se cuenta con computadoras cuánticas con lo cual se necesita simular el algoritmo cuántico en una computadora clásica. Costo de simulación La mecánica cuántica tiene un paralelismo intrínsico que clásicamente no existe y debe ejecutarse secuencialmente, con lo cual una simulación siempre tiene un costo exponencial Solución Utilizar técnicas de programación paralela para optimizar la ejecución de un algoritmo cuántico.

13 Algoritmo de Shenvi Resultado Experimental El algoritmo de Shenvi amplifica la amplitud del estado marcado, con alta probabilidad se obtiene el estado buscado

14 Algoritmo de Shenvi Resultado Experimental de tiempo de ejecución Resultado comparativo de aplicar paralelización con memoria no distribuida en la sección de codigo de la simulación cuántica Número Tiempo (segundos) Tiempo (segundos) Speedup (T_1 / T_8) Variables 1 nodo (T_1) 8 nodos(t_8) hrs min hrs hrs hrs hrs 4

15 Algoritmo de Shenvi Resultado Experimental de tiempo de ejecución

16 Mejor algoritmo Clásico Algoritmo de Shenvi Con vecindad El algoritmo de Schöning realiza un sorteo de un elemento al azar y luego una búsqueda local de 3n pasos, de no encontrar solución salta a otro lugar en el espacio de soluciones. Idea: Aplicar Shenvi a localmente a una vecindad Definir la vecindad como un subconjunto de cubits y aplicar Shenvi a los mismos, realizando una búsqueda por el elemento buscado. Aplicar la idea de Schöning de búsqueda local.

17 Algoritmo de Shenvi Con vecindad Algoritmo: Sortear un elemento x al azar Sortear una vecindad al azar desde q_init a q_fin Verificar que dicha solución parcial pueda generar soluciones factibles * Aplicar Shenvi desde q_init a q_fin El algoritmo va a evaluar si un estado es marcado globalmente. Relizar una medida del estado cuántico y con probabilidad ½ se obtiene el estado marcado si el mismo pertenece a dicha vecindad Si el estado resultado no es el buscado, apliar nuevamente el algoritmo.

18 IDEA: Algoritmo de Shenvi Con vecindad Paralelo con memoria distribuida Paralelizar el algoritmo cuántico para obtener mayores beneficios de ejecutar en un cluster de computadores. Comunicación: Master Slave El master envia datos a los esclavos para que ejecuten en algoritmo Shenvi con vecindad para diferentes vecindades Si un esclavo encuentra una solución inmediatamente se lo comunica al Master, éste finaliza la ejecución en los esclavos y el algoritmo finaliza. Si el Master encuentra solución, éste finaliza a todos los esclavos y el algoritmo finaliza. Slave1 Master Slave3 Slave2

19 Resultados y Conclusiones Algoritmo de Shenvi con vecindad es más eficiente que la aplicación del algoritmo de Shenvi al problema El costo computacional de la simulación es menor pues se aplica la simulación a una menor cantidad de cubits Cuanto menor es la vecindad, menor el tiempo de ejecución pues el costo computacional mas grande es de la simulación cuántica. Dificil desagregar el costo del algoritmo del costo de la simulación cuántica.

20 Resultados y Conclusiones El algoritmo paralelo híbrido fue probado con 2 y 3 máquinas, cada uno de ellos ejecutando con 8 nucleos Para vecindades muy pequeñas, el algoritmo paralelo pasa mas tiempo enviando datos y recibiendo que realizando cuentas debido a que el costo de simular el algoritmo con pocos cubits es pequeño. A medida que se incrementa la vecindad (mayor a 10 cubits) el speedup crece Para 3 núcleos llego a obtener un speedup mayor a 5 para instancias de prueba de 23 variables con vecindades de 16 Para instancias de prueba chicas, (menor a 18 variables) el speedup no llega a 2 Para vecindades menores a 10, el speedup es menor a 0.

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