Examen de la 2ª Evaluación 27/03/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA

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1 Física º Bach. Examen de la ª Evaluación 7/03/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Elige y desarrolla una de las dos opciones propuestas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Cuestiones 4 puntos (1 cada cuestión, teórica o práctica) No se valorará la simple anotación de un ítem como solución a las cuestiones teóricas. Puede usarse calculadora siempre que no sea programable ni memorice texto. Opción A PROBLEMAS 1. Un protón acelerado por una diferencia de potencial de 5,0 kv penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 0,3 T. Calcula: a) El radio de la órbita que describe. (Dibuja un esquema) b) La diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador separadas 3,0 cm que produzca un campo eléctrico uniforme necesario para anular la fuerza del campo magnético. (Dibuja un esquema) c) Si se repite la experiencia con un segundo protón que tuviese la misma velocidad pero se encontrase sólo con el campo eléctrico del apartado anterior, a qué distancia del borde de la armadura más próximo al punto de entrada choca con una de las armaduras? (Supón que el protón entra por un punto que equidista de las armaduras) Datos Cifras significativas: potencial de aceleración V = 5,0 kv = 5, V valor de la intensidad del campo magnético B = 0,3 T carga del protón q = 1, C ángulo entre la velocidad del protón y el campo magnético φ = 90º masa del protón m = 1, kg distancia entre las armaduras del condensador d = 3,0 cm = 3, m punto de entrada del protón y 0 = ½ d = 1, m Incógnitas radio de la trayectoria circular R diferencia de potencial entre las armaduras de un condensador que V A V B crea un campo eléctrico que anula la fuerza del campo magnético distancia del borde de la armadura a la que choca si sólo actuase el x campo eléctrico Otros símbolos valor de la fuerza magnética sobre el protón F B velocidad del protón v valor de la fuerza eléctrica sobre el protón F E energía (cinética) del protón E c Ecuaciones trabajo del campo eléctrico W ELECTRICO = q V trabajo de la fuerza resultante W = E c ley de Lorentz: fuerza magnética sobre una carga q que se desplaza en el interior de un campo magnético B con una velocidad v F B = q (v B) aceleración normal (en un movimiento circular de radio R) a N = v R ª ley de Newton de la Dinámica F = m a ecuación de movimiento con vector aceleración constante r = r 0 + v 0 t + ½ a t

2 a) Para calcular la velocidad tenemos que tener en cuenta que al acelerar el protón con una diferencia de potencial (suponemos que desde el reposo), este adquiere una energía cinética: v= q V m p W ELECTRICO = q V = E c = ½ m p v ½ m p v 0 = 1, [C] 5, [V] =9, m/s 1, [kg] + E v F B Como sólo actúa la fuerza magnética: F = F B El protón describe una trayectoria circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal a N, F B =ma=m a N =m v R Usando la expresión de la ley de Lorentz (en módulos) para la fuerza magnética Despejando el radio R q B v sen =m v R R= m v q B sen = 1, [kg] 9, [m/s] 1, [C] 0,3[T] sen 90 º =3, 10 m=3, cm b) Para anular la fuerza magnética, deberá actuar una fuerza eléctrica opuesta, de forma que: F B + F E = 0 F B = F E q B v sen φ = q E v 3cm E F B F E B E = B v sen φ = 0,3 [T] 9, [m/s] sen 90º = 3, V/m Por ser un campo uniforme, la diferencia de potencial entre las armaduras es: V A V B = E d = 3, [V/m] 3, [m] = 9, V c) Si sólo actúa el campo eléctrico, la única fuerza que actúa sobre el protón es la fuerza eléctrica (el peso es despreciable) y éste seguirá una trayectoria parabólica hacia abajo (según el dibujo). Situando el origen de coordenadas en el punto de entrada, y el eje X en la dirección de avance del protón (horizontal) y sentido positivo el de avance (hacia la derecha), y el eje Y vertical, sentido positivo hacia arriba, la ecuación de movimiento del protón es: La aceleración se calcula de la ª ley de Newton r = r 0 + v 0 t + ½ a t v 3cm F E E F a= E m = q E =1, [C] 3, [V/m] j = 3, j m/s m 1, [kg] r=9, t i 1, t j El protón choca contra la placa negativa cuando la posición vertical sea y = -0,015 m -0,015 m = -1, t

3 0,015[ m] t= 1, [m/s ] =3, s x = 9, [m/s] 3, [s] = 0,031 m = 3,1 cm. Un resorte de masa despreciable se estira 100 mm cuando se le aplica una fuerza de,45 N. Se fija en su extremo libre una masa de 85 g y se estira 150 mm a lo largo de una mesa horizontal a partir de su posición de equilibrio y se suelta dejándolo oscilar libremente sin rozamiento. Calcula: a) El período de oscilación. b) La energía cinética cuando el muelle se ha comprimido 75 mm. c) El tiempo que tarda en recorrer la distancia entre la posición inicial y el punto del apartado anterior. Datos Cifras significativas: 3 masa que realiza el M.A.S. m = 85 g = 0,085 kg fuerza aplicada F a =,45 N alargamiento x = 100 mm = 0,100 m posición inicial x 0 = 150 mm = 0,150 m amplitud (elongación máxima) A = x 0 = 0,150 m Incógnitas período de oscilación T energía cinética para x = -0,075 m E c tiempo que tarda en ir desde la posición inicial y x = -0,075 m t Otros símbolos elongación x constante elástica del resorte k pulsación (frecuencia angular) ω = π f = π / T fase inicial φ 0 fuerza recuperadora elástica F energía mecánica E energía potencial E p Ecuaciones de movimiento en el M.A.S. x = A sen(ωt + φ 0 ) relación entre la aceleración a y la elongación x a = -ω x ley de Hooke: fuerza recuperadora elástica F = -kx ª ley de Newton F = m a energía potencial elástica E p = ½ k x energía cinética E c = ½ mv energía mecánica E = (E c + E p ) = ½ k A a) En el equilibrio la fuerza elástica contrarresta a la fuerza aplicada F a = k x,45 [N] = k 0,100 [m] k = 4,5 N/m Cuando oscila, la fuerza resultante es la fuerza elástica. -k x = m a = m (-ω x) k = m ω 4,5 [N/m] = 0,085 [kg] ω

4 ω = 17,0 rad/s = π f f =,70 s -1 T = 1 / f = 0,370 s b) Energía potencial para x = -0,075 m: Energía cinética para x = 0,075 m: c) La ecuación de movimiento es: E = ½ 4,5 [N/m] (0,150 [m]) = 0,76 J E p = ½ k x = ½ 4,5 [N/m] (-0,075 [m]) = 6, J E c = E E p = 0,76 6, = 0,07 J x = A sen(ωt + φ 0 ) en la que ya se conocen todos los parámetros excepto la fase inicial: x = 0,150 sen(17,0 t + φ 0 ) [m] Pero la posición inicial (t = 0) es, x 0 = 0,150 m, por lo que: que da la ecuación de movimiento: de la que se calcula t cuando x = -0,075 m 0,150 = 0,150 sen φ 0 φ 0 = arc sen 1 = π / [rad] x = 0,150 sen(17,0 t + π / ) [m] -0,075 = 0,150 sen(17,0 t + π / ) 17,0 t + π / = arc sen (-1/) Si se elige el primer valor que da la calculadora para sen -1 (-1/) = - π / 6, daría un tiempo negativo. Pero hay otros ángulos para los que el seno vale -1/. En la primera circunferencia: φ 1 = 3,67 [rad] = 7 π / 6 [rad] φ = 5,76 [rad] = 11 π / 6 [rad] que dan ambos un tiempo positivo. Hay que tener en cuenta que la primera vez que pasa por x = -0,075 m, la velocidad es negativa (el sentido de compresión del muelle). El primer valor φ 1 daría: para el que la velocidad es: 17,0 t 1 + π / = 7 π / 6 t 1 = π / (3 17,0) = 0,13 s v = dx / dt = 0,150 17,0 cos(17,0 t + π / ) =,55 cos(17,0 t + π / ) [m/s] que tiene el signo adecuado. v 1 =,55 cos(17,0 0,13 + π / ) = -,1 m/s DATOS: m p = 1, kg, e = -1, C CUESTIONES TEÓRICAS Razona las respuestas a las siguientes cuestiones:

5 1. Cómo varía g desde el centro de la Tierra hasta la superficie (suponiendo la densidad constante)? : A) es constante g = GM T /R T B) aumenta linealmente con la distancia r desde el centro de la Tierra g = g 0 r/ R T C) varía con la distancia r desde el centro de la Tierra según g = GM T /(R T + r) B En el interior de la Tierra (supuesta una esfera maciza de densidad constante): g i =G m r en la que m es la masa de la esfera de radio r interior al punto en el que deseamos calcular el valor del campo g i. Si la densidad ρ es la misma que la de la Tierra: g i =G M T r 3 = M T = m 4 3 R 3 4 T 3 r3 m= M T r 3 r R =G M T 3 3 T R T R T 3 r=g M T R T r R T =g 0 r R T. Se dispone de un hilo infinito recto y con corriente eléctrica I. Una carga eléctrica +q próxima al hilo moviéndose paralelamente a él y en el mismo sentido que la corriente: A) Será atraída. B) Será repelida. C) No experimentará ninguna fuerza. A A partir de la aplicación de la ley de Lorentz que da la fuerza F ejercida por un campo magnético sobre una carga q que se mueve con una velocidad v: F = q (v B) y de la ley de Biot-Savart que da el campo magnético creado por un hilo indefinido por lo que pasa una intensidad de corriente I, en un punto que dista d del hilo B= 0 I d y de la dirección del campo magnético dada por la regla de la mano derecha, podremos conocer las direcciones de las fuerzas debidas la acción mutua entre corrientes. La fuerza F del campo magnético B (debida a la corriente I) sobre la carga +q que se mueve paralelamente y en el mismo sentido que la corriente se rige por la regla de la mano izquierda. I F B q v 3. Si el flujo del campo eléctrico a través de una superficie gaussiana que rodea a una esfera conductora cargada y en equilibrio electrostático es Q / ε 0, el campo eléctrico en el exterior de la esfera es: A) cero B) Q /4 π ε 0 r C) Q / ε 0 B Como el flujo elemental dφ del vector campo eléctrico E que atraviesa una superficie elemental ds, que se puede representar por el vector ds perpendicular a ella dirigido hacia el exterior, es

6 dφ = E ds el producto escalar de ambos vectores. El flujo total a través de una superficie cerrada es: = S E d S A una distancia r del centro de la esfera el vector campo eléctrico E tiene dirección radial y es paralelo al vector superficie que represente cualquier superficie elemental en la superficie de la esfera. En todos los puntos de una esfera imaginaria de radio r el valor de campo eléctrico es el mismo porque todos distan lo mismo del centro de la esfera. El flujo del vector campo eléctrico E que atraviesa esa esfera imaginaria es: = S E d S= S E d S cos0= S E ds=e S ds=e S=E 4 r Como el flujo total viene dado por el teorema de Gauss: igualando las expresiones anteriores, queda = Q encerrada 0 = Q 0 E 4 r = Q 0 y despejando el módulo E del campo eléctrico E= Q 4 r 0 CUESTIÓN PRÁCTICA 1. Qué influencia tienen en la medida experimental de g con un péndulo simple, las siguientes variables? a) La masa. b) El número de oscilaciones. c) La amplitud de las oscilaciones. La medida experimental de g se basa en la medida de tiempos de un número de oscilaciones para calcular el período del péndulo, y, a partir de la ecuación, calcular el valor de g. a) Ninguna. La expresión del período T de un péndulo de longitud l es: T= l g donde g es la aceleración de la gravedad. La masa no aparece en la expresión y no afecta al valor del período. b) Ninguna. Es conveniente que el número de oscilaciones sea del orden de 10 o 0 para aumentar la precisión de la medida. c) Ninguna. Se considera que el comportamiento se puede tomar como armónico para ángulos menores de 15º. Siempre que las amplitudes sean pequeñas no influirán en la medida de g.

7 Física º Bach. Examen de la ª Evaluación 7/03/06 DEPARTAMENTO DE FÍSICA E QUÍMICA Nombre: Elige y desarrolla una de las dos opciones propuestas. Puntuación máxima: Problemas 6 puntos (1 cada apartado) Cuestiones 4 puntos (1 cada cuestión, teórica o práctica) No se valorará la simple anotación de un ítem como solución a las cuestiones teóricas. Puede usarse calculadora siempre que no sea programable ni memorice texto. Opción B PROBLEMAS 1. Sabiendo que la masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna y la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es 6,0 veces superior a la aceleración de la gravedad en la superficie lunar, calcula: a) La velocidad de un satélite que se mueve en una órbita circular estable en torno a la Luna a una altura de 3 00 km de su superficie. b) El peso del satélite en dicha órbita si su masa es kg. c) La velocidad con la que se estrellaría en la superficie de la Luna si cayese desde esa órbita por un simple error de orientación. Datos Cifras significativas: radio de la Tierra R T = km = 6, m gravedad en la superficie terrestre g T = 9,81 m/s constante de la gravitación universal G = 6, N m kg - masa de la Tierra M T = 81 M L gravedad en la superficie lunar g L = g T / 6,0 = 1,6 m/s altura de la órbita del satélite sobre la luna h = 3 00 km = 3, 10 6 m masa del satélite m = kg = 1, kg Incógnitas valor de la velocidad del satélite alrededor de la Luna v peso del satélite en su órbita T velocidad con la que se estrellaría en la superficie de la Luna v s Otros símbolos masa de la Luna M L radio de la órbita del satélite alrededor de la Luna Ecuaciones ley de Newton de la gravitación universal F (aplicada a la fuerza que ejerce la Tierra esférica sobre la Luna puntual) G =G M T m L aceleración normal (en un movimiento circular de radio r) a N = v r ª ley de Newton de la Dinámica F = m a velocidad en un movimiento circular uniforme de radio r (M.C.U.) v= r T energía potencial gravitatoria (referida al infinito) E p = G M m r Calculos: Como la única fuerza que siente el satélite que gira alrededor de la Luna es la fuerza gravitatoria que ejerce la Luna,

8 F = F G m a = F G El satélite describe una trayectoria aproximadamente circular con velocidad de valor constante, por lo que la aceleración sólo tiene componente normal a N, satélite F G h R L m v =G M L m Luna Despejando la velocidad v del satélite v= G M L La masa M L de la Luna se podría calcular si se conociese la masa M T de la Tierra, ya que M T = 81 M L El peso de un objeto de masa m en la superficie de la Tierra es la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre él. Despejando la masa de la Tierra y la masa de la Luna: m g T =G M T m R T M T = g T R T G = 9,81[m/s ] 6, [m] =5, kg 6, [N m kg ] M L = M T [kg] 81 =5, =7,4 10 kg 81 Para calcular el radio de la órbita,, se necesita calcular el radio de la Luna, ya que: = R L + h Como se conoce el valor de la aceleración en la superficie de la Luna, podemos usar la relación entre peso y fuerza gravitatoria m g L =G M L m R L Despejando el radio R L de la Luna: = R G M L L = 6, [N m kg ] 7,4 10 [kg] =1, m 1,6[m/s ] y el radio de la órbita, Ahora ya se puede calcular la velocidad del satélite: v= G M L g L = R L + h = 1, , 10 6 = 4, m = 6, [N m kg ] 7,4 10 [kg] =1, m/s=1,0 km/s 4, [m] b) El peso del satélite es la fuerza con la que la Luna lo atrae P=G M L m r =6, [N m kg ] 7,4 10 [kg] 1, [kg] =, N 4, [m]

9 c) Si cayese sobre la superficie lunar sin pérdida de energía, se podría aplicar el principio de conservación de la energía (la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa). (E c + E p ) suelo = (E c + E p ) órbita 1 m v s G M Lm R L = 1 m v órb G M Lm v s =v órb G M L G M L R L v s= v órb G M L 1 1 R L = v órb G M Lh R L v s= 1,0 103 [m/s] 6, [N m kg ] 7,4 10 [kg] 3, 10 6 [m] =, 10 3 m/s 4, [m] 1, [m]. En los vértices de un triángulo equilátero de 5,00 cm de lado hay tres cargas de,00 nc cada una. Calcula: a) El campo electrostático en cualquier punto donde se encuentre una carga. b) Qué carga habría que situar en el centro del triángulo para que el conjunto quede equilibrio. c) Los trabajos necesarios para traer esa carga desde el infinito hasta el centro de un lado y desde ahí hasta el centro del triángulo. a) La intensidad del campo eléctrico en uno de los vértices (el superior) debido a la acción de las otras dos cargas es, por el principio de superposición: E CA C E CB E C = E CA + E CB La intensidad del campo eléctrico creado por cada carga Q, en un punto que dista r de ella es: A E C B E=K Q r u r E CA =9, [N m C ], [C] cos60 i sen 60 j = 3,60 i 6,4 j 10 3 N C 1 0,0500[m] Por simetría, La intensidad del campo eléctrico en C será: y, en general, será de valor: y dirigida hacia el centro del triángulo. E CB = (3,60 i 6,4 j ) 10 3 N C -1 E C = -1, j N C -1 E C = 1, N C -1 b) La intensidad del campo eléctrico en el centro del triángulo es nula por simetría, así que cualquier carga situada en ese punto estará en equilibrio. Al colocar una cuarta carga en el centro del triángulo, se hallará en equilibrio. Si ahora todas las cargas han de encontrarse en equilibrio, la intensidad del campo eléctrico en cada uno de los vértices ha de ser nula. E C = E CA + E CB + E CD = 0 A C D B

10 La distancia entre D y C es: E CD = 1, j N C -1 r= L/ cos30 =5,00[cm]/ =,89 cm=0,089 m cos30 Q D 9, [N m C ] 0,089[m] j=1, j N C 1 Q D = 1, C c) El trabajo realizado por la fuerza del campo cuando se traslada una carga q desde un punto M hasta un punto N es, W CAMPO = q (V M V N ) El potencial eléctrico en el punto H medio del lado AB es: V H = V HA + V HB + V HC. El potencial eléctrico en punto M que dista r de una carga puntual Q es V M =K Q r La distancia h entre H y C es, h = L sen 60 = 4,33 cm = 0,0433 m V H =9, [N m C ] Como el potencial eléctrico en el infinito es nulo, V = 0,, [C], [C] 0,050[ m] 0,0433[m] = 1, V W CAMPO = Q D (V V H ) = 1, [C] ( 0 (-1, [V]) ) =, J W FUERZA EXTERIOR = W CAMPO =, J El potencial eléctrico en el centro D del triángulo es: V D =V DA V DB V DC =3 9, [N m C ], [C] 0,089[m] = 1, V Al mover la carga desde el centro del lado H hasta el centro del triángulo D W CAMPO = Q D (V H V D ) = 1, C ( -1, [V] (-1, [V]) ) = 10-8 J W FUERZA EXTERIOR = W CAMPO = 10-8 J Analisis: Con las cifras significativas de los datos, el resultado es solo aproximado con un error del 100%. DATOS: R T = km G = 6, N m kg- gravedad en la superficie terrestre = 9,81 m/s K = 1/(4π ε 0 ) = 9, N m C-. CUESTIONES TEÓRICAS Razona las respuestas a las siguientes cuestiones: 1. Un satélite gira alrededor de un planeta describiendo una órbita elíptica Cuál de las siguientes magnitudes permanece constante?: A) Momento angular. B) Momento lineal. C) Energía potencial. C

11 El momento angular L O de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v respecto a un punto O que se toma como origen es: L O = r mv Para estudiar su variación, derivamos con respecto al tiempo: d L d t = d r m v = d r d t d t d m v = v m v r F= 0 0= 0 d t El primer sumando da el vector 0 porque la velocidad v y el momento lineal mv son paralelos. El segundo sumando también da el vector 0 porque, al ser el campo de fuerzas un campo central, el vector de posición r con origen en el punto origen del campo y el vector fuerza (dirigido hacia ese origen) son vectores paralelos. Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas centrales, el momento angular respecto al punto origen de la fuerza es un vector constante, ya que su derivada es cero.. Un cable recto de longitud l y corriente i está colocado en un campo magnético uniforme B formando con él un ángulo θ. El módulo de la fuerza ejercida sobre dicho cable es: a) ilbtgθ, b) ilbsenθ, c) ilbcosθ. B La ª ley de Laplace dice que la fuerza F ejercida por un campo magnético B uniforme sobre un cable recto de longitud l por el que pasa una corriente i viene dado por el producto vectorial del vector l por el vector campo B magnético multiplicado por la intensidad i que atraviesa el conductor. F=i l B El producto vectorial de dos vectores l y B es otro vector cuyo módulo vale el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman cuando coinciden sus orígenes. que se pude escribir también como: F =i l B sen F = i l B sen θ 3. Una espira rectangular está situada en un campo magnético uniforme, representado por las flechas de la figura. Razona si el amperímetro indicará paso de corriente: A) Si la espira gira alrededor del eje Y. B) Si gira alrededor del eje X. C) Si se desplaza a lo largo de cualquier de los ejes X o Y. Y X B La ley de Faraday Lenz dice que se inducirá una corriente que se oponga a la variación de flujo a través de la espira. La f.e.m. de esa corriente será igual a la variación de flujo magnético respecto al tiempo. = d dt El flujo magnético es el producto escalar del vector B campo magnético por el vector S perpendicular a la superficie delimitada por la espira. A

12 B Y φ S X Φ = B S = B S cos φ Cuando la espira gira alrededor del eje Y, el flujo magnético no varía, puesto que es nulo todo el tiempo: las líneas del campo magnético no atraviesan la superficie de la espira ni cuando la espira está en reposo ni cuando gira alrededor del eje Y, pues son siempre paralelas al plano de la espira. El ángulo φ vale siempre π/ rad y el cos π/ = 0. S φ Y B X Pero cuando la espira gira alrededor del eje X, las líneas de campo atraviesan la superficie plana delimitada por la espira, variando el flujo magnético desde 0 hasta un máximo cuando la espira está en el plano XZ perpendicular al eje Y que es el del campo magnético. Luego vuelve a disminuir hasta hacerse nulo cuando haya girado π rad. Al desplazarse la espira, siempre paralelamente a las líneas de campo, el flujo seguirá siendo nulo en todos los casos. CUESTIÓN PRÁCTICA 1. En el estudio estático de un resorte se representan variaciones de longitud ( l i ) frente a las fuerzas aplicadas (F i ), obteniéndose una línea recta. En el estudio dinámico del mismo resorte se representan las masas (m i ) frente a los cuadrados de los períodos (T i ), obteniéndose también una recta. Tienen las dos la misma pendiente? Razona la respuesta. En el estudio estático se usa la ley de Hooke: F = k l Si l se representa en el eje de ordenadas, y las fuerzas F en el eje de abscisas, la pendiente de la recta será: pendiente estudio estático = p e = l / F =1 / k igual al inverso de la constante elástica del resorte. En el estudio dinámico, la ecuación empleada es la relación entre la constante elástica k y la constante armónica ω k = m ω = 4 π m / T En la representación, las masas están en el eje de ordenadas y los cuadrados de los períodos en el de abscisas. Entonces: pendiente estudio dinámico = p d = m / T = k / 4 π Por lo tanto la pendiente de la representación derivada del estudio dinámico debería ser: distinta a la obtenida por el método estático. p d = k / 4 π = 1 / (p e 4 π )