PLE: Optimización Combinatoria

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1 PLE: Optimización Combinatoria CCIR / Matemáticas euresti@itesm.mx CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 1 / 14

2 Introducción Para valorar el poder expresivo de los modelos de programación lineal entera y para dimensionar la dificultad de resolverlos, veremos algunas familias de problemas clásicos de optimización combinatoria reconocidos como problemas que requieren para su solución un tiempo exponencial en función del tamaño de la instancia del problema a resolver. CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 2 / 14

3 Programación de Tareas Suponga que se tienen que programar una serie de trabajos en una máquina para llevarlos a cabo (i = 1, 2,..., n). Suponga que conoce el tiempo que tarda en procesarse cada trabajo en la máquina (t i, para i = 1, 2,..., n). Suponga que se conoce el tiempo en el cual cada trabajo debe ser entregado (d i, para i = 1, 2,..., n). El Problema de la Programación de Tareas consiste en encontrar un ordenamiento para el ingreso de las tareas en la máquina de tal forma que el tiempo de retraso del total de tareas sea mínimo. El tiempo de retraso de entrega de una tarea es cero, si el tiempo en el cual se concluye es menor o igual que la fecha de entrega, y en otro caso es la diferencia entre el tiempo de entrega y el instante en el cual sale de la máquina. CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 3 / 14

4 Scheduling: Modelo PLE Variables de Decisión (2 n) x i = el tiempo en el cual el trabajo i se inicia en la máquina. y i = número de unidades de tiempo en el retraso en el trabajo i. Función Objetivo Minimizar z = Restricciones n i=1 Dos trabajos no se pueden empalmar: Para cada i,j (i j) y i x i + t i x j ó x j + t j x i Contabilización del retraso: Para cada i: Si x i + t i > d i, entonces y i = x i + t i d i Si x i + t i d i, entonces y i = 0 CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 4 / 14

5 Coloreo Suponga un grafo no dirigido G = (V, E). Un coloreo para G es una asignación a cada vértice de un color (un entero positivo) tal que dos vértices adyacentes no tienen el mismo color asignado. El Problema del Coloreo consiste en determinar un coloreo con un mínimo número de colores. Este problema puede formularse utilizando PLE como se ilustra a continuación. b e a d f c g h CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 5 / 14

6 Coloreo: Modelo PLE Sea m = E el número de lados y n = V el número de vértices. Se definen dos tipos de variables binarias: x ij si es 1 indicará que el vértice i fue coloreado con el color j, y 0 si no; las variables y j indican si color j fue utilizado en el grafo o no. El total de variables binarias usadas es n 2 + n. El objetivo consiste en n Min Sujeto a j=1 Todo vértice tiene exactamente un color asignado: v i V : n j x ij = 1 (Esto da un total de n restricciones) Dos vértices adyancentes no pueden colorearse con un mismo color: (i 1, i 2 ) E, j : x i1 j + x i2 j y j (Esto da un total de m n restricciones) y j CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 6 / 14

7 Cubierta de Vértices Suponga un grafo no dirigido G = (V, E). Una cubierta de vértices para G es un subconjunto de vértices V tal que todo lado de E es incidente en al menos un vértice de V. El Problema de la Cubierta de Vértices consiste en determinar una cubierta con el mínimo número de vértices. El problema de poner guardias en los extremos(vértices) de los pasillos(lados) para cubrirlos todos es un problema de cubierta de vértices. El problema de la Cubierta de Vértices puede formularse utilizando PLE como se ilustra a continuación. b e a d f c g h CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 7 / 14

8 Cubierta de Vértices: Modelo PLE Sea m = E el número de lados y n = V el número de vértices. Se definen las variables binarias: x i es 1 si el vértice está en la cubierta, y 0 en otro caso. El total de variables binarias usadas es n. El objetivo consiste en Sujeto a Min n i=1 Todo lado tiene al menos un extremo en la cubierta: x i (i 1, i 2 ) E, x i1 + x i2 1 (Esto da un total de m restricciones) CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 8 / 14

9 Conjunto Independiente Suponga un grafo no dirigido G = (V, E). Un conjunto independiente de vértices para G es un subconjunto de vértices V tal que no hay dos vértices de V que sean adyacentes. El Problema del Conjunto Independiente consiste en determinar un conjunto independiente máximo. El clásico problema de acomodo de las 8 reinas es un problema de un conjunto independiente máximo. El problema del Conjunto Independiente puede formularse utilizando PLE como se ilustra a continuación. b e a d f c g h CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 9 / 14

10 Cubierta de Vértices: Modelo PLE Sea m = E el número de lados y n = V el número de vértices. Se definen las variables binarias: x i es 1 si el vértice está en el conjunto independiente y 0 en otro caso. El total de variables binarias usadas es n. El objetivo consiste en n Max Sujeto a i=1 Dos vértices adyacentes no están en la cubierta: x i (i 1, i 2 ) E, x i1 + x i2 1 (Esto da un total de m restricciones) CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 10 / 14

11 El problema de la Satisfactibilidad en Algebra Booleana Considere una fórmula lógica en su forma normal conjuntiva (CNF, por la siglas en inglés); es decir, en la forma D 1 D 2 D n Donde las expresiones D i son a su vez variables proposicionales o negación de variables proposicionales o una disjunción lógica entre éstas. Por ejemplo, la expresión P (P Q R) ( Q R) ( R) será una fórmula proposicional que está en su CNF. CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 11 / 14

12 El problema... El Problema de la Satisfactibilidad (SAT) consiste en para una expresión lógica booleana en su CNF determinar si existe una asignación a las variables booleanas de la manera que la expresión se evalue en verdadero. El problema de la satisfacibilidad puede ser convertido en un PLE de una manera simple. A cada una de las variables booleanas que aparecen en la fórmula les asignamos una variable de decisión binaria. De manera que la variable representa en valor de verdad de la variable booleana. A cada uno de los términos D i les asociamos la restricción siguiente: x + (1 x) 1 x D i x D i Para convertirlo en un PLE donde se maximiza tomamos la primera de las restricciones y cambiamos el valor de 1 que aparece en el miembro de la derecha por una variable nueva binaria, digamos y; el objetivo será maximizar y. CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 12 / 14

13 Ejemplo de conversión de un SAT en un PLE El problema de la satisfactibilidad de la fórmula se convierte en el problema: P (P Q R) ( Q R) ( R) Maximizar y sujeto a x P y x P + x Q + (1 x R ) 1 (1 x Q ) + x R 1 (1 x R ) 1 con x P, x Q, x R y y variables binarias. CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 13 / 14

14 Referencias Papadimitriou C. H. y Steiglitz K.: Combinatorial Optimization, Algorithms and Complexity. Prentice Hall SATLIB El problema del secuenciamiento en Google El problema del Coloreo de Grafos en Google CCIR / Matemáticas () PLE: Optimización Combinatoria euresti@itesm.mx 14 / 14