Geometria laua. Helburuak. Hasi baino lehen

Transcripción

1 8 Geometria laua Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko duzu: Planoaren oinarrizko elementuak ezagutzen. Zuzenak eta bere propietateak ezagutzen. Zuzenak eta zuzenekin erlazionaturiko elementuak erabiltzen. Angelu motak bereizten. Angeluen propietateak eta angeluen arteko erlazioak ezagutzen. Angeluak neurtzen eta angeluen arteko eragiketak egiten.. Geometria lauaren problema errazak ebazten. Hasi baino lehen 1. Zuzenak. Paralelismoa eta perpendikulartasuna orr. Planoa Puntuak eta zuzenak Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia Zuzenaren propietateak Posizio erlatiboak Paralelismoa Perpendikulartasuna 2. Zuzenki naten erdibitzailea orr. Erdibitzailearen definizioa Erdibitzailea nola marraztu Simetria 3. Angeluak. Sailkatzea eta neurtzea orr. Definizioa Angelu motak Angeluen arteko erlazioak Angelua nola neurtu Sistema hirurogeitarra 4. Angelu baten erdikaria orr. Erdikariaren definizioa Erdikaria nola marraztu 5. Angeluen arteko eragiketak Orr. Angeluen arteko batuketak Angeluen arteko kenketak Angelu baten eta zenbaki baten arteko biderketa Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa Eragiketak sistema hirurogeitarrean Egiteko ariketak Gehiago jakiteko Laburpena Autoebaluazioa Tutoreari bidaltzeko jarduerak MATEMATIKA 1 DBH 109

2 110 MATEMATIKA 1 DBH

3 Hasi baino lehen Aztertu Bilar jokoan geometría lauaren elementu asko (puntua, zuzena, angelua, simetria ) agertzen dira. Eskuineko eszenan, ikusiko duzu bolak zer ibilbide eraman behar duen bola gorriarekin talka egiteko; badago modu bat baino gehiago: banda batean eman ondoren, bi bandetan eman ondoren Jaurtiketa zuzen batean bola gorriari apuntatzen diogu. Jaurtiketa albo batera bada, eta gorriari eman nahi badiogu, gure bilarreko mahaiaren ondoan irudizko mahai bat jarriko dugu (irudizko bola gorri batekin). Irudizko bola gorri horri apuntatuko diogu benetakoari emateko. IRUDIZKO BOLAK IRUDIZKO MAHAIAK Jaurtiketa bi alboetara bada, gure mahaia halako 4 egingo dugu (mahai bat erreala, eta 3 irudizko mahai). Eskuineko goiko bolari apuntatuko diogu, eta, bi alboaetan jo ondoren benetako bola gorria joko du. Bilar jokoan, honako elementu hauek daude: zuzenak, puntuak, simetriak, angeluak... MATEMATIKA 1 DBH 111

4 1. Zuzenak. Paralelismoa eta perpendikulartasuna. Planoa. Gizakia beti saiatu da inguruan ikusten dituen objetu eta irudiak marrazten. Hori dela eta, gainazal batean puntuak, lerroak, zirkuluak eta beste irudi batzuk marraztu ditu. Adibidez: harrietan zizelkaturiko lehen petroglifoak, errenazimenduko pinturak, edo gaur egungo arkitekturan eta ingeniaritzan erabilitako planoa. Geometriarekin badugu ondo pasatzeko aukera; izan ere, gure inguruan dauden objetuetan, elemetu geometriko asko daude. Eta geometriak informazio baliagarria ematen digu.. Planoa geometriaren garrantzi handiko objetua da; izan ere, planoaren gainean irudiak marrazten dira. Puntuak eta zuzenak. Euklidesek, historiako lehen matematikari handiak, puntua eta zuzena,definitu zituen. Bi elementu horiek dira planoaren oinarrizko bi elementuak. Horregatik, zeruko izar bat puntu baten, hegazkinak utzitako arrastoa zuzen baten eta gure laneko mahaia plano baten moduan identifikatuko ditugu. Hori behar dugu geometria lantzeko. Trenbidea behatzen badugu, errailak paralelo,,baina infinituan elkar ebakitzen dutela ikusten dugu. Behaketa horrek distantziari buruzko informazioa ematen du. Puntua luzerarik eta zabalerarik ez duen elementua da. Zuzena luzerarik baduen eta zabalerarik ez duen elementua da. Bilatu zure inguruan dauden objetu eta propietate geometrikoak.. Askotan harrituta geldituko zara MATEMATIKA 1 DBH

5 Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia. Har ditzagun planoko bi puntu eta lot ditzagun lerro batez. Lortzeko modu asko daude, baina badago lerro bat beste edozein lerro baino motzagoa. Motzena den lerroari zuzenki deritzo. Puntuak A eta B izendatzen baditugu, biak lotzen dituen zuzenkia AB moduan izendatuko dugu. Hori dela eta, A eta B zuzenkiaren muturrak dira. Bi puntu lotzeko, modu asko daude, eta aukera horien artean zuzenkia da bereziena; izan ere, motzena da.. Zuzenkia bi muturretatik mugarik gabe luzatzen badugu, zuzen bat lortzen dugu. AB zuzenkia mutur batetik bakarrik luzatzen badugu, zuzenerdi bat lortzen dugu. Adibidez B-tik luzatzen badugu, A muturra zuzenerdiaren hasiera dela esaten zaio. Zuzenaren propietateak. Zuzen batek planoa bi zatitan banatzen du. Zati bakoitzari planoerdi deritzo. Euklidesek zuzenaren zenbait propietate definitu zituen. Propietate horiek sinpleak dira, eta ezinbestekoak dira geometría ulertzeko. Hona hemen horietako batzuk: 1. Bakarra da bi puntuak lotzen dituen zuzena. 2. Edozein zuzenek bi eremutan zatitzen du planoa, eta planoerdi dute izena. Puntu bat zuzenaren gainean ez badago,,planoerdi batean egongo da. Bakarra da bi puntuak lotzen dituen zuzena. MATEMATIKA 1 DBH 113

6 Geometría laua Posizio erlatiboak. Marraz ditzagun plano baten gainean bi zuzen. Zenbait egoera sor daitezke: besteak beste, zuzen bat bestearen gainean egon. Hori gertatzen bada, biak bereiztea ezinezkoa da; hau da, zuzen bera dira eta bi zuzen horiek bat egiten dutela esaten da. Zuzen ebakitzaileak Puntu bakar batean elkar ebakitzen dute. Bi zuzenak desberdinak badira, bi egoera sor daitezke. Gerta liteke inoiz ez ukitzea: paraleloak dira. Edo puntu batean elkartzea: ebakitzaileak dira. Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak paraleloak dira. Puntu bakar batean elkar ebakitzen duten bi zuzenak ebakitzaileak dira. Paralelismoa. Puntu komunik ez duten zuzenak paraleloak dira. Definizio hori, K.a. III. mendean Euklidesek eman zuen. Horri esaten zaio 5. Postulatua: kanpoko puntu batetik zuzen bati zuzen paralelo bakar bat marraz diezaiokegu. Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke zuzen batekiko paraleloak. Metodoa ondoko marrazkian agertzen da. Euklidesekin bat etorriz gero, paralelismoa geometriaren oinarrizko kontzeptu bat da. Hori dela eta, ezagutzen ari garen geometriari geometria euklidearra deritzo. Kanpoko puntu batetik zuzen bati zuzen paralelo bakar bat marraz diezaiokegu. 114 MATEMATIKA 1 DBH

7 Perpendikulartasuna Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek planoa lau eremutan banatzen dute. Planoa zatitzean lortutako lau eremuen anplitudeak berdinak badira, zuzenak perpendikularrak direla esango dugu. Zuzen bat eta haren puntu bat ezagutzen baditugu, puntu horretatik igaro, eta perpendikularra den zuzena bakarra da.. Erregelarekin eta konpasarekin marraz daiteke zuzen batekiko perpendikularrak.. C puntutik igaro, eta r zuzenarekiko perpendikularra. Bi zuzenek planoa lau eremu berdinetan banatzen badute, zuzen horiek perpendikularrak dira. ARIKETA ebatziak 1. Marraztu A puntutik igarotzen diren hiru zuzen. Xenbat zuzen gehiago marraz dezakezu? Puntu batetik infinitu zuzen marraz daiteke. 2. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen diren bi zuzen. Posiblea al da? Adierazi zergatia. A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena bakarra da. 3. Marraztu A, B eta C puntuetatik igarotzen den zuzen bat. Nola kokatu behar dira hiru puntu horiek zuzen bat marrazteko? Ezinezkoa da. Posiblea izateko lerrokatuta egon behar lirateke. 4. Marraztu honako elementu hauek: AB zuzenkia, C jatorriko zuzenerdia, zuzenerdi bat B puntutik igaro eta D puntuan jatorria duena, A-tik igarotzen den zuzena eta A eta C puntuetatik igarotzen den zuzena Begiratu Zuzena, zuzenerdia eta zuzenkia orrian. 5. Marraztu A eta B puntuetatik igarotzen den zuzena. Adierazi zuzen horren puntubat. Adierazi planoerdi desberdinetan dauden bi puntu.(zuzenak planoa bi planoerditan banatzen du) Begiratu Zuzenaren propietateak orrian. 6. Esan ea zuzenak bat egiten duten, paraleloak diren edo ebatzitzaileak diren.. r eta s paraleloak dira. t zuzena ebakitzailea da r eta s zuzenekin. MATEMATIKA 1 DBH 115

8 ARIKETA ebatziak 7. Marraztu r zuzenarekiko bi zuzen paralelo eta ebakitzaile bat. Begiratu Posizio erlatiboak orrian. 8. Marraztu r zuzenarekiko paralelo bat, eta s zuzenarekiko beste paralelo bat. Zer irudi osatzen dute lau zuzen horiek? Paralelogramo bat osatzen dute. 9. Marraztu zuzen bat: C puntutik igarotzen da, eta r zuzenarekiko paraleloa da. Erabili erregela eta konpasa. Begiratu Paralelismoa orrian. 10. Marraztu beste zuzen paralelo bat r zuzenarekiko. Adierazi marraztutako zuzenen arteko posizio erlatiboa Zuzena paraleloa da aurreko zuzenarekiko. 11. Marraztu zuzen bat (s): C puntutik igaro, eta perpendikularra r- rekiko. Erabili erregela eta konpasa. Begiratu Perpendikulartasuna orrian. 12. Adierazi D puntua (r zuzenaren ez den puntu bat). Marraztu zuzen bat: D-tik igarotzen da, eta perpedikularra da s-rekiko. Zer erlazio dago marraztutako zuzenaren eta r zuzenaren artean? Paraleloak dira. 13. Marraztu hiru zuzen perpendikular r zuzen batekiko. Adierazi hiru zuzen horien arteko posizio erlatiboa Hiru zuzenak paraleloak dira. Hemen, perpendikularrak eta paraleloak marrazteko adibideak agertzen dira. (konpasa eta erregela erabiliz) Puntu batetik paraleloa Puntu batetik perpendikularra 116 MATEMATIKA 1 DBH

9 2. Zuzenki baten erdibitzailea. Erdibitzailearen definizioa. A eta B puntuak ezagutzen baditugu, puntu horiek lotzen dituen AB zuzenkia marraz dezakegu. Zuzenki horren erdigunetik pasatzen den eta zuzenkiaren perpendikularra den zuzenari erdibtzaile deritzo.. Erdibitzaileak zuzenkia bi zuzenki berdinetan zatitzen du.. Zuzen erdibitzaileak propietate garrantzitsu bat du: zuzen horren edozein puntutik AB zuzenkiaren edozein puntura dagoen distantzia bera da. Erdibitzailea AB zuzenkiaren perpendikularra da; eta bi zati berdinetan zatitzen du. Erdibitzailea nola marraztu. Aurreko kasuetan bezala, erdibitzailea marrazteko, erregela eta konpasa erabiliko ditugu. Horretarako, bi puntu adierazi, eta erregela erabiliz marraztu bi puntuak lotzen dituen zuzenkia. Mutur baten gainean konpasa jarri, eta ireki beste muturreraino iritsi arte. Marraztu zirkunferentzia bat. Egizu gauza bera zuzenkiaren beste muturretik. Lotu marraztutako bi zirkunferentzien ebaki-puntuak. Lortu duzun zuzenki berri hori hasierako zuzenkiaren perpendikularra da, eta luzatuz gero, erdibitzaile bihurtzen da. Zuzenki baten erdibitzailea MATEMATIKA 1 DBH 117

10 Simetria. Zuzen bat eta kanpoko C puntu bat ezagutzen ditugu. Honako baldintza hau betetzen duen puntu bat (C ) bilatuko dugu: CC zuzenkia zuzenaren erdibitzailea izango da. Aurkitutako C puntuari C puntuaren simetrikoa deritzo, eta zuzenari simetría-ardatza. Simetria mota honi islatze esaten zaio, eta edozein irudi geometrikoari aplika diezaiokegu. Alegia, emandako irudiaren erpin guztien simetrikoak marraztu, eta jatorrizko irudiaren simetrikoa lortu dugu.. Islatzeak irudi simetrikoak sortzen ditu, ispiluak egiten duen antzera Puntu baten simetrikoa ARIKETA ebatziak 14. Marraztu AB zuzenkia, eta AB-ren erdibitzailea. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. Begiratu Erdibitzailea nola marraztu orrian. 15. Adierazi puntu bat aurreko ariketan marraztutako erdibitzailean. Neurtu puntu horretatik zuzenkiaren muturretara zer distantzia dagoen. Zer erlazio dago distantzia horien artean? Erdibitzailearen edozein puntutatik AB zuzenkiaren edozein muturretara distantzia bera da. 16. Marraztu AB zuzenkia. Marraztu A eta B puntuen simetrikoak r- rekiko. Marraztu puntu simetrikoak lotzen dituen zuzenkia. Zer erlazio dago bi zuzenkien artean? Zuzenkiak r-rekiko simetrikoak dira, eta luzerak berdinak dira. 17. Marraztu ABC triangelua. Marraztu triangeluaren simetrikoa zuzenarekiko. Idatzi zer erlazio aurkitu duzun. Lortutako irudia beste triangelu bat da. 18. Marraztu irudiaren simetrikoa. Begiratu Simetria orrian. 118 MATEMATIKA 1 DBH

11 3. Angeluak. Sailkatzea eta neurtzea. Angelu baten definizioa. Plano bat dugu: planoan, A puntu bat, eta puntu horretan jatorria duten bi zuzenerdi. A puntuari erpin eta zuzenerdi bakoitzari alde esaten zaie. Bi zuzenerdik planoa bi zatitan banatzen dute. Hauetako eremu bakoitzari angelu esaten zaio. Bi eremuak tamaina desberdinekoak izan daitezke. Tamainari angelu-anplitude esaten zaio. Anplitude horren arabera angeluak sailka daitezke. Horretarako, anplitudeak neurtuko ditugu eta haien arteko erlazioak definituko ditugu. ZORROTZA ZUZENA KAMUTSA Angelua hau da: jatorri bera duten bi zuzenerdik sortzen duten eremuetako bakoitza. Angelu motak. Anplitudearen arabera angelu batzuk bereiztuko ditugu: Angelu zuzena: aldeak perpendikularrak ditu. Angelu laua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta aurkako noranzkoa duten zuzenerdiek. Angelu nulua: angelu hau osatzen dute jatorri bera eta bereko noranzko duten zuzenerdiek. Angelu zuzenarekin alderatuz gero: Zuzena baino anplitude txikiagoa duen angelua zorrotza da. Zuzena bsino anplitude handiagoa, eta laua baino txikiagoa duen angelua kamutsa da. Angelu lauarekin alderatuz gero: Angelu laua baino anplitude txikiagoko angelua ganbila (konbexua) da. Anplitude handiagoa bada, ahurra (konkaboa) da. MATEMATIKA 1 DBH 119

12 Angeluen arteko erlazioak. Erpin bera eta alde komun bat duten bi angelu ondoz ondoko angeluak dira, eta anplitude bera badute, berdinak dira. Angelu zuzen bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek angelu osagarriak dute izena. Angelu lau bat osatzen duten ondoz ondoko angeluek angelu betegarriak dute izena. Angelu osagarriak Puntu batean elkar ebakitzen duten bi zuzenek binaka berdinak diren lau angelu zehazten dituzte. Anplitude bera duten angelu bikoteak erpinez aurkako angeluak dira. Bi angelu osagarri eta angelu zuzen bat baliokideak dira. Bi angelu betegarri eta angelu lau bat baliokideak dira. Angelu betegarriak Angelua nola neurtu. Angelu baten anplitudea neurtzeko unitate moduan gradua erabiliko dugu, eta "º" ikurraz adieraziko dugu. Angelu nuluari 0º anplitudea egokitzen zaio, eta 90º angelu zuzenari. Bi angelu zuzen angelu lau baten baliokideak dira, eta ondorioz, 180º-ko anplitudea izango du. Lau angelu zuzenek (edo bi lauk) plano osoa betetzen dute; horregatik, planoaren anplitudea 360º da. Beste edozein angelu neurtzeko, aipatutako angeluekin alderatuko dugu. Adibidez: angelu zuzena bi angelu berdinetan zatituz gero 45º-ko bi angelu lortuko ditugu. Era berean, hiru zati berdinetan zatituz gero,30º-ko hiru angelu lortuko ditugu. 100º Zirkunferentzia bat 360 zati berdinetan zatituz gero, angeluen unitate neurra lortzen dugu: gradua. 120 MATEMATIKA 1 DBH

13 Sistema hirurogeitarra Angeluen anplitudea zehaztasun handiagoz neurtzeko, sistema hirurogeitarra erabiltzen da. Sistema horren arabera, gradu bakoitza 60 zati berdinetan zatitzen da. Horietako zati bakoitzari minutu esaten zaio. Era berean, minutu bakoitza 60 zati berdinetan zatituz gero, 60 segundo lortuko ditugu; beraz, honako baliokidetasun hau lortuko dugu: 1 gradu = 60 minutu = segundo Neurri sistema hori erabiltzen badugu, angelu baten anplitudea 25 gradu, 31 minutu eta 7 segundo izan daiteke; eta honela idatziko dugu: 25º 31' 7'' ARIKETA ebatziak 19. Adierazi irudian erpina, aldeak eta angeluak. Begiratu Angeluaren definizioa orrian. 20. Adierazi irudian angeluak zorrotzak, zuzenak, kamutsak edo lauak diren. a laua da, b zorrotza da, c zuzena da eta d kamutsa da. 21. Marraztu honako hauek: angelu kau bat, angelu nulu bat, angelu zorrotz bat, angelu kamuts bat, angelu ahur bat eta angelu ganbil bat. Begiratu Angelu motak orrian. 22. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, eta irudiko angelua bezalakoa izan behar du. Bi zuzen marraztuko ditugu: paraleloak angeluaren aldeekiko, eta b puntutik igarotzen dira. 23. Marraztu angelu bat: B puntuan erpina du, DEF angelua bezalakoa da, eta ABC angeluaren ondoz ondokoa.. Erabili angelu-garraiagailua. MATEMATIKA 1 DBH 121

14 ARIKETA ebatziak 24. Adierazi zer angelu diren osagarriak eta betegarriak. 105º Osagarriak: 37º-koa eta 53º-koa. Betegarriak: 105º-koa eta 75º.koa. 25. Identifikatu anplitude bereko angeluak. Zer izena dute angelu horiek? a eta e angeluak berdinak dira (zuzenak dira); b eta d ere bai. 26. Adierazi honako angeluak: 30º, 60º, 90º, 45º, 10º, 135º eta 240º. Horretarako, erabili marrazketarako tresnak. Begiratu Angelua nola neurtu orrian. 122 MATEMATIKA 1 DBH

15 4. Angeluaren erdikaria. Erdikariaren definizioa. Angelu baten erdikaria da angelua bi zati berdinetan banatzen duen zuzenerdia Angeluaren erdikariak honako ezaugarri hau betetzen du: erdikariaren edozein puntutik angeluaren edozein aldetara distantzia bera dago. Erdikariak angelua bi angelu berdinetan zatitzen du Erdikaria nola marraztu. Geometria lauan, oinarrizko tresnekin angelu batean erdikaria marraz daiteke. A erpineko angelu bat dugu. Jarri konpasa A puntuan, eta marraztu angeluaren bi aldeak ebakitzen dituen arku bat (ebaki-puntuak B eta C). Marraztu honako ezaugarri hauek dituzten bi arku: aurreko atalean aipatutako ebaki puntuetan dute zentroa, eta erradioa, edozein. Angelu baten erdikaria Marraztu zuzen bat: A puntutik pasatzen dena, eta bi arkuen arteko ebaki-puntutik ere bai. Hori da angeluaren erdikaria Adierazi angeluen ardikariak ARIKETA ebatziak Erdikariak honako hauek dira: b, d eta f. 28. Marraztu angeluaren erdikaria. Begiratu Erdikaria nola marraztu orrian. 29. Marraztu ondoz ondoko angeluen erdikariak. Zer erlazio dute erdikari horiek? Angelu osagarriak badira, erdikariak perpendikularrak dira. MATEMATIKA 1 DBH 123

16 Geometría laua 5. Angeluen arteko eragiketak. Angeluen arteko batuketak. Bi angelu edo gehiago batu daitezke veste angelu bat sortzeko. Batuketa analitikoa zein grafikoa egin daiteke. Batuketa grafikoa egiteko, batu behar diren angeluak ondoz ondoko posizioan jartzen dira; hau da, erpina eta alde bat batera, eta bi angeluek bere barnean hartzen duten angelua bien arteko batura da. Analitikoa eragiketa egiteko, emandako bi angeluen anplitudeak batzen dira. Anplitude berri hori angeluen arteko batura da. ADIBIDE BAT 138º 97º 235º Batuketa analitikoa hau da: bi angeluen anplitudeen arteko batura. Angeluen arteko kenketak. Kenketa eragiketa, batuketaren moduan analitikoa zein grafikoa egin daiteke. Kenketa grafikoa egiteko, erpina eta alde bat batera marraztuko ditugu, eta handienak txikiena bere barnean hartuko du. Angelu handiaren eta txikiaren artean gelditzen den angelua kendura da. Kenketa analitikoa egiteko, handienaren anplitudeari txikienaren kentzen zaio. Bi angeluen arteko kenketa kalkulatzeko, handiaren anplitudearen eta txikiaren anplitudearen arteko aldea kalkulatu behar da. ADIBIDE BAT 253º 166º 87º 124 MATEMATIKA 1 DBH

17 Angelu baten eta zenbaki baten arteko biderketa. Angelu bat zenbaki batekin biderkatzea da zenbakiak halako aldiz angelua batzea. Angelu bat zenbaki arrunt batekin grafikoki biderkatzeko, angelu bera ondoz ondoko posizioan zenbakiak halako aldiz jartzea da. ADIBIDE BAT 7 46º 322º Eragiketa analitikoa egiteko, zenbakia anplitudearekin biderkatzen da. Analitikoki angelu bat zenbaki arrunt batekin biderkatzeko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin biderkatzen da. Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa. Angelu baten eta zenbaki baten arteko zatiketa da zenbakia halako zati berdinetan zatitzea angelua. Zatiketa analitikoa egiteko, angeluaren anplitudea zenbakiarekin zatitzen da. ADIBIDE BAT 253º : 11 23º Zatidura zehatza ez bada, beste trena matematiko batzuk behar ditugu Horietako batzuk hurrengo atalean agertuko dira Zatiketa grafikoa egitea zailagoa da, konpasa eta erregela erabiliz ezin baita beti egin. Hori gertatzen da, adibidez, angelu bat hiru zati berdinetan zatitzen saiatzen garenean (angeluaren trisekzioaren problema famatua); angelu gehienekin ezinezkoa da. Angelu bat bi zati berdinetan zati daiteke; izan ere, angelu baten erdikaria da. MATEMATIKA 1 DBH 125

18 Eragiketak hirurogeitarrean. Era konplexuan (gradutan, minututan eta segundotan) adierazitako angeluekin eragiketo, eszenan ematen diren urratsak emango ditugu (gradu bat 60 minutu (1º=60') eta 1 minutu 60 segundo(1'=60''). Hori dela eta, beharrezkoa eta ahal den guztietan, 60 segundo eta 60 minutu elkartuko ditugu 1 gradu eta 1 minutu lortzeko. Era berean, beharrezkoa bada, 1 gradu 60 minutu edo 1 minutu 60 segundo eraldaketak egingo ditugu. Era konplexuan: graduak, minutuak eta segundoak modu askean eragiten dira. Angeluen arteko BATUKETA era konplexuan Hasteko, segundoak batuko ditugu. Batura 60'' edo gehiago bada, minutu bat izango dugu eta gainontzeko segundoak kontuan hartuko ditugu. Minutuekin eragiketa bera egingo dugu. Batura 60 edo gehiago bada, gradu bat izango dugu eta gainontzeko minutuak kontuan hartuko ditugu.. Bukatzeko, graduak batuko ditugu, eta aurreko urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu. Angeluen arteko KENKETA era konplexuan Hasteko, segundoen arteko kenketa egingo dugu. Kenkizuna kentzailearen berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa bada, kenkizunatik minutu batkenduko dugu eta segundoei 60 batuko dizkiegu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu Minutuekin prozesu bera; hau da,, kenkizuna kentzailea berdina edo handiagoa bada, zuzenean egiten da. Kenkizuna kentzailea baino txikiagoa bada, kenkizunatik gradu bat 60 bihurtuko dugu, horrela kenkizuna kentzailea baino handiagoa izango da, eta kenketa egingo dugu Bukatzeko, graduen arteko kenketa egingo dugu, eta aurreko urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu. 126 MATEMATIKA 1 DBH

19 Angelu baten eta zenbaki baten arteko BIDERKETA Hasteko, segundoak, minutuak eta graduak zenbakiarekin biderkatuko ditugu. Unitate bakoitzaren emaitzarekin honako hau egingo dugu: segundoak 60naka taldekatuko ditugu (60 =1, 120 =2...). Minutu horiek beste minutuekin batera jarriko ditugu. Minutuekin prozesu bera egingo dugu. Minutuak 60naka taldekatuko ditugu (60 =1º, 120 =2º...). Gradu horiek beste graduekin jarriko ditugu, eta aurreko urratsetatik lortu ditugun minutuak eta segundoak jarriko ditugu. Angelu baten eta zenbaki baten arteko ZATIKETA Hasteko, graduen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren graduak minutu bihurtuko ditugu, eta dauden minutuekin batuko ditugu. Hori egin ondoren, minutuen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. Hondarraren minituak segundo bihurtuko ditugu, eta dauden segundoekin batuko ditugu. Bukatzeko, segundoen eta zenbakiaren arteko zatiketa egingo dugu. ARIKETA ebatziak 30. Egin 110º eta 40º angeluen arteko batuketa (modu analitikoa eta grafikoa). Batuketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko batuketak orrian. Batuketa analitikoa honako hau da: 110º 40º 150º. 31. Egin 163º eta 34º angeluen arteko kenketa (modu analitikoa eta grafikoa). Kenketa grafikoa egiteko, begiratu Angeluen arteko kenketak orrian. Kenketa anlitikoa honako hau da: 163º 34º 29º. 32. Kalkulatu: a. 73º 36º, 28º 123º 118º, c. 2 72º 3 15º, d. 90 : 5 b. a. 73º 36º 37º, b. 28º 123º 118º 23º d. º : 5 18º º, e. 130 º 2 20º 180º 60º : 3, c. 2 72º 3 15º 189º, 90, e. 130º 2 20º 180º 60º : 3 150º 33. Kalkulatu 3:20 eta 4:00 orduen artean minutuen orratzak zer angelu egiten duen. Minutuen orratzak 360º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu batean 6º. eta 40 minututan 240º. 34. Kalkulatu erloju baten ordu-orratzak zer angelu egiten duen honako ordu tarte hauetan: 2:00 eta 2:47; 2:34 eta 7:11. Ordu-orratzak 30º-ko angelua egiten du 60 minututik behin; beraz, minutu batean 0,5º. 2:00 eta 2:47 orduen artean ordu-orratzak 23,5º-ko angelua egiten du; eta 2:34 eta 7:11 orduen artean 138,5º-koa. MATEMATIKA 1 DBH 127

20 Praktikatzeko 1. Bi zuzenek puntu komun bat dute. Zein da zuzenen arteko pisizio erlatiboa? Bi puntu komun dituzte. Zein da zuzenen arteko posizio erlatiboa? Puntu komunik ez dute. Zein da zuzenen arteko posizio erlatiboa? 2. m da AB zuzenkiaren erdibitzailea; D m-ren puntu bat; eta D-tik B-ra distantzia 5, 52 da. Zer distantzia dago D-tik A-ra? 3. Sailkatu honako angelu hauek: 0º, 45º, 90, 135º, 180º y 225º (anplitudearen arabera,angelu zuzenarekin alderatuz gero eta angelu lauarekin alderatuz gero). 4. Angelu baten anplitudea 37º da.zer anplitude du osagarriak? Eta betegarriak? 5. Erdikariak planoa lau eremutan banatzen du. Hasierako angeluak 170º ditu. Kalkulatu lau angeluak. 6. Kalkulatu:: 95º 124º 24º 7. Kalkulatu: 3 27º 5 19º 8. Kalkulatu: 52 º : 4 9. Kalkulatu: 128º 28' 23' ' 91º 32' 49' ' 10. Kalkulatu: 330º 32' 43' ' 83º 56' 47' ' 11. Kalkulatu: 31º 38' 9' ' Kalkulatu: 117 º 15' 34' ' : Marraztu zuzen perpendikularra zuzen batekiko. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. 14. Marraztu zuzen paraleloa zuzen batekiko. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. 15. Marraztu zuzenki baten erdibitzailea. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. 16. Marraztu angelu baten erdikaria. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. 17. Marraztu puntu baten simetrikoa zuzen batekiko. Horretarako, erabili erregela eta konpasa. 128 MATEMATIKA 1 DBH

21 Geometría laua o Gehiago jakin Euklides maisua E Uklides, askorentzat, historiako lehen matematikari handia da. Zergatik? Ia ezeretik abiatuta eta matematikaarrazonamendu (matematika beste zientzietatik bereizten duen metodo zientifikoa)soila erabiliz, lehen matematikadiskurtsoa antolatzeko gai izan zen lehen lehen matematikaria izan zelako. Geometria-elementuak izeneko liburua-bost ataletan antolaturik-da haren ekarpen handia. Horretan, puntu, zuzen, gainazal eta angelu oinarrizko kontzeptuetatik abiatuta, geometriako bost postulatu famatuak ezarii zituen. Erreminta xume horiekin garai hartatik gure garaiara geometriako ia ezagutza guztiak biltzen dituen eraikin handi bat sortu zuen. Gaur egun, ezagutzen ditugun angelua, zuzena, tiangelua, zirkunferentziako moduko irudi laua, paralelismoa eta perpendikulartasuna, azalerak eta askoz gehiago berak definitu zituen. XIX. mendetik aurrera, ordea, matematika modernoaren zenbait izen handiek Euklidesek markatutako eremua zabaltzeko aukera izan zuten. Horretarako Paraleloen postulatua izenez ezaguna den 5.postulatua kendu zuten, eta zeharo bestelakoak ziren mundo geometrikoak topatu zituzten, geometria berri horretan lerro paraleloak elkartzen ziren, eta triangeluen angeluen batura 180º-tik bestelakoa izan zitekeen. Jende asko mundo berriaren eta arraroaren aurrean aztoratuta sentitu zen, baina,, denbora piska bat pasa ondoren, zenbait kasutan, mundo horiek gure munduarekin espero baina antza handiagoa izan dute. Informazio gehiago nahi izanez gero, izen hauetara jo,riemann, Lobatchevski, Bolyai edo Gauss. Horiek dira, neurri batean, geometriaren eboluzioaren sortzaileak eta Unibertsoaren sorrerari buruzko teoria berrien bide-urratzaileak. MATEMATIKA 1 DBH 129

22 Geometría laua Gogora ezazu garrantzitsuena Zuzenak Puntuak eta zuzenak geomatria lauaren oinarrizko elementuak dira. Lerro zuzena bi puntuen arteko lerrorik motzena da. Elkar ebakitzen ez duten bi zuzenak paraleloak dira. Puntu batean elkar ebakitzen dutenak, berriz, ebakitzaileak dira. Bi zuzen perpendikularrak dira, planoa anplitude besdineko lau eremutan zatitzen badute. Zuzenki baten erdibitzailea zuzen bat da: perpendikularra zuzenkiarekiko, eta zuzenkia bi zati berdinetan zatitzen du. A eta B puntuak simetrikoak dira zuzen batekiko, zuzen hori AB zuzenkiaren erdibitzailea bada. Ángeluak Angelua hau da: jatorri bereko bi zuzenerdik planoa zatitzean sortzen duten eremu bakoitza. Angeluak hainbat irizpideren arabera sailka daitezke: anplitudearen arabera: zuzena, llaua, nulua. angelu zuzenarekin alderatuz: zorrotza, kamutsa. angelu lauarekin alderatuz: konkaboa (ahurra), konbexua (ganbila). Gradua hau da: zirkunderentzia 360 zati berdinetan egin, eta zati horietako bakoitzaren anplitudea. Beraz, angelu zuzenak 90º ditu eta lauak 180º ditu. Angelu bat bi zati berdinetan zatitzen duen zuzenerdiari angeluaren erdikaria esaten zaio Angeluen arteko batuketa eta kenketa egiteko, anplitudeak batu edo kendu behar dira. 130 MATEMATIKA 1 DBH

23 Autoebaluazioa 1. Lotu elementu bakoitza izenarekin. 2. Adierazi zuzenen arteko posizio erlatiboa. 3. Zuzen bat perpendikularra bada beste biekiko, zer posizio erlatiboa dute bi zuzen horiek? 4. Zuzen bat perpendikularra da zuzen batekiko, eta zuzenki hori bi zati berdintan zatitzen du. Zer izena du zuzen horrek? 5. Adierazi A puntuaren simetrikoa ardatzekiko (r, s eta t). 6. Bi zuzen ebakitzaileek zenbat angelutan zatitzen dute planoa? 7. Kalkulatu 64º-ko angeluaren angelu oasagarriaren eta betegarriaren anplitudea. 8. Bi angelu betegarriak dira. Zer angelu osatzen dute angelu horien erdikariek? 9. Kalkulatu: 17º+36º+42º 10. Kalkulatu: 2 138º 53º 16º MATEMATIKA 1 DBH 131

24 Praktikatzeko ariketen erantzunak 1. Zuzenak honelakoak izan daitezke: paraleloak, puntu komunik ez badute; ebakitzaileak, puntu komun bat badute; eta bat datozenak, bi puntu edo gehiago badituzte. 2. D-tik B-ra eta A-ra dagoen distantzia bera da. Beraz, d D, A 5, Sailkapena: 0º...Nulua... Zorrotza. Ganbila 45º...Zorrotza.. Ganbila 90º...Zuzena... Ganbila 135º...Kamutsa. Ganbila 180º...Laua 225º...Ahurra 4. 37º-ko angeluaren osagarria 53ºkoa da; eta betegarria 143º-koa da. 5. Bi angelu 85º-koak eta beste bi 95º-koak º 124º 24º 195º º 5 19º 176º 8. 52º : 4 13º 9. Emaitza: 220 º 1' 12' '. 10. Emaitza: 246 º 35' 56' '. 11. Emaitza: 221 º 27' 3' '. 12. Emaitza: 14 º 39' 26' ' y resto 6 ' '. 13. Ikusi bideoa (perpendikularra nola marraztu). 14. Ikusi bideoa (paraleloa nola marraztu). 15. Ikusi bideoa (erdibitzailea nola marraztu). 16. Ikusi bideoa (erdikaria nola marraztu). 17. Ikusi bideoa (simetrikoa nola marraztu). AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak 1. a. zuzenerdi; b. zuzenki; c. rzuzen. 2. a. paraleloak; b. bat datoz; c. ebakitzaileak. 3. Paraleloak dira. 4. erdibitzailea. 5. Simetrikoak ondoko grafikoan agertzen dira. 6. Lau angelutan. 7. Osagarria: 26º-koa. Betegarria: 116º-koa. Bidali jarduerak tutoreari 8. Perpendikularrak dira. 9. Emaitza: 95º º 53º 16º 207º. 132 MATEMATIKA 1 DBH