Tema. Segundo Cuatrimestre. Introducción. TEM : MOVIMIENTO ONDULTORIO. El fenómeno ondulatorio nos rodea por todas partes en nuestra ida cotidiana: emos ondas en la playa, en el océano, la luz es un fenómeno ondulatorio, la música es el resultado de las ondas que se originan en un instrumento musical, como por ejemplo una guitarra: estas se transmiten al aire y se propagan por él, hasta llegar a nuestro oído, que es un detector extraordinario de ondas sonoras, que transmite mediante ondas eléctricas a nuestro cerebro que finalmente las analiza. Las ondas las podemos clasificar en: Ondas iajeras, como las ondas del océano, o el sonido en el aire, que se propagan en el espacio. Ondas estacionarias, como las de la guitarra, que se encuentran confinadas en (o restringidas a) una región limitada del espacio. Las ondas se pueden propagar en una dimensión, como la generada sobre un muelle en la figura 5., en dos dimensiones, como las ondas superficiales del agua sobre la superficie de un lago y en tres dimensiones, como las ondas sonoras en la atmósfera. Las ondas iajeras ienen caracterizadas por su frecuencia f y la elocidad de propagación.. Oscilaciones organizadas. El moimiento ondulatorio puede ser considerado como un transporte de energía y de cantidad de moimiento (momento) desde un punto del espacio a otro, sin que haya transporte de materia. En las ondas mecánicas (materiales) la energía y la cantidad de moimiento son transportadas mediante una perturbación del medio material, de manera que la onda se propaga gracias a las propiedades elásticas de éste. La diferencia fundamental entre el moimiento ondulatorio y el de las partículas (clásica) es que mientras que en este último se transporta energía junto con materia, en aquel se transporta sólo energía, sin que la materia se propague en el espacio: no hay un transporte neto de materia en las ondas. En el moimiento ondulatorio material, ya sean ibraciones de cuerda de guitarra (estacionarias) o las ondas del océano o sonoras (iajeras), existe un moimiento organizado de todo o parte del medio material, originado como respuesta de las fuerzas internas del medio elástico a la perturbación introducida.
Tema. Segundo Cuatrimestre. 3. Clasificación de las ondas. Las ondas pueden clasificarse en materiales y electromagnéticas. Las primeras necesitan de un medio material (elástico: aire, agua, sólidos, etc.) para propagarse. Las otras (como las electromagnéticas y las graitacionales) se propagan también en el acío. Figura 5.. a). Onda transersal, en forma de pulso, que se propaga sobre un muelle. Perturbación y propagación son perpendiculares. Figura 5. b). Tres fotografías sucesias de una onda que se propaga hacia la derecha. Obserad que el punto realiza un m..a.s. Las ondas se clasifican en longitudinales o transersales, según que la dirección de propagación y ibración coincidan o sean perpendiculares. Esta clasificación se comprende si emos las figuras 5., 5.: en un muelle se pueden generar ondas longitudinales y transersales. Figura 5.. Onda longitudinal, en forma de pulso, que se propaga sobre un muelle. La perturbación y la dirección de propagación coinciden. 4. Pulso propagándose en una onda. Terminología general. Sea una cuerda tensa, en equilibrio, sobre la que se ejerce un pequeño empuje, como en la Figura 3.. Esta perturbación o pulso, recorre la cuerda con una determinada elocidad, que como eremos depende de la tensión y de la densidad lineal de la cuerda, denominada elocidad de grupo. Las figuras corresponden en su mayor parte al libro de P. Tipler, referenciado en la bibliografía.
Tema. Segundo Cuatrimestre. Si en la propagación, el pulso aría su forma, se dice que el medio es dispersio y que el pulso sufre dispersión. Las ondas, y en particular un pulso, experimenta también el fenómeno de la reflexión y transmisión cuando las propiedades del medio en que se propagan arían abruptamente. En la reflexión se puede o no inertir el pulso: como se e en las figuras 3. y 3.. Figura 3. Pulso de una onda desplazándose hacia la derecha sobre una cuerda tensa. Reflexión con inersión en el extremo fijo. Figura3. Extremo libre. Reflexión sin inersión. Las características de la reflexión - transmisión depende de las densidades del medio original y la del medio final al que se transmite la perturbación: Figura 3.3. Figura 3.3. a) Pulso de una onda sobre cuerda ligera, unida a otra de mayor densidad lineal. b) ídem de menor densidad lineal. Obserad el cambio de fase de 80 0 en la amplitud del caso a) para una onda reflejada. Hay que insistir en que en las ondas no son los elementos materiales los que se propagan, sino su estado dinámico, es decir, la perturbación, como se e en la figura 5..b, donde se ha dibujado una onda armónica propagándose en una cuerda. Si nos fijamos en un punto material determinado, emos que no se desplaza hacia la derecha, realiza sin 3
Tema. Segundo Cuatrimestre. embargo, un moimiento armónico simple alrededor de su punto de equilibrio, perpendicularmente a la dirección de propagación de una onda (onda transersal). Ecuación de ondas. Cuando un pulso (en una sola dimensión) se propaga, interienen dos coordenadas independientes, la coordenada espacial x y el tiempo t. Sea y el alor de la función que se propaga (ejemplos: intensidad del sonido, desplazamiento de la onda, campo eléctrico, etc.). Supongamos que la elocidad de grupo (con la que se propaga el pulso) es. Representemos por y(x) la perturbación, no sometida a dispersión, en el sistema de referencia original. Sea ahora otro sistema referencial O que iaja con el pulso, es decir con elocidad, como se e en la figura 5.3. Las coordenadas de los dos sistemas se relacionan por xx +t. Tendremos: Figura 5.3 Pulso desplazándose hacia la derecha sin deformación. Función del pulso en el sistema (x,y) Función del pulso en el sistema (x,y ) Se erifica la relación entre los dos Para la x que cumple y(x) y (x ) y(x)y (x ) x x +t Es eidente, que la función y (x ) permanece constante en la propagación y que el alor de la función y coincide con y, para la x que corresponde a la x. sí pues, la propagación en el sistema original O habrá que escribirla: y (x,t) y (x ) y (x-t) y(x-t) y (x,t) y (x ) y (x+t) y(x+t) onda propagándose hacia la derecha onda propagándose hacia la izquierda Obserad que la forma del pulso, es decir, la función y(x-t) explícita, dependerá de cual sea la función matemática que represente explícitamente la perturbación del medio. hora bien, por tratarse de una onda monodimensional iajando a la elocidad, la función de onda incluirá necesariamente la dependencia del argumento x±t. Es precisamente el argumento 4
Tema. Segundo Cuatrimestre. x ± t, el que caracteriza la existencia de la propagación ondulatoria u onda iajera. La función y(x±t) que representa la propagación de la perturbación, recibe el nombre de función de onda. Velocidad de las ondas. Una propiedad importante de las ondas es que su elocidad de propagación en un medio material, depende únicamente de las características del medio y no del moimiento de la fuente generadora respecto del medio. Ejemplos: motorista, tren, etc. Demostraremos que la elocidad de propagación de una onda en una cuerda, depende de la tensión de la cuerda F y de su densidad lineal.. La tensión representa la propiedad elástica del medio, mientras que la densidad representa una magnitud inercial. F Las ondas sonoras en un fluido, como el aire (gas) o el agua (líquido) tienen una elocidad de propagación dada por: B ρ γrt M que de nueo representa una propiedad elástica (B es el módulo de compresibilidad adiabático) y ρ la densidad del medio (propiedad inercial). Si utilizamos el módulo de compresibilidad de los gases para transformaciones adiabáticas, deducimos la elocidad del sonido en los gases. T es la temperatura absoluta del gas! Deducción de para las ondas sobre una cuerda. Consideremos un pulso, que supondremos de amplitud pequeña, que iaja hacia la derecha con elocidad, de manera que la tensión pueda considerarse constante en toda la cuerda, como se e en la figura 5.5a. Elegimos ahora el sistema referencial que iaja con el pulso, (la cuerda iaja hacia la izquierda en este sistema), y fijémonos en un elemento diferencial s de la cuerda, que podrá ser considerado como perteneciente a un arco de la circunferencia, de radio R; a este arco le corresponde un ángulo θ s/r, como se esquematiza en la figura 5.5b. 5
Tema. Segundo Cuatrimestre. Sobre el elemento de arco actúa la fuerza originada por la tensión F, cuya componente neta toma el alor (θ pequeño y se anulan las componentes horizontales) F r F sin θ F θ Figura 5.5a. Pulso de onda sobre una cuerda, iajando con elocidad. Figura 5.5b. El mismo pulso de onda sobre el sistema de referencia que iaja con ella. La aceleración centrípeta del segmento iene originada por las componentes radiales de la tensión. La fuerza resultante se halla dirigida hacia el centro del arco, y obiamente coincide con la fuerza centrípeta. La masa del segmento s toma el alor: m s Rθ y se encuentra sometida a la aceleración centrípeta R. Igualando la fuerza radial neta a la fuerza centrípeta, se encuentra: F θ R θ R que nos da la elocidad de propagación de la onda sobre una cuerda. F Ejercicio: Comprobad mediante el análisis dimensional la expresión anterior. Ver P. Fishbane, página 46. 6
Tema. Segundo Cuatrimestre. Ecuación de ondas en forma diferencial. Es una ecuación que relaciona las deriadas segundas y parciales de las magnitudes que se propagan respecto del espacio y del tiempo con la elocidad de la onda. La forma es la misma para todas las ondas. Vamos a obtener la ecuación de ondas 3 para un segmento de cuerda (figura 5.6) para aplicación de las leyes de Newton: Figura 5.6. Segmento de cuerda para deducir la ecuación de ondas. Sea x el segmento considerado, de masa m x. La fuerza neta sobre el segmento ale: y Fres F F sin θ F sin θ F tg θ tg θ F x donde se aproxima la tangente por el seno por ser ángulos pequeños. ( ) x Como la pendiente de la cura es la tangente y ésta matemáticamente es: tg θ y / x y considerando que la diferencia entre las dos tangentes en el paréntesis es pequeña, hemos calculado la última expresión, que representa la fuerza que actúa sobre el segmento. (Desarrollo de Taylor). Por otra parte, la aplicación de la segunda ley de Newton nos proporciona: F res x t y De donde igualando las dos expresiones se deduce: y x F y t y x y t que representa la ecuación general de las ondas en forma diferencial. Ejercicio: Comprobar que la ecuación y(x,t) y(x±t) es solución de la ecuación diferencial anterior 4. Como caso particular aplicadlo a las ondas armónicas de la siguiente sección. 3 Distinga el alumno entre las definiciones de función de ondas y ecuación de ondas 4 Ver P. Tipler página 446. 7
Tema. Segundo Cuatrimestre. Las ondas armónicas. Cuando la función y(x,t)y(x-t) es de tipo sinusoidal 5, se dice que la onda es armónica (Figura 5.7). Puede obtenerse mediante un diapasón ibrante unido a una cuerda: un elemento de cuerda se moerá de arriba a abajo, realizando un m..a.s. con la misma frecuencia que el diapasón. Puesto que hay dos ariables independientes (x,t), la característica armónica corresponderá tanto al espacio (fotografía) como al tiempo (filmación), Figura 5.7. Figura 5.7. Onda armónica en el instante t. Una imagen semejante puede obtenerse mediante una fotografía. Las características del moimiento armónico se repiten exactamente a distancias iguales denominadas longitud de onda,(fotografía) Se repiten también sobre el mismo punto a interalos de tiempo iguales, denominados período,(filmación). Definiciones: Longitud de onda λ es el espacio recorrido (a tiempo constante) a lo largo de la propagación de la onda hasta que se repite exactamente la función. sí, en una fotografía de una onda propagándose, la distancia entre dos crestas ecinas representa la longitud de onda (Figura 5.7). El período T/f es el de la fuente que origina la onda y es el tiempo transcurrido para que, en un punto fijo del espacio, la onda repita exactamente su estado de ibración. Existe una relación sencilla entre estas magnitudes: la longitud de onda λ es el espacio que recorre la onda durante un período de tiempo T: λ T Dado que la elocidad de propagación depende exclusiamente de las propiedades del medio material, la longitud de onda λ está gobernada por la frecuencia o período de la fuente generadora de la onda. f 5 Denominamos funciones sinusoidales o armónicas a las funciones seno o coseno 8
Tema. Segundo Cuatrimestre. Formas explícitas de la función de ondas armónica: La función de ondas armónica debe repetir su estado de ibración (fase del argumento) para incrementos espaciales de alor igual a la longitud λ, (condición ) y para incrementos temporales de alor el período T (condición ) y además, el argumento de la función debe ser (x-t), (condición 3). Se tendrá que la función buscada es: y(x,t) π π π sin x t sin x ωt sin λ T λ Funciones de onda harmónica [ k(x t) ] donde k π recibe el nombre de número de ondas. Obiamente se debe λ cumplir que kω.(demostradlo!) Obserad que las condiciones () y () conducen a la condición (3). es la amplitud (máxima elongación) de las oscilaciones. Como se obsera, el argumento de la última ecuación tiene la forma explicitada antes y que corresponde a una onda propagándose (condición 3). Energía y potencia transmitida por las ondas. Las ondas transportan energía y cantidad de moimiento en su propagación, sin que se transporte materia. Usaremos el ejemplo de la cuerda, excitada por un diapasón, para calcular la propagación de energía. Sea la figura 3.4: que representa una onda armónica de amplitud y frecuencia angular ω. Figura3.4 Un diapasón genera una onda harmónica sobre una cuerda. Consideremos un elemento de cuerda m, al que le corresponde una energía total ibrante, de acuerdo con el m..a.s.: E tot k donde k m ω es la constante de fuerza recuperadora. Como m x, la energía que transporta el elemento será: 9
Tema. Segundo Cuatrimestre. E ( m) ω Como la onda se propaga, con la elocidad, la energía que transmite toma el alor: E ω x ω ω x t sí pues, la potencia transmitida por una onda armónica ale: P de dt La energía transmitida por unidad de tiempo (potencia )por una onda propagándose, es proporcional al cuadrado de la amplitud de ibración de la onda, al cuadrado de su frecuencia y a su elocidad de propagación. ω Esta expresión es general para todas las ondas. La conseración de la energía: Hasta ahora no se ha considerado ninguna causa disipadora de energía, por lo que la energía se debe conserar. Imaginemos pues, ondas superficiales como las generadas por un moimiento periódico constante sobre la superficie de un lago. medida que la onda se propaga, su radio a aumentando y la energía se reparte uniformemente sobre círculos de radio cada ez mayor. La densidad de energía lineal sobre el frente de onda 6 disminuye en /r. hora bien, como la densidad de energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, es eidente que ésta debe disminuir en función de / r. En el caso de ondas en tres dimensiones (por ejemplo las ondas sonoras de un campanario son esféricas), los frentes de onda que son superficies esféricas, aumentan como 4πr. La densidad de energía superficial disminuye en función de /r, y en consecuencia la amplitud disminuye como /r. (Fenómeno de la atenuación). Otro punto importante de la conseración de la energía debe considerarse cuando la onda atraiesa la separación de dos medios con propiedades dinámicas distintas y en los que la elocidad de propagación de la onda cambia. Por ejemplo, en la figura 3.3 se muestra este caso para ondas sobre una cuerda. La conseración de la energía se debe formular mediante la potencia de entrada y de salida de la superficie de separación: 6 El concepto de frente de onda se erá en detalle en el tema siguiente. 0
Tema. Segundo Cuatrimestre. la potencia que llega a la separación debe ser igual a la que sale mediante la onda reflejada y la transmitida.