UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES PROGRAMA DE FÍSICA ELECTROMAGNETISMO II Objetivo: Analizar modelos de ejercicios propuestos por diversos autores mediante la resolución físico matemático de los mismos en los contenido referentes a Magnetostática y su aplicación en el entorno. Propósito: Proporcionarle al estudiante de Electromagnetismo II ejercicios modelos para desarrollar habilidades físicas matemáticas en el estudio de la Magnetostática. Instrucciones: Se recomienda la previa lectura y estudio de los conceptos básicos referente a Campo Magnético, Fuerza de Lorentz, Fuerza magnética sobre un conductor que lleva una corriente eléctrica, Movimiento de cargas en un campo magnético, Ley de Biot-Savart, Ley de Ampere, Flujo magnético y la Ley de Gauss en el magnetismo. La guía es una herramienta para el estudio no es un recetario ni indica que los ejercicios serán los mismo en un parcial, sólo será el mismo contenido y estructura de los mismos. Para la resolución de los ejercicios modelos se sugiere que se lleve un orden secuencial en los pasos, por ejemplo; lectura y análisis del problema, identificación de datos y la incógnita que propone el ejercicio, realizar esquemas visuales que permitan una mejor comprensión del ejercicio, identificación de las ecuaciones para determinar la incógnita, justificación escrita del procedimiento, interpretación física del resultado y corroboración de los resultados obtenidos. Ejercicios CAMPOS Y FUERZAS MAGNÉTICAS 1. Una partícula con una masa de m y una carga q tiene, en un instante dado, una velocidad. Cuál es la magnitud y la dirección de la aceleración de la partícula producida por un campo magnético uniforme = (b + c ) T? 1
2. Se aceleran protones a través de una diferencia de potencial V partiendo del reposo. Luego se los inyecta en una región donde hay un campo magnético uniforme y experimenta una velocidad angular con la trayectoria perpendicular al campo, Cuál es la magnitud del campo magnético y el radio de la trayectoria de los protones? Si se aceleran partículas alfa a través de la misma diferencia de potencial en un campo magnético uniforme de. Cuál es el radio de trayectoria de las partículas y su velocidad angular? 4. Una partícula con una carga de -2e se desplaza con una velocidad instantánea = - ) Qué fuerza ejerce sobre esta partícula un campo magnético a) = T b) =? 5. Un electrón tiene una velocidad inicial de ( + )m/s y una aceleración constante de m/s 2 en una región en las que están presentes campos eléctrico y magnético uniformes. Si = T, halle el campo eléctrico E. 7. Una partícula con una carga de q se desplaza con velocidad =(- ) Cuando se mide, la fuerza magnética sobre la partícula resulta ser = ( N) - ( N). a-) Calcule todas las componentes del campo magnético que pueda con base en esta información. b-) Existen componentes del campo magnético que no hayan sido determinadas al medir la fuerza? Explique su respuesta. c-) Calcule el producto escalar.. Cuál es el ángulo entre y? MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CON CARGA EN UN CAMPO MAGNÉTICO 8. Un protón que se halla en el punto A tal como muestra la figura tiene una rapidez de m/s y el radio de su trayectoria es 2r. Halle a) La magnitud y dirección del campo magnético que obliga al electrón a seguir la trayectoria semicircular de A y B; b) El tiempo necesario para que el protón se traslade 2
de A hacia B. Una partícula alfa se desplaza a través del campo magnético calculado, el radio de su trayectoria es el mismo que el del protón. Halle c) La rapidez de la partícula; d) El tiempo que emplea en trasladarse de A hacia B. 10. Un protón se mueve en un campo magnético a un ángulo respecto al campo. La velocidad es de m/s y la intensidad del campo es T. Calcular a) el radio de la hélice descrita, b) La distancia que avanza por revolución, o pasó de la hélice. 11. Un chorro de electrones sale de un acelerador con velocidad y se desea desviarlos con un campo de modo que lleguen a un punto P que esta a una distancia D y en una dirección que tiene un ángulo respecto a la dirección de. Cuál debe ser la magnitud del campo magnético paralelo a la dirección del desplazamiento? 12. Un protón se mueve a una velocidad = ( - + ) en una región donde el campo magnético es = ( + esta carga experimenta? - )T. Cuál es la magnitud de la fuerza magnética que 13. Un protón se mueve entre dos placas paralelas cargadas y separadas a una distancia h. Se aplica un campo magnético uniforme paralelo al eje de las placas y dirigido como se muestra en la figura. a) demostrar que a una distancia y de la placa inferior, v x =, b) demostrar que el modulo de la velocidad esta dado por v =, c) Con los resultados precedentes mostrar que v y =, d) demostrar que el protón pasara rozando la placa superior si E =, e) En este arreglo la trayectoria descrita por el protón es una curva llamada cicloide tal como muestra la figura, explique porque el protón se curva de la manera mostrada y, por que, este efecto es repetitivo. 3
APLICACIONES QUE INVOLUCRAN EL MOVIMIENTO DE PARTÍCULAS CARGADAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO 14. Se disparan partículas cargadas dentro de una región donde hay un campo eléctrico y uno magnético cruzados. La velocidad de las partículas incidentes es normal al plano de los dos campos y estos son perpendiculares entre sí. La intensidad del campo magnético es de T. El campo eléctrico esta generado por un par de placas paralelas iguales y de carga opuestas, colocadas a una distancia d una de la otra. Cuando la diferencia de potencial entre las placas es λv, no hay desviación de las partículas cuál es la velocidad de las partículas? 15. Considere un espectrómetro de masa como se muestra en la figura. La magnitud del campo eléctrico entre las placas del selector de velocidad es de E, y el campo magnético tanto en el selector de velocidad como en la cámara de deflexión tiene una magnitud de T. Calcule el radio de trayectoria para un ion de una sola carga con una masa 2m. 16. Cual es el radio de orbita necesario de un ciclotrón diseñado para acelerar protones hasta que adquieran una energía de ev, utilizando un campo magnético de T?. Demuestre que para una partícula alfa el radio necesario es el mismo. 17. Un electrón en el tubo de una cámara de TV se mueve a razón de 7 m/s dentro de un campo magnético de 3 T de intensidad. a-) Sin conocer la dirección del campo, cuáles 4
serían las magnitudes mayor y menor de la fuerza que el electrón pudiera experimentar debido al campo magnético? b-) En un punto, la aceleración del electrón es de 2 m/s2. Cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? 18. Un electrón se acelera por una diferencia de potencial de 6λV y se dirige hacia una región entre dos placas paralelas separadas por d con una diferencia de potencial de 2λV entre ellas. Si el electrón entra moviéndose perpendicularmente al campo eléctrico entre las placas, qué campo magnético es necesario, perpendicular tanto a la trayectoria del electrón como al campo eléctrico, para que el electrón viaje en línea recta? EFECTO HALL 19. Una cinta plana de metal de largo, ancho y de espesor se mueve a velocidad constante por un campo magnético B= T perpendicular a la cinta, como muestra la figura. Entre los puntos x y y a lo ancho de la cinta se mide una diferencia de potencial de 4 V. Calcule la velocidad v. 20. Una tira delgada de cobre de ancho y espesor se coloca perpendicularmente a un campo magnético de 2 T. A lo largo de la tira hay una corriente de A. Encontrar a) El campo eléctrico transversal debido al efecto Hall, b) La velocidad de arrastre de los electrones, c) La fuerza transversal sobre los electrones. Suponer que cada átomo de cobre contribuye con un electrón. FUERZA MAGNÉTICA QUE ACTÚA SOBRE UN CONDUCTOR QUE TRANSPORTA UNA CORRIENTE. 21. Un alambre transporta una corriente estable de 3 A. Un tramo recto del alambre tiene 2 de largo y yace a lo largo del eje de las x dentro de un campo magnético uniforme, B= 5 T. Si la corriente está orientada en la dirección positiva de las x, cuál es la fuerza magnética que se ejerce sobre la sección del alambre. 5
22. Una varilla metálica con una masa por longitud unitaria λ transporta una corriente I. La varilla cuelga de alambres verticales en un campo magnético vertical uniforme, como se muestra en la figura. Los alambres forman un ángulo θ con la vertical cuando están en equilibrio. Determine la magnitud del campo B I g magnético. 23. Una barra de masa 3m y longitud puede deslizar sobre rieles sin fricción, los cuales están inclinados a un ángulo θ respecto a la horizontal. Si se aplica un campo magnético vertical de magnitud B= T, apuntando hacia arriba: a)determine la corriente I, que debe circular por la barra para evitar que esta deslice, b) Cual debe ser el sentido de la corriente c) Si se duplica el valor de la corriente Cual es la aceleración de la barra? 24. Una barra de masa 2m descansa sobre dos rieles horizontales paralelos con una separación L. Por los rieles circula una corriente constante de fricción estática entre la barra y los rieles es μe. Determine el modulo y la dirección del campo magnético mínimo que provoque que la barra deslice sobre lo rieles. 6
25. Un alambre doblado en forma de U, de masa M y longitud L, está sumergido con sus extremos en vasos conteniendo mercurio. El alambre esta en un campo magnético homogéneo, B, Cuando se envía un impulso de corriente por el alambre, se observa que este salta hasta una altura H. Halle la magnitud de la carga. 26. Un alambre conduce una corriente estable de 5 A. Una sección recta del alambre mide 3λ de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme = 6 T. Si la corriente está en la dirección +x, cuál es la fuerza magnética sobre la sección del alambre? 28. Una barra de masa m y radio R descansa sobre dos rieles paralelos separados por una distancia d y que tienen longitud L. La barra conduce una corriente I en la dirección indicada y rueda a lo largo de los rieles sin deslizarse. Si la barra parte del reposo, cuál es su rapidez cuando deja los rieles si hay un campo magnético uniforme B en dirección perpendicular a la barra y los rieles? B d I L 29. Un largo pedazo de alambre de masa m y longitud λ se usa para formar una bobina cuadrada de lado γ. La bobina se articula a lo largo de un lado horizontal, conduciendo una corriente de τa y se coloca en un campo magnético vertical de βt de magnitud. a-) Determine el ángulo que el plano de la bobina forma con la vertical cuando la bobina está en equilibrio. b-) Encuentre el momento de torsión que actúa sobre la bobina debido a la fuerza magnética en equilibrio. 7
FUERZA Y MOMENTO DE TORSIÓN EN UNA ESPIRA DE CORRIENTE 30. Una bobina rectangular está constituida por n vueltas muy apretadas y tiene como dimensiones λ por γ. La bobina pivotea a lo largo del eje de las y y su plano forma un ángulo θ con el eje de las x tal como muestra la figura. Cuál es la magnitud de la torca ejercida sobre la bobina por un campo magnético uniforme B= βt dirigido a lo largo del eje de las x, cuando la corriente es I= τa en la dirección que se muestra en la figura? 31. La espira rectangular de alambre mostrada en la figura, tiene una masa de 3m por metro de longitud y puede girar sin roce alrededor del lado AB. Por el alambre circula una corriente de 4τA en el sentido indicado a) Calcular el modulo y sentido del campo magnético paralelo al eje y, que hará que la espira gire hasta que su plano forme un ángulo de ø con el plano yz. 32. En el modelo de Borh del átomo de hidrogeno, en el estado de menor energía el electrón gira alrededor del protón con una rapidez de 9αm/s en una orbita circular de 6r m de radio a) Cual es el periodo de orbita del electrón b) Si se considera el electrón en orbita como una espira de corriente, cuál es la corriente I? c) Cual es el momento magnético del átomo debido al movimiento del electrón? 8
LEY DE BIOT-SAVART 33. a) Un conductor con la forma de espira cuadrada con un lado L lleva una corriente I = 3τ A, como en la figura mostrada. Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el centro del cuadrado b) Si este conductor se coloca en una sola vuelta circular y lleva la misma corriente, Cual es el valor del campo magnético en el centro?. I L 34. El segmento de alambre de la figura lleva una corriente de I= 5τ A, donde el radio del arco es circular es 3r. Determine la magnitud y la dirección del campo magnético en el origen. I R 35. Considere la espira conductora de corriente que se muestra en la figura, formada por líneas radiales y segmentos de círculos cuyos centros I b son el punto P. Determine magnitud y dirección de B en P. 60 a P 36. Dos Conductores largos y paralelos llevan corrientes I 1 = τa e I 2 = τa, ambas dirigidas en X I 1 5.00 cm dirección a la pagina tal como muestra la figura. Determine la magnitud y la dirección del campo 13.0 cm P magnético resultante en P. 12.0 cm X I 2 9
37. En el modelo de Borh de 1913 del átomo de hidrogeno, un electrón gira alrededor del protón a una distancia de 6r con una velocidad 9αm/s. Calcule la magnitud del campo magnético que produce su movimiento en el sitio ocupado por el protón. 38. Un alambre se forma en forma de cuadrado con un costado de longitud L tal como muestra la figura. Demuestre que cuando la corriente en la espira es igual a I, el campo magnético en el punto P, a una distancia x del centro del cuadrado a lo largo de su eje, es: 39. Problema: Dos bobinas circulares de radio R, cada una con N números de vueltas, son perpendiculares a un eje común. Los centros de las bobinas están separados una distancia R, cada bobina lleva una corriente estable I en la misma dirección, como se muestra en la figura. Halle el campo magnético B en el punto medio P situado a una distancia R/2 de cada bobina. LEY DE AMPERE A X C 40. Cuatro conductores largos y paralelos de longitud 0.200 m transportan corrientes iguales de I= 5τA. La figura muestra un extremo de los P conductores. La dirección de la corriente es hacia la B X D 10
pagina en los puntos A y B (indicado por las cruces) y hacia fuera de la pagina en C y D (indicado por los puntos). Calcule la magnitud y dirección del campo magnético en el punto P, localizado en el centro del cuadrado de L de lado. 41. Por un alambre recto y largo circula una corriente de 4τA. Un electrón viaja paralelamente al alambre y con el mismo sentido de la corriente, a una distancia d del alambre. Qué fuerza ejerce el campo magnético de la corriente sobre el electrón en movimiento?. 42. Un conductor largo y cilíndrico de Radio R lleva una corriente I, como se muestra en la figura. La densidad de corriente J, sin embargo, no es uniforme en toda la sección transversal del conductor, sino que es una función del radio según J= br, donde b es una constante. Determine la expresión para el campo magnético B a) a una r 2 r 1 distancia r 1 < R y b) a una distancia r 2 > R, medida desde su eje. R 43. Un cable coaxial tal como muestra la figura consiste de dos conductores cilíndricos concéntricos. El cilindro interno es macizo y tiene radio a. El cilindro externo es hueco y tiene un radio interior b y exterior c. En los conductores existen corrientes I, iguales pero anti-paralelas distribuidas uniformemente. Deduzca las expresiones para el campo magnético en función de la distancia radial, r, en las distintas regiones: a) r < a, b) a < r < b, c) b < r < c, d) r > c. 11
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CONDUCTORES. 44. Dos alambres paralelos largos cuelgan de cordeles de largo λ sujeto a un eje común tal como muestra la figura. Los alambres tienen una masa por unidad de longitud de γ y conducen la misma corriente en sentidos opuestos. Cual es la corriente de cada alambre si los cordeles cuelgan a un ángulo ø respecto a la vertical?. 45. En la figura mostrada, la corriente en el alambre largo y recto es igual a I 1 = 5 A y el alambre yace en el plano de la espira rectangular, la cual lleva una corriente I 2 = 10τA. Las I 1 I 2 L dimensiones son c = γ, a =, L = λ. Determine la magnitud y dirección de la fuerza neta ejercida sobre la espira por el campo magnético creado por c a el alambre. 46. Un largo horizontal AB tal como se muestra en la figura reposa sobre la superficie de una mesa. Otro alambre CD, situado directamente encima del primero, tiene λ de longitud y se puede deslizar hacia arriba y hacia abajo por las guías metálicas verticales C y D. Los dos alambres están conectados mediante los dos contactos corredizos y por ello circula una corriente de 3τ A. La densidad lineal del alambre CD es 5. A qué altura quedara en equilibrio el alambre CD a causa de la fuerza magnética debida a la corriente que circula por el alambre AB? 12
FLUJO MAGNÉTICO 47. Un cubo de arista de longitud λ se coloca como se muestra en la figura, en alguna región existe un campo magnético uniforme dado por la expresión B= (5α + 4β + 3γ ) T a) calcule el flujo a través de la cara sombreada b) Cual es el flujo total a través de la seis caras. 48. Una estudiante de física afirma que ha acomodado imágenes de modo tal que el campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura es = ( ). a-) Halle el flujo neto de a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado de la figura. b-) Es plausible la afirmación de la estudiante? Por qué? REFERENCIAS Resnick, R.; Halliday; D.; Krane. (2002). Física. Vol. 2. Quinta edición. Editorial CECSA Serway, R. A; Beichner,R.J. (2002). Física. TomoII. Mc Graw-Hill Interamericana, S.A. Sears, F. (2004). Física Universitaria. Vol. 2. 11ª Ed. Prentice Hall, México. 13