Problemas de Electromagnetismo. Tercero de Física. Boletín 6.

Transcripción

1 c Rafael R. Boix y Francisco Medina 1 Problemas de Electromagnetismo. Tercero de Física. Boletín Considere un hilo conductor rectilíneo innito y una espira rectangular de dimensiones a b. Suponga que el hilo conductor y la espira se encuentran situados en el mismo plano de manera que dos de los lados de la espira rectangular son paralelos al hilo (vea la gura). Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira e indique el sentido de la corriente inducida en la espira cuando: a) Por el hilo circula una corriente estacionaria de intensidad I 0 y la espira rectangular se mueve acercándose al hilo con velocidad constante v = v 0 u x (vea la gura). Suponga que la distancia entre el hilo y el lado más próximo de la espira vale d 0 cuando t = 0, y restrinja el cálculo al intervalo de tiempo durante el cual la espira no toca el hilo. b) La espira se encuentra en reposo y por el hilo circula una corriente cuasiestacionaria cuya intensidad vale I = I 0 si t < 0, I(t) = I 0 (1 t/τ) si 0 < t < τ e I = 0 si t > τ. Para la resolución de este apartado del problema, suponga que la distancia entre el hilo y el lado más próximo de la espira vale d 0. A la hora de realizar el problema, desprecie la autoinducción de la espira Por un solenoide indenidamente largo de radio a = 10 cm y vueltas por metro circula una corriente variable en el tiempo de intensidad I(t) = 0, 5 cos(300t) A (se toma como sentido positivo de la corriente el que indica la gura). Rodeando al solenoide existe un circuito eléctrico que contiene dos resistores de resistencias R 1 = 10 Ω y R 2 = 5 Ω, tal y como se muestra en la gura. Obtenga las tensiones V AB (t) y V CD (t) en cada uno de los dos resistores (véase la gura). Justique por qué no son iguales estas dos tensiones. Desprecie en los cálculos la autoinducción del circuito Un disco metálico de radio a gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con velocidad angular ω = ω 0 u z (vea la gura). El disco se encuentra en una región en la que existe un campo magnético uniforme B = B 0 u z, paralelo al eje de rotación del disco. Si se conecta un resistor de resistencia R entre el centro del disco y un punto situado en el borde del disco mediante dos contactos deslizantes, calcule la intensidad de corriente que circula a través del resistor. Este dispositivo es conocido con el nombre de disco de Faraday. A la hora de realizar el problema, suponga que la resistividad del disco metálico es nula Una varilla metálica de longitud l y masa m está sujeta por sus extremos a dos raíles metálicos paralelos y perpendiculares al suelo. Los raíles están conectados a través de un resistor de resistencia R en el plano sobre el que están apoyados (vea la gura). Se supone que la resistencia de la varilla y de los raíles es despreciable. Perpendicularmente al plano que forman la varilla y los raíles, se ha aplicado un campo magnético uniforme B = B 0 u x (vea la gura). Si la varilla cae partiendo del reposo bajo la acción de la gravedad, determine la velocidad de caída de la varilla en función del tiempo v = v z (t)u z. Desprecie en los cálculos la autoinducción del circuito formado por la varilla, los raíles y el resistor.

2 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Una varilla metálica de longitud l y masa m puede deslizar sin rozamiento sobre dos raíles metálicos paralelos, que están unidos por uno de sus extremos y descansan sobre una supercie horizontal. Se supone que tanto la resistencia de la varilla como la de los raíles es despreciable. En la región donde se encuentran la varilla y los raíles se aplica un campo magnético uniforme B = B 0 u z, que está dirigido perpendicularmente a la supercie plana sobre la que descansan la varilla y los raíles. A continuación, se conectan en serie con los raíles un condensador de capacidad C cargado con una carga q 0, un resistor de resistencia R y un interruptor abierto S (vea la gura). Suponiendo que en t = 0 se cierra el interruptor S y que en ese momento la varilla se encuentra en reposo, determine la velocidad de la varilla en función del tiempo v = v x (t)u x para t > 0, y verique el principio de conservación de la energía entre el estado inicial y el estado estacionario. Desprecie en los cálculos la autoinducción del circuito formado por la varilla, los raíles, el resistor y el condensador Consideremos un solenoide cilíndrico de radio a y longitud innita, que está construido con un bobinado uniforme de hilo conductor de N l vueltas por unidad de longitud. Alrededor del solenoide existe una anilla cargada de radio b (b > a) y masa m, que está situada en un plano perpendicular al eje de revolución del solenoide y está centrada en dicho eje (vea la gura). La anilla posee una densidad de carga por unidad de longitud λ 0. Cuando t < 0, la intensidad de la corriente en el solenoide vale I 0 y la anilla está en reposo. En t = 0 la intensidad de corriente en el solenoide empieza a disminuir gradualmente siguiendo la ley I(t) = I 0 (1 t/τ) si 0 < t < τ, y nalmente I(t) = 0 para t > τ. Calcule el par de fuerzas que actúa sobre la anilla en el intervalo 0 < t < τ. Calcule también el momento angular y la velocidad angular de la anilla para t > τ Considere un electrón que sigue una trayectoria circular bajo la acción de un campo magnético perpendicular al plano de la órbita. Si se aumenta en el tiempo el módulo del campo magnético que actúa sobre el electrón, éste puede ser acelerado ya que el campo eléctrico asociado al campo magnético imparte al electrón aceleración tangencial. Éste es el fundamento del funcionamiento del acelerador de partículas conocido como betatrón. Demuestre que si se desea mantener constante en el tiempo el radio de la órbita del electrón, es preciso que el valor promedio del campo magnético en la supercie circular limitada por la órbita sea igual a dos veces el valor que toma el campo magnético sobre la propia órbita. A la hora de realizar el problema, suponga que el electrón se encuentra en reposo cuando el campo magnético aplicado es nulo. Suponga asimismo que el campo magnético aplicado tiene simetría de revolución alrededor del eje de la órbita Considere la balanza que aparece en el apartado b) del problema 92 del boletín 5. Dicha balanza está construida con una espira triangular con forma de triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa a, que en el equilibrio está parcialmente inmersa en una región paralelepipédica en la que existe un campo magnético uniforme B = B 0 u z, perpendicular al plano de la espira. La espira tiene una masa m 0 y de ella cuelga un cuerpo de masa m. Suponga que la espira tiene una autoinducción L y está hecha de un material superconductor, con lo cual, su resistencia es nula. Si inicialmente la espira se sitúa completamente dentro de la región de campo magnético sin que circule corriente por ella, y a continuación se suelta la espira, obtenga la distancia d a la que se encuentra el vértice inferior de la espira de la región de campo magnético en el equilibrio (vea la gura). ¾Cuál es el mayor valor de m que se puede medir con la balanza?

3 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Considere el circuito de la gura. Cuando t < 0, un generador de corriente continua de fuerza electromotriz ɛ 0 y resistencia interna despreciable está conectado a través del interruptor S a un resistor de resistencia R en serie con un inductor de autoinducción L. Suponga que en t = 0 el interruptor cambia de posición, colocando en cortocircuito los terminales del resistor en serie con el inductor. a) Calcule la intensidad de corriente que circula por el resistor I(t) para t > 0. b) Calcule el calor disipado por el resistor cuando t > 0, y demuestre que ese calor coincide con la energía magnética almacenada en el inductor antes de cambiar de posición el interruptor Considere dos solenoides cilíndricos coaxiales de radios a y b (a < b). Los solenoides tienen una longitud h y son muy largos (a, b <<< h). Ambos solenoides han sido contruidos con un bobinado de N vueltas de hilo de material superconductor. Suponga que los extremos del solenoide interno están cortocircuitados, y suponga también que cuando t < 0, por este solenoide no circula corriente. Asimismo, suponga que cuando t < 0, el solenoide externo está conectado a una fuente ideal de intensidad que le proporciona una corriente de intensidad I 0. Si en t = 0 el solenoide externo pasa de estar conectado a la fuente de intensidad a estar conectado con un resistor de resistencia R (vea la gura), calcule: a) Las intensidades de corriente variables en el tiempo que circulan por los solenoides cuando t > 0. b) La energía magnética almacenada inicialmente en los solenoides (cuando t < 0), la energía magnética almacenada en los solenoides en el estado estacionario (t ), y el calor disipado en el resistor por efecto Joule Considere tres solenoides cilíndricos coaxiales de radios a, b y c (a < b < c). Los solenoides tienen una longitud h y son muy largos (a, b, c <<< h). Los tres solenoides han sido contruidos con un bobinado de N vueltas de hilo conductor, que se ha realizado en el mismo sentido. Suponiendo que los efectos de borde en los solenoides son despreciables, calcule: a) La matriz inducción del conjunto de tres solenoides. b) La matriz inducción del conjunto de dos espiras que resulta cuando el extremo superior del solenoide de radio a se conecta al extremo superior del solenoide de radio c.

4 c Rafael R. Boix y Francisco Medina Un cable coaxial está formado por un conductor cilíndrico macizo de radio a y por un conductor cilíndrico laminar de radio b (b > a), siendo ambos conductores cilíndricos coaxiales. Por el conductor macizo circula una corriente volumétrica de intensidad I que está uniformemente distribuida en la sección transversal del conductor. Por el conductor laminar circula una corriente supercial intensidad de I en sentido contrario al de la corriente del conductor macizo, estando también la corriente supercial uniformemente distribuida en el perímetro transversal del conductor laminar (vea la gura). Calcule la energía magnética por unidad de longitud del cable coaxial, y a partir de la energía magnética, calcule la autoinducción por unidad de longitud Un hilo conductor rectilíneo innito y una espira rectangular de dimensiones a b se hallan situados en el mismo plano de manera que dos de los lados de la espira rectangular son paralelos al hilo (vea la gura). La distancia entre el hilo conductor y el lado más próximo de la espira rectangular vale d. Calcule el coeciente de inducción mutua entre la espira y el hilo. Si por el hilo circula una corriente estacionaria de intensidad I 1 y por la espira circula una corriente estacionaria de intensidad I 2, calcule la fuerza magnética que actúa sobre la espira mediante el principio de los desplazamientos virtuales. Compare el resultado obtenido para la fuerza magnética con el resultado del problema 93 del boletín Considere dos espiras circulares de radios a y b que comparten el mismo centro. Los ejes de las espiras forman un ángulo θ 0 (vea la gura). Suponiendo que el radio de la espira pequeña a es mucho menor que el radio de la espira grande b: a) Calcule el coeciente de inducción mutua entre las espiras. b) Si por la espira pequeña circula una corriente estacionaria de intensidad I 1 y por la espira grande circula una corriente estacionaria de intensidad I 2, calcule el módulo del par de fuerzas que actúa sobre la espira pequeña mediante el principio de los desplazamientos virtuales. Compare el resultado obtenido con el resultado del problema 112 del boletín 5. c) Suponga que cuando t < 0, por la espira grande circula una corriente de intensidad I 0 y por la espira pequeña no circula corriente. Si a partir de t = 0 disminuye gradualmente la intensidad de corriente en la espira grande hasta hacerse cero, obtenga la carga total que atraviesa la sección transversal de la espira pequeña durante el tiempo que por ella está circulando la corriente inducida. Para la realización de este apartado del problema, suponga que la espira pequeña tiene una resistencia R y desprecie las autoinducciones de las espiras.

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