Movimientos periódicos

Transcripción

1 Los moimientos periódicos son aquellos en los que cada cierto tiempo se repiten los alores de posición, elocidad y aceleración. ese interalo de tiempo se le llama periodo. El moimiento circular uniforme, el moimiento de oscilación de un péndulo y el de ibración de un muelle son moimientos periódicos. Moimiento rmónico Simple Se llama así porque puede epresarse por medio de funciones armónicas: seno o coseno. y = elongación = amplitud = pulsación (t+) = fase y = fase inicial Supongamos un cuerpo puntual que describe un moimiento circular uniforme en una circunferencia de radio, la proyección de ese punto sobre el eje ertical describe un moimiento armónico simple. La ecuación de ese moimiento es: y sen sen t si comenzamos a medir el tiempo cuando el ángulo recorrido es cero. Si el ángulo recorrido al comenzar a contar el tiempo es la ecuación se conierte en y sen t, en donde: distancia a la que se encuentra el cuerpo desde la posición de equilibrio. alor máimo de la elongación = radio de la circunferencia. elocidad angular con la que se describe el moimiento circular. alor del ángulo en un momento determinado. ángulo con el que se inicia el moimiento. El periodo es el tiempo que tarda el cuerpo en dar una oscilación completa (tiempo que separa las dos posiciones más próimas que ibran de la misma forma) La frecuencia es el número de oscilaciones por unidad de tiempo, f y se mide en s - o Hz. La elocidad con la que ibra el punto en un momento determinado se calcula deriando la elongación con respecto al tiempo: que también se puede escribir como: dy d sen t cos t dt dt cos t sen t sen t y La elocidad de ibración es mínima (se anula) en los puntos etremos y es máima en el centro. La aceleración con la que ibra el punto es la deriada de la elocidad: d d a cost sent y dt dt La aceleración de ibración es mínima (se anula) en el centro y es máima en los etremos. Si hubiéramos proyectado sobre el eje OX el resultado sería similar: cos t sen t cos t cos t a cos t Fco Jaier Corral 05-06

2 Si representamos gráficamente los alores de la elongación, la elocidad y la aceleración frente al tiempo se obtienen las siguientes gráficas cuando la fase inicial es cero. Vemos que la elocidad alcanza los alores máimos cuando la elongación es cero y se anula cuando es máima. Con la aceleración ocurre lo contrario. VELOCDD CELERCÓN ELONGCÓN t Oscilador rmónico: Muelle Si sobre un muelle de longitud L ejercemos una fuerza F, el alargamiento del muelle es proporcional a la fuerza F (Ley de Hooke). Cuanto mayor sea la fuerza mayor será el alargamiento, siempre que no sobrepasemos el límite de elasticidad (cuando deja de actuar la fuerza, el muelle recupera su longitud inicial). La fuerza con la que el muelle recupera la posición inicial es la COMRESON misma con la que se estira pero de sentido contrario EQULBRO F k LF L0 k ESRMENO k es la constante elástica del muelle; nos indica la fortaleza del mismo. Con qué periodo oscila un muelle cuando se separa de la posición de equilibrio y a continuación se suelta? El muelle describe un moimiento ibratorio en el que la elongación es, la fuerza con la que el muelle recupera su posición de equilibrio es -k: m F k ma k m k m m k Energía de un oscilador armónico La energía potencial de un muelle es el trabajo necesario para estirar el muelle desde la posición de equilibrio hasta una distancia. E W F d k d k 0 0 La energía cinética es: E m m cos t k sen t k C La energía total del oscilador será la suma de las dos: E E E k k k E OL C MX La energía potencial, la elongación y la aceleración alcanzan los alores máimos en los etremos y son nulas en la posición de equilibrio. La energía cinética y la elocidad son máimas en la posición de equilibrio y nulas en los etremos. Fco Jaier Corral 05-06

3 Si representamos gráficamente el alor de las energías frente a la elongación, emos que la energía potencial es máima en los etremos y mínima en el centro, mientras que la energía cinética es máima en el centro. La energía total, suma de cinética y potencial, se mantiene constante. - Máima compresión + Máimo estiramiento Energía total Energía potencial Energía cinética éndulo Está formado por un punto material sujeto por un hilo inetensible y sin masa que oscila en un plano alrededor de la posición de equilibrio describiendo ángulos pequeños. La fuerza del peso se descompone en dos: una se compensa con la tensión del hilo y la otra es la encargada de generar el moimiento: F mg sen El arco recorrido hasta llegar a la posición de equilibrio es L, que coincide con la elongación si el ángulo es muy pequeño: =mg F mg sen mg m a a g a L 4 L g L L g g L Vemos que el periodo de la no depende del alor de la masa; solo depende de la longitud del hilo. La elocidad y la energía cinética del péndulo son máimas en la posición intermedia, y nulas en los etremos. La aceleración y la energía potencial son máimas en los etremos y nulas en el centro. La energía potencial en los etremos es: L L cos h E mgh mg L L cos mgl cos La energía total se mantiene constante, luego la elocidad en el punto más bajo es: EC m mgl cos E gl cos Fco Jaier Corral 05-06

4 Moimiento ondulatorio Una onda es una perturbación que se traslada a lo largo de un medio. Esta perturbación traslada energía de un punto a otro pero no materia. Clasificación de las ondas: De acuerdo con el medio en el que se propagan pueden ser: Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse. Ej: el sonido. Ondas electromagnéticas: No necesitan medio para propagarse. Se pueden propagar en el acío y todas se propagan con la misma elocidad. Ej: la luz Según la dirección de propagación: Ondas transersales: La dirección de ibración de los puntos y la de propagación de la onda son perpendiculares. Ej: las ondas producidas en un estanque. Ondas longitudinales: La dirección de ibración y de propagación coinciden. Ej: el sonido. Según el número de direcciones en las que se propaga pueden ser unidimensionales (cuerda), bidimensionales (estanque) o tridimensionales (sonido). Ecuación de una onda la distancia entre dos puntos consecutios que están ibrando de la misma forma se le llama longitud de onda λ. El tiempo transcurrido desde una posición hasta la otra es el periodo. O O Vamos a er cuál es la ecuación de una onda sinusoidal: Cualquier punto al que llega una onda ibra de la misma forma que el punto en el que se origina pero un tiempo t más tarde; el tiempo que tarda la perturbación en llegar a ese punto. Si la onda se propaga con una elocidad constante tardará un tiempo t en llegar a un punto que está a una distancia del origen: t' t y sent t sent sen t sen t sen sent k en donde se llama pulsación y k es el número de ondas k (se mide en m - ) La elocidad de propagación de la onda es k Fco Jaier Corral 05-06

5 La ecuación del moimiento ondulatorio y sen t k es periódica en el tiempo y en el espacio. Cada ez que pasa un tiempo igual al periodo, el alor de las magnitudes se repite y cada ez que se recorre una distancia igual a la longitud de onda los alores se repiten. Si deriamos con respecto al tiempo: t y sen t k y cost k t y a sen t k y t Si diidimos entre sí las segundas deriadas, tenemos: Si deriamos con respecto al espacio: y sen t k y k cos t k y k sen t k k y rincipio de Huygens y y k y k t t y y y Eplica cómo se propagan las ondas. Cualquier punto que es alcanzado por una onda se conierte en emisor secundario de ondas y el nueo frente de ondas es la enolente de todas las ondas. El principio de Huygens predice la posición de una onda cuando se conoce la posición anterior. Dice que los frentes de onda están formados por frentes de onda más pequeños; cada punto de un frente de ondas primario se comporta como un emisor de ondas secundarias. Estas ondas secundarias tienen la misma forma, la misma frecuencia y la misma elocidad que la onda primaria en cada punto. nterferencias Se denomina interferencia a la coincidencia de dos ondas en un punto en el tiempo y en el espacio. Cuando un punto es alcanzado por dos ondas su elongación es la suma de las elongaciones producidas por cada onda. Vamos a er el caso más sencillo de interferencias. Supongamos dos puntos y en los que se están produciendo dos ondas idénticas con la misma amplitud y la misma frecuencia: y sen t k y sen t k El punto, al que llegan las dos ondas, ibrará de acuerdo con la suma de las dos: y y y sen t k sen t k Si recordamos que: B B sen senb sen cos tenemos que: Fco Jaier Corral 05-06

6 t-k t-k t-k t+k y sen t-k sent-k sen cos sen t k cosk cosk sen t k el punto ibra de acuerdo con la ecuación de una onda en la que la amplitud aría en función de los alores de y. La amplitud de la onda resultante es: nterferencia constructia SUM cosk Se dice que en un punto hay interferencia constructia si la amplitud alcanza el alor máimo las dos amplitudes se suman. n n cosk k n Se produce interferencia constructia en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino ( - ) es igual a un número entero de longitudes de onda. nterferencia destructia Se dice que en un punto hay interferencia destructia si la amplitud alcanza el alor nulo, se anula el coseno y las amplitudes se restan. cosk 0 k n n n Se produce interferencia destructia en todos aquellos puntos en los que la diferencia de camino ( - ) es igual a un número impar de semilongitudes de onda. ; Ondas estacionarias Se trata de un tipo especial de interferencia. Supongamos una cuerda, fija en los etremos, por la que se propaga una onda. La onda rebota en el etremo de la cuerda y todos los puntos de la misma ibran como consecuencia de la interferencia de dos ondas iguales que se propagan en sentidos contrarios. y sen t k y sen t k y sen t k sen t k t k t k t k t k sen cos y cos(k) sen( t) Fco Jaier Corral 05-06

7 ientres nodos El resultado es una onda que no es del mismo tipo que las que la producen. No hay término ( t k) y cada punto de la cuerda ibra con una amplitud determinada que es constante para ese punto y que solo depende de la distancia: SUM cos(k) Hay puntos que no ibran nunca, los nodos. La distancia entre dos nodos consecutios es /. Hay puntos que ibran al máimo, los ientres. La distancia entre dos ientres consecutios es /. n= n= n=3 n=4 Entre dos ientres siempre hay un nodo y iceersa. La distancia entre un ientre y un nodo consecutios es /4. La frecuencia más baja para la que se producen ondas estacionarias (frecuencia o armónico fundamental) en una cuerda tiene dos nodos y un ientre. El segundo armónico presenta tres nodos, el tercero tiene cuatro nodos y así sucesiamente. Efecto Doppler Supongamos un punto E, en reposo, que está emitiendo una onda con O E O una frecuencia determinada. anto el obserador como el reciben la onda con la misma frecuencia con la que se produce. Si el emisor se muee hacia la derecha mientras emite ondas, llegan al obserador más juntas con lo que disminuye y aumenta la frecuencia. O E O El obserador, del que se aleja el emisor, recibe las ondas más separadas, con mayor y con menor frecuencia. l cambio de frecuencia producido cuando aría la distancia entre el emisor de ondas y el obserador se denomina efecto Doppler. Si el emisor se acerca al obserador: MVO REOSO EMSOR f f f f OND OND EMSOR MVO REOSO REOSO OND OND EMSOR OND MVO REOSO f f MVO REOSO OND EMSOR Si el emisor se aleja del obserador, la elocidad del emisor tiene el signo contrario y la frecuencia será: f MVO OND OND Se pueden hacer razonamientos similares para el caso en que se muean a la ez el emisor y el obserador: f MVO OND OND EMSOR f OBSERVDOR EMSOR REOSO f REOSO f Fco Jaier Corral 05-06

8 Si se trata de una onda sonora, el sonido se hace más agudo (mayor frecuencia o menor longitud de onda) cuando se acerca el emisor y más grae (menor frecuencia o mayor longitud de onda) cuando se aleja del obserador. Emisor en reposo EMSOR =0 Emisor en moimiento EMSOR < OND Emisor en moimiento EMSOR = OND Si el emisor se desplaza con una elocidad mayor que la de propagación de la onda se produce una onda de choque representada por la línea de puntos que es tangente a todas las ondas. or esta razón los barcos dejan una estela en forma de V cuando se desplazan. En el caso del sonido la onda de choque tiene forma cónica y el ángulo θ es tal que: t t m OND sen ; m EMSOR EMSOR OND OND t EMSOR t Donde m es el número de Mach, que es la relación entre la elocidad del emisor y de la onda. ara el caso de un aión y del sonido indica la elocidad de un aión en función de la del sonido en el aire (Mach=340 m/s=4 km/h). El efecto Doppler también se obsera en el caso de ondas luminosas y nos permite saber si un objeto celeste con luz propia se acerca o se aleja de nosotros. Cuando un objeto se acerca, se produce un desplazamiento hacia el azul que tiene menor longitud de onda y si se aleja se produce un desplazamiento hacia el rojo que tiene mayor longitud de onda. tenuación La energía transmitida por una onda es proporcional a la amplitud y a la frecuencia. medida que se propaga la onda, esa energía se reparte entre más puntos por lo que la amplitud con la que ibra cada uno debe disminuir para que la energía total se mantenga constante. esa disminución del alor de la amplitud se denomina atenuación. Fco Jaier Corral 05-06

9 La intensidad de un moimiento ondulatorio se define como la energía que atraiesa una superficie unidad perpendicular a la dirección de propagación por unidad de tiempo E 4r t 4r Si tenemos dos puntos, la relación entre las intensidades será: La energía de una onda es proporcional a la amplitud: Y comparando las dos, tenemos: r r r r r r La amplitud de la onda y la distancia al foco emisor son inersamente proporcionales con lo que la onda se a atenuando a medida que nos alejamos del foco. bsorción Supongamos una onda sonora de intensidad 0 que L atraiesa una pared de un material que tiene un coeficiente de absorción. La intensidad después de atraesar la pared será menor y depende del material 0 F del que esté hecha la pared, del espesor de la pared y de la intensidad de la onda: d d d d d F L F d Ln F 0e El sonido Es una onda longitudinal caracterizada por ariaciones de presión que se transmite por un medio elástico. Las frecuencias audibles por el oído humano son las comprendidas entre 0 y 0000 Hz. nfrasonidos Rango de audición Ultrasonidos Frecuencia Hz Cualidades del sonido: ntensidad, tono y timbre ntensidad: Está relacionada con la amplitud y es la energía que transporta una onda por unidad de superficie y unidad de tiempo. Los sonidos se clasifican en fuertes y débiles. ono: Relacionado con la frecuencia. Los sonidos pueden ser graes (frecuencia baja) o agudos (frecuencia alta) imbre: Relacionado con la forma de la onda permite distinguir dos sonidos de la misma intensidad y frecuencia. Fco Jaier Corral 05-06

10 quí tenemos dos sonidos con la misma amplitud y la misma frecuencia pero tocados con diferentes instrumentos. Niel de intensidad sonora. El niel de intensidad de una onda sonora se define como 0 log 0 en donde es el alor de la intensidad e 0 el alor de la intensidad umbral, la más baja que se puede oír, 0 - Wm -. Se mide en decibelios db. La intensidad máima que el oído humano puede tolerar, sin sensación dolorosa, es de 30 db que corresponde con una intensidad de W m log 3 log La intensidad sonora también depende de la distancia a la que nos encontremos del emisor, pero puedes hacerte una idea con los datos de la tabla siguiente: ntensidad ntensidad Situación (db) (W/m) Umbral de audición Susurro, respiración Biblioteca Casa tranquila Conersación tranquila glomeración de gente spiradora ráfico intenso ren en un túnel, metro erforadora de percusión Concierto, discoteca 0 Motor de aión en marcha 30 0 ión despegando 40 0 Umbral del dolor Fco Jaier Corral 05-06