Capítulo 9 ANDEO DECOLUMNAS Adaptado de Introducción a la Mecánica de los Sólidos, E. opov, Ed. Limusa, México D.F. 1981. 9.1. INTRODUCCIÓN Al comienzo de este curso se estableció que la selección de elementos estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de desplazamientos dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquiera de los vistos antes. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como columna, fuera de longitud D no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar un fuerza considerable. or otra parte, si una misma barra tuviera una longitud de varios diámetros, al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar a ser lateralmente inestable presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso. Una regla delgada ordinaria, si se somete a una compresión axial, fallará de esta manera. La consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento del miembro. El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión. lacas delgadas completamente capaces de resistir cargas en tracción, resultan muy ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques de almacenamiento, así como silos metálicos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por la presión externa (viento) o interna (líquidos o granos) y asumir formas que difieren en forma notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o plegarse como un papel de seda cuando se somete a una torsión. Estos son problemas de primordial importancia en el diseño en ingeniería civil. Además por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. or esta razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas. El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de este texto 1. Aquí sólo se considerará el problema de la columna. Utilizándolo como ejemplo, sin embargo, se ponen de relieve las características esenciales del fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis. Este se llevará a cabo investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas 1985. 1 Ver por ejemplo, D. Bushnell, Computerized buckling analysis of shells, Martinus Nijhoff, Dordretch, Holanda, 47
simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas columnas, además de tener un significado propio permiten determinar las magnitudes de cargas axiales críticas a las que ocurre el pandeo. A continuación se tratará el pandeo de columnas ideales cargadas concéntricamente. Esto conduce al examen de los valores característicos (o autovalores) de las ecuaciones diferenciales apropiadas. Las autofunciones correspondientes dan las formas de pandeo de tales columnas. Se describirá el pandeo elástico y se establecerán límites de validez para el caso de comportamiento elasto-plástico y se presentará también alguna información acerca de columnas cargadas excentricamente. Finalmente se hará una breve clasificación en base a ejemplos sencillos de problemas en estabilidad elástica a los fines de dar un panorama más completo del tema. 9.. NATURALEZA DEL ROBLEMA DE LA VIGA CO- LUMNA El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura.a. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical y una horizontal F se aplican en el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene MA = +, L senθ+fl cosθ kθ = o sea kθ FL cosθ = (9.1) L senθ El aspecto cualitativo de este resultado se muestra en la Figura 9.1.b y la curva correspondiente se ha marcado como la solución exacta. Es interesante observar que cuando θ π, siempre que el resorte continúe funcionando, el sistema puede soportar una fuerza muy grande. ara una fuerzas aplicada verticalmente hacia arriba, indicada con un sentido contrario en la figura, el ángulo θ disminuirá cuando aumente. En el análisis de problemas de los capítulos anteriores el término L senθ no había aparecido en lo absoluto. La solución expresada por la ecuación (9.1) es para rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. or consiguiente de ordinario es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ = θ y cosθ = 1. De esta forma la ecuación (9.1) se simplifica a = kθ FL L θ o θ = FL k L (9.) ara valores pequeños de θ esta solución es completamente aceptable. En cambio a medida que θ aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande, Figura 9.1.b. ara una combinación crítica de los parámetrosk, yl, el denominador(k L) en el último término de la ecuación (9.) sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza 48
F θ solución exacta L barra rígida k/l solución linealizada π θ A (a) (b) Figura 9.1: Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad axial a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k L) =, define la fuerza C como C = k L (9.3) Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que C por lo general causan tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. or otra parte, el análisis no lineal de sistemas estructurales debido al cambio de configuración geométrica y al comportamiento inelástico de los materiales es muy complejo y requiere de herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista. or consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más importante la determinación de C con una base simplificada, siguiendo las líneas del método utilizado en el ejemplo anterior. A continuación se emplearán los conceptos anteriores en la resolución de un problema de una viga-columna elástica. 9..1. Ejemplo 1 Una viga columna se somete a fuerzas axiales, y a una fuerza transversal hacia arriba, F, en su punto medio, Figura 9..a. Determinar la ecuación de la elástica y la fuerza axial crítica C. Considérese que EI es constante. El diagrama de cuerpo libre de la viga columna se muestra en la Figura 9..b. Este diagrama permite la expresión del momento flector total M, que incluye el efecto de la fuerza axial multiplicada por el desplazamiento v. El momento total dividido por EI puede hacerse igual a la expresión aproximada habitual de la curvatura para pequeñas rotaciones d v/dx. Debido a esto, como en el ejemplo anterior, se obtendrán desplazamientos infinitos en las cargas críticas. 49
F v F M v x L/ L/ F/ x F/ (a) (b) Figura 9.:. or lo tanto, utilizando la relación M = EIv y observando que en la mitad izquierda de la viga M = F x v, se tiene EIv = M = v F ( x x L ) o bien EIv +v = F x Dividiendo por EI y denominando por α = EI (9.4) después de alguna simplificación, la ecuación diferencial gobernante será d v dx +α v = α F x (9.5) La solución de la homogénea (F = ) para esta ecuación diferencial es bien conocida y resulta de una suma de funciones armónicas (corresponde por ejemplo a la forma del movimiento armónico simple), en tanto que la solución particular es igual al término independiente dividido por α. En consecuencia, la solución completa es v(x) = C 1 sen(αx)+c cos(αx) F x (9.6) Las constantes C 1 y C provienen de las condiciones de borde: desplazamiento transversal nulo en el apoyo v() = y la condición de simetría v (x = L/) =. La primera condición da v() = C = uesto que v (x) = C 1 αcos(αx) C αsen(αx) F y como ya se ha determinado que C es cero, la segunda condición conduce a ( ) ( L v = C 1 αcos α L ) F = C 1 = F αcos ( α L ) 5
Substituyendo esta constante en la ecuación (9.6) v(x) = F 1 αcos ( )sen(αx) F α L x (9.7) El desplazamiento máximo ocurre en x = L. or lo tanto, después de algunas simplificaciones, v máx = F [ ( ) αl tan αl ] (9.8) α De esto se puede concluir que el momento máximo absoluto que se produce en el punto medio, es M máx = FL 4 v máx = F ( ) αl α tan (9.9) Obsérvese que las expresiones dadas por las ecuaciones (9.7), (9.8) y (9.9) se hacen infinitas si αl es múltiplo de π puesto esto hace nulo a cos( ) ( αl e infinito a tan αl ). Expresado algebraicamente, esto ocurre cuando αl = L EI = nπ (9.1) donde n es un entero. Despejando de esta ecuación, se obtiene la magnitud de esta fuerza que causa desplazamientos o momentos flectores infinitos. Esto corresponde a la condición de la fuerza axial crítica C para esta barra C = n π EI (9.11) L ara la fuerza crítica mínima el entero n vale 1. Este resultado fue establecido por primera vez por el notable matemático Leonhard Euler en 1757 y con frecuencia se la denomina la carga de pandeo de Euler. La expresión (9.11) se examinará con mayor detalle en la sección 5. Es importante observar que la ecuación diferencial (9.5) es de un tipo diferente al que se utilizó para calcular los desplazamientos de vigas con cargas transversales únicamente y por lo tanto no pueden integrarse de la misma forma. 9.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ARA VIGAS CO- LUMNAS ara una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en la Figura 9.3. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. ara vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. or otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones dv/dx = tanθ = θ = senθ, cosθ = 1 y ds = dx Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son Fy = +, qdx T +(T +dt) = MA = +, M +dv +Tdx+qdx dx +(M +dm) = 51
La primera de estas ecuaciones da dt = q (9.1) dx que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la posición indeformada. La segunda, despreciando infinitesimales de orden superior, da T = dm dx dv dx (9.13) or lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T, además de depender de la derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la componente de a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la Figura 9.3. ds y,v dv/dx dv M +q A T+dT M+dM v T x dx Figura 9.3: Elemento de una viga columna En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v = M/(EI). Substituyendo la ecuación (9.13) en la (9.1) y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas-columnas d M dx +α M = q (9.14) o bien d 4 v v dx +αd dx = q (9.15) EI donde para simplificar se supuso que EI es constante y, como antes, a = /(EI). Si =, las ecuaciones (9.14) y (9.15) resultan las mismas ecuaciones vistas para vigas con carga transversal. ara las nuevas ecuaciones, las condiciones de borde son las mismas vistas con anterioridad, excepto que la fuerza de corte se obtiene de la expresión (9.13). ara referencia futura, la solución homogénea de la ecuación (9.14)-(9.15) y sus derivadas se listan a continuación: v = C 1 sen(αx)+c cos(αx)+c 3 x+c 4 v = C 1 αcos(αx) C αsen(αx)+c 3 (9.16) v = C 1 α sen(αx) C α cos(αx) v = C 1 α 3 cos(αx)+c α 3 sen(αx) Estas relaciones son necesarias en algunos ejemplos para expresar las condiciones de contorno, a fin de evaluar las constantes C 1, C, C 3 y C 4. 5
9.3.1. Ejemplo Una barra delgada de EI constante se somete simultáneamente a momentos de extremo, M, y a fuerzas axiales, como se indica en la Figura 9.4.a. Determinar el desplazamiento máximo y el mayor momento flector. M M v v Deflexión total x L DeflexióndebidasóloaM (a) (b) Figura 9.4: viga-columna sometida a compresión y flexión Dentro del tramo no existe carga transversal alguna. or consiguiente el término del segundo miembro de la ecuación (9.15) es nulo, y la solución homogénea de esta ecuación dada por la (9.16.a) será la solución completa. Las condiciones en el contorno son: v() = v(l) = M () = M M (L) = M uesto que M (x) = EIv, con ayuda de las ecuaciones (9.16.a) y (9.16.c) estas condiciones dan v() = +C +C 4 = v(l) = +C 1 sen(αl) +C cos(αl) +C 3 L +C 4 = M () = C EIα = M M (L) = C 1 EIα sen(αl) C EIα cos(αl) = M Resolviendo las cuatro ecuaciones en forma simultánea, C 1 = M ( ) 1 cos(αl), C = C 4 = M sen(αl) y C 3 = or lo tanto la ecuación de la elástica es v(x) = M [ ] 1 cos(αl) sen(αx)+cos(αx) 1 sen(αl) (9.17) El máximo desplazamiento ocurre para x = L/. Después de algunas simplificaciones se encuentra que es [ v máx = M ( ) sen αl ( ) ] αl cos ( ) +cos 1 = M [ ( ) ] αl sec 1 (9.18) αl El mayor momento flector ocurre también en x = L/. Su valor máximo absoluto es ( ) αl M máx = M v máx = M sec (9.19) Es importante observar que en miembros delgados los momentos flectores pueden aumentar substancialmente por la presencia de fuerzas axiales de compresión. Cuando existen tales fuerzas, aumentan los desplazamientos causados por la carga transversal, Figura 9.4.b. En el caso de fuerzas de tracción los desplazamientos disminuyen. 53
9.4. ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO Una aguja perfectamente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en equilibrio. Sin embargo, la menor perturbación de éste o la imperfección más pequeña en su fabricación harían imposible tal estado. Se dice que esta clase de equilibrio es inestable, y es imperativo evitar situaciones análogas en sistemas estructurales. ara aclarar más el problema, consideremos de nuevo una barra vertical rígida con un resorte de torsión, de rigidez k, en su base, como se muestra en la Figura.a. El comportamiento de tal barra sometida a una fuerza vertical y una fuerza horizontal F se consideró en la sección. La respuesta de este sistema a medida que aumenta la fuerza se indica en la Figura.b para una fuerza F grande y una fuerza F pequeña. Surge entonces la siguiente pregunta: Cómo se comportará este sistema si F =? Este es el caso límite y corresponde al estudio del pandeo perfecto. F θ F= Condición inestable de equlibrio L unto de bifurcación c =k/l Fpequeña Fgrande θ A (a) (b) Figura 9.5: Comportamiento de pandeo de una barra rígida La barra rígida de la Figura 9.5.a puede experimentar sólo rotación, ya que no se puede flexionar; es decir, el sistema tiene un grado de libertad. ara una rotación supuesta, θ, el momento en el resorte (restaurador) es kθ, y con F =, el momento que produce (perturbador) será Lsenθ Lθ, por lo tanto, si y si kθ > Lθ, kθ < Lθ, el sistema es estable el sistema es inestable. Exactamente en el punto de transición kθ = Lθ, el equilibrio no es estable ni inestable sino neutro (o indiferente). La fuerza asociada a esta condición es la carga pandeo o crítica, que se designará por C. ara el sistema considerado C = k L (9.) 54
Esta condición establece el comienzo del pandeo. Con esta fuerza dos posiciones de equilibrio son posibles, la forma vertical y una forma inclinada infinitesimalmente próxima a ella. or lo tanto, como es posible seguir dos ramas o caminos en la solución, a esta condición se la llama punto de bifurcación de la solución de equilibrio. ara > k/l el sistema es inestable. Como la solución ha sido linealizada no hay posibilidad de que θ sea arbitrariamente grande en C. Considerando grandes desplazamientos, hay siempre un punto de equilibrio estable en θ < π. El comportamiento de columnas elásticas, cargadas concéntricamente y perfectamente rectas, es decir columnas ideales, es análogo al comportamiento descripto en el sencillo ejemplo anterior. A partir de una formulación linealizada del problema se puede determinar las cargas críticas de pandeo. Algunos ejemplos se darán en las siguientes secciones. Las cargas críticas no describen la acción del pandeo mismo. Utilizando una ecuación diferencial exacta de la curva elástica para deflexiones grandes, es posible hallar posiciones de equilibrio más altas que C, correspondiente a la fuerza aplicada. Los resultados de tal análisis se ilustran en la Figura 9.6. Notar especialmente que aumentando en sólo 1,5% C sobre C se produce un desplazamiento lateral máximo del % de la longitud de la columna. or razones prácticas, desplazamientos tan grandes rara vez pueden ser aceptados. Además, por lo general el material no puede resistir los esfuerzos de flexión inducidos. or lo tanto, las columnas reales fallan inelásticamente. En la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería C representa la capacidad última de una columna recta cargada axialmente en forma concéntrica. v max unto de bifurcación Solución exacta 1.15 C Solución linealizada.l L C Falla del material inelástico v max (a) (b) Figura 9.6: Comportamiento de una barra idealmente elástica El hecho de que una columna elástica continúe soportando una carga más allá de la carga de pandeo se puede observar aplicando una carga superior a la carga de pandeo, sobre una barra o placa flexible, como por ejemplo una hoja de sierra. 55
9.5. CARGA DE ANDEO DE EULER ARA COLUM- NAS CON EXTREMOS ARTICULADOS A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. ara la columna con extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 9.7.a, lo anterior se indica en la Figura 9.7.b. ara el caso de la columna ligeramente flexionada de la Figura 9.7.b., el momento flector M en una sección cualquiera es v(x), que si se substituye en la ecuación diferencial de la elástica da por resultado d v dx = M EI = EI v Entonces, como se hiciera en la ecuación (9.4), tomando α = /EI, tenemos d v dx +α v = (9.1) y,v C 4 C 9 C x M=-v n=1 n= n=3 L (a) (b) (c) (d) (e) Figura 9.7: Columna con extremos articulados y sus tres primeros modos de pandeo. Es fácil ver que esta ecuación es la parte homogénea de la (9.5) para una viga columna con extremos articulados. Su solución es v = C 1 sen(αx)+c cos(αx) (9.) donde las constantes arbitrarias C 1 y C se deben determinar a partir de las condiciones de contorno, que son v() = y v(l) = En consecuencia v() = = C 1 sen()+c cos() 56
es decir C =, y v(l) = = C 1 sen(αl) (9.3) La ecuación (9.3) se puede satisfacer tomando C 1 =. Como esto corresponde a la condición sin pandeo, esta solución es trivial. Alternativamente la ecuación (9.3) también se satisface si αl = L = nπ (9.4) EI donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos o autovalores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que: n = n π EI L (9.5) Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. or lo tanto, la carga crítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es C = π EI (9.6) L donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental. Substituyendo la ecuación (9.4) en la (9.), sabiendo que C es cero, se obtiene el modo o forma de pandeo de la columna: ( nπx ) v = C 1 sen (9.7) L Esta es la función característica o autofunción de este problema y puesto que n puede tomar cualquier valor entero, hay un número infinito de tales funciones. En esta solución linealizada la amplitud C 1 del modo de pandeo permanece indeterminada. ara n = 1, la curva elástica es media onda de una sinusoide. Esta forma, junto con los modos correspondientes a n = y n = 3, se muestran en la Figura 9.7.c-e. Los modos de orden superior no tienen significado físico en el problema de pandeo, puesto que la carga crítica mínima ocurre en n = 1. Una solución alternativa del problema anterior se puede obtener utilizando la ecuación diferencial igualada a cero. De la ecuación tal ecuación es d 4 v dx 4 +αd v dx = (9.8) ara el caso considerado (articulado en ambos extremos), las condiciones de borde son: v() =, v(l) =, M () = EIv () = y M (L) = EIv (L) = Utilizando estas condiciones con la solución homogénea de la ecuación (), junto con su derivada segunda dadas por las ecuaciones (.a y c), se obtiene +C +C 4 = +C 1 sen(αl) +C cos(αl) +C 3 L +C 4 = C α EI = C 1 EIα sen(αl) C EIα cos(αl) = ara este sistema de ecuaciones C 1, C, C 3 y C 4 podrían ser todos iguales a cero, lo cual daría una solución trivial. Alternativamente, para obtener una solución no trivial se debe anular el 57
determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones homogéneas. or lo tanto con α EI = 1 1 sen(αl) cos(αl) L 1 = sen(αl) cos(αl) La evaluación de este determinante conduce a sen(αl) =, que es precisamente la condición dada por la ecuación (9.3). Este método es ventajoso en problemas con diferentes condiciones de contorno en que la fuerza axial y el producto EI permanecen constantes en toda la longitud de la columna. El método no se puede aplicar si la fuerza axial se extiende sólo sobre una parte de un miembro. 9.6. ANDEO ELÁSTICO DE COLUMNAS CON DIFE- RENTES RESTRICCIONES EN SUS EXTREMOS rocedimientos iguales a los estudiados en la sección anterior se pueden utilizar para determinar las cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. or ejemplo la carga crítica de pandeo para una columna empotrada en su base 3, Figura 9.8.b, con una carga vertical en su extremo libre superior, es C = π EI (L) (9.9) En este caso extremo la carga crítica es sólo 1/4 de la correspondiente al caso fundamental, ecuación (9.6). ara una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro, Figura 9.8.c: C =,5 π EI L (9.3) En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 9.8.d: C = 4 π EI L (9.31) Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o las articulaciones, si las hay. La longitud efectiva de una columna, L e, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es L,,7L y,5l, respectivamente. ara el caso general, L e = KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos. En contraste con los casos clásicos que se muestran en la Figura 9.8, los miembros a compresión reales rara vez están verdaderamente articulados o completamente empotrados (fijos contra la rotación) en los extremos. Debido a la incertidumbre respecto al grado de fijación de los extremos, a menudo las columnas se suponen con articulaciones en dichas partes. Con excepción del caso que se muestra en la Figura 9.8.b, donde no se puede utilizar, este procedimiento es conservador. Las ecuaciones anteriores llegan a ser completamente erróneas para el intervalo inelástico y no se deben utilizar en la forma dada (vease la sección 9.8). En Apéndice al final se muestra como obtener las cargas críticas de estos tres casos. 3 Un poste de línea eléctrica sin refuerzos externos y con un pesado transformador soportado sobre su parte superior es un ejemplo. 58
L L=L e L e =L L e =.7L L/4 L e =L/.3L L/4 (a) (b) (c) (d) Figura 9.8: Longitud efectiva de columnas con diferentes restricciones 9.7. LIMITACIÓN DE LAS FORMULAS DE ANDEO ELÁS- TICO En las deducciones anteriores de las fórmulas de pandeo para columnas se supuso tácitamente que el material se comportaba de manera linealmente elástica. ara poner de manifiesto esta significativa limitación, la ecuación (9.6) puede escribirse en forma diferente. or definición, I = Ar, donde A es el área de la sección transversal y r es su radio de giro. La substitución de esta relación en la ecuación (9.6) da: o bien C = π EI = π EAr L L σ C = C A = π E (L/r) (9.3) donde la tensión crítica, σ C, para una columna se define como un promedio en el área transversal A de la misma, debido a la carga crítica C. La longitud 4 de la columna es L y r el radio de giro mínimo del área de la sección, puesto que la fórmula original de Euler se da en términos del valor mínimo de I. La relación L de la longitud de la columna al radio de giro mínimo de un área r transversal se llama relación de esbeltez (λ) de la columna. De la ecuación (9.3) se puede concluir el límite de proporcionalidad del material es el límite superior de la tensión con la cual la columna pandeará elásticamente. La modificación necesaria de la fórmula para incluir la respuesta inelástica del material se estudiará en la siguiente sección. 4 La utilización de la longitud efectiva L e hace general a esta expresión. 59
9.7.1. Ejemplo 3 Hallar la longitud mínima, L, de una columna con extremos articulados, que tenga un área transversal 5cm por 7,5 cm y para la cual se aplique la fórmula de Euler para columnas elásticas. Supóngase que E = 1 5 Ma y que el límite de de proporcionalidad es,8 1 Ma. 7,5 53 El momento de inercia mínimo de la sección transversal es I mín = = 78,15 cm 4. En 1 consecuencia Imín r = r mín = A = h 78,15 = 1 7,5 5 = 5 = 1,44 cm 1 Luego, utilizando la ecuación (9.3), σ C = π E/(L/r) y despejando de ella la relación L/r correspondiente al límite de proporcionalidad, ( ) L = π E = π 1 5 r σ c,8 1 = 75 es decir λ = L r = 84 y L = 84 1,44 = 11 cm or lo tanto si esta columna tuviera 11 cm o más de longitud, se pandearía elásticamente, ya que para tales dimensiones de la columna la tensión crítica en pandeo no excede al límite de proporcionalidad del material. 9.8. FORMULAS GENERALIZADAS DE LA CARGA DE ANDEO DE EULER Un diagrama típico tensión-deformación a la compresión para una probeta en la que se impide el pandeo se puede representar como en la Figura.a. En el intervalo de tensiones desde O hasta A el material se comporta elásticamente. Si la tensión en una columna en pandeo no excede de este intervalo la columna pandeará elásticamente. La hipérbola correspondiente a la ecuación (), σ C = π E/(L/r), es aplicable en este caso. Esta porción de la curva se indica como ST en la Figura.b. Es importante reconocer que esta curva no representa el comportamiento de una columna sino más bien el de un número infinito de columnas ideales de diferente longitud. La hipérbola que corresponde a la región situada más allá del intervalo útil se indica en la figura por medio de una línea punteada. Una columna con una relación L/r correspondiente al punto S de la Figura 9.9.b será la columna de más corta longitud hecha de material y tamaño dados, que se pandeará elásticamente. Una columna más corta, con una relación L/r aún menor, no se pandeará en el límite de proporcionalidad del material. En el diagrama tensión-deformación, Figura 9.9.a, esto significa que el nivel de tensiones en la columna ha pasado del punto A y alcanzado quizá un cierto punto B. A este nivel de tensiones más alto se puede decir, en efecto, se ha creado una columna de material diferente puesto que la rigidez del mismo ya no está representada por el módulo de elasticidad. En este punto, la rigidez del material está dada por la tangente a la gráfica tensión-deformación, es decir, por el módulo elástico tangente (o instantáneo), E t. La columna permanecerá estable si su nueva rigidez a la flexión E t I en B es suficientemente grande y podrá soportar una carga mayor. A medida que la carga aumenta, el nivel de tensiones se eleva también, en tanto que el módulo referido a la tangente disminuye. Una columna de material aún menos rígido actúa bajo una carga creciente. La substitución del módulo elástico tangente, E t, en vez del módulo elástico inicial, E, es entonces la única modificación necesaria para obtener las fórmulas de pandeo elástico aplicables en el intervalo inelástico. En consecuencia, la fórmula generalizada de Euler, o bien la 6
σ σ A E t B C R Hipérbola de Euler S Límite de proporcionalidad O E Intermedias Cortas Columnas largas T ε L/r (a) (b) Figura 9.9: (a) Diagrama tensión-deformación de compresión (b)gráfica de la tensión crítica en columnas en función de la relación de esbeltez fórmula del módulo referido a la tangente 5 será σ C = π E t (L/r) (9.33) Como los esfuerzos correspondientes a los módulos referidos a la tangente se pueden obtener a partir del diagrama tensión-deformación a la compresión, la relación L/r a la cual se pandeará una columna con estos valores se puede obtener de la ecuación (9.33). Una gráfica que represente esta comportamiento para valores intermedios y bajos de L/r está data en la Figura 9.9.b por la curva desde S hasta R. Los ensayos en columnas individuales verifican esta gráfica con notable exactitud. Las columnas que se pandean elásticamente se denominan a veces columnas largas. Las columnas con bajas relaciones L/r no presentan esencialmente fenómenos de pandeo y reciben el nombre de columnas cortas. Con bajos valores de L/r, los materiales dúctiles se aplastan y pueden soportar cargas muy grandes. Si la longitud L de la ecuación (9.33) se considera como la longitud efectiva de una columna, se pueden analizar diferentes condiciones de extremo. De acuerdo con este procedimiento en la Figura 9.1 se grafica para fines de comparación, la tensión crítica σ C en función de la relación de esbeltez para columnas de extremos empotrados y articulados. Es importante notar que la capacidad de carga en los dos casos está en la relación 4 a 1sólo para columnas que tengan la relación de esbeltez (L/r) 1 o mayor. ara valores de L/r menores se obtienen progresivamente menos ventajas por la restricción al giro en los extremos. Con bajas relaciones L/r, las gráficas se confunden. Hay poca diferencia si un bloque corte está articulado o empotrado en sus extremos, ya que entonces la resistencia determina su comportamiento y no el pandeo. 5 La fórmula con el módulo tangente da la capacidad de carga de una columna definida en el instante en que esta tiende a pandearse. Si la columna se deforma aún más, a las fibras del lado cóncavo (las más comprimidas) les corresponde el módulo tangente. Sin embargo las fibras del lado convexo disminuyen su deformación y se recuperan elásticamente según el módulo elástico inicial. Esto conduce a la teoría del doble módulo para la capacidad de carga de las columnas. Los resultados finales que se obtienen por esta teoría no difieren mucho de los obtenidos usando el módulo tangente. 61
σ unto de fluencia σ Hipérbolas de Euler Límite de proporcionalidad A Extremos articulados Extremos empotrados T ε (L/r) 1 L/r (a) (b) Figura 9.1: Comparación del comportamiento de columnas con diferentes condiciones de extremo 9.9. COLUMNAS CARGADAS EXCENTRICAMENTE En el estudio anterior del pandeo de columnas se supuso que tales elementos eran idealmente rectos. uesto que en realidad todas las columnas tienen imperfecciones, las cargas de pandeo que se obtienen para columnas ideales son las mejores posibles. Tales análisis sólo proporcionan indicios acerca del mejor funcionamiento posible de columnas. or lo tanto, no es sorprendente que el funcionamiento de columnas haya sido explorado también con base en algunas imperfecciones determinadas estadísticamente o en posibles desalineamientos de las cargas aplicadas. Como una ilustración de este enfoque, se considerará una columna cargada excéntricamente que es un problema importante en si mismo. 9.9.1. Viga articulada articulada Una columna cargada excéntricamente se indica en la Figura 9.11.a. Esta fuerza es equivalente a una fuerza axial concéntrica y a momentos de extremo M = e. Tal viga columna ya ha sido analizada en el ejemplo, donde se encontró que debido a la flexibilidad del miembro, el máximo momento flexionante M máx, es igual a M sec ( ) αl, ecuación (9.9). or lo tanto, la tensión máxima de compresión, que ocurre a la mitad de la altura en el lado cóncavo de la columna, se puede calcular como σ máx = A + Md = I A + M máxd = Ar A A su vez α = =, por lo cual EI EAr [ ( σ máx = 1+ ed A r sec L r [ 1+ ed r sec )] 4EA ( )] αl (9.34) A esta expresión se la suele denominar la fórmula de la secante para columnas. ara que se verifique dicha ecuación, la tensión máxima debe permanecer por debajo del límite de elasticidad. Obsérvese que en la ecuación (9.34) el radio de giro r puede no ser el mínimo, puesto que surge del valor de I asociado al eje con respecto al cual se produce la flexión. En algunos casos 6
la condición crítica de pandeo puede existir en la dirección de alguna excentricidad no definida. Obsérvese también que en la ecuación (9.34) la relación entre σ máx y no es lineal; σ máx aumenta más rápidamente que. or consiguiente, las tensiones máximas causadas por fuerzas axiales no se pueden superponer. e e v max (a) (b) Figura 9.11: Columna cargada excéntricamente La expresión (9.34) puede re-escribirse en función de la tensión de compresión media (σ = A ) y de la relación entre carga y carga crítica = C = L e = α L π e EI π donde se observa claramente que [ σ máx = σ 1+ e d ( π rr sec ) ] [ = σ 1+e A ( π ) W sec ] Cuando 1( C ) entonces el argumento de la secante tiende a π crece indefinidamente y la tensión La tensión crece linealmente con la excentricidad. Dado que la relación d es una propiedad r geométrica adimensional de la sección, la influencia de e depende de su relación con el radio de giro r. 9.9.. Viga empotrada libre ara obtener la solución hay que imponer las condiciones de contorno adecuadas en las (9.16). Respecto al caso sin excentricidad (ver Apéndice) hay que cambiar la condición de momento en el borde libre v(x = ) = C +C 4 = v (x = ) = C 1 α+c 3 = M (x = L) = EI [ C 1 α sen(αl) C α cos(αl) ] = e T (x) = C 3 = 63
Escrito como un sistema de ecuaciones 1 1 α 1 sen(αl) cos(αl) 1 La solución de este sistema conduce a los coeficientes: de donde la solución resulta C 1 = C 3 = e C = C 4 = cos(αl) v(x) = C 1 C C 3 C 4 e cos(αl) [1 cos(αx)] M(x) = cos(αx) cos(αl) M o = El desplazamiento máximo (extremo libre) vale [ ] 1 v máx = cos(αl) 1 e = [sec(αl) 1]e El momento flector máximo (empotramiento) vale M máx = M o cos(αl) = M o sec(αl) En ambos casos las expresiones de los valores máximos son idénticas al caso anterior si se utiliza la Longitud equivalente. Así en el primer caso (L e = L) el argumento de la secante sigue siendo αle y en el segundo (L e = L) el argumento es αl = αl = αle. 9.9.3. Fórmulas aproximadas or otro lado, una expresión simplificada de los valores máximos de desplazamiento y momento flector, más fácil de recordar y visualizar resulta de recordar que y que el argumento β a utilizar es { para el caso art-art sec(β) = ( αl ) = 1 para el caso emp-lib (αl) = 1 4 1 cos(β) 1 1 β = ( ) π EI = ( ) π L 4 (L) EI e } ( π ) ==> (β) = Luego el desplazamiento máximo aproximado resulta (la aproximación es buena para c <,5) ( ) ( ) 1 1 v máx = 1 e = 1 π 1 1,34 1 e (9.35) 8 Similarmente el momento flector máximo aproximado resulta M máx = M 1 1,34 (9.36) Expresiones similares a esta se utilizan frecuentemente en los códigos para determinar el momento flector máximo a partir de la relación entre la carga actuante y valor esperado de la carga crítica C. 64
9.1. CLASIFICACIONDE COMORTAMIENTOS EN ES- TABILIDAD El sistema estructural de un grado de libertad analizado en la sección y que se reproduce en la Figura 9.1.a tiene un comportamiento similar al de una columna cargada axialmente y resulta útil y adecuado para explicar el comportamiento de columnas aisladas a compresión con diferentes condiciones de apoyo. Sin embargo un sistema compuesto por columnas (y barras) solicitadas a compresión puede tener un comportamiento muy distinto. El comportamiento descripto es sólo uno de los posibles en estabilidad elástica, y con el objeto de dar una visión más general del problema de estabilidad se describiran a continuación otros comportamientos. 9.1.1. Bifurcación simétrica estable Observamos nuevamente el sistema estructural analizado (debe interpretarse que el sistema incluye a la carga como parte del sistema, no es sólo la estructura) y consideremos las soluciones exactas (). Definiremos como sistema perfecto a aquel en que la barra es perfectamente vertical y la carga horizontal F =. Denominaremos como trayectoria de equilibrio a un conjunto continuo de puntos (pares (θ,) que satisfacen la(s) ecuación(es) de equilibrio. ara la estructura perfecta la ecuación de equilibrio es Lsenθ = kθ (9.37) cuyas soluciones son 1. para θ = y todo valor de. para θ, = k L θ > k senθ L F θ Trayectoria rimaria L barra rígida L/k 1.5 Trayectoria Secundaria Trayectorias Imperfectas Bifurcación A -1 1 θ (a) (b) Figura 9.1: Bifurcación simétrica estable Haremos las siguientes observaciones y definiciones: A la trayectoria de equilibrio (1) que pasa por la estructura descargada ( = ) se la denomina trayectoria fundamental o primaria. En el caso de un sistema perfecto para cualquier valor de se satisface equilibrio con θ =, incluso para valores superiores a la carga crítica > k/l. 65
A la trayectoria correspondiente a θ se la denomina trayectoria poscrítica o secundaria. Notar que esta trayectoria existe sólo para valores superiores a la carga crítica cr = k/l. Estas trayectorias se cruzan en (θ cr =, cr = k/l), este punto se denomina punto de bifurcación o punto crítico. Resulta importante establecer si una trayectoria de equilibrio no sólo es matemáticamente posible, si no físicamente factible. Al respecto puede utilizarse el siguiente criterio dinámico de estabilidad que consiste en colocar una pequeña perturbación (carga o movimiento) y observar el comportamiento del sistema. Entonces para ello se coloca una fuerza F (pequeña en relación con ) momentaneamente y luego se la quita; Si el sistema luego de algunas oscilaciones vuelve a la posición vertical (trayectoria primaria), se dice que el es estable para tales valores de carga. Esto es así para la trayectoria primaria con valores de menores que la carga crítica < k/l, Si el sistema no vuelve a la posición original, si no que pasa a una posición de equilibrio con θ, para tales valores de carga se dice que el sistema es inestable. Esto es así sobre la trayectoria primaria para valores de mayores que la carga crítica > k/l, pues en volver al estado con θ =, pasa a posiciones de equilibrio sobre la trayectoria secundaria. ara el sistema estructural considerado la trayectoria secundaria es siempre estable, en el sentido de que si se aplica una perturbación momentanea, luego de algunas oscilaciones el sistema vuelve a la misma posición. Cuando la carga F, o la barra no es perfectamente vertical, digamos que forma un ángulo θ con la vertical, el sistema se denomina sistema imperfecto, la ecuación de equilibrio es L senθ+fl cosθ k(θ θ ) = El efecto de la carga F sobre el comportamiento del sistema es similar al de la imperfección geométrica θ. ara pequeños valores de θ es fácil ver que en la expresión linealizada (9.) podría reemplazarse FL = kθ. Se denominan trayectorias imperfectas de equilibrio a las soluciones de esta última ecuación. En la Figura 9.1.b se han graficado las trayectorias perfectas y las imperfectas para 4 valores de FL (-.1, -,1,,1 y,1). Notar además que Las trayectorias imperfectas son únicas, es decir no bifurcan. Al invertir el sentido de la carga F para el mismo valor de la solución de equilibrio cambia de θ a θ. Es decir que el sistema tiene un comportamiento simétrico. Lo mismo ocurre si la imperfección inicial fuese θ en vez de θ. Un valor creciente de F (dentro de valores razonablemente pequeños frente a ) o θ no modifica significativamente el comportamiento del sistema. El sistema se dice que no es sensible a imperfecciones El comportamiento de este sistema estructural, se denomina Bifurcación Simétrica Estable. 9.1.. Bifurcación simétrica inestable Consideremos ahora el comportamiento del sistema indicado en la Figura 9.13.a. El planteo del equilibrio debe nuevamente hacerse sobre la geometría deformada. Tomando momentos respecto a la articulación de la base senθ+f cosθ ksenθcosθ = 66
cuya solución linealizada es = kcosθ F tanθ = k F θ para el modelo perfecto se reduce a las soluciones de esta última ecuación son: ( kcosθ) senθ = 1. Trayectoria primaria θ = para cualquier valor de,. Trayectoria secundaria = k cos θ. En la Figura 9.13.b se muestran estas soluciones y también para tres valores de F >. uede notarse lo siguiente: F k 1 Trayectoria erfecta Máximos θ L /k.5 barra rígida (a) A Trayectorias Imperfectas.5 1 1.5 (b) θ Figura 9.13: Bifurcación simétrica inestable La solución linealizada permite predecir el valor de la carga crítica cr = k La trayectoria poscrítica (secundaria) es descendente, el sistema pierde capacidad portante. Las trayectorias imperfectas tienen un valor máximo máx. Es decir que el sistema para valores mayores de máx no puede alcanzar una posición de equilibrio. Cuanto mayor es F (la imperfección) menor es máx. El sistema se dice que es sensible a imperfecciones. Las partes ascendentes de las trayectorias de equilibrio son estables, es decir que un aumento del desplazamiento conduce a una configuración con mayor capacidad de resistir d dθ > Las partes descendentes de las trayectorias de equilibrio son inestables, es decir que un aumento del desplazamiento conduce a una disminución de la capacidad de resistir d dθ < 67
El sistema tiene un comportamiento simétrico respecto al signo de la imperfección (sea F o un ángulo inicial θ ) El sistema estructural indicado tiene un comportamiento denominado Bifurcación Simétrica Inestable. Este comportamiento es por ejemplo el de cilindros delgados sometidos a compresión axial o de esferas bajo presión externa. La carga crítica linealizada es sólo un límite superior de resistencia, el cual no se puede alcanzar debido a las inevitables imperfecciones sea en la geometría o en el sistema de carga. La sensibilidad de la carga máxima del sistema depende de su esbeltez, así para cilindros muy delgados (digamos de una relación radio/espesor de 4) las cargas máximas no superan el 4 % de la carga crítica del cilindro perfecto. 9.1.3. Bifurcación asimétrica El tercer caso típico de bifurcación se ejemplifica con los sistemas estructurales de la Figura 9.14.a. Allí la imperfección en la carga se introduce suponiendo que la carga axial no está centrada con la barra vertical sino a una distancia ε. En la Figura 9.14.b se muestra el comportamiento del sistema cuando la carga está centrada (ε = ) y para dos valores positivos y negativos de la excentricidad. En este caso puede notarse lo siguiente ε u L k barra rígida Trayectoria erfecta ε /k.5 Trayectorias Imperfectas Maximos u (a) (b) Figura 9.14: Bifurcación simétrica inestable El comportamiento del sistema no es simétrico respecto a la variable de desplazamiento u. Si al llegar al punto de bifurcación el sistema toma valores de u positivo el sistema es inestable y si toma valores negativos es estable. Similarmente si la imperfección (excentricidad) es positiva el comportamiento (resistencia) del sistema tiene un máximo y luego se torna inestable. or el contrario si la imperfección es negativa el sistema se rigidiza. 68
El sistema es sensible a imperfecciones, una imperfección positiva conduce a una marcada disminución de la resistencia respecto a la carga crítica. El sistema descripto presenta una Bifurcación Asimétrica que por definición es inestable aunque para ciertas imperfecciones pueda tener un comportamiento inicialmente estable. Debe entenderse que los modelos indicados en la Figura 9.14 son muy sencillos y que las estructuras habitualmente tienen un nivel de complejidad tal que la imperfección tiene componente en la dirección más perjudicial para el sistema. 9.1.4. unto límite Hasta ahora se han presentado los comportamientos de ciertos sistemas estructurales con elementos comprimidos que pueden presentar problemas de estabilidad. La clasificación se ha hecho en base a la estructura perfecta que permite determinar la carga crítica y las trayectorias de equilibrio posible. or otro lado se ha visto que cuando la clasificación de la bifurcación es inestable, la inevitable existencia de imperfecciones conduce a trayectorias de equilibrio, que dependiendo del nivel de imperfección van perdiendo rigidez, tienen un máximo de resistencia y luego colapsan. Este tipo de comportamiento se denomina de unto Límite y es el modo habitual en que falla una estructura pues no hay ninguna estructura perfecta. or otro lado, existen muchas estructuras con elementos comprimidos que no pueden asimilarse a un caso de bifurcación, sino que tienen sencillamente un comportamiento de punto límite. En la Figura 9.15 se muestra un sistema sencillo con dos barras elásticas simétricas. Al aumentar la carga el sistema empieza a perder rigidez (la pendiente de la curva disminuye) hasta que se anula (punto A) y el sistema pasa dinámicamente a una posición de equilibrio muy diferente B (si existe). Si el sistema está controlado por desplazamientos y no por la carga, es decir que se mueve controladamente el punto de aplicación de la carga y se va midiendo su reacción, puede trazarse la línea punteada (zona inestable). A lo largo de esta parte inestable se pasa por una configuración en que ambas barras están horizontales α =, donde la carga cambia de signo (pasa por ) y finalmente llega a un punto límite en el otro sentido donde el sistema vuelve a ser estable. α A B (a) α (b) Figura 9.15: unto límite 9.11. AENDICE En este apéndice se muestra como obtener las cargas críticas de columnas cargadas axialmente con diferentes condiciones de extremo (ver Figura 9.8 ). ara ello se utiliza la solución general (9.16) de la ecuación diferencial homogénea (9.15) 69
or otro lado recordar que al no haber cargas aplicadas en el interior de la viga, de (9.1) debe cumplirse que T =cte. y que (9.13) puede re-escribirse, usando la solución general (9.16) como: T = dm [ ] dv dx dx = EI d3 v dv + dx3 dx 9.11.1. Viga empotrada-libre = C 3 (9.38) En este caso la expresión (9.38) conduce a T = pues no hay carga horizontal aplicada en el extremo superior por lo cual la reacción de apoyo horizontal también debe ser cero. A fin de evaluar las constantes C 1, C, C 3 y C 4.las condiciones de contorno son v(x = ) = C +C 4 = v (x = ) = C 1 α+c 3 = M (x = L) = EI [ C 1 α sen(αl) C α cos(αl) ] = T (x) = C 3 = Escrito como un sistema de ecuaciones 1 1 α 1 sen(αl) cos(αl) C 1 C C 3 C 4 = ara que exista una solución no trivial, es necesario que el determinante de la matriz se anule De donde det = α cos(αl) = αl = π ===> c EI L = π ===> c = π EI (L) Reemplazando αl = π el sistema de ecuaciones resulta La solución no trivial tiene la forma 1 1 π L 1 C 1 C C 3 C 4 = C = C 4 = 1 y C 1 = C 3 = de donde la soluciónresulta v(x) = [ ( πx )] 1 cos L 9.11.. Viga empotrada-articulada El planteo de las condiciones de contorno conduce a v(x = ) = C +C 4 = v (x = ) = C 1 α+c 3 = v(x = L) = C 1 sen(αl)+c cos(αl)+c 3 L+C 4 = M (x = L) = EI [ C 1 α sen(αl) C α cos(αl) ] = 7
Escrito como un sistema de ecuaciones 1 1 α 1 sen(αl) cos(αl) L 1 sen(αl) cos(αl) C 1 C C 3 C 4 = ara que exista una solución no trivial, es necesario que el determinante de la matriz se anule det = [ αlcos(αl)+sen(αl)] = Buscando una solución numérica para que se anule el corchete, se llega a: αl = 4,49341 ===> c =,458 π EI L Llevando este valor de αl al sistema resulta (multiplicando la da por L y dividiendo la 4ta por ) 1 1 C 1 4,49341 L C,9761,173 L 1 C 3 =,9761,173 C 4 Una posible solución es de donde la solución tiene la forma ( v(x) =,548 sen 4,49341 x ) L C 1 = 1 cos(αl) αl sin(αl) =,548 C = 1 1+αL C 3 = αl sin(αl) L 1 = 1,437 L 1 C 4 = 1 9.11.3. Viga empotrada-empotrada En este caso las condiciones de contorno son v(x = ) = C +C 4 = v (x = ) = C 1 α+c 3 = ( cos 4,49341 x ) 1,437 x L L +1 v(x = L) = C 1 sen(αl)+c cos(αl)+c 3 L+C 4 = v (x = L) = C 1 αcos(αl) C αsen(αl)+c 3 = Escrito como un sistema de ecuaciones 1 1 α 1 sen(αl) cos(αl) L 1 αcos(αl) αsen(αl) 1 C 1 C C 3 C 4 = ara que exista una solución no trivial, es necesario que el determinante de la matriz se anule det = α ( 1 cos(αl) αlsen(αl)+sen (αl)+cos (αl) ) 71