ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (9) Ricardo Ramírez Facultad de Física, Pontificia Universidad Católica, Chile 1er. Semestre 2006
Ejemplo 1 El espectrógrafo de masa fué inventado por Francis Aston en 1919 con el fin determinar las masas de los isótopos. Los isótopos de un elemento tienen el mismo número de protones en el núcleo pero distinta masa. Por ejemplo el magnesio tiene 78.7 % de 24 Mg, 10.1 % de 25 Mg y 11.2 % de 26 Mg, i.e. con A = 24, 25 y 26 respectivamente.
B r V x Fuente El espectrógrafo de masa funciona de la siguiente manera. Suponga que un ion de masa m y carga q se acelera a través de un potencial V antes de entrar a la cámara donde hay un campo magnético B. Entonces la velocidad con que el ion entra a la cámara está determinada por: 1 2 mv 2 = qv.
Entonces, al entrar a la cámara los iones describen un semicírculo de radio r = mv/qb de donde obtenemos v = rqb/m y por lo tanto: m q = (Br)2 2V Ejemplo Un ion de 58 Ni de carga +e y masa 9.62 10 26 Kg es acelerado a través de un potencial de 3 KV y entra a un espectrógrafo de masa donde hay un campo de 0.12 T. Encuentre la diferencia de las radios de curvatura para los iones 58 Ni y 60 Ni. r 58 = 0.501 m r 60 = 1.017r 58 r 60 r 58 = 9 mm
Ejemplo 2 Un anillo de radio R y masa m que lleva una corriente I, se encuentra sobre una superficie rugosa en presencia de una campo magnético horizontal. Calcule el máximo valor de la corriente que puede circular antes de el anillo se levante. B Ι R
Ejemplo 3 Un anillo de radio r con corriente I se encuentra en una campo magnético B, simétrico y radialmente divergente que hace un ángulo θ con la dirección del eje del anillo. Calcule la fuerza sobre el anillo. B a I θ
Ejemplo 4 Un cilindro de madera con masa m, radio R y longitud L lleva N vueltas de alambre enrollado longitudinalmente. Cuál es la menor corriente I en el alambre que le impide rodar hacia abajo en un plano inclinado en un ángulo θ, en presencia de un campo magnético vertical B? Β ΝΙ I θ
CAMPO MAGNÉTICO PRODUCIDO POR CORRIENTES LEY DE BIOT-SAVART db = µo Id l ˆr 4π r 2 I r B dl Jean Baptiste Biot 1774-1862 La constante µ o se llama la permeabilidad del vacío y tiene el valor 4π 10 7 [MKS]. No tiene relación con el momento magnético.
Campo magnético en el centro de un anillo El campo en el centro del anillo se calcula a partir de la expresion anterior: db = µo Idl sin θ 4π R 2 con sin θ = 1 ya que d l y ˆr son perpendiculares. Esto nos da: B = µo I2πR = µoi 4π R 2 2R
Campo magnético en el eje de un anillo db db db z r I B = µo 2 a α dl Ia 2 (z 2 + a 2 ) 3/2 ˆk
Aquí también dl y r son perpendiculares y por lo tanto: db = µoi dl 4π r 2 Ahora obtenemos las componentes de db paralela y perpendicular al eje del anillo: db = µoi cos α dl db 4π r 2 = µoi sin α dl 4π r 2 Considerando que α y r son constantes y que r = z 2 + a 2 cos α = a/r = a/ z 2 + a 2 obtenemos I µ oi cos α B = B ˆk = 4π r 2 dl ˆk = µo 2 Ia 2 (z 2 + a 2 ) 3/2 ˆk y
Campo magnético de un conductor rectilíneo infinito y db = µo Id l ˆr 4π r 2 db R I r x θα θ dl x z B = µo I 2π R ˆk db = µoi dx sin θ 4π r 2
pero: sin θ = R r = R x 2 + R 2 y r 2 = x 2 + R 2 por lo tanto: B = µoi Z» x=+ R µoi x dx = 4π (x 2 + R 2 ) 3/2 4πR x 2 + R 2 y x= = µo 2π I R db R I r x θα dl x z
LEY CIRCUITAL DE AMPERE La ley de Biot-Savart se puede escribir como: db( r) = µo Id l ( r r ) 4π r r 3 y por lo tanto I B( r) = µo Id l ( r r ) 4π r r 3 lo que se puede escribir como: B( r) = µo 4π Z J( r ) ( r r ) r r 3 d 3 r Esta última expresión se puede escribir como: Z B( r) = µo 4π J( r ) r r d 3 r lo que implica: B = 0 2da. Ley de Maxwell
También se puede demostrar que, debido a que J = 0, B( r) = µ o J( r) Podemos integrar esta expresión sobre una superficie S limitada por un circuito C B( r) ˆndS = µ o J( r) ˆndS Aplicando el teorema de Stokes: B( r) d l = µ o Esta es la S C S S J( r) ˆndS = µ o I LEY CIRCUITAL DE AMPERE
C B( r) d l = µ o S J( r) ˆndS = µ o I o 0 La corriente circula por un circuito C que enlaza el circuito C. Si los circuitos no estan enlazados el lado derecho de esta relación es cero. C C C C
PROBLEMA 1 Un disco no-conductor tiene una carga σ uniforme y rota con velocidad angular ω. Calcular el campo magnético en el eje del disco. r
PROBLEMA 2 Dos cables rectilíneos paralelos separados por una distancia L llevan corrientes I y I. Calcular la fuerza por unidad de largo entre ellos. I I df = I Bdl = I µ oi 2πL dl df = µ o II dl 2π L
DEFINICION DE AMPERE Un ampere es la magnitud de una corriente constante que si se mantiene en dos conductores paralelos de longitud infinita y de sección transversal depreciable, colocados en el vacío y separados un metro, produce una fuerza de 2 10 7 newtons por metro de longitud de conductor. Recuerde que: µ o = 4π 10 7 [MKS]
Campo dentro de un cable rectilíneo B d l = 2πrB = µ o I enl R r I enl = I πr 2 πr 2 B = µ oir 2πR 2 Fuera del cable I enl = I y por lo tanto B = µ o I/2πr.
Campo dentro de un solenoide rectilíneo h d c a b B I B d l = Z b a Z B d c Z l + B d d l + B d l + b c Z a d B d l = µ oi enl Sólo la primera integral es 0 y vale Bh. Si el solenoide tiene n vueltas por unidad de largo, I enl = inh, y por lo tanto: B = µ oin
Atomo de Bohr En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno el electron circula alrededor del núcleo en una trayectoria circular de radio R = 5.3 10 11 m y una frecuencia ν = 6.5 10 15 Hertz (i.e. revs/seg) a) Cuál es el valor de B en el centro de la órbita? Corriente: i = eν = 1.6 10 19 6.5 10 15 = 10 3 A luego, B = µoi 2R = µoeν 2R = 4π 10 7 10 3 = 12 T 2 5.3 10 11 b) Cuál es el dipolo magnético equivalente? µ = Ni(AREA) = 1 10 3 π(5.3 10 11 ) 2 = 8.8 10 24 Am 2
Principio de superposición. Ejemplo Considere un conductor infinito hueco que lleva una corriente I y cuya sección transversal se muestra en la figura. Calcule el campo B fuera de conductor a una distancia R del centro del círculo mayor. a b
Potencial Magnético Vectorial El rotor de campo magnético es en general distinto de cero, y por lo tanto no es posible introducir un potencial escalar, como se hizo en electrostática, excepto en la regiones donde la densidad de corriente es nula. Sin embargo la divergencia de B es cero, lo que permite definir un potencial magnético vectorial A: B = A Note que si agregamos a A el gradiente de cualquier escalar la relación anterior queda invariante, por lo cual es posible colocar condiones adicionales a A, que se llaman calibres. Uno de los calibres más utilizados es A = 0, el que es llamado calibre de Coulomb, por razones que veremos más adelante.
Ya que en magnetostática rige la ley de Ampère: Utilizando la identidad: y el calibre de Coulomb, obtenemos: B = µ o J = A A = ( A) 2 A 2 A = µo J Se puede observar que cada componente cartesiana de esta ecuación es similar a la ecuación de Poisson de la electrostática. Esta es la razon del nombre calibre de Coulomb.
Usando los resultados de la electrostática para cada componente de la ecuación anterior, podemos escribir: Z µ o A( r) = 4π V J(r ) r r d 3 r Potencial de un dipolo magnético Ahora consideremos un circuito con corriente I, entonces haciendo la substitución Jd 3 r Id r : I µ oi A = 4π d r r r Si nos colocamos en un punto r muy alejado del circuito, podemos desarrollar el denominador en serie de Taylor de r / r : r r 1 = (r 2 + r 2 2 r r ) 1/2 1 r r»1 + + r r 2
El primer término es proporcional a H d r = 0. A través de algunas identidades vectoriales se puede demostrar que la contribución del segundo término es (los términos de orden superior se desprecian): A( r) = µ oi 4πr 3» 1 2 I r d r r El paréntesis cuadrado representa un vector cuya magnitud es el área del circuito y su dirección es perpendicular a la superficie del mismo. Multiplicado por I es el momento dipolar magnético µ del circuito, y por lo tanto: A = µ o µ r 4π r 3 Este es el potencial magnético vectorial de un momento dipolar magnético µ.
Problema 1 Demuestre que para un solenoide muy largo pero finito de n vueltas por unidad de largo y corriente i, campo magnético en un punto P del eje es: B = 1 2 µ oni(cos θ 1 + cos θ 2 ) donde θ 1 y θ 2 son los ángulos subtentidos por las bases del solenoide en el punto P.
Problema 2 Un imán muy pequeño de momento magnético µ se coloca en el centro de un anillo de N vueltas de radio R mucho mayor que las dimensiones del anillo y que lleva una corriente I. El momento magnético µ forma un ángulo α con el eje del anillo. Cuál es la dirección y la magnitud del torque sobre el imán?
Problema 3 Encuentre el campo magnético en el punto P debido al cicuito de la figura. I a P b