13 de A-DF Manual Split Deo. urchase fro www.a-df.co to reove the waterark Aplicaciones de los principios la dináica 1 Cuando sobre la superficie de una carretera asfaltada ha agua o hielo es ás peligroso circular. or qué? El agua o el hielo foran entre la superficie del paviento los neuáticos del vehículo una especie de película etreadaente deslizante de fora que el coeficiente de rozaiento se reduce de fora drástica, en consecuencia las ruedas no se «agarran» correctaente al asfalto. El oviiento de rotación de los neuáticos no lleva consigo una fuerza de rozaiento que lo perita girar o frenar correctaente. 2 El coeficiente de rozaiento de una carretera horizontal de otra inclinada es el iso, sin ebargo, el rozaiento no. or qué? El coeficiente de rozaiento depende fundaentalente de la naturaleza del estado de las superficies puestas en contacto, por tanto, será independiente de si la carretera es horizontal o inclinada. La fuerza de rozaiento es proporcional a la noral. Si la carretera es horizontal la noral tiene el iso valor que el peso del cuerpo, ientras que si la carretera está inclinada, la noral es enor que el peso del cuerpo, en consecuencia, la fuerza de rozaiento será enor. 3 La fuerza de rozaiento se opone al oviiento. Sería posible el oviiento de una persona o un coche si no hubiera rozaiento? Cuando los vehículos, aniales personas inician el oviiento, lo hacen coo resultado de las fuerzas de reacción correspondientes a las acciones ejercidas sobre el suelo por los isos. Sin rozaiento no eistirían dichas reacciones de fora que los vehículos harían girar las ruedas pero no se desplazarían. Las personas aniales se resbalarían («patinarían») sin poder overse. 4 Sobre la superficie de un lago helado se lanza un taco de acero a la velocidad de 15 /s. Si la fuerza de rozaiento dináico es el 3% de su peso, con qué aceleración se ueve el taco? Qué espacio puede recorrer hasta pararse? Sobre el taco solo eiste aplicada en la dirección del oviiento la fuerza de rozaiento dináico cuo valor será: 3 = = 0,03 g 100 Esta fuerza tiene sentido contrario al del oviiento, por tanto, si toaos la dirección del oviiento coo eje, sentido positivo el del oviiento, la ecuación fundaental de la dináica se escribiría coo: = a a = 0,03 g a = = 0,03 g = 0,03 9,81 = 0,29 /s 2 La aceleración obtenida es constante, en consecuencia, el oviiento del trozo de hielo será uniforeente decelerado. or tanto: v 2 = v 2 v 0 0 + 2 a s s = 2 v 2 0 = 2 15 2 = 388 2 a 2 ( 0,29) 260
5 Se deja un cuerpo sobre un plano inclinado 50º con la horizontal. Si entre el cuerpo el plano eiste un coeficiente de rozaiento dináico de 0,25, cuál es la aceleración cuál la velocidad a los 5 s? Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La noral, perpendicular a la superficie de contacto hacia arriba. La fuerza de rozaiento, en la dirección del oviiento en sentido contrario. Las proecciones de estas fuerzas sobre los ejes son: = (, ) = ( g sin 50º, g cos 50º); = (0, ) El valor de esta fuerza de rozaiento sería: = 0,25 En consecuencia, la fuerza de rozaiento será: = ( 0,25, 0) Aplicaos la ecuación fundaental de la dináica, F total = a, sobre cada uno de los ejes: En el eje : En el eje : g cos 50º = 0 g sin 50º 0,25 = a Despejando la noral de la priera sustituendo en la segunda: a = g sin 50º 0,25 g cos 50º Siplificando por la asa sustituendo los datos: La velocidad a los 5 s, si parte del reposo, es: a = g (sin 50º 0,25 cos 50º) = 5,9 /s 2 v = a t = 5,9 5 = 29,5 /s 50 50 50 6 En una esa ha un carrito de asa M = 150 g unido a la asa = 20 g que cuelga ediante un hilo que pasa por una polea de asa despreciable. Si el sistea se ueve sin rozaiento, calcula la aceleración la tensión del hilo. Coo el sistea consta de dos cuerpos conviene separarlos. En el carrito, la dirección de su oviiento su sentido será el eje positivo de las. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = (0, M g). La noral: = (0, ). La tensión de la cuerda: = (, 0). 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 261
Aplicando: F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : = M a M En el eje : + M g= 0 En el otro cuerpo, la dirección del oviiento su sentido = M g será el eje. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = (0, g). La tensión de la cuerda: = (0, ). = g Aplicando la ecuación del segundo principio al eje, obteneos para el segundo cuerpo: g = a En definitiva disponeos de dos ecuaciones con dos incógnitas, la tensión de la cuerda, la aceleración del sistea a: = M a g = a El sistea se puede resolver suando las ecuaciones despejando la aceleración: a = g a = 1,15 /s 2 M + La tensión se obtiene sustituendo la aceleración en una cualquiera de las ecuaciones: = 0,17 7 Sobre una esa ha un taco de adera de 500 g unido, ediante un hilo que pasa por una polea de asa despreciable, a otro de 250 g que cuelga. Si los coeficientes de rozaiento estático cinético son μ e = 0,30 μ c = 0,25, respectivaente: a) Deuestra si se deslizará el taco de la adera. b) En caso afirativo, halla la aceleración la tensión del hilo. a) El sistea se overá si el peso del cuerpo que cuelga del hilo es aor que la fuerza de rozaiento estático áia entre el taco sobre la esa la propia esa. g > μ g > μ 0,25 > 0,30 0,5 = 0,15 En consecuencia, se ueve. b) Coo el sistea consta de dos cuerpos conviene separarlos. En el cuerpo apoado sobre el plano, la dirección de su oviiento su sentido será el eje positivo de las. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = (0, g). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento una vez el taco está en oviiento: = ( μ, 0). La tensión de la cuerda: = (, 0). Aplicando que F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : μ = a En el eje : g = 0 262
Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera obteneos: μ g= a En el otro cuerpo, la dirección del oviiento su sentido será el eje positivo de las. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = (0, g). La tensión de la cuerda: = (0, ). Aplicando la ecuación del segundo principio al eje, obteneos para el segundo cuerpo: g = a En definitiva disponeos de dos ecuaciones con dos incógnitas, la tensión de la cuerda, la aceleración del sistea a: μ g= a g = a El sistea se puede resolver suando las ecuaciones despejando la aceleración: ( μ ) (0,25 0,25 0,5) a = g a = g = 1,64 /s 2 + 0,5 + 0,25 La tensión se obtiene sustituendo la aceleración en una cualquiera de las ecuaciones: = 2,04 8 Una joven de = 55 kg está dentro de un ascensor que desciende con aceleración constante de 1 /s 2. Qué fuerza ejerce el suelo del ascensor sobre la joven? oando el sistea de referencia fuera del ascensor sentido positivo el del oviiento, se ve bajar a la joven con aceleración a. Las fuerzas que actúan sobre la joven son: El peso: = (0, g). La noral: = (0, ). Aplicando la ecuación fundaental de la dináica al eje, obteneos: g = a = (g a) = 55 (9,81 1) = 485 9 Un péndulo está constituido por una esfera de 300 g de asa que cuelga ediante un hilo del techo de un vagón de tren. Si partiendo del reposo el tren acelera con una aceleración constante de 3 /s 2, el péndulo se desplaza un cierto ángulo de su posición de equilibrio. a) En qué dirección sentido se desplaza la asa del péndulo? b) Qué ángulo fora el péndulo con la vertical ientras dura la aceleración? c) Cuál es la tensión del hilo? a) La asa se desplaza en la dirección del oviiento del vagón en sentido contrario a este. b) oando el sistea de referencia dentro del vagón, se ve el péndulo, en reposo, inclinado un ángulo α hacia la parte posterior del vagón debido a la fuerza de inercia, f i. α Las fuerzas aplicadas son: El peso: = (0, g). La tensión del hilo: = (, ) = ( sin α, cos α). La fuerza de inercia: f i = ( a, 0). f i 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 263
Aplicando la ecuación fundaental de la dináica a cada uno de los ejes, recordando que el péndulo está en reposo respecto al vagón, obteneos: En el eje : En el eje : sin α a= 0 cos α g= 0 Si despejaos los térinos en los que está la tensión dividios obteneos: a a tan α = = = 0,31 α = 17º g g c) La tensión se obtiene sustituendo el ángulo en cualquiera de las ecuaciones: a 0,3 3 = = = 3,1 sin α sin 17 10 En las sillas voladoras, la platafora superior tiene un radio r p = 11, la longitud de las cadenas de las que cuelgan las sillas es l = 5. a) Con qué velocidad angular, ω, se debe hacer girar la platafora para que las sillas se separen de la vertical un ángulo de 30º? b) Qué tiepo se tardaría en dar una vuelta? a) esolvereos el ejercicio respecto de un observador situado fuera de la atracción. Sobre la silla actúan las siguientes fuerzas: El peso: = (0, g). La tensión = ( sin 30º, cos 30º). Aplicando la ecuación fundaental de la dináica a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : sin 30º = a c = ω 2 cos 30º g= 0 cos 30º = g Dividiendo entre sí estas ecuaciones, obteneos: tan 30º = ω2 g r p I = 5 30 264
Despejando la velocidad angular obteneos: ω = El radio de la circunferencia que describe la silla,, será: Sustituendo los datos: b) El periodo sería: = r p + l sin 30º = 11 + 5 sin 30º = 13,5 ω = g tan 30 9,81 tan 30 13,5 = 0,65 rad/s 2π 2π = = = 9,7 s ω 0,65 11 Con una honda de 50 c de cuerda se lanza una piedra de 100 g con una velocidad de 25 /s. Suponiendo que la honda gira en un plano vertical, deterina en el instante anterior al lanzaiento: a) La velocidad angular de la piedra en rad/s rp. b) La tensión de la cuerda. c) La relación en la que se encuentra la tensión de la cuerda con el peso de la piedra. a) La velocidad angular está relacionada con la velocidad lineal en la fora: v 25 v = ω ω = = = 50 rad/s 0,5 Epresada en rp sería: 1/2π rev 60 ω = 50 = 50 rp = 477 rp 1/60 in 2π b) En el punto de abajo, cuando se produce el lanzaiento, las fuerzas que actúan sobre la piedra de la honda son: El peso: = (0, g). La tensión de la cuerda: = (0, ). Aplicando el segundo principio, teniendo en cuenta que la aceleración que eiste es la aceleración centrípeta, obteneos: v g= 2 v = 2 25 + g= 0,1 2 + 0,1 9,81 = 126 0,5 c) La relación entre la tensión de la cuerda el peso será: 126 = = 128 0,1 9,81 La tensión es 128 veces aor que el peso. 12 Un cuerpo está en reposo sobre un plano horizontal cuo coeficiente de rozaiento estático vale μ, sin que se ejerzan fuerzas sobre él en la dirección horizontal. a) Eiste fuerza de rozaiento? b) Qué significado tiene la epresión = μ, para la fuerza de rozaiento? a) o, si el cuerpo está en reposo no se ejercen fuerzas sobre él, aunque haa un coeficiente de rozaiento entre el plano el cuerpo, no habrá fuerza de rozaiento ientras no se intente cabiar el estado de oviiento del cuerpo. b) Cuando ejerceos una fuerza F, para over el cuerpo horizontalente, la fuerza de rozaiento estático crece desde cero hasta μ. De esta fora cuando F > μ, el cuerpo cabia su estado 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 265
de oviiento. El valor, = μ, es, por tanto, el valor áio de la fuerza de rozaiento estático. En consecuencia, si sobre un cuerpo en reposo ejerceos una fuerza F, puede ocurrir: F < μ Ha fuerza de rozaiento estático, = F, no ha oviiento. F = μ Ha fuerza de rozaiento estático, = μ, no ha cabios en el estado de oviiento del cuerpo. F > μ Ha fuerza de rozaiento dináico, = μ, ha cabios en el estado de oviiento del cuerpo. 13 Eplica la diferencia entre los coeficientes estático cinético de rozaiento Cóo se definen? Cuál es aor? El coeficiente estático de rozaiento es el cociente entre la fuerza necesaria para iniciar el oviiento de un cuerpo la noral. El coeficiente cinético de rozaiento es el cociente entre la fuerza necesaria para antener un cuerpo con oviiento unifore la noral. Este coeficiente es algo enor que el estático. 14 Bajo la acción de una fuerza de 8, un taco de adera cua asa es de 1,4 kg se ueve en un plano horizontal con una aceleración de 4 /s 2. Deuestra si ha rozaiento, si lo ha, halla el coeficiente. F Supongaos que no eiste rozaiento. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral,, reacción del suelo sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza F, ejercida sobre el objeto: F = (F, 0). Aplicaos el segundo principio a cada uno de los ejes. Sobre el eje no ha oviiento, por tanto, al aplicar el F segundo principio en este eje queda: g= 0 = g Sobre el eje eiste aceleración, por tanto: F 8 F = a a = = = 5,7 /s 2 1,4 Coo la aceleración del oviiento es enor, tiene que eistir rozaiento, de fora que la ecuación sobre el eje, sería: F = a F μ = a F μ g = a Despejando el coeficiente de rozaiento obteneos: F a 8 1,4 4 μ = = = 0,17 g 1,4 9,81 15 Un patinador se desliza sobre una pista de hielo horizontal, anteniendo una velocidad de 3,5 /s. Si el coeficiente de rozaiento entre los patines el hielo es 0,03 el patinador deja de ipulsarse, qué distancia recorrerá hasta pararse? 266
Cuando el patinador deja de ipulsarse, la única fuerza que actúa sobre él en la dirección del oviiento es la de rozaiento. Las fuerzas aplicadas son: El peso del cuerpo: = (0, g). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). Aplicando el segundo principio de la dináica, F = a, sobre cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : μ = a g= 0 esolviendo el sistea obteneos: a = μ g a = 0,29 /s 2 El patinador lleva aceleración constante en la dirección del oviiento sentido contrario a este. Si la velocidad v 0 = 3,5 /s se para, v = 0 /s, el espacio recorrido será: Sustituendo los datos obteneos: v 2 0 = 2 a s s = s = 21 v 2 0 2 a 16 Un cuerpo de 5 kg de asa se desliza por un plano horizontal. Al pasar por un punto, su velocidad es de 7 /s se para 8 ás allá, por efecto del rozaiento. Calcula: a) La aceleración del oviiento. b) La fuerza de rozaiento. c) El coeficiente de rozaiento. a) Conocidas las velocidades el espacio recorrido, la aceleración será: v 2 = v 2 v 0 + 2 a s a = 2 v 2 0 0 7 = 2 = 3,1 /s 2 2 s 2 8 b) Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral,, reacción del suelo sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento en sentido contrario: = (, 0). Aplicaos el segundo principio a cada uno de los ejes. Sobre el eje no ha oviiento; por tanto, al aplicar el se - gundo principio en este eje queda: Sobre el eje eiste aceleración, por tanto: g = 0 = g = a= 5 ( 3,1) = 15,5 = 15,5 c) El coeficiente de rozaiento se obtiene de la definición del valor de la fuerza de rozaiento: F = μ = μ g μ = r 15,5 = = 0,32 g 5 9,81 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 267
17 Un cuerpo de 10 kg se ueve en un plano horizontal por la acción de una fuerza paralela al plano de 75. Si el coeficiente de rozaiento es μ = 0,3, calcula: a) La aceleración del oviiento. b) La velocidad a los 5 de recorrido. c) El tiepo que transcurre en esos 5. a) Las fuerzas que actúan sobre el objeto son: El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral,, reacción del suelo sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). F La fuerza F, ejercida sobre el objeto: F = (F, 0). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). Aplicaos el segundo principio a cada uno de los ejes. Sobre el eje no ha oviiento; por tanto, al aplicar el segundo principio en este eje queda: g = 0 Sobre el eje eiste aceleración, por tanto: F μ = a Despejando la noral de la priera ecuación sustituéndola en la segunda obteneos: F μ g= a Despejando la aceleración obteneos: a = F μ g 75 0,3 10 9,81 = = 4,6 /s 2 10 b) Conocidas la aceleración el espacio, la velocidad será: v = 2 a s = 2 4,6 5 = 6,8 /s c) El tiepo se puede obtener a partir de la ecuación de la velocidad: v 6,8 v = a t t = = = 1,5 s a 4,6 18 Un cuerpo se lanza con una velocidad de 6,50 /s hacia arriba por una rapa inclinada 4º. Si el coeficiente de rozaiento vale μ = 0,25, halla la aceleración de subida. 4 La dirección del oviiento su sentido será el eje positivo de las, el eje perpendicular a este será por tanto el de las, con sentido positivo hacia arriba. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin 4º, g cos 4º). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). 268
Aplicando: F = a, a cada uno de los ejes, obteneos: En el eje : En el eje : g sin 4º μ = a g cos 4º = 0 Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera queda: Siplificando: Sustituendo los datos obteneos: g sin 4º μ g cos 4º = a a = g (sin 4º + μ cos 4º) a = 3,1 /s 2 19 Un cuerpo de 25 kg sube por un plano inclinado 25º, cuo coeficiente de rozaiento es μ = 0,25, debido a que sobre él se aplica una fuerza de 300 en la dirección del desplazaiento. a) Con qué aceleración asciende el cuerpo? b) Qué fuerza habría que aplicar en la dirección del desplazaiento para que el cuerpo suba con velocidad constante? a) La dirección del oviiento su sentido será el eje positivo de las, el eje perpendicular a este será por tanto el de las, con sentido positivo hacia arriba. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin 25º, g cos 25º). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). La fuerza aplicada: F = (F, 0). Aplicando que F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : F g sin 25º μ = a g cos 25º = 0 Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera queda: F g sin 25º μ g cos 25º = a Despejando la aceleración: F g (sin 25º + μ cos 25º) a = Sustituendo los datos obteneos: a = 5,6 /s 2 b) ara que el cuerpo suba con velocidad constante la aceleración en el eje, debe ser cero, por tanto, las ecuaciones serían: En el eje : F g sin 25º μ = 0 25 25 F 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 269
En el eje : g cos 25º = 0 Despejando la noral de la segunda sustituendo en la priera queda: F g sin 25º μ g cos 25º = 0 Despejando la fuerza: F = g (sin 25º + μ cos 25º) Sustituendo los datos obteneos: F = 159 20 eneos un plano inclinado de 10 de longitud 30º de ángulo. a) Qué velocidad paralela al plano debe counicarse a un cuerpo de asa 1 kg para que, al llegar al final del plano, la velocidad sea 0? Suponeos que no ha rozaiento. b) Si eiste un rozaiento de coeficiente μ = 0,1, cuánto tiepo tardaría en recorrer el plano? c) La asa, una vez arriba, inicia el descenso. Cuánto tiepo tardará en llegar otra vez al suelo? Con qué velocidad llegará? esuelve este apartado con sin rozaiento. a) ara calcular la velocidad ha que conocer la aceleración con la que sube el cuerpo. La dirección del oviiento su sentido será el eje positivo de las, el eje perpendicular a este será, por tanto, el de las, con sentido positivo hacia arriba. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin 30º, g cos 30º). La noral: = (0, ). Aplicando que F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : g sin 30º = a g cos 30º = 0 Directaente de la priera obteneos la aceleración: a = g sin 30º = 4,91 /s 2 Conocida la aceleración, la velocidad inicial v 0, para que suba los 10 por el plano, se puede calcular a partir de: v 2 = v 2 0 + 2 a s v 0 = 2 4,91 10 = 9,9 /s 30 b) La aceleración en este caso habría que volver a calcularla. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin 30º, g cos 30º). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). Aplicando que F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : g sin 30º μ = a g cos 30º = 0 30 270
Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera: Siplificando: Sustituendo los datos obteneos: La velocidad inicial en este caso sería: g sin 30º μ g cos 30º = a a = g (sin 30º + μ cos 30º) a = 5,8 /s 2 v 2 = v 2 0 + 2 a s v 0 = 2 5,8 10 = 10,8 /s El tiepo epleado en recorrer el plano sería: 10,8 v v 0 = a t t = = 1,9 s 5,8 c) esolvereos priero en el caso de que eista rozaiento. La aceleración de bajada se calcula a partir de las ecuaciones de la dináica. Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin 30º, g cos 30º). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). Aplicando que F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : g sin 30º μ = a g cos 30º = 0 Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera queda: Siplificando: Sustituendo los datos obteneos: La velocidad inicial es cero, por tanto: g sin 30º μ g cos 30º = a a = g (sin 30º μ cos 30º) a = 4,1 /s 2 v 2 = v 2 0 + 2 a s v = 2 4,1 10 = 9,1 /s El tiepo epleado en recorrer el plano sería: 9,1 v v 0 = a t t = = 2,2 s 4,1 Si no eiste rozaiento basta sustituir μ = 0, para obtener los resultados: Sustituendo los datos obteneos: La velocidad al final del plano será: a = g sin 30º a = 4,91 /s 2 v 2 = v 2 0 + 2 a s v = 2 4,91 10 = 9,9 /s 30 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 271
El tiepo epleado en recorrer el plano sería: 9,9 v v 0 = a t t = = 2,0 s 4,91 21 22 Un cuerpo de 5 kg es lanzado a la velocidad de 11 /s por un plano inclinado 30º con la horizontal. Si el coeficiente de rozaiento es μ = 0,25, calcula la aceleración el espacio que recorre hasta detenerse. Indica si las soluciones son las isas con otra asa. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = ( g sin 30º, g cos 30º). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular v 0 a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). Aplicando el segundo principio a los dos ejes teneos: En el eje no ha oviiento, en consecuencia: 30 g cos 30º = 0 = g cos 30º En el eje : g sin 30º μ = a Sustituendo el valor de la noral en esta ecuación: g sin 30º μ g cos 30º = a a = g sin 30º μ g cos 30º odeos sacar factor coún a la aceleración de la gravedad obteneos: a = g (sin 30º + μ cos 30º) = 9,81 (sin 30º + 0,25 cos 30º) = 7 /s 2 Conocidas las velocidades la aceleración, el espacio será: v 2 = v 2 0 + 2 a s s = v 2 v 2 0 0 11 = 2 a 2 ( 7) = 8,6 Los resultados son independientes del valor de la asa. Un cuerpo recorre 10 en una rapa de 45º al deslizarse sin velocidad inicial durante 1,75 s. Si su asa es de 1,5 kg, calcula: a) La aceleración edia. b) La fuerza neta. c) La fuerza que se opone al deslizaiento. a) La aceleración del cuerpo si recorre un espacio de 10, partiendo con velocidad cero, en 1,75 s será: s = 2 a t 2 s 2 10 a = = = 6,5 /s 2 t 2 1,75 2 b) La fuerza neta se calcula directaente aplicando el segundo principio: F = a F = 1,5 6,5 = 9,75 c) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son: 1 2 El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = ( g sin 45º, g cos 45º). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). 45 45 272
La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = (, 0). Sobre el eje del oviiento la fuerza total es: F = g sin 45º = g sin 45º F = 1,5 9,81 sin 45º 9,75 = 0,66 23 Si no tienes dinaóetro cóo deterinarías el coeficiente estático entre un cuerpo el aterial sobre el que se desliza? α Lo noral es edir los coeficientes de rozaiento ediante un plano inclinado. Se coloca el cuerpo sobre un plano que se va inclinando poco a poco, el ángulo para el que el cuerpo coienza a deslizar perite calcular el coeficiente de rozaiento estático. En efecto, en el instante en que coienza el oviiento se cuple que: sin α g sin α = 0 g sin α μ g cos α = 0 μ = = tan α cos α El coeficiente estático de rozaiento es igual a la tangente del ángulo forado por el plano con la horizontal en el oento de iniciarse el deslizaiento. 24 En la parte superior de un plano inclinado se deja un cuerpo. Si el coeficiente de rozaiento estático vale 0,2. Cuál es el ángulo de inclinación del plano en el oento en el que el cuerpo coienza a overse? Las fuerzas aplicadas son: El peso: = ( g sin α, g cos α). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). En este caso no eiste aceleración en ninguno de los ejes. Aplicando: F = a, a cada uno de los ejes obteneos: α En el eje : g sin α μ = 0 En el eje : g cos α = 0 Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera queda: g sin α μ g cos α = 0 Siplificando: sin α μ cos α = 0 tan α = μ = 0,2 Despejando α obteneos: α = tan 1 0,2 = 11,3º 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 273
25 26 De los etreos de una cuerda que pasa por una polea fija de eje horizontal cuelgan pesos de 200 g 150 g, respectivaente. Calcula: a) La aceleración con la que se ueven los pesos. b) La distancia que los separa a 1 s, suponiendo que inicialente estaban a la isa altura. a) El sistea está forado por dos cuerpos que aislareos. Fuerzas sobre el cuerpo de asa 1 : El peso 1, en dirección del radio terrestre sentido hacia el centro 2 1 de la ierra. La tensión, que la cuerda ejerce sobre el cuerpo. 2 1 Coo todas las fuerzas están en la isa dirección no hace falta descoponer los vectores, de odo que la ecuación que describe la dináica del cuerpo 1 será: 1 g = 1 a Fuerzas sobre el cuerpo de asa 2 : El peso 2, en dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión, que la cuerda transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo 2 será: 2 g = 2 a El sistea forado por estas dos ecuaciones perite conocer el valor de la aceleración del sistea. Suando abas obteneos: 1 g 2 g = ( 1 + 2 ) a Despejando la aceleración: a = 1 2 200 150 g a = 9,81 = 1,4 /s 2 2 + 1 200 + 150 b) Si los cuerpos parten del reposo el espacio que recorre cada uno será: 1 2 1 s = a t s = 1,4 1 2 = 0,7 2 2 Si los cuerpos partieron del iso nivel la distancia entre ellos será: d = 2 0,7 = 1,4 Sobre una esa, un cuerpo de 500 g va unido ediante un hilo, que pasa por una polea, a otro de 175 g, que cuelga. Suponiendo que no ha rozaiento que la asa de la polea es despreciable, calcula la aceleración la tensión del hilo. ealiza los isos cálculos considerando un rozaiento de coeficiente μ = 0,15. esolvereos el ejercicio con rozaiento, los resultados para cuando no haa rozaiento los obtendreos haciendo μ = 0, en las soluciones. El sistea está forado por dos cuerpos: Fuerzas sobre el cuerpo que desliza por el plano: 1 El peso 1, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: 1 = (0, 1 g). 1 g La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). 2 La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). 2 g 274
La tensión que ejerce la cuerda sobre el cuerpo: = (, 0). Sobre el eje, no ha oviiento por tanto la ecuación a plantear es: Sobre el eje del oviiento será: 1 g = 0 μ = 1 a Despejando la noral de la priera ecuación sustituendo en la segunda obteneos: μ 1 g = 1 a Fuerzas sobre el cuerpo que cuelga: El peso 2, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra. La tensión que transite íntegraente la cuerda se ejerce sobre el cuerpo. En este caso no es necesario descoponer las fuerzas de fora que la ecuación para este cuerpo será: 2 g = 2 a Estas ecuaciones resuelven el ejercicio. Suando iebro a iebro obteneos: 2 g μ 1 g = ( 1 + 2 ) a g ( 2 μ 1 ) = ( 1 + 2 ) a Despejando la aceleración sustituendo valores se obtiene: a = 2 μ 1 175 0,15 500 g = 9,81 = 1,45 /s 2 1 + 2 500 + 175 La tensión se obtiene despejándola de cualquiera de las ecuaciones: = 2 g 2 a = 2 (g a) = 0,175 (9,81 1,45) = 1,46 Si no hubiera rozaiento, μ = 0, las ecuaciones serían: 2 175 a = g = 9,81 = 2,54 /s 2 1 + 2 500 + 175 Y la tensión: = 2 g 2 a = 2 (g a) = 0,175 (9,81 2,54) = 1,27 27 Utiliza los datos de la figura para calcular la aceleración del sistea la tensión de la cuerda, sabiendo que el coeficiente de rozaiento es 0,4. Cuánto tendrá que valer 2 para que se ueva con velocidad constante? 1 = 1 kg 2 = 4 kg 45 Fuerzas sobre el cuerpo que desliza por el plano horizontal: El peso 1, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: 1 = (0, 1 g). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). 1 1 = 1 kg 2 = 4 kg 1 1 45 2 2 2 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 275
La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). La tensión que ejerce la cuerda sobre el cuerpo: = (, 0). Sobre el eje, no ha oviiento, por tanto, la ecuación a plantear es: Sobre el eje del oviiento será: 1 g = 0 μ = 1 a = 1 g Despejando la noral de la priera ecuación sustituendo en la segunda obteneos: μ 1 g = 1 a Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que desliza por el plano inclinado son: El peso 2, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = ( 2 g sin 45º, 2 g cos 45º). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). La tensión que ejerce la cuerda sobre el cuerpo: = (, 0). Aplicando el segundo principio a los dos ejes teneos: Sobre el eje no ha oviiento, en consecuencia: Sobre el eje : 2 g cos 45º = 0 = 2 g cos 45º (I) 2 g sin 45º μ = 2 a Sustituendo el valor de la noral en esta ecuación obteneos: 2 g sin 45º μ 2 g cos 45º = 2 a Suando las ecuaciones (I) (II) obteneos: Despejando la aceleración: 2 g sin 45º μ 2 g cos 45º μ 1 g = ( 1 + 2 ) a a = 2 sin 45 μ ( 2 cos 45 + 1 ) 4 sin 45 0,4 (4 cos 45 + 1) g = 9,81 = 2,54 /s 2 1 + 2 1 + 4 La tensión la obteneos sustituendo la aceleración en cualquiera de las ecuaciones: μ 1 g = 1 a = 1 (μ g + a) = 1 (0,4 9,81 + 2,54) = 6,46 ara que las asas se uevan con velocidad constante la aceleración debe valer: a = 0. or tanto: Despejando la asa 2 : 2 g sin 45º μ 2 g cos 45º μ 1 g = 0 μ 2 = 1 0,4 1 = = 0,943 kg sin 45 μ cos 45 sin 45 0,4 cos 45 (II) 28 De los etreos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija de eje horizontal penden dos asas de 500 g cada una. Qué asa habrá que añadir a una de las dos para que la otra suba 2 en 2 s? ara que una de las asas recorra 2 en 2 s, la aceleración será: 1 s = a t 2 2 s 2 2 a = = = 1 /s 2 2 t 2 2 2 276
El sistea está forado por dos cuerpos, uno de asa el otro de asa +. Fuerzas sobre el cuerpo de asa + : El peso, en dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión que la cuerda ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: Fuerzas sobre el cuerpo de asa : ( + ) g = ( + ) a El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión que la cuerda transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: g= a El sistea forado por estas dos ecuaciones perite conocer el valor de la aceleración del sistea. Suando abas obteneos: ( + ) g g= (2 + ) a g = (2 + ) a Despejando la asa : (g a) = 2 a 2 a 2 0,5 1 = = = 0,114 kg = 114 g g a 9,81 1 29 Una grúa levanta un contenedor de 1 200 kg con una aceleración de 0,25 /s 2. Calcula: a) La tensión del cable de la grúa. b) La altura a los 10 s. c) La tensión del cable si el contenedor sube a una velocidad constante. a) Fuerzas sobre el cuerpo de asa : El peso, en dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión que el cable transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: g= a = (g + a) = 1 200 (9,81 + 0,25) = 12 072 b) En 10 s el contenedor recorre: 1 2 1 h = a t h = 0,25 10 2 = 12,5 2 2 c) En el caso de que el contenedor suba con velocidad constante, a = 0, la ecuación que describe su dináica sería: g = 0 = g = 1 200 9,81 = 11 772 30 La resistencia del cable de una grúa es de 7 680. Cuál es la aceleración áia con la que debe subir un contenedor de 600 kg para que no se ropa el cable? Fuerzas sobre el cuerpo de asa : El peso, en dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 277
31 La tensión que el cable transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: g = a Despejando la aceleración sustituendo valores obteneos: g 7 680 600 9,81 a = a = = 2,99 /s 2 600 En el sistea de la figura, el plano tiene un coeficiente de rozaiento μ = 0,35; la polea no tiene asa ni rozaiento los dos cuerpos tienen asas 1 = 750 g 2 = 1 kg. Calcula: a) La aceleración del sistea. b) La tensión de la cuerda. 1 2 Coo el sistea consta de dos cuerpos conviene separarlos. En el cuerpo apoado sobre el plano, la dirección de su oviiento su sentido será el eje positivo de las. Las fuerzas aplicadas son: El peso: 1 = (0, 1 g). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento: = ( μ, 0). La tensión de la cuerda: = (, 0). Aplicando: F = a, a cada uno de los ejes obteneos: En el eje : En el eje : μ = 1 a 1 1 g = 0 Despejando la noral de la segunda ecuación sustituendo en la priera obteneos, para este cuerpo: μ 1 g = 1 a (I) En el otro cuerpo, la dirección del oviiento su sentido será el eje positivo de las. Las fuerzas aplicadas son: El peso: 2 = (0, 2 g). La tensión de la cuerda: = (0, ). Aplicando la ecuación del segundo principio al eje, obteneos para el segundo cuerpo: 2 g = 2 a (II) 2 278
En definitiva, disponeos de dos ecuaciones con dos incógnitas, la tensión de la cuerda,, la aceleración del sistea, a, que resolvereos por cualquiera de los étodos habituales, obteniendo los valores: 2 μ 1 1 0,35 0,75 a = g = 9,81 = 4,13 /s 2 1 + 2 0,75 + 1 = 5,68 32 Dos asas iguales de 10 kg están atadas a los etreos de una cuerda descansan sobre sendos planos inclinados, cuas inclinaciones son α = 30º β = 60º, coo se indica en la figura. Si los coeficientes de rozaiento de cada asa con sus respectivos planos valen μ = 0,1, calcula: a) La aceleración del conjunto. b) La tensión de la cuerda. α β a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que desliza por el plano inclinado de ángulo α son: El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = ( g sin α, g cos α). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). La tensión que ejerce la cuerda sobre el cuerpo: = (, 0). Aplicando el segundo principio a los dos ejes teneos: En el eje no ha oviiento, en consecuencia: En el eje : g cos α = 0 = g cos α g sin α μ = a Sustituendo el valor de la noral en esta ecuación obteneos: g sin α μ g cos α = a Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que desliza por el plano inclinado de ángulo β son: (I) α El peso, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: = ( g sin β, g cos β). La noral,, reacción del plano sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento sentido contrario: = ( μ, 0). La tensión que ejerce la cuerda sobre el cuerpo: = (, 0). Aplicando el segundo principio a los dos ejes teneos: En el eje no ha oviiento, en consecuencia: β g cos β = 0 = g cos β 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 279
En el eje : g sin β μ = a Sustituendo el valor de la noral en esta ecuación obteneos: g sin β μ g cos β = a (II) Las ecuaciones (I) (II) foran un sistea cua resolución perite conocer los valores de la aceleración del sistea la tensión de la cuerda. Suando (I) (II) dividiendo por, queda: g sin β μ g cos β g sin α μ g cos α = 2 a g (sin β sin α) μ g (cos β + cos α) = 2 a Despejando la aceleración sustituendo valores obteneos: a = 1,1 /s 2 b) Sustituendo este valor en cualquiera de las ecuaciones (I) o (II) obteneos la tensión de la cuerda: g sin β μ g cos β = a = g sin β μ g cos β a = 69 33 En el sistea representado en la figura, las asas de los cuerpos son 1 = 50 kg, 2 = 75 kg 3 = 100 kg, el coeficiente de rozaiento entre el plano el cuerpo es μ = 0,25. Calcula: a) La aceleración del sistea. b) Las tensiones de las cuerdas. 2 3 1 a) Las fuerzas sobre el cuerpo de asa 1 son: El peso 1, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión 1 que la cuerda transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: 1 1 g = 1 a Las fuerzas que actúan sobre el objeto de asa 2 son: El peso 2, en la dirección del radio terrestre hacia el centro de la ierra: 2 = (0, 2 g). La noral,, reacción del suelo sobre el cuerpo, perpendicular a la superficie de apoo hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento,, en la dirección del oviiento en sentido contrario: = ( μ, 0). La tensión 1, debida al cuerpo de asa 1 : 1 = ( 1, 0). La tensión 2, debida al cuerpo de asa 2 : 2 = ( 2, 0). Aplicaos el segundo principio a cada uno de los ejes: Sobre el eje no ha oviiento, por tanto, al aplicar el segundo principio en este eje queda: 2 g = 0 = 2 g (I) 1 1 2 2 1 280
Sobre el eje eiste aceleración por tanto: 2 1 μ = 2 a 2 1 μ 2 g = 2 a (II) Las fuerzas sobre el cuerpo de asa 3 son: El peso 3, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión 2 que la cuerda transite íntegraente ejerce sobre el cuerpo. La ecuación que describe la dináica del cuerpo será: 3 g 2 = 3 a (III) 2 3 Las ecuaciones (I), (II) (III) foran un sistea de tres ecuaciones con tres incógnitas: 1, 2 a. Suando las tres ecuaciones obteneos: 3 g 1 g μ 2 g = ( 1 + 2 + 3 ) a Despejando la aceleración sustituendo valores obteneos: 3 1 μ 2 a = g = 1,36 /s 2 1 + 2 + 3 b) Sustituendo en la ecuación (I) obteneos 1 : 1 1 g = 1 a 1 = 1 (a + g) = 559 Sustituendo la aceleración en la ecuación (III) obteneos 2 : 3 g 2 = 3 a 2 = 3 (g a) = 845 34 Si un vehículo toa una curva a una velocidad ecesiva, por qué no puede copletarla? Eplica por qué las carreteras con peralte retienen ejor a los vehículos en las curvas. Al describir una curva el vehículo lleva una aceleración centrípeta en la dirección del radio en sentido hacia el centro. Si el paviento es horizontal, la única fuerza que retiene al vehículo en la dirección del radio es la fuerza de rozaiento. En consecuencia: = v 2 Si el valor de la velocidad es aor al que cuple esta ecuación, el vehículo desliza se sale del paviento. Si el paviento está peraltado un ángulo α, adeás del rozaiento, la coponente auda a antener el coche sobre la carretera: v + g sin α = 2 (para α pequeños) El efecto del peralte es un auento del valor de la fuerza que retiene al vehículo, en consecuencia, con el iso radio, el coche podrá circular con aor velocidad. 35 Una áquina radial, epleada para lijar, desprende una partícula de 5 g cuando gira, a razón de 10 000 rp. Si la partícula pertenece al borde del disco, que tiene 8 c de radio, calcula la fuerza centrípeta a que estaba soetida la velocidad con la que salió desprendida. uede producir una lesión grave si alcanza a una persona? La velocidad angular epresada en unidades internacionales es: La fuerza centrípeta será: ω = 10 000 rp = 10 000 2 π rad 60 s = 1 047 rad/s F c = ω 2 = 5 10 3 0,08 (1 047) 2 = 438,5 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 281
La velocidad con la que sale es: v = ω = 1 047 0,08 = 83,8 /s Es una velocidad u alta, del orden de agnitud de las velocidades que proporcionan las aras de fuego, por tanto, si puede producir lesiones graves. 36 Con qué velocidad angular ínia ha que hacer girar un cubo en el plano vertical según un círculo de radio 80 c para que el agua que contiene no se derrae? Cuál será la velocidad tangencial del cubo en esas condiciones? Si nos situaos fuera del cubo, el eje del oviiento sería tangente a la traectoria, en consecuencia, el eje tendría la dirección del radio sentido positivo hacia el centro de la circunferencia. Las fuerzas que actúan sobre el agua del cubo en el punto ás alto serían: El peso: = (0, g). La noral: = (0, ). La aceleración del oviiento es centrípeta, por tanto, el segundo principio nos perite escribir: g = ω 2 La velocidad angular ínia que debe llevar el cubo, en ese punto, será aquella para la que = 0, en consecuencia: La velocidad lineal correspondiente sería: g = ω 2 ω = = = 3,5 rad/s g v = ω = 2,8 /s 9,81 0,80 v 37 En una revista leeos que el tabor de una lavadora industrial es un cilindro de 40 c de diáetro, que la velocidad áia de centrifugado es de 1 200 rp. Calcula la fuerza a la que está soetida una carga de 15 kg de ropa, distribuidos en la periferia. Cuántas veces es aor que su peso? La velocidad angular epresada en unidades internacionales será: 2 π rad ω = 1 200 rp = 1 200 = 126 rad/s 60 s La fuerza a la que estarán soetidos los 15 kg de ropa es la fuerza centrípeta: F c = ω 2 = 15 126 2 0,20 = 47 628 La relación entre esta fuerza el peso de un kilograo ( = 9,81 ) es: F c 47 628 = = 324 15 9,81 En consecuencia, F c es 324 veces aor que el peso de la ropa. 38 Un ascensor de 120 kg transporta a tres personas cua asa, entre las tres, es de 210 kg. Halla: a) La fuerza que ejercen las personas sobre el ascensor cuando sube con aceleración de 0,5 /s 2. b) La fuerza que ejerce el otor, ediante el cable, en este oviiento. c) Las isas fuerzas que en los apartados anteriores, pero cuando frena al llegar al piso con una aceleración de 1,5 /s 2. Si nos situaos fuera del ascensor: a) Las fuerzas aplicadas sobre las personas son el peso la noral. En consecuencia: g= a = (a + g) = 210 (0,5 + 9,81) = 2 165 282
b) Sobre el ascensor está aplicado, su peso ás el de las personas que van dentro la tensión del cable: ( + M) g = ( + M) a = ( + M) (a + g) = 330 10,31 = 3 402 c) Lo único que cabia es el signo de la aceleración que ahora es de frenado: a = 1,5 /s 2 En el caso (a): = (a + g) = 210 ( 1,5 + 9,81) = 1 745. En el caso (b): = ( + M) (a + g) = 330 8,31 = 2 742. 39 Una esa horizontal con rozaiento de coeficiente μ = 0,25, tiene un agujero. Sobre la esa ha un cuerpo de asa = 500 g unido, ediante una cuerda que pasa por el agujero, a otro cuerpo de asa M = 750 g. Este segundo cuerpo está suspendido. Calcula la velocidad con la que debe dar vueltas en una circunferencia de 25 c de radio, para que M esté en reposo. M Si nos situaos sobre el cuerpo que gira sobre la esa, estareos en reposo respecto de él, en consecuencia, la sua de fuerzas debe ser cero. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo situado encia de la esa son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral, perpendicular a la superficie de contacto hacia arriba: = (0, ). La tensión de la cuerda, en la dirección de la cuerda tirando del cuerpo que se encuentra encia: = (, 0). La fuerza de rozaiento, en la dirección del radio sentido hacia fuera de la circunferencia: = ( μ, 0). La fuerza de inercia f i, en la dirección del radio sentido hacia fuera de la circunferencia: f i = (, 0). De la aplicación del segundo principio de la dináica sobre los ejes, teniendo en cuenta que se pretende que el cuerpo de asa M no caiga, se obtienen las ecuaciones: g = 0 μ = 0 Despejando la noral de la priera ecuación sustituendo en la segunda teneos: v 2 v 2 f i v 2 μ g = 0 (I) Las fuerzas sobre el cuerpo que cuelga son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión de la cuerda, en la dirección de la cuerda sujetando el cuerpo de asa M. 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 283
Abas fuerzas tienen la isa dirección, por tanto, la ecuación que describe la dináica de este cuerpo, que se pretende esté en reposo es: M g = 0 El sistea forado por las ecuaciones (I) (II) resuelve el ejercicio: M g μ g = 0 Despejando la velocidad obteneos: (M μ ) g v = Sustituendo los datos en el Sistea Internacional obteneos: (0,75 0,25 0,5) 0,25 9,81 v = = 1,75 /s 0,5 v 2 (II) 40 e has olvidado la ochila sobre la parte delantera del techo de un coche de 1,5 de largo. El coeficiente estático de rozaiento entre el techo del coche la ochila es de 0,25 el dináico de 0,20. Si el coche arranca en línea recta con una aceleración de 2,7 /s 2, averigua si deslizará la ochila, en caso afirativo, calcula cuánto tiepo tardará en caer por el otro etreo del techo del coche. Si nos poneos en un sistea de referencia ligado a la ochila, las fuerzas sobre ella serán: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral, perpendicular a la superficie de contacto hacia f i arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento, en la dirección del oviiento de la ochila sentido contrario: = ( μ, 0). La fuerza de inercia f i, en la dirección del oviiento del coche sentido contrario: f i = ( a c, 0). El valor de la noral, en este caso, coincide con el peso de la ochila: = g. La ochila deslizará sobre el techo si: f i > μ e a c > μ e g a c > μ e g Coo a c = 2,7 /s 2 μ e g = 0,25 9,81 = 2,45, la desigualdad se cuple, en consecuencia, la ochila deslizará sobre el techo del coche. La ecuación sobre el eje del oviiento de la ochila será: f i μ c = a a c μ c g = a a = a c μ c g = 2,7 0,20 9,81 = 0,74 /s 2 Con esta aceleración, partiendo del reposo, la ochila tarda en recorrer los 1,5 del techo: 1 2 2 s 2 1,5 0,74 s = a t 2 t = = = 2 s a 41 Un vehículo de asa 1 300 kg toa una curva sin peralte de 200 de radio a una velocidad de 90 k/h. Calcula: a) La fuerza de rozaiento. b) La velocidad que podría toar en la curva si tuviera un peralte de 10º el iso rozaiento. 10 284
La velocidad del coche epresada en /s es: v = 90 k/h 1 000 v = 90 3 600 s = 25 /s Si nos situaos dentro del coche nos veos en reposo, en consecuencia, la sua de fuerzas debe ser cero, pero debeos aditir una fuerza de inercia en la dirección del radio, hacia fuera de valor: v f i = a) Si no ha peralte estaos en un plano horizontal. Las fuerzas que actúan sobre el coche son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral, perpendicular a la superficie de contacto hacia arriba: = (0, ). La fuerza de rozaiento, en dirección del radio sentido hacia el f i centro: = (, 0). La fuerza de inercia f i, en la dirección del radio de la curva hacia el v eterior: f i = (, 0). Aplicando la ecuación del segundo principio al eje horizontal teniendo en cuenta que el coche está en reposo respecto del sistea obteneos: v + v = 0 = 25 = 1 300 = 4 062,5 200 b) Las fuerzas que actúan sobre el coche son las isas en este caso: El peso: = ( g sin 10º, g cos 10º). La noral: = (0, ). La fuerza de rozaiento, en dirección del plano sentido hacia abajo: = (, 0). La fuerza de inercia f i, en la dirección del radio de la circunferencia hacia el eterior de ella: v 2 f i = ( cos 10º, sin 10º). La ecuación sobre el eje del oviiento es ahora: g sin 10º + cos 10º = 0 Despejando la velocidad obteneos: (F v = r + g sin 10 ) cos 10 Sustituendo los datos obteneos: v 2 v 2 v = 31,3 /s 10 10 f i 42 Una pieza etálica de 100 g va atada a un hilo de 80 c que se rope si la tensión a la que está soetido sobrepasa los 20. Si poneos a girar esa pieza coo si fuese una honda, qué velocidad tendrá cuando se ropa el hilo? Qué dirección tendrá la velocidad de la pieza etálica en el oento de roperse el hilo? Supondreos que haceos girar la honda en un plano vertical, la fuerza aplicada sobre la pieza etálica es la diferencia entre la tensión del hilo el peso de la pieza: = a c = v 2 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 285
Despejaos la velocidad: g 20 0,80 0,1 0,80 9,81 0,1 v = = = 12,3 /s La dirección es tangente a la traectoria sentido el del oviiento. 43 Un vagón se ueve sobre una vía horizontal con una aceleración constante de 2,5 /s 2. En el interior, colgado del techo, se coloca un péndulo de longitud L = 1 asa = 300 g. a) Dibuja el diagraa de fuerzas ejercidas sobre la asa del péndulo para un observador inercial para otro que está dentro del vagón. b) Calcula el ángulo que se desvía el péndulo respecto a la vertical. a) ara un observador inercial, fuera del vagón, las fuerzas ejercidas sobre la asa del péndulo son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra. La tensión del hilo, en la dirección del hilo que sujeta la asa. ara un observador no inercial, dentro del vagón, las fuerzas ejercidas sobre la asa del péndulo son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra: = (0, g). La tensión del hilo, en la dirección del hilo: = ( sin α, cos α). La fuerza de inercia f i, en la dirección del oviiento del vagón sentido contrario: f i = ( a, 0). α α f i El observador dentro del vagón ve el péndulo en reposo, por tanto, debe plantear las siguientes ecuaciones sobre los ejes: cos α g = 0 sin α a = 0 Separaos las razones trigonoétricas: cos α = g sin α = a Dividios las ecuaciones entre sí obteniendo: a tan α = g Sustituendo los datos obteneos: 2,5 tan α = = 0,25 α = 14,3º 9,81 286
44 Una caja de = 2 kg está colocada sobre otra de asa M = 5 kg. Sabiendo que el coeficiente de rozaiento entre las dos cajas es de μ = 0,2, calcula el valor áio de la aceleración del conjunto, de anera que la caja de arriba no se deslice sobre la de abajo. M Cuando la caja de abajo se ueve con cierta aceleración a hacia la derecha, la de arriba viaja en un sistea no inercial sobre ella se ejerce una fuerza de inercia en la dirección del oviiento hacia la izquierda que la intentará over en ese sentido. Las fuerzas sobre la caja de arriba son: El peso, en la dirección del radio terrestre sentido hacia el centro de la ierra: = (0, g). La noral, perpendicular a la superficie de contacto hacia arriba: = (0, ). f i La fuerza de rozaiento, en la dirección del oviiento en sentido contrario a este. Coo la caja tiende a overse hacia la izquier- da la fuerza de rozaiento va hacia la derecha: = (μ, 0). La fuerza de inercia f i, en la dirección del oviiento del conjunto en sentido contrario a este: f i = ( a, 0). La caja de arriba está en reposo respecto de la de debajo, de odo que al plantear las ecuaciones sobre los ejes debeos escribir: g = 0 μ a= 0 esolviendo el sistea obteneos: μ g = a a = μ g Sustituendo los datos: a = 0,2 9,81 = 2 /s 2 45 46 Enuncia, forula eplica la le de Hooke. Cóo construirías calibrarías un dinaóetro? En los sisteas elásticos, para pequeñas deforaciones, la fuerza aplicada, F, es directaente proporcional a la deforación producida: F = k Δl La constante de proporcionalidad, k, se denoina constante elástica del sistea depende eclusivaente del propio sistea. Un dinaóetro es sipleente un uelle, uno de cuos etreos se fija en un soporte fijo, un tubo transparente, por ejeplo. Al ejercer una fuerza sobre el otro etreo, el uelle se alarga proporcionalente a la fuerza. Si se ide esa fuerza, tirando con otro dinaóetro calibrado, se puede arcar la isa en una escala de papel pegada en el tubo. De esta fora el uelle se puede utilizar coo dinaóetro calibrado. Qué epresa significa la constante elástica de un resorte? En que unidad se ide? Epresa la fuerza necesaria que ha que aplicar sobre un sistea elástico para producir una deforación unidad. En un uelle, por ejeplo, significa la fuerza que ha que aplicar para alargarlo o copriirlo la unidad de longitud. En el SI se ide en newton por etro (/). 13/Aplicaciones de los principios de la dináica 287