300CIG007 Computabilidad y Lenguajes Formales: Autómatas de Pila Pontificia Universidad Javeriana Cali Ingeniería de Sistemas y Computación Prof. Gloria Inés Alvarez V. Basado en [SIPSER, Chapter 2]
Autómatas de Pila (PushDown Autómata PDA) Un PDA se compone de dos cintas (pueden ser de longitud infinita), la primera cinta contiene la entrada (cadena que va a ser reconocida), y la segunda una pila. Son equivalentes en poder de expresión a las Gramáticas Libres de Contexto Pila x y z Entrada a a a Control de Estados b
Autómatas de Pila (PDA) Formalmente un PDA es una 7-tupla (Q,, Γ, δ, q 0, z 0, F), donde: Q es un conjunto finito de estados es el alfabeto de entrada (un conjunto finito) Γ es el alfabeto de la pila (un conjunto finito) δ : Qx ε xγ ε P(QxΓ ε ) es la función de transición q 0 Q es el estado de inicio z 0 Γ es el símbolo de inicio F Q es el conjunto de estados de aceptación (un conjunto finito)
Autómatas de Pila (PDA) Un PDA funciona realizando dos tipos de movimientos: Movimientos que dependen del símbolo siguiente en la cadena de entrada: δ(q, a, z) = { (p 1, γ 1 ), (p 2, γ 2 ), (p m, γ m ) } Donde q y p i, 1 i m, son estados, a, z Γ, γ i Γ*, 1 i m, tales que cuando el PDA está en el estado q, con el símbolo de entrada a, y z en el tope de la pila, para algún i, el PDA entra al estado p i, reemplaza a z por la cadena γ i, y avanza en la cadena de entrada.
Autómatas de Pila (PDA) Un PDA funciona realizando dos tipos de movimientos: ε-movimientos: δ(q, ε, z) = { (p 1, γ 1 ), (p 2, γ 2 ), (p m, γ m ) } Donde q y p i, 1 i m, son estados, z Γ, γ i Γ*, 1 i m, tales que cuando el PDA está en el estado q, independiente del símbolo en la cadena de entrada, con z en el tope de la pila, para algún i, el PDA puede entrar al estado p i, reemplaza a z por la cadena γ i.
Autómatas de Pila (PDA): Ejemplo M = (Q,, Γ, δ, q 0, $, F), donde: Q = {q0, q 1, q 2,q 3 } = { a, b, c }, Γ = { a, b, $ } δ = { (q0, ε, ε) (q 1, $), (q 1, a, ε) (q 1, a), (q 1, b, ε) (q 1, b), (q 1, c, ε) (q 2, ε), (q 2, a, a) (q 2, ε), (q 2, b, b) (q 2, ε), (q 2, ε, $) (q 3, ε) } F = {q3 } Que lenguaje reconoce este PDA? q 0 q 3 ε,ε $ ε,$ ε q 2 q1 a,ε a b,ε b c,ε ε a,a ε b,b ε
PDA Determinista Un PDA M = (Q,, Γ, δ, q 0, $, F), es determinista si: Para todo q Q y z Γ, siempre que δ (q, ε, z) no es vacío, entonces δ (q, a, z) es vacía para todo a No existe un q Q, z Γ, y a ε, tal que δ (q, a, z) contiene mas de un elemento. Los PDA Deterministas no son equivalentes a los PDA no deterministas, en cuanto al conjunto de lenguajes que aceptan. Ejemplo: que sucede con el lenguaje L = { ww R : w {a, b}* }?
Equivalencia de PDA y CFG Teorema: Un Lenguaje es Libre de Contexto (CFL) si y solo si existe algún autómata de pila que lo reconoce Lema 1: Si un Lenguaje es Libre de Contexto (CFL) entonces existe algún autómata de pila que lo reconoce Lema 2: Si un autómata de pila reconoce un lenguaje, entonces el Lenguaje es Libre de Contexto (CFL)
Equivalencia de PDA y CFG: Lema 1 Sea A un CFL, por definición A tiene una CFG G que lo genera, entonces es necesario convertir G en un PDA P capaz de reconocer A. P puede funcionar de la siguiente manera: Adicione a la pila un símbolo que marque el inicio ($) y el símbolo inicial de G Repita: Si en el tope de la pila esta un no terminal N, de manera aleatoria seleccione una de las reglas producción de N, N Y 1 Y 2 Y k, y sustituya en la pila N por los símbolos del lado derecho de la regla seleccionada, en orden inverso (pop N, push(y k ), push(y k-1 ), push(y 2 ), push(y 1 ) Si en el tope de la pila hay un símbolo terminal a, lea el siguiente símbolo de la cadena de entrada y comparelo con a, si coinciden haga pop de a. Si no coinciden, rechace esta rama del no-determinismo. Si en el tope de la pila está el simbolo $, entre en el estado de aceptación.
Equivalencia de PDA y CFG: Lema 1 Formalmente, P = (Q,, Γ, δ, q 0, $, F), se construye así: Q = { q start, q loop, q accept } δ(q start, ε, ε) = (q loop, S$), donde S es el símbolo inicial de la gramática δ(q start, ε, ε) = (q loop, S$), donde S es el símbolo inicial de la gramática δ(q loop, ε, N) = {(q loop, w) : N w es una regla de producción de G } δ(q loop,a, a) = { (q loop, ε) }, donde a δ(q loop,, ε, ε) = { (q accept, ε) }
Equivalencia de PDA y CFG: Lema 1: Ejemplo Dada G = (N, Σ, P, S), N = { S }, Σ = { a, b }, P = { S a S b, S a b }
Equivalencia de PDA y CFG: Lema 2 Si un autómata de pila reconoce un lenguaje, entonces el Lenguaje es Libre de Contexto (CFL) El automáta de pila debe cumplir las siguientes condiciones. Tiene un solo estado de aceptación qf, al cual llega si y solo si la pila esta vacía Cada transición hace un push o un pop de la pila, pero no ambos. Todo NPDA tiene un NPDA equivalente que cumple las dos condiciones.
Equivalencia de PDA y CFG: Lema 2 Si se crea una gramática cuyos símbolos no terminales son de la forma Apq, donde p y q Q Sea P = (Q,, Γ, δ, q 0, $, {q accept }), se construye la gramática G de la siguiente manera: El símbolo inicial es Aq 0 q accept Para todo p, q, r, s Q, t Γ, y a,b ε si δ(p,a, Ɛ) contiene (r,t), y δ(s,b,t) contiene (q, Ɛ ), agregue la regla Apq aarsb Para todo p,q,r Q agregue la regla Apq AprArq Para todo p Q agregue la regla App Ɛ
Pumping Lema para CFL Teorema: Si A es un Lenguaje Libre de Contexto (CFL) entonces existe un numero p (pumping length) donde, si s es alguna cadena que pertenece a A de longitud mayor o igual a p, entonces s puede ser dividido en 5 partes s = uvxyz que satisfacen las siguientes condiciones: Para todo i >= 0, uv i xy i z A, vy > 0 vxy <= p