DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MAEMÁICAS DPO. ERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE RANSFERENCIA MÉODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA F-1313 ERCER PARCIAL RESUELO (9 DE NOVIEMBRE DE 006) Esta guía fue elaborada por: Prof. Aurelio Stammitti Scarpone con la ayuda de: Br. María M. Camacho A. Queda terminantemente prohibida la reproducción parcial o total de esta guía sin la aprobación del Prof. Aurelio Stammitti Scarpone.
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) Ejercicio 1 ERCER PARCIAL (Septiembre Diciembre 006) Se desea estudiar el comportamiento de una reacción de Isomerización en fase líquida ( A B ) en un reactor tipo Flujo Pistón Isotérmico relleno de un catalizador sólido que funciona a una temperatura constante. La ecuación que modela al reactor es: dca Ea Q = ra( CA, ) ; ra( CA, ) = k0.exp.( γ A. CA) dv R. con la condición inicial CA (0) = 10mol y Q = 10 lt lt, donde s α k0 100000 1 = s, Ea = 10000cal, R = 1,987cal y α = 1, 0. Se sabe que la actividad del mol mol. K catalizador γ A cae con el tiempo, por lo tanto el equipo se ha dividido en dos secciones, cada una a temperatura diferente: Sección 1: 0 V 50 lt ; 1 = 370 K ; γ A 1 = 0,85 Sección : 50 < V 100 lt ; = 70 K ; γ A = 0, 0 Calcule el perfil de concentración C A a lo largo de todo el equipo ( 0 V 100 ) usando un método de integración de cuarto orden con un incremento de V=1,5. Solución Este problema se resuelve por Runge Kutta de to Orden debido a que nos dicen que usemos un método de integración de cuarto orden y este método es más fácil de aplicar que el AB-AM por cuestión de tiempo. Ahora, si observamos bien lo que nos dicen vemos que este problema consta de dos partes o secciones; por lo que hay que resolver el ejercicio usando dos condiciones diferentes. La primera parte consiste en hallar las concentraciones de A para la primera mitad del reactor a una temperatura 1 y la segunda, en hallar dichas concentraciones para la otra mitad a una sabiendo que las condiciones finales de la parte a) van a ser las iniciales de la parte b). Enero Marzo 008 Pág. 1
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) Visto eso, observemos como queda la EDO que tenemos que resolver: dca k 0 Ea =.exp.( γ A. CA) dv Q R. α Parte a) Sección 1 Aquí nos encontramos en la primera sección del reactor por lo que al sustituir los valores apropiados nuestra EDO queda finalmente como: dc dv A 100000 10000 =.exp.(0,85. CA ) 10 (1,987).(370) 1,0 Con los valores iniciales: V = 0, C A (0)=10 mol/l y V = 1,5. i V C A k 1 k k 3 k 0 0 10-1,373-1,77-1,8-1,193 1 1,5 8,719-1,19-1,111-1,116-1,038 5 7,60-1,038-0,966-0,971-0,903 3 37,5 6,635-0,90-0,81-085 -0,786 50 5,791-0,787-0,73-0,736-0,685 5 6,5 5,057-0,685-0,638-0,61-0,596 6 75,17-0,597-0,556-0,558-0,5 7 87,5 3,86-0,5-0,8-0,87-0,53 8 100 3,37 0 0 0 0 Donde los números resaltados en azul indican el comportamiento que hubiese seguido el reactor de haber seguido a las mismas condiciones en todo el equipo. Las resaltadas en verde son los valores a la salida de la primera sección del reactor (V = 50 lt), que serán la entrada de la siguiente sección. Parte b) Sección Aquí nos encontramos en la segunda sección del reactor por lo que se sustituyen los valores dados para esta parte y la EDO queda finalmente como: Enero Marzo 008 Pág.
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) dc dv A 100000 10000 =.exp.(0,0. CA ) 10 (1,987).(70) 1,0 Con los valores iniciales (sección anterior): V = 50 lt, C A (50)=5,791 mol/l y V = 1,5. i V C A k 1 k k 3 k 0 50 5,791-6,586 -,79 -,97-0,898 1 6,5 1,956 -,177-0,95-1,639-0,3 75 0,673-0,73-0,39-0,551-0,18 3 87,5 0,36-0,5-0,116-0,189-0,09 100 0,08 Ejercicio El fenómeno llamado Flujo de Hartmann ocurre cuando un metal en estado líquido fluye en presencia de un campo magnético transversal. Para un metal líquido que fluye entre dos placas paralelas, las ecuaciones que permiten calcular el perfil de velocidad y de temperatura son: p u u 0 = + µ σ B u ; 0= k + µ x y y y con B el campo magnético y las condiciones: y = 0 ; u = 0 ; = 700 º C y = L ; u = 0 ; = 800 º C Con un total de cinco (5) nodos, calcule el perfil de velocidades y de temperatura para aluminio con p = 1000 x y un número de Hartmann 1/ σ Ha = B L = 100 ρ v y L = 0,10m. ρ Propiedades del aluminio: 3 6 1 1 7 = 00, σ =,1 10 Ω., = 6 10, = 00 kg m m v m s k W m K Enero Marzo 008 Pág. 3
Solución UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) Parte a) Cálculo del perfil de velocidades al y como se puede ver, el perfil de velocidades viene dado por la ecuación: 0 p x u y = + µ σ B u donde: p x, µ, σ y B son valores conocidos. Aunque el valor de µ no es apreciable a primera vista, se puede calcular por medio de la siguiente fórmula: v= µ µ = v ρ µ = 0, 001 kg m s ρ Y por medio del número de Hartmann se obtiene el valor de B : Ha B = B= 1870,85 1/ σ L. ρ. v Por lo que la ecuación diferencial a resolver es de la forma: u 0,001 10 u + 1000 = 0 y con: a = 1000 b = 10 µ = 0,001 Como ya se tiene la ecuación planteada, se puede empezar a resolver el problema usando cinco nodos totales, que nos indican que se tienen tres nodos internos y dos nodos de frontera. Procedimiento: 1.- Determinar la distancia que hay entre nodo y nodo, es decir, el delta ( y) de separación entre ellos. Enero Marzo 008 Pág.
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313).- Plantear las ecuaciones de los nodos internos. 3.- Ver las condiciones de borde y en base a eso plantear las ecuaciones de los nodos frontera..- Armar el sistema de ecuaciones lineal en forma matricial. 5.- Resolver el sistema. Paso 1: y = L f N L i 1 con N : nodos totales L f y L i : longitud final e inicial (0,10 0) m y = y = 0,05m 5 1 Paso : Recordemos que para los nodos internos de la forma u y se emplea la siguiente expresión de diferencias centradas: u u + u du i+ 1 i i 1 = dy y Nodo 1: µ µ µ u 0 + b u 1+ u = a y y y Nodo : µ µ µ u 1+ b u + u 3 = a y y y Nodo 3: µ µ µ u + b u 3+ u = a y y y µ donde:,30 = y µ b = 1, 608. y y Paso 3: Para plantear las ecuaciones de los nodos frontera hay que ver la forma de las condiciones de borde. En este caso, las mismas son del tipo de valores constantes: Enero Marzo 008 Pág. 5
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) uy ( = 0) = u0 = 0 uy ( = L) = u = 0 Paso : Se construye el sistema lineal para resolver el perfil de velocidades: 1 0 0 0 0 u0 0,30 1,608,30 0 0 u 1 1000 0,30 1,608,30 0. u = 1000 0 0,30 1,608,30 u 1000 3 0 0 0 0 1 u 0 Paso 5: u0 0 u 1 0,69333687191 u = 0,6909115 u3 0,69333687191 u 0 Solución del perfil de velocidades Parte b) Cálculo del perfil de temperatura al y como se puede ver, el perfil de velocidades viene dado por la ecuación: u 0 = k + µ y y donde: µ, k son valores conocidos. Sin embargo, en la ecuación aparece el término ( u y), el cual es un término no lineal, pero se puede calcular por medio de la fórmula de diferencias centradas para los nodos internos, ya que tenemos los valores de u del perfil de velocidades calculado anteriormente. Enero Marzo 008 Pág. 6
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) Seguimos el mismo procedimiento de la Parte a: Paso 1: (0,10 0) m y = y = 0,05m 5 1 Paso : La ecuación para uno nodo interno i cualquiera sería: + = + µ y y i i+ 1 i i 1 0 k Reagrupando y escribiendo para cada nodo: Nodo 1: Nodo : Nodo 3: k k k u 0 1 µ + = y y y y 1 k k k u 1 3 µ + = y y y y k k k u 3 µ + = y y y y 3 k donde: 30000 y = k 60000 y = y Ahora necesitamos evaluar los términos de ( u y) para cada nodo. Ya que conocemos los valores de u en cada nodo, podemos evaluar su derivada por medio de una expresión de diferencias finitas, y como son nodos internos, podemos usar una fórmula centrada: du dy i u u = y i+ 1 i 1 u u0 Nodo 1: = = 13,86673738 y y y 1 1 u3 u1 Nodo : = = 0( u3 = u1) y y y u u Nodo 3: = = 13,86673738 y y y 3 3 Enero Marzo 008 Pág. 7
Dpto. ermodinámica y Fenómenos de ransferencia Métodos Aproximados den Ingeniería Química (F 1313) Paso 3: Para plantear las ecuaciones de los nodos frontera hay que ver la forma de las condiciones de borde y como las mismas son valores constantes: ( y = 0) = 0 = 973,15 K ( y = L) = = 1073,15K Paso : 1 0 0 0 0 0 973,15 30000 60000 30000 0 0 1 0,7689 0 30000 60000 30000 0 = 0 0 0 30000 60000 30000 3 0,7689 0 0 0 0 1 1073,15 Paso 5: 0 973,15 1 998,15 = 103,15 3 108,15 1073,15 Solución del perfil de emperaturas. Noten que estos resultados dependen a su vez de los resultados del perfil de velocidades. Enero Marzo 008 Pág. 8