FACTOR DE INTENSIDAD DE ESFUERZOS DE UN COMPUESTO EPOXI-CARBONO: SIMULACIÓN VÍA ELEMENTO FINITO Jesús Martínez Figueroa*, Carlos Rubio González, Francisco Velasco Reyes Centro de Ingeniería y Desarrollo Industrial, Pie de la cuesta 702, Desarrollo San Pablo, 76130 Querétaro, Qro, México *Correo electrónico: jmtzfigueroa@gmail.com RESUMEN En este trabajo se presenta la simulación numérica de la flexión a 3 puntos de un material compuesto tipo carbono-epoxi que es modelado como transversalmente isotrópico; el Factor de Intensidad de Esfuerzos (FIE), el perfil de esfuerzo perpendicular a grieta y la apertura de punta de grieta (CTOD) son obtenidos a través de expresiones propuestas como fórmulas simplificadas, en las que se plantea el uso de una constante elástica, Ce que representa la resistencia a la apertura de grieta. Los resultados muestran que las fórmulas simplificadas funcionan correctamente para describir la singularidad frente a grieta. El perfil de esfuerzos perpendicular y el FIE tienen valores muy cercanos a los de la referencia isotrópica, pero el CTOD es aproximadamente del doble del valor de referencia isotrópico. PALABRAS CLAVE: Factor de Intensidad de Esfuerzos, compuesto carbono-epoxi, apertura de punta de grieta (Crack tip openig displacement, CTOD). INTRODUCCION Los materiales compuestos están expandiéndose en muchas aplicaciones de ingeniería debido a que presentan ventajas únicas respecto a los materiales monolíticos, como alta resistencia específica, alta rigidez, baja densidad y adaptabilidad a la función de diseño de la estructura que se construye con ellos; por estas razones la necesidad de la caracterización de propiedades mecánicas de estos materiales va en aumento. En este sentido, la definición exacta del FIE para materiales compuestos en pruebas mecánicas es de gran importancia. Este documento contribuye a la caracterización de este parámetro para el material compuesto carbono-epoxi en configuración tipo tejido(woven), que típicamente se considera como un material elástico transversalmente isotrópico.
La definición del FIE para materiales no isotrópicos es considerablemente más compleja que para materiales isotrópicos. Un número importante de estudios de investigación se han hecho para definir este parámetro en muchas configuraciones geométricas y tipo de carga por medio de enfoques basados en mecánica del medio continuo. El trabajo de Sih, Irvin y Paris [1] puede ser considerado como la base de la formulación del FIE para materiales transversalmente isotrópicos; la formulación presentada por ellos es utilizada por Lee y Tippur [2] para extraer el FIE del campo de deformaciones en la cercanía de grietas estacionarias, Lee y Tippur utilizan la formulación incluso en régimen dinámico, se observa además que los efectos inerciales de la probeta sí son tomados en cuenta siempre y cuando la grieta permanezca estacionaria. Para el régimen dinámico se observó que la tenacidad dinámica a la fractura es consistentemente mayor al valor cuasiestático de la tenacidad. Otro antecedente importante es el trabajo de Rubio y Wang [3], que recientemente utilizaron estas expresiones para obtener la evolución de FIE en materiales compuestos unidireccionales tipo carbono-epoxi y vidrio-epoxi en régimen estático y dinámico. Par el régimen dinámico se utilizaron las barras de Hopkinson en configuración de flexión a 3 puntos; Rubio y Wang reportan que la tenacidad dinámica a la fractura es mayor que la tenacidad estática para ambos materiales. Entre las investigaciones más recientes en la investigación de FIE, el trabajo de Xu y Li [4] presenta una metodología para medir el FIE en modos I y II mixtos. Una de las contribuciones sobresalientes de este trabajo es la capacidad de cargar las probetas en modo mixto en régimen dinámico. Esto se hace por medio de una metodología híbrida numérica-experimental utilizando las barras de Hopkinson y el método de Elemento Finito. En este documento se proponen formulas analíticas simplificadas para obtener el FIE en modo I para materiales transversalmente isotrópicos a partir de CTOD y del esfuerzo perpendicular frente a la punta de grieta. Estas fórmulas son aplicadas en una simulación vía Elemento Finito para un material compuesto carbono-epoxi tejido (tipo woven), que se considerará como homogéneo y transversalmente isotrópico.
FUNDAMENTOS El FIE es un parámetro fundamental en mecánica de la fractura elástica lineal. Un método para calcular el FIE relacionado directamente con el desplazamiento de apertura de grieta (Crack Tip Opening Displacement, CTOD) introducido inicialmente por Williams y Friedrich [5] y reportado por Rubio y Wang [3] y Rubio y Gallardo [6] se presenta a continuación. El material se considera transversalmente isotrópico y en modo I, el FIE se puede obtener como sigue: K I u y 2 r a 1 1 2 1 2 22 (1) Donde ω se relaciona con μ de acuerdo a: i j j j 1,2 Y donde μ1 y μ2 son la raíces de 4 2 a11 ( 2a12 a66) a22 0 con aij está relacionado con las constantes elásticas del material de acuerdo a: a 11 / E1 a12 12 / E1 a66 1/ G12 a22 1/ 1 E 2 A continuación se deducirán dos expresiones sencillas que relacionan el FIE con el CTOD y el esfuerzo perpendicular a la grieta asumiendo Mecánica de la Fractura Elástica Lineal. Es útil presentar la relación clásica entre el campo de desplazamiento y el FIE para materiales elásticos lineales de acuerdo a [7], para el desplazamiento perpendicular a la grieta, se tiene: ( ) [ ( )] (2) Donde G es el modulo cortante del material, y κ se define, para condiciones de esfuerzo plano, como (3-ν)/(1+ν). Siguiendo el sistema de referencia en [7], cuando θ=180 uy se convierte en el desplazamiento perpendicular a la grieta de un punto en el labio de la grieta, localizado a una distancia r de la punta de ésta. Para efectos de este trabajo, uy y CTOD son utilizados indistintamente con la precaución de que en sentido estricto, r debe ser convenientemente pequeño y uy es en realidad, un medio del CTOD debido a la simetría del modelo físico-matemático en mecánica de la fractura elástica lineal.
Con la consideración de esfuerzo plano, κ+1=4/(1+ν), y considerando que θ=180, la ecuación 2 puede ser re-escrita para despejar KI de la siguiente forma: ( ) ( ) ( ) (2.1) Y para materiales isotrópicos, E=2G (1+ν) y esta ecuación pasa a ser: ( ) (2.2) Un reacomodo similar de la ecuación 1, que corresponde a materiales transversalmente isotrópicos se hará a continuación. Se introduce ahora una constante de elasticidad denominada Ce, que para materiales transversalmente isotrópicos se define así: (3) Es importante notar que esta constante depende solamente de las constantes elásticas del material, a saber: E1, E2, G12 y ν12. Así, la ecuación 3 toma la forma: (3.1) Y como la ecuación finalmente queda: (3.2) La expresión 3.2 es la relación entre el CTOD y e FIE en modo I para medios transversalmente isotrópicos bajo condiciones de esfuerzo plano.
Esta es la primera fórmula simplificada, que relaciona el FIE con el CTOD. Obsérvese que si el medio elástico es isotrópico, Ce se convierte simplemente en E/2, como se puede observar en la ecuación 2.2. La relación entre esfuerzo y CTOD es directa si la componente de esfuerzo perpendicular a la grieta a θ=0 es considerado. Esto es debido a que la fórmula clásica isotrópica es válida para materiales transversalmente isotrópicos: (4) La notación σi indica que es esfuerzo es perpendicular al plano de la grieta localizado en frente de la punta en modo I. la sustitución de la ecuación 3.2 en la ecuación 4 lleva a la siguiente relación: (5) De esta forma σi puede relacionarse con el CTOD diametralmente opuesto (a la misma distancia r, pero a θ=180 ) por medio de la ecuación 5, que es válida para materiales simplemente isotrópicos y transversalmente isotrópicos por medio del uso del Ce adecuado. Esta es la segunda fórmula simplificada a utilizar en este trabajo. PROCEDIMIENTO El material seleccionado para el MEF es un compuesto que usualmente se modela como un sólido transversalmente isotrópico. Las probetas típicamente utilizadas para las pruebas de Factor de Intensidad de Esfuerzo son rectangulares de 100*20 milímetros con una muesca creada con disco de diamante, simulando una grieta delgada en medio de la pieza. El espesor utilizado para estas simulaciones es el que típicamente se obtiene al fabricar placas de este material, 4.5 milímetros. Las propiedades mecánicas declaradas para el material se presentan en la tabla 1.
Tabla 1. Propiedades mecánicas del material compuesto simulado en este trabajo. Propiedad Carbono/epoxi E1 (GPa) 49.816 E2 (GPa) 53.341 ν12.0479 G12 (GPa) 3.51 ρ(kg/m 3 ) 1505.8 El modelo consiste en la semi-geometría de la probeta descrita en el párrafo anterior, con simetría, mallada con cuadriláteros de 4 nodos y opción de esfuerzo plano con el espesor declarado anteriormente. Una carga estática de 1500 N (3000 N para la probeta completa) se aplica a los dos nodos centrales para reproducir una configuración estática de flexión a 3 puntos. Las cargas, condiciones de simetría y condiciones de frontera se presentan en la figura 1. El MEF fue creado y resuelto en el software comercial Ansys. Figura 1: Cargas, restricciones y condiciones de frontera del MEF
La evaluación del FIE estático se hace con los resultados a partir de las posiciones nodales presentadas en la figura 2: el FIE a partir del esfuerzo σi se calcula con el nodo localizado a 0.2 mm de la punta de la grieta y nodos siguientes. El FIE a partir del CTOD se calcula con el nodo localizado 0.2 mm atrás de la punta de la grieta y nodos siguientes; este nodo está en el labio de la grieta y por la geometría de la probeta también está desplazado 0.2 mmperpendicularmente respecto a la punta de la grieta. Figura 2: detalle de la malla de la punta de la grieta del MEF RESULTADOS y ANÁLISIS DE RESULTADOS Los resultados de la simulación utilizando las ecuaciones simplificadas se comparan con una referencia hipotética isotrópica. Dada la geometría de la probeta y una carga central de 3 KN, un FIE isotrópico ideal de 50.2 Mpa*m^.5 se utiliza para trazar un perfil de esfuerzo de referencia. Esta comparación se hace en la figura 3. La singularidad de esfuerzo esperada es bien descrita tanto por los resultados nodales directos, como por el perfil de esfuerzos predicho por la ecuación 5; estos resultados sustentan la afirmación de que la geometría y la malla propuestas son capaces de comportarse correctamente de acuerdo a la mecánica de la fractura elástica lineal. También se puede apreciar que el esfuerzo nodal directo es ligeramente menor que el perfil de referencia, pero la formula simplificada 5 lo sigue con precisión.
Figura 3: perfiles de σi obtenidos de la simulación MEF El CTOD fue también trazado como función de r. una vez más, un material isotrópico hipotético se utiliza para para fines comparativos. Para este material hipotético se utilizó un módulo elástico de 51.578 GPa (el promedio de E1 y E2 del material real). La comparación de CTOD entre este material y el material transversalmente isotrópico presentado descrito en la sección anterior se hace utilizando la forma simplificada 3.2 y se presenta en la figura 4. Figura 4: CTOD de la simulación de este trabajo
El CTOD del material compuesto es considerablemente más alto que la referencia isotrópica, aun cuando el FIE es prácticamente el mismo (para el material compuesto varía de 49.2 a 50.4 MPa*m^.5) y los perfiles de esfuerzo son prácticamente iguales. La razón de esta diferencia estriba en la constante de elasticidad Ce: El material analizado tiene 12.4425 GPa mientras la referencia isotrópica tiene 25.789 GPa. Ahora es posible apreciar claramente que la constante elástica Ce puede considerarse una medida de la oposición del material a grandes valores de CTOD, es decir, a la apertura de la grieta. Para este caso, dos materiales teniendo une relación de Ce de 2, su relación de CTOD será inversamente proporcional, es decir, aproximadamente 0.5. CONCLUSIONES En este trabajo se presentaron expresiones simples para obtener el Factor de Intensidad de Esfuerzos (FIE) para materiales conocidos como trasversalmente isotrópicos a partir del desplazamiento de apertura de grieta (CTOD) y el esfuerzo perpendicular frente a la punta de ésta; en estas expresiones se propone la constante elástica Ce, que depende sólo de las propiedades elásticas del material y que para materiales simplemente isotrópicos es definido simplemente como un medio del módulo de elasticidad. Las fórmulas presentadas fueron utilizadas en la simulación MEF de una probeta rectangular en configuración flexión a 3 puntos de un compuesto carbono-epoxi típicamente modelado como transversalmente isotrópico. Los resultados muestran que tanto las expresiones propuestas como el MEF describen correctamente el perfil de esfuerzos perpendicular a la grieta siguiendo fielmente la singularidad hacia la punta de ésta y el valor del FIE también es prácticamente el mismo que el de una referencia hipotética isotrópica, propuesta para fines comparativos. La única diferencia observada está en el perfil de CTOD que muestra ser aproximadamente de 2 veces el perfil de referencia isotrópico, lo que indica que el material modelado es significativamente menos rígido a la apertura de grieta de lo esperado debido a que el valor de Ce es aproximadamente un medio del Ce isotrópico de referencia. De esta manera la utilidad de las fórmulas simplificadas y la constaste elástica propuesta quedó ilustrada en la práctica para el material compuesto presentado.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Sih, G.C., P.C. Paris, and G.R. Irwin, On cracks in rectilinearly anisotropic bodies. International Journal of Fracture Mechanics, 1965. 1(3): p. 189-203. 2. Lee, D., H. Tippur, and P. Bogert, Quasi-static and dynamic fracture of graphite/epoxy composites: An optical study of loading-rate effects. Composites Part B: Engineering, 2010. 41(6): p. 462-474. 3. Rubio-González, C., et al., Dynamic Fracture Toughness of Composite Materials, in Damage and Fracture of Composite Materials and Structures, M.N. Tamin, Editor. 2012, Springer Berlin Heidelberg. p. 143-156. 4. Xu, Z. and Y. Li, A novel method in determination of dynamic fracture toughness under mixed mode I/II impact loading. International Journal of Solids and Structures, 2012. 49(2): p. 366-376. 5. Friedrich, K., Application of fracture mechanics to composite materials. 1989: Elsevier Science & Technology. 6. Rubio-González, C., et al., Dynamic fracture toughness of pre-fatigued materials. International Journal of Fatigue, 2008. 30(6): p. 1056-1064. 7. Anderson, T.L., Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications. 1995: CRC PressINC.