Ecuacion de Onda. 0 < x < t > 0

Transcripción

1 Eio e O. INTRODUCCIÓN L eió iimeio e o κ e eió ipebói qe e eibi eómeo eivo popió e o e meio oio. Lo eio e o úi, o e, o eeoméi y vibioe meái eá bo e e eió. E oeo, e ee em e poá qe eió epee e movimieo e e eái e oi je po o eemo, eiieo e eje X p epee poiió oizo e e. Se poe qe i e e poe e movimieo meie ez ee, e om qe empiez vib e e po oizo. Deoo po (,) epzmieo vei e e e po y e ie, eió qe veii epzmieo e peimee eió e o κ < < > P obee oió úi e e eió e peio ñi mbié oiioe iiie y e ooo popi, qe epeeá iio ipo e eómeo oioio. L o oiioe e ooo ebe eej qe o eemo e e o ijo, po o qe eá e om: (,) (,) > Po o qe epe oiioe iiie, omo e eió e o pee eiv e eo oe epeo y qe impoe o oiioe iiie epeo e. E pee oii e ij poiió y veoi iii e o po e e, epeáoe (,) () (, ) () Como emá ebe veiie oiioe e ooo, ioe () y () ebe ie () ( ) () ( ) oiioe qe ebe mpie p qe y oii e e, y p qe o eemo o e mev. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES Se e eove e pobem iiimee peo κ < < > o oiioe e ooo (,) (,) > y iiie CAMPUS TECNOLÓGICO DE LA UNIVERSIDAD DE NAVARRA. NAFARROAKO UNIBERTSITATEKO CAMPUS TEKNOLOGIKOA Peo e Me Lizáb 3. 8 Dooi-S Sebiá. Te.: F: iomio@e.e

2 (,) () (, ) () empeo e méoo e epió e vibe. Se b oioe e om () () Deivo y iyeo e eió e iee () () κ () () iviieo po e poo () () κ () () omo (,) () (,) () qeo e pobem e ooo omoéeo e Sm-Liovie p "() - () () () Ee pobem e e mimo qe e eovió e e em eio p eió e iió. Lo ovoe o,,... y oioe oi A i,,... P eo voe e eió p qe κ κ κ C o D i,,... Se obiee e e om o mii iiee e oioe mee, qe veii eió jo o oiioe e ooo omoée κ i o κ v i i Seiá ieo mbié oió, poeieo ommee, eie iii κ κ (,) A i o B i i oe oe A y B e eeiá e om qe e veiiqe oiioe iiie. Como (,) () po o () A i E ei o A o o oeiiee e eoo e eie e oioe e ió (), qe viee o po

3 i () A,,... L oiió ( ) ) (, qe, peo qe e pee eiv émio émio, κ κ i A i κ κ o B κ i B () Leo, κ B o o oeiiee e eoo e eie e oioe e ió (): κ i () B,,... E iiio e e epeioe e e iiee: ) A o voe κ e e m eei e e e vibe qe e obiee p,,... b) E o oepoiee o móio e e epzmieo. C o e eo epzmieo qe e obiee o voe e m moo e vibió. No: Ee pobem mbié e poí be eeo ieo mbio e e e vibe iepeiee y e om y ' τ oe τ e vo eemi L eió ee eiv pie e: τ qeo eió e o τ κ eiieo τ e om qe

4 κ τ eió qe y e ievo oepoiee ' e ', o o qe oiioe e ooo e ee (,') (,') A pi e ee po e poeo eí áoo eeo eiomee. VIBRACIONES DE UNA MEMBRANA ELÁSTICA Coiéee memb e y eái (po ejempo mbo). Se eo po S e omiio y po δs e ooo e mimo. E mpo e epzmieo e e ee o e om z (,y,) veiio eió y, y S Cmpiéoe emá qe (,y,) e δs Se eoveá e pobem p e o oeo e qe δs e ío e io. Obvimee, e poe e omiio S eá e ee o S θ < y eió () p θ Se b oioe po e méoo e epió e vibe e om (,θ,) () () (θ) eoe, eivo y iyeo e eió iviieo po e poo E pime miembo e ió e, mie qe e eo e ió e y θ. Po o, e oiee ebe e oe: e ei,

5 E pime miembo e ió e, mie qe e eo e ió e θ, po o qe e evo ee oiee ebe e i ie oe µ: µ µ Vée qe po e e ío (θ) (θ ) θ oioe e " µ, ebe e ombiió e i θ y e o θ o qe impi qe µ ( ) ( ) ( ) θ θ θ i B o A y po oo o e e i eió e Bee. Hieo p qe e eió e Bee e eqiee qe i Aí pe, o vo e eió p e om e E e eió e Bee e oe qe e pee eove po eie e poei, ieo oió ee () Y () J () Ao bie o (,θ,) () Peo omo oiió e ooo qe

6 Peo eieo e e om e oió ee, omo e b oió e, y ió Y viee po Y () k J() k bm m m o m, Y(), o qe iii qe o, e epzmieo e iiio, eo, y qe oie úimee () J() y impoe oiió e ooo J e obiee J i o qe impi qe o voe i o o eo e ió e Bee e oe. Deoo e eo po p) j oe e e oe e eió e Bee y p e úmeo e eo p) j ( ) p) j i Levo eo voe e p) ( j ) ieo oió ee p) p) () E o j F i j p) Lmo Wp j () E o( Wp ) F iw ( p ) po o, p) ( ( ) ( ) j,p(, θ,) E o Wp F iwp J ( A o( θ) B i( θ) ) Hy obe iii e oioe epeieo e o voe e y p. Te oioe, p o ooi omo o moo ome e iem. Cqie oió e ee iem e epeá omo ombiió ie e o moo ome e iem. L oe e eemií impoieo ú ipo e oiió iii p e ipo (,θ,) (,θ) (, θ, ) (, θ)