6. Óptica Geométrica 6. ÓPTICA GEOMÉTRICA La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de obstáculos ó aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en general despreciar los eectos de intererencia y diracción asociados al carácter ondulatorio de la luz. Sobre esta hipótesis se asume una propagación rectilínea de los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como óptica geométrica. Los axiomas sobre los que se construye la óptica geométrica son:. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas. El rayo incidente, el reractado y la normal están en un mismo plano 3. Se cumple la ley de la relexión 4. Se cumple la ley de la reracción 5. Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles 6. No existe interacción entre los dierentes rayos donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como vimos en el capítulo anterior, y el último supone ignorar el carácter ondulatorio de la luz. La óptica geométrica se ocupa principalmente de la ormación de imágenes por espejos y lentes, base de la construcción de instrumentos ópticos tales como microscopios ó telescopios. 6. Espejos Figura 6.. Relexión en un espejo cóncavo (a) y plano (b) La igura 6..a muestra un haz de rayos que procede de un punto P situado en el eje de un espejo esérico cóncavo y que después de relejarse en el mismo convergen en el punto P. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina imagen real debido a que la luz realmente emana del punto imagen y puede verse por un ojo situado a la izquierda de la imagen y que mire hacia el espejo. La igura 6..b muestra un haz de rayos luminosos que proceden de una uente puntual P y se relejan en un espejo plano. Después de la relexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P situado detrás del espejo dando lugar a una imagen virtual debido a que la luz no procede 6-
6. Óptica geométrica realmente de la imagen. A pesar de esta dierencia entre imagen real y virtual, los rayos luminosos que divergen desde ambos tipos de imagen son idénticos para el ojo. La igura 6. esquematiza el proceso de relexión de un rayo que procedente de un punto objeto P a una distancia s medida según el eje óptico, se releja en un espejo esérico y pasa por el punto imagen P situado a una distancia s. El punto C es el centro de curvatura del espejo y el punto V sitúa la intersección del espejo con el eje óptico. Los rayos incidente y relejado orman ángulos iguales con la línea radial CA que es perpendicular a la supericie del espejo. Figura 6.. Proceso de relexión de un rayo en un espejo cóncavo De la geometría expuesta en la igura se deduce que el ángulo β=α+θ y que γ=α+θ. La distancia imagen s desde el vértice V del espejo a P puede relacionarse con la distancia objeto s asumiendo que los ángulos son pequeños y que senθ θ, rayos paraxiales. El resultado es + = [6.] s s r Cuando la distancia objeto es grande en comparación con el radio de curvatura, s=, la distancia imagen es s = r y recibe el nombre de distancia ocal del espejo. El punto ocal F es el punto en donde resultan enocados todos los rayos paralelos al eje del espejo = r [6.] La distancia ocal de un espejo esérico es igual a la mitad del radio de curvatura. En unción de la distancia ocal, la ecuación [6.] toma la orma 6-
6. Óptica Geométrica + = [6.3] s s conocida como ecuación del espejo. El criterio de signos a aplicar a la hora de utilizar correctamente estas ecuaciones es el siguiente s + si el objeto está delante del espejo (objeto real) - si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual) s + si la imagen está delante del espejo (imagen real) - si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual) r, + si el centro de curvatura está delante del espejo (espejo cóncavo) - si el centro de curvatura está detrás del espejo (espejo convexo) Un método que resulta útil a la hora de situar imágenes consiste en la construcción de un diagrama de rayos esquematizado en la igura 6.3. Existen tres rayos principales convenientes para la construcción de la imagen Figura 6.3. Diagrama de rayos en un espejo concavo Figura 6.4. Imagen virtual en un espejo cóncavo Figura 6.5. Imagen virtual en un espejo convexo. El rayo paralelo al eje óptico. Este rayo se releja pasando por el punto ocal. El rayo ocal, que pasa por el punto ocal. Este rayo se releja paralelamente al eje óptico 3. El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su supericie y por ello se releja coincidiendo consigo mismo La intersección de dos rayos cualesquiera sitúa el punto imagen superior pudiéndose utilizar el tercer rayo como comprobación. Cuando el objeto está entre el espejo y su punto ocal, los rayos relejados no convergen sino que parecen divergir desde un punto situado detrás del espejo, imagen virtual, tal y como se ilustra en la igura 6.4. En la igura 6.5 se muestra el diagrama de rayos para un objeto situado delante de un espejo convexo. El rayo central que se dirige hacia el centro de curvatura C es perpendicular al espejo y se releja sobre 6-3
6. Óptica geométrica si mismo. El rayo paralelo al eje se releja como si procediese del punto ocal F detrás del espejo. Podemos ver en la igura que la imagen está detrás del espejo y, por tanto, es virtual. La relación entre el tamaño del objeto y de la imagen se denomina aumento lateral de la imagen. En la igura 6.6, y utilizando la aproximación de rayos paraxiales, podemos ver que el aumento lateral es igual a Figura 6.6 Aumento lateral en un espejo cóncavo y s m = = [6.4] y s Un aumento negativo, lo que tiene lugar cuando s y s son positivos, signiica que la imagen está invertida. En el caso de espejos planos el radio de curvatura es ininito implicando que la distancia ocal es ininita. Esto da lugar a que s =s y m=. Esto da lugar a una imagen virtual, derecha (no invertida) y del mismo tamaño que el objeto. 6. Lentes 6.. Imágenes ormadas por reracción. La ormación de una imagen por reracción en una supericie esérica que separa dos medios con índices de reracción n y n se ilustra en la igura 6.7. Figura 6.7. Reracción en una supericie esérica En esta igura n >n de modo que las ondas se mueven más lentamente en el º medio. Aplicando la ley de Snell, con la aproximación de rayos paraxiales, y de los triángulos ACP y PAC obtenemos n θ = n θ β = θ θ + γ = α + β [6.5] y utilizando las aproximaciones de ángulos pequeños, rayos paraxiales 6-4
6. Óptica Geométrica α l s β l r l γ [6.6] s obtenemos la ecuación que liga la distancia imagen s con la distancia objeto s, el radio de curvatura r de la supericie y los índices de reracción de los dos medios n s n n n + = [6.7] s r En la reracción, las imágenes reales se obtienen detrás de la supericie que recibe el nombre de lado de transmisión, mientras que las imágenes virtuales se presentan en el lado de incidencia delante de la supericie. Por tanto el convenio de signos que utilizamos para la reracción queda s + (objeto real) para los objetos delante de la supericie (lado de incidencia) - (objeto virtual) para los objetos detrás de la supericie (lado de transmisión) s + (imagen real) para las imágenes detrás de la supericie (lado de transmisión) - (imagen virtual) para las imágenes delante de la supericie (lado de incidencia) r + si el centro de curvatura está en el lado de transmisión - si el centro de curvatura está en el lado de incidencia Se denomina punto ocal objeto F a la posición de un objeto puntual sobre el eje óptico tal que los rayos reractados son paralelos al eje óptico, lo cual equivale a tener la imagen del punto en el ininito. La distancia del objeto a la supericie esérica se denomina distancia ocal objeto. Análogamente, cuando los rayos incidentes son paralelos al eje óptico, objeto en el ininito, los rayos reractados pasan por el punto ocal imagen F situado a la distancia ocal imagen de la supericie. Según la igura 6.8 y utilizando de nuevo la ley de Snell y la aproximación de rayos paraxiales llegamos a que el aumento debido a la reracción en una supericie esérica es igual a y n s m = = [6.8] y n s Figura 6.8 Aumento debido a la reracción en una supericie esérica 6-5
6. Óptica geométrica 6.. Lentes delgadas. La aplicación más importante de la ecuación [6.7] para la reracción en una supericie simple consiste en hallar la posición de la imagen ormada por una lente siendo ésta un medio transparente de índice de reracción n limitado por dos supericies eséricas de radios r y r y de espesor despreciable, lente delgada. Según la igura 6.9, si un objeto está a una distancia s de la primera supericie se puede encontrarse la distancia s de la imagen debido a la reracción aplicando [6.7] n n + = [6.9] s s r Figura 6.9. Reracción de la luz y ormación de imagen en una lente delgada Esta imagen no llega a ormarse porque la luz se reracta de nuevo en la segunda supericie. En este caso s es negativa indicando que sería una imagen virtual. Los rayos dentro del vidrio, reractados por la primera supericie, divergen como si procediesen del punto imagen P. Estos inciden sobre la segunda supericie ormando los mismos ángulos que si se encontrase un objeto en este punto imagen. Por consiguiente, la imagen dada por la primera supericie se convierte en objeto para la segunda supericie. Como la lente es de espesor despreciable, la distancia objeto s es de valor igual a s pero de signo positivo dado que está en el lado de incidencia para la segunda supericie s =-s. Aplicando [6.7] para esta segunda reracción obtendremos la distancia imagen s para la lente n s n + = s r [6.0] y eliminando s al sumar [6.9] y [6.0] tenemos + = ( n ) s s r r [6.] 6-6
6. Óptica Geométrica La ecuación [6.] da la distancia imagen s en unción de la distancia objeto s y de las propiedades de la lente delgada. Como en el caso de los espejos, la distancia ocal de una lente delgada se deine como la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto ininita. Haciendo s= y escribiendo en lugar de la distancia imagen se tiene = ( n ) r r [6.] denominada ecuación del constructor de lentes y que da la distancia ocal de una lente en unción de sus propiedades. Introduciendo [6.] en [6.] obtenemos la denominada ecuación de la lente delgada + = [6.3] s s En una lente delgada los dos puntos ocales, objeto F e imagen F, están simétricamente ubicados a ambos lados de la lente delgada y a una distancia igual a la ocal. Figura 6.0. Lente convergente Figura 6.. Lente divergente Cuando la distancia ocal calculada a partir de [6.] es mayor que cero se dice que la lente es positiva ó convergente, igura 6.0, teniendo el punto ocal objeto F en el lado de incidencia y el punto ocal imagen F en el lado de transmisión. Las lentes más gruesas en el centro que en los extremos, biconvexas, son lentes positivas, siempre que su índice de reracción sea mayor que el del medio que las rodea. Sin embargo, cuando la distancia ocal es menor que cero, tenemos una lente negativa ó divergente y el punto ocal objeto está en el lado de transmisión y el punto ocal imagen en el lado de incidencia, igura 6., siempre que su índice de reracción sea mayor que el del medio que las rodea. El valor inverso de la distancia ocal se denomina potencia de la lente. Cuando se expresa en metros la distancia ocal, la potencia viene dada en recíprocos de metros denominados dioptrías (D) 6-7
6. Óptica geométrica P = dioptrías [6.4] midiendo la capacidad de la lente para enocar los rayos paralelos a una distancia corta de la misma. Si combinamos en un sistema óptico dos ó más lentes delgadas, podemos hallar la imagen inal producida por el sistema de lentes múltiples hallando la distancia imagen correspondiente a la primera lente y utilizándola junto con la distancia entre lentes para hallar la distancia objeto correspondiente a la segunda lente. Es decir, se considera cada imagen, sea real ó virtual y se orme ó no como el objeto para la siguiente lente. En caso de que las dos lentes delgadas de distancias ocales y estén en contacto, la distancia ocal equivalente de la combinación viene dada por = + [6.5] 6..3 Diagramas de rayos para las lentes. Como sucede con las imágenes ormadas por los espejos, es conveniente situar las imágenes dadas por las lentes mediante métodos gráicos. La igura 6. ilustra este método para lentes convergentes donde los rayos principales son Figura 6.. Diagrama de rayos en una lente convergente 6-8. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desvía de modo que pasa por el segundo punto ocal de la lente. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sure desviación dado que las caras de la lente son paralelas en este punto y la lente es delgada 3. El rayo ocal, que pasa por el primer punto ocal. Este rayo emerge paralelo al eje Estos tres rayos convergen en el punto imagen. En este caso la imagen es real e invertida y la ampliicación lateral vale, igual que en caso de espejos, m=-s /s.
6. Óptica Geométrica Los rayos principales para una lente divergente, tal y como se esquematiza en la igura 6.3, son. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo diverge como si procediese del segundo punto ocal de la lente. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sure desviación 3. El rayo ocal, que se dirige hacia el primer punto ocal. Este rayo emerge paralelo al eje Figura 6.3. Diagrama de rayos en una lente divergente 6..4 Aberraciones. Cuando los rayos procedentes de un punto objeto no se enocan en un solo punto imagen, la imagen borrosa resultante del objeto se denomina aberración. Los motivos de las aberraciones suelen clasiicarse en los siguientes tipos i) Aberración esérica. Los rayos que procedentes de un objeto en el eje óptico, inciden sobre una lente lejos del eje, rayos no paraxiales, se desviarán más que los próximos al mismo, igura 6.4, con el resultado de que no todos los rayos se enocan en un solo punto. En lugar de ello, la imagen tiene el aspecto de un disco circular. El círculo de mínima conusión, en donde se encuentra el diámetro mínimo, se encuentra en el punto C Figura 6.4. Aberración esérica en una lente 6-9
6. Óptica geométrica ii) Coma y astigmatismo. Son aberraciones propias de puntos uera del eje óptico, que dan lugar a imágenes no puntuales del punto objeto, y motivadas por considerar rayos no paraxiales al igual que en la aberración esérica. iii) Curvatura de imagen. Aún considerando que la imagen de un punto es otro punto, puede ocurrir que los puntos del plano objeto no están todos en el mismo plano imagen sino en una supericie curva produciendo una curvatura de la imagen iv) Distorsión. Da lugar a una imagen no semejante a la orma del objeto y es motivada por el hecho de que la ampliicación lateral depende de la distancia de los puntos objeto al eje v) Aberración cromática. El hecho de que el índice de reracción de la lente depende de la longitud de onda, enómeno que ya analizamos en el capítulo anterior y conocido como dispersión, produce aberraciones cuando trabajamos con luz no monocromática dado que la distancia ocal depende de n. La igura 6.5 ilustra este enómeno al iluminar con luz ormada por tres colores una lente Figura 6.5. Aberración cromática en una lente Las aberraciones son corregidas parcialmente utilizando supericies no eséricas para lentes y espejos, generalmente más costosas de producir que las supericies eséricas. Por ejemplo, es habitual el uso de supericies relectoras parabólicas que enocan en un punto los rayos paralelos al eje sin importar lo alejados que estén estos del eje óptico. Otro método habitualmente utilizado para corregir aberraciones es usar combinaciones de varias lentes, en lugar de una sola lente. Por ejemplo, una lente positiva, y otra negativa de mayor distancia ocal, pueden utilizarse juntas para producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberración cromática mucho menor que una lente simple de la misma distancia ocal. El sistema óptico de una buena cámara otográica contiene normalmente seis elementos para corregir las diversas aberraciones presentes. 6-0
6.3 Método matricial para el análisis de sistemas ópticos 6. Óptica Geométrica Un sistema óptico compuesto por dos ó más lentes delgadas se puede analizar algebraicamente ó gráicamente por los métodos hasta ahora expuestos sin más que tratar la imagen ormada por la primera lente como objeto de la segunda y así sucesivamente a través de todo el sistema. El problema aparece cuando el sistema contiene una ó mas lentes de espesor no despreciable dejando de ser válidos los métodos de análisis anteriormente desarrollados. En este apartado desarrollaremos un método de análisis basado en cálculo matricial que nos permitirá abordar sistemas ópticos compuestos por varias lentes gruesas. α θ β Figura 6.6 Proceso de reracción de un rayo óptico en una supericie esérica l r β θ β C γ Los sistemas ópticos contienen regiones de dierente índice de reracción. Las supericies de separación entre ellas son partes de supericies eséricas cuyos centros están situados sobre un eje común denominado eje óptico. Siguiendo el esquema de la igura 6.6 tenemos que un rayo óptico alcanza la supericie de reracción ormando un ángulo α con el eje óptico y a una altura l sobre ese mismo eje. Debido al proceso de reracción en la supericie, tenemos que ese rayo óptico cambia su ángulo con el eje óptico pasando a ser γ mientras que la altura continúa siendo l. Las ecuaciones [6.5] nos muestran que para rayos paraxiales n α + β) = n ( β + ) [6.6] ( γ y considerando que l β = nos queda r n n n l + r n α = γ [6.7] Utilizando notación matricial podemos poner que el rayo óptico (l,α) se ha transormado debido a la reracción en el rayo (l,γ) según la operación 0 l l n n = [6.8] α γ n r n 6-
6. Óptica geométrica 0 donde R= n n l recibe el nombre de matriz de reracción y C= matriz n r n α del rayo óptico. Por tanto la acción de la supericie sobre el rayo se describe por la operación RC= C [6.9] γ α l l t Figura 6.7 Transmisión de un rayo óptico entre dos planos que limitan una región de n constante y separados una distancia t Si no existen supericies donde cambia el índice de reracción, el rayo óptico seguirá trayectorias rectilíneas. Veamos como aplicar el cálculo matricial para describir la transmisión del rayo entre dos supericies separadas una distancia t y que limitan una región de índice de reracción constante, igura 6.7. Estas supericies representadas por planos en la igura son realmente eséricas, pero al estar los rayos paraxiales cerca del eje al atravesar el sistema podemos considerarlas como planos que cortan al eje óptico en puntos denominados vértices. Al seguir una trayectoria recta, el ángulo con el eje óptico no cambia α=γ. La relación entre las distancias l y l con el eje óptico vienen dadas, asumiendo rayos paraxiales, por la ecuación l + tα = l [6.0] Utilizando de nuevo notación matricial escribimos t l l = 0 α γ [6.] y notando T= t 0 como la matriz de transormación tenemos 6- TC= C [6.] Con este sistema de análisis matricial podemos trazar la trayectoria de cualquier rayo paraxial a través de cualquier sistema óptico llevando a cabo una serie de multiplicaciones matriciales en las que intervienen matrices de transmisión y de reracción.
6. Óptica Geométrica Consideremos por ejemplo una lente gruesa de espesor t esquematizada en la igura 6.8. Un rayo paraxial desde el plano objeto se dirige desde la derecha hacia la primera supericie de la lente, de radio de curvatura r, y que separa los medios de índice de reracción n y n. En esta supericie se reracta y continúa trasladándose hacia la segunda supericie de radio de curvatura r, supericie que separa los medios de índice n y n 3 donde se reracta de nuevo y continúa hasta el plano imagen. Plano objeto Plano imagen n n n3 r r s t s Figura 6.8. Lente gruesa de espesor t y trayectoria de un rayo óptico desde el plano objeto hasta el plano imagen Si especiicamos el rayo óptico por su matriz C, que nos da la altura por encima del eje y su pendiente al abandonar el plano objeto, tenemos que al llegar a la primera supericie la matriz del rayo óptico C vendrá dada por TC=C donde T es s T= 0 [6.3] siendo ésta la matriz de transmisión desde el plano objeto hasta la primera supericie a lo largo de una distancia s. Una vez en esta supericie, el rayo sure un proceso de reracción siendo ahora la matriz del rayo óptico R TC=C con una matriz de reracción R = 0 n n [6.4] n r n 6-3
6. Óptica geométrica La matriz del rayo óptico inmediatamente antes de llegar a la segunda supericie de reracción será T R TC=C con una matriz de translación, que lleva al rayo óptico desde la primera supericie hasta la segunda, dada por T = t 0 [6.5] Entonces el rayo se reracta en la segunda supericie de la lente gruesa pasando la matriz del rayo óptico a valer R T R TC=C con una matriz de reracción R = 0 n n [6.6] n3 r n3 Después de abandonar la segunda supericie de reracción, el rayo óptico continúa hasta el plano imagen siendo ahora la matriz de transmisión T T = s 0 [6.7] Por tanto podemos describir la trayectoria del rayo óptico, descrito por su matriz C, desde el plano objeto, hasta el plano imagen, donde llega como C, por la operación T R T R TC= C [6.8] Deinimos para este sistema óptico la matriz S del sistema como R T R = S [6.9] de orma que podemos escribir la ecuación [6.8] como T STC= C [6.30] Para un sistema óptico más complicado que el analizado hasta ahora bastará escribir la matriz del sistema óptico como la expresión general R 3 T 3 R T R = S [6.3] siendo el último término de la izquierda la matriz de reracción de la última supericie del sistema óptico. Esta matriz del sistema óptico nos permitirá trazar cualquier rayo paraxial a través del sistema utilizando [6.30]. 6-4
6. Óptica Geométrica Realicemos ahora los cálculos para trazar los rayos ópticos desde un objeto a través de un sistema óptico hasta la imagen ormada de este objeto. Para este propósito escribimos la matriz del sistema óptico en su orma más general a b S= c d [6.3] La igura 6.9 indica un sistema óptico general, el plano sobre el que está situado el objeto que envía los rayos paraxiales a través del sistema, así como el plano de la imagen que el sistema produce del objeto. Cualquier sistema de lentes y y s s Plano del objeto Plano de la imagen Plano en la primera supericie Plano en la última supericie Figura 6.9. Sistema óptico general l Cuando un rayo sale del plano objeto, éste se especiica por la matriz C= α s y la matriz de transmisión T= lleva el rayo a lo largo de la distancia s desde el 0 plano objeto hasta la primera supericie reractora del sistema óptico. Por consiguiente, al llegar a esta primera supericie el rayo se especiica por la matriz s l l + sα = 0 α α [6.33] La matriz del sistema lleva el rayo a través del sistema óptico y cuando abandona la última supericie de reracción se especiica por la matriz a c b l + sα al + asα + bα = d α cl + csα + dα [6.34] 6-5
6. Óptica geométrica s Finalmente la matriz de tranmisión T = lleva el rayo la distancia s 0 desde la última supericie de reracción hasta el plano de la imagen y al llegar se especiica por la matriz s al + asα + bα al + asα + bα + s cl + s csα + s dα l = = 0 cl + csα + dα cl + csα + dα γ [6.35] quedándonos entonces las ecuaciones escalares l = al + asα + bα + s cl + s csα + s dα γ = cl + csα + dα [6.36] Consideremos la primera de estas dos ecuaciones escalares l = ( a + s c) l + ( as + b + s cs + s d) α [6.37] donde l expresa la altura por encima del eje óptico en el plano imagen de un rayo que abandono el plano objeto a una altura l y pendiente α. Pero todos los rayos paraxiales que abandonan un punto del plano objeto independientemente de cuál sea su pendiente llegan al mismo punto en el plano imagen. Por consiguiente los valores de l no pueden depender de α y esto implica que los valores de s y s se relacionan por la ecuación ( as + b + s cs + s d ) = 0 [6.38] Es decir dado el valor de s, y despejando de la ecuación anterior, podemos encontrar el valor de s utilizando la ecuación as + b s = [6.39] cs + d Calculamos el aumento lateral de la imagen combinando las ecuaciones [6.37] y [6.38] l m = = a + s c [6.40] l Las ecuaciones [6.39] y [6.40] determinan completamente las características de la imagen que un sistema óptico arbitrario produce de un objeto sin más que calcular el valor de la matriz del sistema óptico. 6-6
6. Óptica Geométrica 6.4 Instrumentos ópticos 6.4. El ojo. El sistema óptico de máxima importancia es el ojo, esquematizado en la igura 6.9. La luz entra en el ojo a través de una abertura variable, la pupila, y se enoca mediante el sistema lente-cornea sobre la retina, una película de ibras nerviosas que cubre la supericie posterior del ojo. La retina contiene diminutas estructuras sensibles denominadas bastones y conos, que reciben la imagen y transmiten inormación a lo largo del nervio óptico hasta el cerebro. La orma de la lente cristalina puede alterarse ligeramente mediante la acción de Figura 6.9. Esquema del ojo humano los músculos ciliares. Cuando el ojo se enoca sobre un objeto alejado, el músculo se relaja y el sistema lente-cornea tiene su máxima distancia ocal, aproximadamente.5 cm, que es la distancia de la cornea a la retina. Cuando el objeto se acerca al ojo, se tensan los músculos ciliares aumentando la curvatura del cristalino ligeramente y disminuyendo de este modo su distancia ocal, y la imagen se enoca de nuevo en la retina en un proceso denominado de acomodación. Si el objeto está demasiado cercano al ojo, el cristalino no puede enocar del mismo en la retina y la imagen resulta borrosa. El punto más próximo para el cual el cristalino puede enocar una imagen en la retina se denomina punto próximo x pp. El valor normalizado tomado como punto próximo es 5 cm y el poder resolvente del ojo para esta distancia es alrededor de 0 - cm. El tamaño aparente de un objeto queda determinado por el tamaño de la imagen sobre la retina. Cuanto mayor es esta imagen, mayor es el número de bastones y conos activados. En la igura 6.0 podemos ver que el tamaño de la imagen sobre la retina es mayor cuando el objeto está cerca y más pequeño si está alejado. Así, aunque el tamaño del objeto no varía, su tamaño aparente es mayor cuando se acerca al ojo. Figura 6.0. Formación de imagen en la retina y tamaño aparente según la distancia 6-7
6. Óptica geométrica Una medida conveniente del tamaño de la imagen sobre la retina es el ángulo θ subtendido por el objeto en el ojo y θ = [6.4].5 cm El ángulo θ está relacionado con el tamaño del objeto y. Para ángulos pequeños y θ = tg θ = [6.4] s y combinando ambas ecuaciones resulta y y =. 5 cm s [6.43] Figura 6.. Hipermetropía y su correción con una lente convergente Figura 6.. Miopía y su correción con una lente divergente Así pues, el tamaño de la imagen sobre la retina es proporcional al del objeto y es inversamente proporcional a la distancia entre el objeto y el ojo. Como el punto próximo es el más cercano al ojo para el cual se orma una imagen nítida en la retina, la distancia al punto próximo es la distancia de mayor visión distinta (sin conusión). Si el ojo es menos convergente de lo que debiera, dando como resultado que las imágenes quedan enocadas detrás de la retina, se dice que la persona es hipermétrope. Esta persona ve correctamente objetos lejanos, para lo que se requiere poca convergencia, pero tiene problemas a la hora de ver claramente objetos cercanos. La hipermetropía se corrige con una lente convergente (positiva) como se observa en la igura 6.. Por el contrario, el ojo de una persona miope tiene excesiva convergencia y enoca la luz procedente de objetos distantes delante de la retina. Una persona miope puede ver objetos cercanos, ya que los rayos incidentes demasiado convergentes pueden ser enocados sobre la retina. La miopía se corrige con una lente divergente (negativa) como muestra la igura 6.. 6-8
6. Óptica Geométrica 6.4. El microscopio. Un microscopio es un sistema de lentes que produce una imagen virtual aumentada de un objeto pequeño. El microscopio más simple es una lente convergente, llamada comúnmente lupa. El objeto AB, igura 6.3, se coloca entre la lente y el oco F de modo que la imagen es virtual y está a una distancia s igual al punto próximo x pp. Como s es casi igual a, especialmente si es muy pequeña, podemos escribir para el aumento M s = s x pp [6.44] b B a F A F s =Xpp s Figura 6.3. Microscopio simple El microscopio compuesto es más elaborado, igura 6.4. Consiste en dos lentes convergentes de pequeña distancia ocal, llamadas el objetivo y el ocular. La distancia ocal del objetivo es mucho menor que la distancia ocal del ocular. Tanto como son mucho menores que la distancia entre el objetivo y el ocular y la distancia entre el segundo punto ocal del objetivo y el primer punto ocal del ocular recibe el nombre de longitud del tubo L. El objeto AB se coloca a una distancia del objetivo ligeramente mayor que ormándose una primera imagen real a b que hace de objeto para el ocular. La imagen a b debe estar a una distancia del ocular ligeramente menor que. La imagen inal ab es virtual, invertida y mucho mayor que el objeto. El objeto AB se coloca de manera tal que ab esté a una distancia del ocular igual al punto próximo x pp. Esta condición se obtiene mediante la operación de enoque, que consiste en mover todo el microscopio respecto al objeto. El aumento debido al objetivo es, teniendo en cuenta que en los microscopios L es prácticamente igual a la distancia entre el objetivo y el ocular M b a b = AB L [6.45] 6-9
6. Óptica geométrica y el debido al ocular M c ab x pp = [6.46] a b con lo que el aumento total es M ab xppl = M bm c = = [6.47] AB L Objetivo Ocular B a F b Fc a A Fb F c b b Xpp Figura 6.4. Microscopio compuesto 6.4.3 El telescopio. Otro instrumento óptico importante es el telescopio, utilizado para observar objetos muy distantes. En el telescopio de reracción, el objetivo, igura 6.5, es una lente convergente de distancia ocal muy grande, a veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen a b producida por el objetivo, está en su oco F b. Solo hemos indicado los rayos centrales ya que es todo lo que necesitamos porque conocemos la posición de la imagen. El ocular también es una lente convergente pero de distancia ocal mucho menor. Se coloca de orma tal que la imagen intermedia a b esté entre F c y el ocular y la imagen inal ab esté a x pp. El enoque se realiza moviendo el ocular solamente. El aumento producido por este instrumento no es lineal porque la imagen es siempre menor que el objetivo. En su lugar se deine un aumento angular, deinido como el cociente entre el ángulo β subtendido por la imagen y el ángulo α subtendido por el objeto 6-0
6. Óptica Geométrica β M = [6.48] α A causa de la proximidad de la imagen, el ángulo β es mucho mayor que α, siendo esto lo que crea la sensación de aumento. De acuerdo con la igura y teniendo en cuenta que los ángulos son pequeños obtenemos α a b = a b β = [6.49] donde se ha considerado que la distancia de a b al ocular es prácticamente. Sustituyendo en [6.48] tenemos M = [6.50] En consecuencia, para obtener un gran aumento, la distancia ocal del objetivo debe ser muy grande y la del ocular muy pequeña. Prácticamente, la longitud del instrumento está determinada por la distancia ocal del objetivo. Objetivo a α Fc a b F b Ocular β F c b Xpp Figura 6.5. Telescopio La principal consideración a tener en cuenta en el caso de un telescopio astronómico no es su poder ampliicador, sino su capacidad de recoger la luz procedente del objeto lejano, que depende del tamaño del objetivo. Cuanto mayor es el objetivo, mayor es la luminosidad de la imagen. Sin embargo son muy diíciles de abricar lentes muy grandes sin aberraciones a lo que hay que unir el problema del peso de las mismas. Un telecopio relector, igura 6.6, utiliza un espejo cóncavo en lugar de una lente como objetivo. Esto orece varias ventajas importantes entre las 6-
6. Óptica geométrica que destacan que un espejo no produce aberración cromática y su peso es mucho menor que una lente de calidad óptica semejante. Figura 6.6. Telescopio relector Los instrumentos ópticos son mucho más complicados que la versión simpliicada que hemos presentado, principalmente por la necesidad de producir una imagen tan desprovista de aberraciones como sea posible. Por esta razón, los oculares y los objetivos suelen consistir en sistemas de varias lentes. 6-