PRESENTACION DE UN MODELO MATEMATICO PARA CALCULO DE LOS EFECTOS DE INTERACCION SUELO - ESTRUCTURA EN EDIFICIOS

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1 Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural PRESENTACION DE UN MODELO MATEMATICO PARA CALCULO DE LOS EFECTOS DE INTERACCION SUELO - ESTRUCTURA EN EDIFICIOS ING. JOSE ALEJANDRO GOMEZ HERNaNDEZ * RESUMEN El objetivo del presente estudio es presentar un modelo matemático para el cálculo explícito de los efectos de Interacción Suelo Estructura (ISE) en edificios de tipo estático y dinámico con base en los métodos de la teoría de la elasticidad, de la mecánica de sólidos y de la mecánica de suelos. (XIV Congreso de Ingeniería Estructural Nov./2004-SMIE) SUMMARY This paper presents a new mathematical model for explicit calculation of the soil structure interaction of buildings; this model considers statical and dynamical behavior. The model is based on the theory of elasticity, the mechanics of solids and the mechanics of soils. INTRODUCCION El problema de calcular los efectos de ISE de una estructura de edificio es de gran importancia para el diseño sísmico de las estructuras ya que de no hacerlo se corre el riesgo de que el período fundamental de vibración del sistema suelo-estructura se encuentre dentro del rango en el cual ocurre el fenómeno de resonancia, propiciando efectos destructivos en la estructura, como resultado de la amplificación de acciones que genera la resonancia. Los efectos de la ISE también son importantes en el comportamiento estático de las estructuras. ANTECEDENTES Este importante problema ya ha sido estudiado por varios investigadores, los cuales han propuesto diversos modelos de diferentes tipos como lo son los analíticos, los empíricos y los semiempíricos. En este estudio se presenta un modelo de tipo analítico, considerando comportamiento elástico lineal en el modelo de la estructura y de su fundación basada sobre un sistema de soportes elásticos. Los modelos existentes los hay desde los muy simplistas hasta los complicados y sus resultados presentan dispersiones importantes. Los modelos analíticos basados en comportamiento elástico lineal tienen una dispersión mucho menor entre los de su mismo tipo. El modelo que aquí se presenta se ha comparado contra varios modelos de su tipo con aceptación internacional, como lo son los métodos de las Rigideces y el de Elemento finito (ver ANEXO-). MODELO MATEMATICO Este modelo desarrolla una solución cerrada que tiene por objeto calcular el sistema de rigideces de los soportes elásticos que modelan un suelo estratificado y permiten calcular el período fundamental y los períodos de los modos superiores de vibración de una estructura de edificio considerando que el suelo tiene n estratos horizontales con propiedades diferentes en cada uno. El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis teóricas: el comportamiento de la estructura es de tipo elástico lineal y cumple con todas las hipótesis simplificadoras de la teoría de la elasticidad lineal y de la mecánica de sólidos, el modelo es aplicable en 2D y 3D. El modelo acepta que una viga - columna de cortante en cantilever discretizada con geometría de cono ó pirámide truncada es capaz de representar al volumen de suelo efectivo para trabajo estructural como usualmente se considera en la práctica de la mecánica de suelos y de la ingeniería sísmica. La solución es aproximada, considerando que las premisas antes citadas son aproximadamente isomorfas al sistema real en una etapa de su comportamiento, como la experiencia lo indica. Además el análisis dinámico tiene su propio rango de aproximación. En resumen, el modelo cumple su objetivo satisfactoriamente dentro de los rangos usuales en ingeniería sísmica y de suelos. *Director General de AGH Ingenieros, S de RL de CV. (Consultor en Ingeniería Estructural UNAM ) MEXICO, D. F. / TEL / CEL / agheng@usa.com

2 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 MODELO MATEMATICO El modelo matemático se fundamenta en tomar un volumen efectivo de trabajo estructural que consiste en un cono truncado o una pirámide truncada de acuerdo con la forma geométrica de la base de la cimentación analizada. Este modelo permite calcular las rigideces globales del suelo homogéneo o estratificado en el que se basa la cimentación en estudio en los sentidos y vertical y x, z horizontales, estos resultados son compatibles con el método de elemento finito y con las teorías de Boussinesq y de Winckler. El modelo permite calcular los efectos estáticos y dinámicos de la estructura con las mismas fórmulas tan solo usando en ellas los módulos estáticos o dinámicos del suelo conforme el tipo de efecto que se esté calculando. Este modelo puede aplicarse en análisis estructural en 2D y 3D, con los mismos criterios y fundamentos. El suelo se representa con un sistema de resortes en paralelo equivalente el cual debe de repartirse en la base de la cimentación de manera uniforme, simétrica y la distancia entre cada resorte debe de ser menor o igual que B/0, donde B es la dimensión menor de la base de la cimentación. La estructura se modela por el método matricial de análisis estructural de las rigideces con sus correspondientes soportes elásticos en tres direcciones ortogonales representativos del suelo que da soporte a la estructura que se analiza. El modelo considera las deformaciones lineales y angulares del suelo respecto a los tres ejes ortogonales x,y,z, y se ha calibrado con modelos representativos de elemento finito y de la teoría de la elasticidad. El modelo es valido en especial para las cimentaciones con una área de contacto con el suelo que tenga doble simetría respecto a dos ejes ortogonales que tienen su origen en el centroide del área antes citada. La generalidad de este modelo de ISE permite efectuar el análisis sísmico de la estructura por los métodos de: análisis sísmico estático, análisis sísmico dinámico modal espectral y análisis sísmico dinámico paso a paso. Por la analogía de este modelo con una gran columna de suelo de sección y propiedades estructurales de rigidez variables que sostiene al edifico completo, al método propuesto le nombraremos como: Análisis de ISE por El Método de la Columna Virtual (ISE - MCV). PARAMETROS PARA EL CALCULO DE LA RIGIDEZ GLOBAL DEL SUELO Ky = Py/ y : Rigidez global del suelo en dirección vertical y. Kx = Vx/ x : Rigidez global del suelo en dirección horizontal x. Kz = Vz/ z : Rigidez global del suelo en dirección horizontal z. Ei : Modulo de elasticidad del estrato de suelo i. Gi : Modulo de rigidez del estrato de suelo i. µ : Relación de Poisson del suelo. r : y : Factor de rigidez de la cimentación. Desplazamiento del suelo al centro del área en dirección vertical y. A(y) : Area del suelo al nivel y para el cálculo de Ky. A(2y) : Area del suelo al nivel y para el cálculo de Kx, Kz. N : Numero total de nodos en el modelo de la base de la cimentación. ky = Ky /N : Rigidez individual de un resorte en dirección vertical y. kx = Kx /N : Rigidez individual de un resorte en dirección vertical x. kz = Kz /N : Rigidez individual de un resorte en dirección vertical z. 2

3 FORMULAS GENERALES PARA EL CALCULO DE LAS RIGIDECES GLOBALES DEL SUELO Con base en los principios de la teoría de la elasticidad, de la mecánica de sólidos y de la mecánica de suelos se pueden establecer las siguientes fórmulas de aplicación general al modelo estudiado: Rigidez global del suelo en dirección vertical y. Ky := 0 ( + µ 2 ) r dy Ey ( ) A( y) Rigidez global del suelo en dirección horizontal x. Kx:= 0 ( + µ 2 ) r dy Gy ( ) A( 2y) Rigidez global del suelo en dirección horizontal z. Kz := 0 ( + µ 2 ) r dy Gy ( ) A( 2y) Rigidez global del suelo en ambas direcciones horizontales: De la inspección de las fórmulas anteriores se concluye que: Kx = Kz Factor de rigidez de la cimentación r : Cimentación: Flexible => r = Cimentación: Rígida => r = 4 / π 3

4 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 FUNDAMENTOS GEOMETRICOS Y DE RIGIDEZ DEL MODELO PROPUESTO (ISE- MCV) COLUMNAS VIRTUALES DE SUELO PARA EL MODELO DE ISE * EL VOLUMEN DE SUELO DELIMITADO POR LAS DIAGONALES NEGRAS ES EL EFECTIVO PARA EL CALCULO DE LA RIGIDEZ GLOBAL EN DIRECCION VERTICAL y AREA DE BASE RECTANGULAR DE BxL => A(y)=(B+y)(L+y) * EL VOLUMEN DE SUELO DELIMITADO POR LAS DIAGONALES VERDES ES EL EFECTIVO PARA EL CALCULO DE LA RIGIDEZ GLOBAL EN DIRECCION HORIZONTAL x - z AREA DE BASE RECTANGULAR DE BxL => A(2y)=(B+2y)(L+2y) 4

5 FORMULAS PARA EL CALCULO DE LAS RIGIDECES GLOBALES DEL SUELO PARA CIMENTACIONES CON BASES CIRCULAR, CUADRADA, RECTANGULAR Y ELIPTICA 5

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9 COMPARACION DE PERIODOS FUNDAMENTALES CALCULADOS CON EL METODO PROPUESTO (ISE - MCV) Y CON EL (MEF): / =.005 => EL RESULTADO DEL METODO PROPUESTO TIENE UNA DESVIACION MENOR DEL % POR LO QUE ES ACEPTABLE. 9

10 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 COMPARACION DE PERIODOS FUNDAMENTALES CALCULADOS CON EL METODO PROPUESTO Y CON EL (MEF):.398 /.384 =.0 => EL RESULTADO DEL METODO PROPUESTO TIENE UNA DESVIACION DEL % ACEPTABLE. 0

11 RIGIDECES GLOBALES VERTICAL Y HORZONTAL EN SUELOS ESTRATIFICADOS METODO DE "AGH " RIGIDECES GLOBALES EN SECCIONES RECTANGULARES DE "LxB" L := B := 7.00 µ := r := π n := 4 i:=.. n H := 0 0 N := 720 H := 3 H := 3 2 H := 23 3 H := 27 4 E := 2460 E := E := E := E := n+ G := 7830 G := G := G := G := 6490 n+ RIGIDEZ GLOBAL VERTICAL - Y : Ky := n i = E n+ E i ln ( ) E ( L B) + µ 2 r n+ ( H + B i ) ( H + L i ) + ln ( H + L i ) ( H + B i ) ( H + L n ) ( + B) H n Ky = Ky N = RIGIDEZ GLOBAL HORIZONTAL - X, Z : Kx:= n i = G n+ G i ln ( ) 2G ( L B) + µ 2 r n+ ( 2H + B i ) ( 2H + L i ) + ln ( 2H + L i ) ( 2H + B i ) ( 2H + L n ) ( + B) 2H n Kx = Kx N =

12 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 FORMULAS GENERALES PARA EL CALCULO DE LAS RIGIDECES GLOBALES DEL SUELO POR EL METODO DE AGH-2004 DATOS: L := B := 7.00 µ := 0.36 r := 4 π m := 4 i:=.. m H := 0 0 H := 3 H := 3 2 H := 23 3 H := 27 4 E := 2460 E := E := E := G := 7830 G := G := G := Eo( y) := Go( y) := 6490 AREAS PARA CALCULO: Ay( y) := ( B+ y) ( L+ y) Ax( y) := ( B + 2 y) ( L+ 2 y) 2

13 FORMULAS GENERALES PARA CALCULO DE RIGIDECES GLOBALES: RIGIDEZ GLOBAL VERTICAL: Ky := ( + µ 2 ) r m H i dy + E Ay( y) i = i H H m i dy Eo( y) Ay( y) Ky = RIGIDEZ GLOBAL HORIZONTAL: Kx:= ( + µ 2 ) r m H i dy + G Ax( y) i = i H H m i dy Go( y) Ax( y) Kx =

14 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 COMENTARIOS Y CONCLUSIONES. En la ingeniería práctica existen modelos matemáticos deducidos con base en hipótesis simplificadoras las cuales generan modelos convencionales ya que no es una fiel representación matemática del sistema que pretenden modelar, sin embargo los resultados obtenidos y frecuentemente calibrados con la experimentación son lo suficientemente buenos para fines de las aplicaciones prácticas de la ingeniería. Este es el caso de los modelos matemáticos sustentados en la teoría de la elasticidad lineal, la mecánica de suelos y aplicados a la dinámica de las estructuras. 2. La teoría y la experiencia indican que el período fundamental de vibración de las estructuras depende de sus propiedades geométricas y dinámicas. El valor de este parámetro es muy sensible a las variaciones de las propiedades citadas. Es necesario conocer con la mejor precisión posible el valor del período fundamental del sistema suelo-estructura ya que de esto depende el comportamiento dinámico del sistema ante acciones sísmicas. 3. La generalidad de este modelo de ISE permite efectuar el análisis sísmico dinámico de la estructura por los métodos de: análisis sísmico modal espectral y de análisis sísmico paso a paso. 4. El modelo propuesto permite estimar el efecto de amplificación o de atenuación de acciones generado por la variación de propiedades del sistema suelo - estructura. Cabe decir que este modelo también se puede aplicar a otro tipo de estructuras como: chimeneas, torres, cortinas de presas, cimentaciones de maquinaria, etc. 5. El modelo propuesto se resolvió de forma cerrada para el cálculo de las rigideces globales de suelos estratificados considerando la geometría y rigidez del sistema suelo estructura. 6. La solución teóricamente exacta de la ISE en edificios se puede obtener usando el MEF y la dinámica estructural teórica. La solución propuesta es aproximada dentro de un rango de tolerancia aceptable del 5 %. Aclarando que en la mayoría de los casos al comparar el MEF y el método de AGH la desviación de los resultados del cálculo del período fundamental del sistema suelo-estructura fue menor al 2%. 7. El modelo propuesto permite efectuar el análisis sísmico dinámico considerando la ISE y asi obtener los resultados para diseño como son los elementos mecánicos y los desplazamientos. Cabe decir que el modelo se puede generalizar fácilmente para considerar el efecto de cimentaciones con cajón, pilas y pilotes complementando el modelo de la estructura con los elementos antes citados mediante su modelación explícita por el método de las rigideces. 8.El valor del período fundamental de la estructura considerando los efectos de ISE es el parámetro fundamental para diseño sísmico por el método dinámico modal - espectral. 9.El modelo propuesto se ha verificado con resultados empíricos y con resultados de modelos, elaborados por los métodos de elemento finito y de rigideces obteniendo resultados muy similares, lo que confirma la buena capacidad del modelo propuesto. 0. Es importante efectuar trabajo experimental y documental que permita mejorar la calibración del modelo propuesto por AGH ya que este enfoque del problema para suelos estratificados es nuevo.. El modelo es valido en especial para las cimentaciones con una área de contacto con el suelo con doble simetría respecto a dos ejes ortogonales que tienen su origen en el centroide del área. 2. Cuando se tiene una cimentación con pilas ó pilotes distribuidos de manera uniforme y con doble simetría, las fórmulas se pueden modificar con facilidad para modelar el efecto de las pilas ó pilotes. 4

15 BIBLIOGRFIA Timoshenko, S. P., Young, D. H. - (974) - Vibration Problems in Engineering, John Wiley & Sons. Timoshenko, S. P., J.N. Goodier - (970) Theory of Elasticity, McGraw Hill. Thomson, W. T. (98) Theory of Vibration with Applications, Prentice Hall. Clough, R. W., Penzien, J. (975) Dynamics of Structures, McGraw Hill. Newmark, N. M., Rosenblueth, E. (97) Fundamentals of Earthquake Engineering, Prentice Hall. N. Tsytovich. (98) Soil Mechanics, Mir. Gómez Hernández J. Alejandro. (AGH-2000) Presentación de un modelo matemático para el cálculo del período fundamental de vibración en suelos estratificados con capacidad de predecir efectos de amplificación o atenuación dinámica, AGH ingenieros, S de RL de CV. Memoria del XII Congreso nacional de ingeniería estructural de la S.M.I.E.- noviembre de 2000, León Gto. México. AGRADECIMIENTOS Se le agradece y reconoce su actitud abierta, imparcial y profesional al Comité de Ingeniería Sísmica del I.I. de la U.N.A.M. para la elaboración de las N.T.C. para diseño por Sismo del R.C.D.F. 2004, por su apoyo en beneficio de la Ingeniería Sísmica Mexicana y de la Sociedad en General al incorporar oportunamente los avances técnicos de vanguardia a las Normas Técnicas Complementarias del R.C.D.F. En especial a los Doctores: Roberto Meli, Luis Esteva Maraboto, Mario Ordaz y Javier Avilés. También se agradece el apoyo y valiosos comentarios del M.I. Carlos Javier Mendoza E. y del Ing. Santiago Loera P. Finalmente se le agradece su apoyo y atención para la publicación de este estudio al Dr. Sergio Alcocer. 5

16 XIV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Gro., 2004 ANEXO CALCULO DEL PERIODO FUNDAMENTAL DE UN SUELO ESTRATIFICADO Para efectuar el cálculo del período se aplica de la fórmula aportada por AGH en Actualmente esta formula ya se encuentra incorporada como formula (A.7) de las NTC para diseño sísmico del RCDF : Período Ts en suelos estratificados: T s n n 4 H i = g G i p i X i H i Forma aproximada del primer modo normalizado: x i i = n H G H G j j j j ; vector del modo fundamental normalizado: x, x,..., x i,... x ); x 0, x = ( 0 n 0 = n 2 2 ( x + x x x ) X + i = i i i i NOTACION DE FORMULAS PARA TS n = numero de estratos horizontales. (los estratos se numeran de la base a la superficie del suelo) H (espesor total de los estratos al lecho de roca) s = H i H i = espesor del estrato i pi 2 G i = ( ) vs módulo de rigidez a cortante dinámico en el estrato i g g = (9.8 m/seg 2 ) aceleración de la gravedad pi mi = masa específica del suelo en el estrato i (densidad) g pi = mi g peso específico del suelo en el estrato i (peso volumétrico) G v s = velocidad de ondas S (ondas de cortante: v s >700 m/seg.=>roca) m Esta fórmula se uso para calibrar los modelos del suelo elaborados con el Método de Elemento Finito como parte del desarrollo de este estudio de ISE por el MCV. 6