EJERCICIOS ADICIONALES: ONDAS MECÁNICAS Primer Cuatrimestre 2013 Docentes: Ing. Daniel Valdivia Dr. Alejandro Gronoskis Lic. Maria Ines Auliel Universidad Nacional de Tres de febrero Depto de Ingeniería Sede Caseros II Buenos Aires, Argentina
GUÍA DE EJERCICIOS ADICIONALES: ONDAS MECÁNICAS 10 de mayo de 2013
Problema 1 Cuál es la velocidad de una onda transversal a lo largo de un hilo metálico sometido a la tensión de 89N si una bobina del mismo material que tiene 305m pesa 35, 5N? Resp: 86, 56 m. Problema 2 Una cuerda de 100m de longitud tiene una masa de 0, 25Kg. Con qué velocidad se propagará una onda transversal en un trozo de dicha cuerda sometido a la tensión de 30N? Resp: 109, 54 m. Problema 3 Demostrar explícitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda: 1. (x + vt) 3 2. Ae ik(x vt) 3. ln(x vt) 4. A sin(kx) cos(wt) Problema 4 Un hilo de acero de 70 m de longitud tiene una masa de 100g y está sometido a una tensión de 900N. 1. Cuál es la velocidad de propagación de un pulso de onda transversal en este hilo? 2. Cuál será la velocidad del pulso si duplicamos la longitud del hilo pero mantenemos constante la tensión y la masa por unidad de longitud? 3. Y si duplicamos la tensión mientras se mantienen constantes la longitud y la masa por unidad de longitud? 4. Y si duplicamos la masa por unidad de longitud mientras se mantienen constantes las demás variables? Resp: 793 m, 1122 m, 1122 m, 561 m. Problema 5 La función de onda para una onda armónica en una cuerda es y = 0, 001 sin(62, 8x + 314t), estando x e y en metros y t en undos. 1. En qué sentido se mueve la onda? 2. Cuál es la longitud de onda, el periodo, la frecuencia y la velocidad de fase? 2
3. Cuál es la ecuación de la velocidad y aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = 3cm? Resp: 1) Negativa, 2) λ = 0, 1m; T=0, 02s ; f=50hz,v=5 m a = 98, 596 sin( 1, 884 + 314t). 3)v = 0, 314 cos( 1, 884 + 314t), Problema 6 Una cuerda de piano de acero tiene 0, 7m de longitud y una masa de 5g. Se tensa mediante una fuerza de 500N. a) Cuál es la rapidez de propagación de las ondas transversales en la cuerda? b) Para reducir la rapidez de la onda a la mitad, sin modificar la tensión, qué masa de alambre de cobre habrá que enrollar alrededor de la cuerda de acero? Resp:a) 264,57 m, b) 20g. Problema 7 El cable de un telesquí de 80Kg de masa asciende 400m por la ladera de una montaña. Cuando el cable recibe un golpe transversal en un extremo, el pulso de retorno se detecta 12 después. a) Cuál es la rapidez de la onda? b) Cuál es la tensión del cable? Resp: a) 66, 66 m, b) 888, 7N. Problema 8 Uno de los extremos de una cuerda de 6m de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60Hz. Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0, 5. Hallar la longitud de onda de las ondas en la cuerda. Resp: 20cm. Problema 9 Una onda armónica se mueve a lo largo de una cuerda uniforme e infinita bajo tensión constante. La cuerda está marcada a intervalos de 1m. En la marca de 0m se observa que la cuerda alcanza su desplazamiento máximo de 50cm cada 5. La distancia entre máximos en un instante de tiempo cualquiera es 50m. Encontrar la expresión de su función de onda, suponiendo que es armónica, que tiene su desplazamiento máximo en x = 0 cuando t = 0, y que se está moviendo a lo largo de la cuerda de izquierda a derecha. Resp: y = 0, 5 cos ( 2π 50 (x 10t)) Problema 10 Un hilo largo puede hacerse vibrar hacia arriba y hacia abajo con un motor mecánico con el objeto de producir ondas que recorran el hilo. En el otro extremo lejano del hilo, las ondas se absorben de tal 3
manera que no hay ondas reflejadas que vuelvan hacia el motor. Se observa que la rapidez de la onda es de 240 m, el máximo desplazamiento transversal del hilo es de 1cm y la distancia entre máximos es de 3m. 1. Escriba una función de onda para representar la que se propaga en el hilo. 2. Cuál es la frecuencia de vibración del motor? 3. Cuál es el período de las oscilaciones transversales del hilo? 4. Cuál es la máxima rapidez transversal que tendrá un pequeño insecto agarrado del hilo? Resp: 1)y = 0, 01 sin( 2π 3 Problema 11 (x 160πt)), 2)80Hz, 3)0, 0125, 4)5, 03 m. Una función de onda transversal de frecuencia 40Hz se propaga por una cuerda. Dos puntos separados entre sí 5cm están desfasados en π/6. a) Cuál es la longitud de onda? b) Cuál es la diferencia de fase entre las dos posiciones verticales (desplazamientos) en un punto determinado para los instantes separados 5 m entre sí? c) Cuál es la rapidez de la onda? Resp: a) 60cm, b) 2π/5, c) 24 m. Problema 12 En un extremo de una cuerda horizontal larga se genera una onda sinusoidal transversal por medio de una barra que mueve al extremo de arriba hacia abajo en una distancia de 2, 4cm. El movimiento es continuo y se repite regularmente 120 veces por undo. 1. Si la cuerda tiene una densidad lineal de 0, 3 Kg m y se mantiene sometida a una tensión de 90N, hallar la amplitud, la frecuencia, la velocidad y la longitud de onda del movimiento. 2. Suponiendo que la onda se mueva en dirección +x y que, en t = 0, el elemento de la cuerda en x = 0 esté en su posición de equilibrio (y = 0) y moviéndose hacia abajo, escribir la ecuación de la onda que la describe. 3. Hallar la potencia transmitida por la onda. Resp: 1) 0,024m, 120Hz, 17, 32 m, 0, 14m 2) 0,024 sin(43,53x 753t), 3) 5,8kW por unidad de longitud. Problema 13 Se transmite una potencia a lo largo de un alambre tenso mediante ondas armónicas transversales. La rapidez de propagación de la onda es de 10 m Kg y la densidad lineal de masa del alambre es 0, 01 m. La fuente de potencia oscila con una amplitud de 0, 5mm. Qué potencia media se transmite a lo largo del alambre si la frecuencia es de 400Hz? 4
Resp: 3, 15W por unidad de longitud. Problema 14 El período de un movimiento ondulatorio que se propaga por el eje de abscisas es de 3 10 3. La distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π/2 vale 30 cm. Calcular: 1. La longitud de onda. 2. La velocidad de propagación. Resp: 1) λ = 1, 2m, 2) 400 m. Problema 15 Una cuerda de 50m de longitud dispuesta horizontalmente tiene una masa de 1, 2kg. Se la une a otra cuerda de 100m hecha con el mismo material, pero que sólo tiene la mitad del diámetro. Si se provoca una tensión de 400N en ellas, Cuánto tardará un pulso transversal producido en un extremo en recorrerla? Resp: 0, 76. Problema 16 Una cuerda de 20m tiene una masa de 0, 06kg y está sometida a una tensión de 50N. Se mueve a lo largo de una cuerda de izquierda a derecha una onda de frecuencia 200Hz y amplitud 1cm. 1. Cuál es la energía total de las ondas en la cuerda? 2. Cuál es la potencia transmitida que pasa por un punto determinado de la cuerda? Resp: 1) 4, 7 J, 2) 30, 5 W. Problema 17 Una cuerda de piano con 4 gramos de masa y longitud 0, 8m está tensada con una tensión de 30N. Las ondas con frecuencia f=60hz y amplitud 1, 5mm viajan a lo largo de la cuerda. 1. Calcular la potencia media que transportan estas ondas 2. Qué sucede con la potencia media si la amplitud de las ondas se dobla? Resp: 1)0, 06 W, 2) Como la potencia depende del cuadrado de la amplitud A, la potencia se hace cuatro. Problema 18 Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen una velocidad de 32 m y una frecuencia de 20Hz. La amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1, 20cm. 5
Calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de: 80 cm, 40 cm, 20 cm del extremo izquierdo de la cuerda. Resp:1) A = 0 m, 2) A = 0, 024 m, 3)A = 0, 017 m. 6