UN TRATO VENTAJOSO Un millonario regresaba contento de un viaje, durante el cual había tenido un encuentro con un desconocido que le prometía grandes ganancias. Se lo contaba así a sus familiares: -Hagamos, me dijo el desconocido, el siguiente trato. Cada día, durante todo un mes le entregaré 100.000 euros. Claro que no voy a hacerlo gratis, pero el pago es una nimiedad. El primer día yo debía pagarle (me hace gracia decirlo) sólo un céntimo. No di crédito a lo que oía: - Un céntimo?-le pregunté de nuevo. -Un céntimo-contestó. Por los segundos 100.000 euros, pagará usted 2 céntimos. -Bien, dije impaciente y después? -Después por los terceros 100.000 euros,4 céntimos, por los cuartos,8;por los quintos,16.y así durante todo el mes; cada día pagará usted el doble del anterior. - Y qué más?-le pregunté. -Eso es todo-dijo-no le pediré nada más. Pero debe usted mantener el trato en todos sus puntos; todas las mañanas le llevaré los 100.000 euros y usted me pagará lo estipulado. No intente romper el trato antes de finalizar el mes. Entregar cientos de miles de euros por céntimos! A no ser que el dinero sea falso este hombre está loco! No puedo dejar escapar esta oportunidad-pensé -Está bien-le contesté. Traiga usted el dinero. Por mi parte, le pagaré puntualmente. Y usted no me venga con engaños, traiga dinero bueno. -Puede estar tranquilo-me dijo.
Transcurrió aquel día. Al día siguiente, por la mañana temprano, el desconocido que el rico había encontrado en el viaje, llamó a la ventana. - Ha traído usted el dinero?-dijo-yo he traído el mío. Efectivamente, una vez en la habitación, el desconocido empezó a sacar dinero que no tenía nada de falso. Contó 100.000 euros justos y dijo: -Yo ya he cumplido mi parte. Ahora le toca a usted pagar. El millonario puso un céntimo sobre la mesa y esperó receloso a ver si el huésped tomaba la moneda o se arrepentiría exigiendo que le devolviese los 100.000 euros. Pero el desconocido miró el céntimo y se lo metió en el bolsillo. -Espéreme mañana a la misma hora y no se olvide de los dos céntimos que tiene que traer-dijo; y se fue. El rico no daba crédito a su suerte, le habían caído del cielo 100.000 euros! Pero por la noche le entró miedo: no sería un ladrón que fingía ser tonto para observar donde escondía el dinero y luego asaltarle? El millonario cerró bien las puertas, estuvo escuchando atentamente por si oía algo y, finalmente, se quedó dormido. Por la mañana sonaron de nuevo golpes en la ventana. Era el desconocido que le traía los segundos 100.000 euros. Contó el dinero, el desconocido recibió sus dos céntimos y dijo: -Para mañana prepare cuatro céntimos, no se olvide. El millonario se puso contentísimo. Otros 100.000 euros que le habían salido gratis! Además, el desconocido no parecía ser un ladrón, ya que no miraba la casa ni le miraba a él. Qué persona más rara!-pensó.
El desconocido se presentó también al tercer día y lo terceros 100.000 euros pasaron a ser del millonario a cambio de 4 céntimos. Un día más, y de la misma manera llegaron los cuartos 100.000 euros por 8 céntimos. Aparecieron los quintos 100.000 euros por 16 céntimos. Luego los sextos por 32 céntimos. A lo siete días de haber empezado el negocio, nuestro rico había cobrado ya 700.000 euros y pagado la ridícula cantidad de: 1+2+4+8+16+32+64 céntimos=127 céntimos=1 euro y 27 céntimos. El millonario estaba feliz, sólo se arrepentía de haber hecho el trato solo para un mes. No podría recibir más de tres millones. Si pudiera convencerlo para prolongar el plazo! Decidió no hacerlo por si el otro se daba cuenta de la forma en que estaba regalándole el dinero. El desconocido se presentaba puntualmente todas las mañanas con sus 100.000 euros. El 8º día recibió 2 euros y 54 céntimos. El 9º día, 5 euros y 8 céntimos. El 10º día, 10 euros y 16 céntimos. El 11º día, 20 euros y 32 céntimos. El 12º día, 40 euros y 64 céntimos. El 13º día, 81 euros y 28 céntimos. El 14º día, 162 euros y 56 céntimos. El rico pagaba a gusto estas cantidades, lo que pagaba era calderilla comparado con lo que recibía. Sin embargo, la alegría del rico no duró mucho; pronto empezó a comprender que el desconocido no era tan tonto como había pensado en un principio. A partir del decimoquinto día comprendió que el negocio no era tan ventajoso, pero, por lo menos, seguiría ganando dinero.
La segunda mitad del mes pagó: El 15º día recibió, 325 euros y 12 céntimos. El 16º día, 650 euros y 24 céntimos. El 17º día, 1300 euros y 48 céntimos. El 18º día, 2600 euros y 96 céntimos. El 19º día, 5201 euros y 92 céntimos. Es cierto que ya había pagado más de 5000 euros, pero ya había recibido más de 1.800.000 euros. No obstante, las ganancias disminuían día a día con mayor rapidez. Los pagos posteriores fueron: El 20º día el desconocido recibió 10.403 euros y 84 céntimos. El 21º día, 20.807 euros y 68 céntimos. El 22º día, 41.615 euros y 36 céntimos. El 23º día, 83.230 euros y 72 céntimos. El 24º día, 166.461 euros y 44 céntimos. El 25º día, 332.922 euros y 88 céntimos. El 26º día, 665.845 euros y 76 céntimos. Tenía que pagar ya más de lo que recibía! Qué bien le hubiera venido pararse! Pero no podía rescindir el contrato La continuación fue todavía peor. El millonario se dio cuenta demasiado tarde de que el desconocido había sido más listo que él y recibiría más dinero que el que había de pagar. A partir del día 27, el millonario tuvo que pagar millones y los dos últimos pagos lo arruinaron. Estos pagos fueron:
El 27º día, 1.331.691 euros y 52 céntimos. El 28º día, 2.663.383 euros y 4 céntimos. El 29º día, 5.326.766 euros y 8 céntimos. El 30º día, 10.653.532 euros y 16 céntimos. Cuando se marchó el desconocido, el millonario sacó cuentas, se había gastado aproximadamente 21 millones de euros, y eso, que había empezado con un céntimo! EXPLICACIÓN Veamos el procedimiento de acelerar el cálculo de las pérdidas de nuestro millonario; es decir, cómo puede hacerse la suma de la serie de números: 1+2+4+8+16+32+64+... Observamos la siguiente peculiaridad de estos números: 1=1 2=1+1 4= (1+2)+1 8= (1+2+4)+1 16= (1+2+4+8)+1 32= (1+2+4+8+16)+1 Vemos que cada uno de los números de esta serie es igual al conjunto de todos los anteriores sumandos más una unidad. Por eso, cuando hay que sumar todos los números de una serie de éstas, bastará añadir al último número la suma de los anteriores. Por ejemplo, si quisiéramos saber la suma de una serie de esa forma desde 1 hasta 32.768, bastaría hacer: 1+2+4+8+16+ +32768=2 32768-1, es decir:65535