DINÁMICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Guía Nº 5 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo FÍSICA 1 PARA INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 9 5 CEL. 310 768 90 67 E-mail leav70@gmail.com http://guias-uniminuto.wikispaces.com Lugar Madrid Cundinamarca BIENVENIDA Corporación Universitaria Minuto de Dios Rectoría Cundinamarca Preguntas Generadoras Pregunta esencial Cómo entender la dinámica de un sistema de partículas?
Preguntas de unidad En qué se sustenta la dinámica de un sistema de partículas? Cómo entender la rotación, el equilibrio estático y el momento angular de cuerpos rígidos? Preguntas de contenido 1. Qué es el centro de masa de un sistema de partículas?. Cómo se determina el centro de masas de un sistema de partículas? 3. Cómo opera la segunda ley de Newton para un sistema de partículas? 4. Explique en que consiste el momento lineal. Qué es el principio de conservación del momento?, cómo funciona la conservación del momento en; en un sistema de fuerzas externas, en sistemas aislados? 5. Cómo es la energía de un sistema de partículas? 6. Qué es impulso? Cómo se calcula la fuerza media? 7. En que consiste la dinámica de la rotación de un cuerpo rígido? 8. Cómo se calcula el momento de inercia de un solido rígido? 9. Qué es un par de fuerzas? 10. Explique el principio de conservación del momento angular. Contenidos TEMA 4. Dinámica de un sistema de partículas. - Centro de masas. Determinación del centro de masas en un sistema de partículas. Dinámica del centro de masas (segunda ley de Newton para un sistema de partículas). - Conservación del momento lineal. Momento lineal. Variación del momento lineal de un sistema con las fuerzas externas. Conservación del momento lineal en sistemas aislados. Energía de un sistema de partículas. Impulso y fuerza media. - Colisiones. Colisiones perfectamente elásticas e inelásticas. Desintegraciones. TEMA 5. Rotación, equilibrio estático y momento angular. - Dinámica de la rotación de un cuerpo rígido. Momento de inercia de un sólido rígido. Teorema de Steiner. Momento de inercia de un sistema de partículas discretas. Energía cinética de la rotación. Momento de una fuerza. Segunda ley de Newton en la rotación. Par de fuerzas. - Equilibrio estático. Condiciones del equilibrio estático. - Conservación del momento angular. Momento angular de una partícula que se mueve y de un sólido rígido que gira. Variación del momento angular de un sistema con el momento las fuerzas externas. Conservación del momento angular. Marco Teórico Momento lineal e impulso El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad p = mv
Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante. Despejando dp en la definición de fuerza e integrando A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de t i a t f. Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerzatiempo. En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.
Dinámica de un sistema de partículas Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F 1 y la fuerza que ejerce la partícula, F 1. Sobre la partícula actúa la fuerza exterior F y la fuerza que ejerce la partícula 1, F 1. Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes. Para cada unas de las partículas se cumple que la razón de la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre dicha partícula. Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F 1 =-F 1, tenemos que Donde P es el momento lineal total del sistema y F ext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores. Conservación del momento lineal de un sistema de partículas
Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema. La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F 1 que ejerce la partícula. La partícula se mueve bajo la acción de la fuerza F 1 que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario. F 1 +F 1 =0 Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado m 1 u 1 +m u =m 1 v 1 +m v Donde u 1 y u son las velocidades iniciales de las partículas 1 y y v 1 y v las velocidades finales de dichas partículas. Colisiones Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente. El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.
Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra. En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas. La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos. Coeficiente de restitución Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico. El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.
El centro de masa. El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-c) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-l) tal como veremos en próximas páginas. Movimiento del Centro de Masas En la figura, tenemos dos partículas de masas m 1 y m, como m 1 es mayor que m, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor. En general, la posición r cm del centro de masa de un sistema de N partículas es La velocidad del centro de masas v cm se obtiene derivando con respecto del tiempo En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas. De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que
El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema. En un sistema aislado F ext =0 el centro de masas se mueve con velocidad constante v cm =cte. El Sistema de Referencia del Centro de Masas Para un sistema de dos partículas La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es La velocidad de la partícula respecto del centro de masas es En el sistema-c, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas. Momento lineal Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-c es igual y opuesto al momento lineal de la partícula respecto del sistema-c p 1cm =m 1 v 1cm p cm =m v cm p 1cm =-p cm Energía cinética La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-l y en el sistema-c es fácil de obtener
El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas. El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema. En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes: el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa el movimiento interno relativo al centro de masas. En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripción del movimiento de un sistema de dos partículas que interactúan a través de un muelle elástico. Energía de un sistema de partículas Supongamos que la partícula de masa m 1 se desplaza dr 1, y que la partícula de masa m se desplaza dr, como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas. El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula es igual al producto escalar (F 1 +F 1 ) dr 1 Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m será (F +F 1 ) dr Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica la energía cinética de la partícula, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.
Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza interiores o de interacción mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F 1 =-F 1 son iguales y de sentido contrario Las fuerzas interiores F 1 y F 1 realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la, ya que dr 1 -dr =d(r 1 -r )=dr 1 Normalmente, la fuerza F 1 es conservativa (es de tipo gravitatorio, eléctrico, muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final. Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma Tendremos Entre paréntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energía cinética de las dos partículas que forman el sistema y de la energía potencial que describe la interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U del sistema de partículas. W ext =U f -U i El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energía del sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas en el estado inicial. Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la partícula 1 con la descrita por la fuerza interna conservativa F 1 o por la energía potencial E p1. La energía del sistema U se escribe
Para un sistema formado por tres partículas hay tres interacciones, de la partícula 1 con la, la 1 con la 3 y la con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F 1, F 3, F 13 o por sus correspondientes energías potenciales. La energía del sistema es Sistema aislado Para un sistema aislado, F ext =0, el trabajo W ext de las fuerzas exteriores es cero, la energía U del sistema de partículas se mantiene constante. Para un sistema de dos partículas cuya interacción mutua está descrita por la energía potencial E p1. La fuerza exterior F ext es conservativa El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final W ext =E pi -E pf Tenemos por tanto que U i + E pi =U f +E pf = cte Para un sistema de dos partículas bajo la acción de la fuerza conservativa peso, la conservación de la energía se escribirá http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm
MOMENTO ANGULAR Y EQUILIBRIO ESTÁTICO DE RÍGIDOS 1. Movimiento de rotación y traslación combinados- Consideramos un movimiento compuesto por una traslación y una rotación en la que: 1) el eje de rotación pasa por el centro de masa (CM), y ) el eje tiene siempre la misma dirección en el espacio (el eje se mueve paralelamente, como el eje de una rueda). Con estas consideraciones sigue siendo válida la ecuación IO α τ (1) O En estas condiciones, la energía cinética de un cuerpo arbitrario de masa M, puede expresarse como la suma de dos términos independientes de traslación y rotación 1 1 K = K T + K rot = Mv CM I CM (). Rodamiento sin deslizamiento (rodamiento puro)- El objeto rueda por una superficie de modo tal que no existe movimiento relativo entre el objeto y la superficie en el punto instantáneo de contacto (centro instantáneo de rotación). Si un cilindro de radio R gira un ángulo, su centro de masa se mueve una distancia s =, por tanto ds v CM = = dt d R = R v CM = R (3) dt a CM = dv CM = dt d R = R a CM = R (4) dt Estos resultados se aplican sólo al caso de rodamiento sin deslizamiento. La fricción entre la superficie y el objeto es la que permite el rodar sin deslizar. En este caso, la fuerza de
fricción (estática) no realiza trabajo y por lo tanto no disipa energía (se llaman fuerzas de potencia nula). Se puede visualizar como la superposición de una traslación (todos los puntos se mueven a la misma v = v CM ) y una rotación de velocidad angular = v/r. Sigue siendo válida la expresión para la energía cinética (aunque ahora y v CM no son independientes), y B es el centro instantáneo de rotación (hay sólo rotación pura, y además I B = I CM + MR ). 1 1 K = K T + K rot = Mv CM I CM (5) Si consideramos el punto de contacto B, que es un eje instantáneo de rotación por lo que el movimiento sólo es una rotación en torno a este punto: K = 1 I B = 1 I vcm CM MR = R 1 I vcm vcm 1 1 CM MR = Mv CM I CM R R (igual que (5)) 3. Momento angular o ímpetu angular (L)- Dada una partícula de masa m y cantidad de movimiento p en una posición r respecto al origen O de un marco de referencia inercial, se define el momento angular o ímpetu angular (L) de la partícula respecto al origen O a: L = r p = m r v (6) El módulo de L es L = r p sen Derivando la (6) respecto al tiempo, se llega a: dl dt τ (8)
es decir que la torca neta que actúa sobre una partícula es igual a la derivada respecto al tiempo del momento angular. Esta expresión (8) se puede extender para un sistema de partículas, teniendo en cuenta que L del sistema es igual a la suma de los momentos angulares de cada una de las partículas y que el torque a considerar es el torque externo neto: dl dt τ ext = I (9) Esta ecuación es válida cuando se toma con respecto a un punto fijo en un marco de referencia inercial o con respecto al centro de masa. Si consideramos un cuerpo rígido, simétrico respecto al eje de rotación (cada elemento de masa del cuerpo tiene un elemento de masa idéntico diametralmente opuesto al primer elemento y a la misma distancia del eje de rotación), entonces L y son paralelos y se relacionan: L = I (10) Si L representa a la componente del vector del momento angular a lo largo del eje de rotación (por ejemplo L z ), la ec. 10 se cumple para cualquier cuerpo rígido, sea simétrico o no. La ecuación 10 no siempre es válida, pues si el rígido gira alrededor de un eje arbitrario, L y pueden apuntar en direcciones diferentes, y en este caso el momento de inercia I no puede tratarse como un simple escalar. Estrictamente esta ecuación se aplica a cuerpos rígidos de cualquier forma que giran en torno de uno de los tres ejes mutuamente perpendiculares (ejes principales de inercia) que pasan por el centro de masa. Si no actúa ningún torque externo neto sobre el sistema, entonces a partir de (9) el momento angular no cambia con el tiempo: dl dt 0 L inicial = L final (11) Esta última ecuación representa la formulación matemática del principio de conservación del momento angular: cuando el torque externo neto que actúa sobre un sistema es cero, el momento angular L total del sistema permanece constante.
Si el sistema es un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo, como el eje z, podemos escribir L z =, donde L z es la componente de L a lo largo del eje de rotación e I es el momento de inercia en torno a este eje. En este caso podemos expresar la conservación del momento angular como I i i = I f f (1) Expresión que es válida para rotaciones ya sea alrededor de un eje fijo o de un eje que pasa por el centro de masa del sistema, siempre y cuando el eje permanezca paralelo a sí mismo. 4.- Equilibrio de rígidos- Las condiciones necesarias y suficientes para que un rígido esté en equilibrio son: 1) F ext = 0 (13) (equilibrio traslacional) ) τ ext = 0 (respecto a cualquier punto) (14) (equilibrio rotacional) http://www.google.com.co/search?hl=es&source=hp&q=rotaci%c3%b3n%c+equilibri o+estatico+y+momento+angular&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai= Notas: [1]Más adelante, en termodinámica, el concepto de partícula libre se tratará como equivalente a sistema aislado. []A la magnitud del momentum se la denomina 'cantidad de movimiento'. [3]Suponiendo que conocemos la fuerza que actúa sobre la partícula en función de la posición. [4]O cuando experimentamos el deseo de ver a alguien, de comprar un objeto, de realizar una tarea, de huir de una situación, etc. En general, desde la perspectiva de la experiencia humana, las fuerzas a las que estamos sometidos son experimentadas como emociones, deseos, sentimientos, etc. [5]Un ser vivo puede considerarse como un sistema material que interactúa mecánica y electromagnéticamente con su entorno, bajo un campo de interacción gravitatorio. Dichas interacciones mecánicas y electromagnéticas son enormemente complejas, hasta el punto que no tiene ningún sentido tratar de determinarlas. Pero, en ningún caso, deberíamos olvidar la naturaleza estrictamente física de todo nuestro
comportamiento. METODOLOGÍA El estudiante consulta la guía, extrae las ideas y ecuaciones necesarias para resolver los problemas planteados en el taller, dedicándole unas 8 horas por lo menos en auto aprendizaje pues el modelo de educación a distancia lo exige, en la tutoría del 8 de agosto de 010 se socializará la guía, se aclararán las dudas e inquietudes y finalmente se le dará importancia primordial a la autonomía para desarrollar e ir preparando un portafolio que será socializado al final del modulo. EVALUACIÓN Como queda consignado en el acuerdo esta guía será evaluada mediante una prueba escrita personal el 4 de septiembre junto con la guía Nº, y 3 tendrán un valor parcial de 30%, a la nota final se les adicionara entre 1 y 5 puntos que los estudiantes hayan podido acumular, en la eventualidad de que un estudiante o un grupo de ellos desarrolle un proyecto de investigación esta nota parcial puede reemplazarse por la calificación obtenida en el proyecto. Los estudiantes resolverán las preguntas temáticas, las de unidad y la pregunta esencial, plantearán ejemplos y consignaran los resultados en el portafolio. Bibliografía Las Páginas relacionadas a continuación fueron consultadas y de ellas se extrajeron el marco teórico y los problemas prepuestos en el taller. Se recomienda visitar estas y profundizar en los contenidos. http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_dinamica.php http://materias.fi.uba.ar/611/mecanica%0rac%008-10%0dinamica%0rotacion%0-%0cuerpo%0rigido.htm Dinámica de la rotación de un cuerpo rígido P.A. TIPLER, Física (Volumen 1 y ). Editorial Reverté, Barcelona. (Cualquier edición) R.A. SERWAY y J. W. JEWETT, Jr, Física (Volumen 1 y ). Editorial Thomson, Madrid. (Cualquier edición) W.E. GETTYS, F.J. KELLER y M.J. SKOVE, Física para ciencias e ingeniería (Segunda Edición, Tomo I y II). Editorial McGraw-Hill, México, 005. (Cualquier otra edición es perfectamente válida) Atención: las cuestiones, ejercicios y
problemas planteados al final de cada capítulo no tienen solución dada. W.E. GETTYS, F.J. KELLER y M.J. SKOVE, Física clásica y moderna (Tomo I y II). Editorial McGraw-Hill, México. (Cualquier edición)