Transmisión digital pasabanda

Transmisión digital pasabanda Modulación y Procesamiento de Señales Ernesto López Pablo Zinemanas, Mauricio Ramos {pzinemanas, mramos}@fing.edu.uy Centro Universitario Regional Este Sede Rocha Tecnólogo en Telecomunicaciones Curso 2016

Transmisión digital pasabanda [Carlson and Crilly, 2009, cap 14] Modulación digital de onda continua Una señal digital puede modular la amplitud, la fase o la frecuencia de una portadora sinusoidal. Si la forma de onda moduladora digital consiste en pulsos rectangulares, el parámetro modulado se conmutará entre valores discretos. Los tipos de modulación digital mas comunes usados en la práctica son: Modulación por desplazamiento de amplitud ASK (Amplitude-shift keying) Modulación por desplazamiento de frecuencia FSK (Frequency-shift keying) Modulación por desplazamiento de fase PSK (Phase-shift keying)

Transmisión digital pasabanda T b ASK t FSK t PSK t 1 0 1 1 0 1 0 0 Banda Base t

Definición Señal pasabanda [Carlson and Crilly, 2009, cap 4] Una señal se dice pasabanda si su espectro cumple que V bp (f) = 0 en f < f c W f > f c + W V bp ( f) arg V bp ( f) V bp ( f) 0 f c f c W f c + W f c f Por definición, una señal pasabanda no tiene componentes espectrales fuera de la banda de ancho 2W centrada en f c.

Señal pasabanda Representación en envolvente y fase En el dominio del tiempo, una señal pasabanda se puede expresar como v bp (t) = A(t) cos [ω c t + φ(t)] (1) La envolvente A(t) y la fase φ(t) son funciones en banda base, y A(t) 0. A(t) y φ(t) varían lentamente en comparación con la sinusoide. φ(t) A(t) t Esta descripción se llama representación en envolvente y fase.

Señal pasabanda Representación en componentes en fase y cuadratura Alternativamente, una señal pasabanda admite una representación en fase y cuadratura. Teniendo en cuenta que v bp (t) = A(t) cos [ω c t + φ(t)] (a) = A(t) cos φ(t) cos ω c t A(t) sin φ(t) sin ω c t (a) Identidad trigonométrica cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β la representación en fase y cuadratura resulta en v bp (t) = v i (t) cos ω c t v q (t) sin ω c t (2) Componente en fase v i (t) = A(t) cos φ(t) Componente en cuadratura v q (t) = A(t) sin φ(t) La representación en fase y cuadratura es útil para el cálculo del espectro de la señal pasabanda.

Señal pasabanda Espectro de señal pasabanda El espectro se obtiene aplicando la transformada de Fourier a la ecuación 2. Aplicando la propiedad de modulación de la transformada de Fourier, queda V bp (f) = 1 2 [V i(f f c ) + V i (f + f c )] + j 2 [V q(f f c ) V q (f + f c )] donde V i (f) = F{v i (t)}, V q (f) = F{v q (t)} Para que se cumpla la condición de pasabanda de v bp (t), las funciones en fase y en cuadratura tienen que ser bandabase con V i (f) = V q (f) = 0, en f > W. La expresión del espectro de la señal pasabanda es válida en el caso en que los componentes en fase y cuadratura son señales determinísticas.

Análisis espectral de señales digitales pasabanda Representación de portadora en fase y cuadratura Una señal digital pasabanda puede representarse en forma de portadora en fase y cuadratura, x c (t) = A c [x i (t) cos(ω c t + θ) x q (t) sin(ω c t + θ)] (3) La frecuencia ωc, la amplitud A c y la fase θ son constantes. La componentes en fase xi(t) y en cuadratura x q(t) varían en el tiempo y contienen el mensaje. La forma de dependencia con el mensaje cambia con el tipo de modulación. Si las componentes en fase y cuadratura son estadísticamente independientes y de media nula, la densidad espectral de potencia es G c (f) = A2 c 4 [G i(f f c ) + G i (f + f c ) + G q (f f c ) + G q (f + f c )], Gi(f) y G q son las densidades espectrales de los componentes en fase y en cuadratura x i(t) y x q(t) respectivamente (ver Apéndice I).

Análisis espectral de señales digitales pasabanda Para obtener una expresión mas compacta, se define la PSD pasabajos equivalente como G lp (f) G i (f) + G q (f) y la densidad espectral de la portadora se escribe como G c (f) = A2 c 4 [G lp(f f c ) + G lp (f + f c )]. (4) En la modulación digital, las componentes en fase y en cuadratura son señales PAM digitales M-arias en banda base que dependen del tipo de modulación usado. Por lo tanto, la componente en fase será de la forma x i (t) = k a k p(t kd) ak es la secuencia de símbolos de cadencia r = 1/D. p(t) es el pulso del código de ĺınea.

Análisis espectral de señales digitales pasabanda Como se vio en transmisión digital en bandabase, si los símbolos no están correlacionados, la densidad espectral de potencia de la señal PAM digital es G i (f) = σ 2 ar P (f) 2 + (µ a r) 2 n= P (nr) 2 δ(f nr) (5) En el caso de usar codificación de ĺınea con pulsos rectangulares NRZ, P (f) 2 = D 2 sinc 2 (fd) = 1 ( ) f r 2 sinc2 r El modulo al cuadrado del espectro de p(t) tiene cruces por cero en múltiplos de r = 1/D. El espectro de la señal digital pasabanda consiste en el espectro de las componentes en fase y en cuadratura centradas en f = f c. Como el pulso rectangular p(t) no es de banda limitada y el primer cruce por cero es en f = r, se requiere que f c r a fin de producir una señal pasabanda.

Análisis espectral de señales digitales pasabanda G i(f) 1 f 2 7r 6r 5r 4r 3r 2r r 0 r 2r 3r 4r 5r 6r 7r f G c (f) 0 f c r f c f c +r f

Métodos de modulación de amplitud Los métodos de modulación de amplitud consisten en modular en amplitud una portadora sinusoidal con una señal digital en banda base. Símbolos 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 3 2 0 1 1 2 Banda Base t t Portadora t t ASK t t ASK binaria (OOK, On Off Keying) ASK cuaternaria

Métodos de modulación de amplitud Modulación por desplazamiento de amplitud (ASK M-aria) Una señal ASK M-aria se obtiene modulando en amplitud una portadora con una señal digital bandabase M-aria. Por lo tanto, la portadora modulada en amplitud es ( ) x c (t) = a k p(t kd) cos(ω c t + θ), a k = 0, 1,..., M 1 k Identificando términos en la expresión en fase y cuadratura (ecuación 3) se ve que en el caso ASK M-ario Componente en fase Componente en cuadratura x i (t) = k a k p(t kd) x q (t) = 0 Para calcular la densidad espectral de potencia de x c (t), hay que calcular la densidad espectral de potencia de x i (t) con la ecuación 5 y luego desplazarla en frecuencia como indica la ecuación 4.

Métodos de modulación de amplitud PSD de la señal ASK M-aria Hay que calcular primero la PSD de la señal digital en bandabase, G i (f) = σ 2 ar P (f) 2 + (µ a r) 2 n= P (nr) 2 δ(f nr) Asumiendo que la fuente emite símbolos independientes y equiprobables con a k = 0, 1,..., M 1, la media y la varianza de los símbolos es (ver Apéndice II) Media µ a Varianza σ 2 a µ a = E{a k } = M 1 2 σ 2 a = E{a 2 k} µ 2 a = M 2 1 12 Por lo tanto, teniendo en cuenta que G q (f) = 0 en el caso ASK M-ario, el espectro de la señal digital banda base queda G i (f) = G lp (f) = M 2 1 12r sinc 2 f r (M 1)2 + δ(f) (6) 4

Métodos de modulación de amplitud PSD de la señal ASK M-aria El espectro de la señal ASK consiste en un par de copias de G lp (f) centradas en f = f c y f = f c, como indica la ecuación 4, G c (f) = G i (f f c ) + G i (f + f c ) con G i (f) dado por la ecuación 6. G c (f) B T r 1 f f c 2 0 f c r f c f c +r f

Métodos de modulación de amplitud PSD de la señal ASK M-aria Observaciones El espectro tiene atenuación de segundo orden con la frecuencia, decayendo de forma proporcional a f f c 2. Considerando el ancho de banda como la caída 3 db de la densidad espectral de potencia, el ancho de banda de transmisión es B T r. Para que la señal ASK sea efectivamente pasabanda, se tiene que cumplir que f c r, es decir, la frecuencia de la portadora debe ser mucho mayor que la cadencia de símbolos emitidos por la fuente.

Métodos de modulación de amplitud Eficiencia espectral de la señal ASK M-aria Eficiencia espectral: es una medida del aprovechamiento del ancho de banda del espectro, y se define como el cociente entre la cadencia de bits y el ancho de banda de transmisión, r b B T, [ rb B T ] = bps/hz Una señal M-aria con cadencia de símbolos r tiene una cadencia de símbolos binarios r b de r b = r log 2 M bps En el caso de la señal ASK M-aria, la eficiencia espectral es r b B T r log 2 M r = log 2 M bps/hz

Métodos de modulación de amplitud Eficiencia espectral de la señal ASK M-aria En el caso ASK binario, también llamado modulación de encendido y apagado (OOK, On-off keying), la eficiencia espectral es ya que M = 2. r b B T 1 bps/hz,

Métodos de modulación de amplitud Modulación de amplitud en cuadratura (QAM) Una forma de incrementar la eficiencia espectral de la modulación ASK binaria es mediante modulación de amplitud en cuadratura (QAM, Quadrature Amplitude Modulation). Consiste en: 1. dividir el flujo de bits en dos flujos de bits, uno con los bits de los tiempos pares pares y otro con los bits de los tiempos impares. 2. cada flujo de bits codificado con un código de ĺınea polar NRZ se modula en amplitud con portadoras de igual frecuencia pero distinta fase. Esquema de un transmisor QAM x(t) r = r b a k =±1 Conversor serie a paralelo x i (t) r b /2 r b /2 x q (t) + 90 + x c (t) La entrada es una señal binara polar con cadencia de r b bits/s. El conversor serie a paralelo, divide la entrada en dos flujos de bits de cadencia r = r b /2.

Métodos de modulación de amplitud Modulación de amplitud en cuadratura (QAM) Formas de onda involucradas en QAM a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 1 0 1 1 0 0 0 1 a 0 a 2 a 4 a 6 1 1 0 0 x(t) t t xi(t) cos(ωct) xi(t) a 0 a 2 a 4 a 6 1 1 0 0 a 1 a 3 a 5 a 7 0 1 0 1 t a 1 a 3 a 5 a 7 0 1 0 1 π/4 (1,0) π/4 (1,1) 3π/4 (0,0) 3π/4 (0,1) t xq(t) sin(ωct) xq(t) t t xc(t)

Métodos de modulación de amplitud Modulación de amplitud en cuadratura La señal QAM queda de la forma x c (t) = k a 2k p(t kd) cos ω c t k a 2k+1 p(t kd) sin ω c t, con a k ± 1 y D = 2/r b. Identificando términos, las componentes en fase y cuadratura son Componente en fase Componente en cuadratura x i (t) = k a 2k p(t kd) x q (t) = k a 2k+1 p(t kd) Si se observa la señal en un intervalo de bit, se tiene que x c (t) = a 2k cos ω c t a 2k+1 sin ω c t, en kd < t < (k + 1)D

Métodos de modulación de amplitud Modulación de amplitud en cuadratura Considerando los posibles valores de a 2k y a 2k+1 se obtiene que (ver Apéndice III) a 2k a 2k+1 x c (t) φ k 1 1 2 cos(ωc t + π 4 ) π 4 1 1 2 cos(ωc t π 4 ) π 4 1 1 2 cos(ωc t + 3π 4 ) 3π 4 1 1 2 cos(ωc t 3π 4 ) 3π 4 (0, 1) (0, 0) 1 0 1 Cada onda de la señal QAM puede representarse como un fasor. El diagrama de los fasores de las distintas ondas se llama constelación de la señal QAM. Cada punto de la constelación indica el fasor correspondiente a cada par de bits de la fuente, denominados dibits. Si bien en QAM la modulación de la portadora es en amplitud, también puede verse como modulación por desplazamiento de fase (PSK). q 1 1 (1, 1) i (1, 0)

Métodos de modulación de amplitud PSD de la señal QAM Para calcular la PSD, hay que calcular la PSD de las componentes en fase y cuadratura. En este caso, como la codificación es polar y los símbolos son independientes con a k = ±1 equiprobales, µ a = 0 y σ 2 a = 1. Además, como los símbolos son independientes, las componentes en fase y cuadratura, x i (t) y x q (t) respectivamente son independientes, y tienen el mismo pulso conformador, por lo tanto, Se concluye que G i (f) = G q (f) = 1 r sinc2 f r = 2 r b sinc 2 2f r b G lp (f) = G i (f) + G q (f) = 4 r b sinc 2 2f r b Los cruces por cero son en múltiplos de rb /2

Métodos de modulación de amplitud PSD de la señal QAM G c (f) B T r b 2 1 f f c 2 f c r b 2 f c f c + r b 0 f 2 Como el ancho de banda de transmisión es B T = r b /2, la eficiencia espectral es r b B T 2 bps/hz, duplicando la de ASK binaria.

Métodos de modulación de fase Los métodos de modulación de fase consisten en modular la fase de una portadora sinusoidal con una señal digital en banda base. Símbolos 1 0 1 1 0 1 0 1 1 3 2 0 1 2 Banda Base t t PSK t t PSK binaria (BPSK) PSK cuaternaria (QPSK)

Métodos de modulación de fase Modulación por desplazamiento de fase (PSK M-aria) Una señal PSK M-aria posee cierto desplazamiento de fase φ k en el intervalo del bit k-ésimo, kd < t < (k + 1)D, que depende del valor del nivel a k de la señal bandabase. La portadora modulada en fase es x c (t) = A c p(t kd) cos(ω c t + θ + φ k ) k Para tener la mayor diferencia de fase posible entre niveles a k, la fase se toma como φ k = π(2a k + N), a k = 0, 1,..., M 1, M con N = 0 o N = 1. Las fases posibles están equiespaciadas en el intervalo [0, 2π). Por lo tanto, fases sucesivas difieren entre si una distancia de 2π/M radianes.

Métodos de modulación de fase Modulación por desplazamiento de fase (PSK M-aria) Usando la identidad cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β, la señal PSK se puede escribir en fase y cuadratura como x c (t) = A c ( k p(t kd) cos φ k ) cos(ω c t + θ) A c ( k p(t kd) sin φ k ) sin(ω c t + θ) Identificando términos en la expresión en fase y cuadratura (ecuación 3) se tiene que en el caso PSK M-ario Componente en fase Componente en cuadratura x i (t) = k I k p(t kd) x q (t) = k Q k p(t kd) con I k = cos φ k con Q k = sin φ k

Métodos de modulación de fase Modulación por desplazamiento de fase (PSK M-aria) Ejemplo de constelaciones de señales PSK M-arias q q 01 a k = 1 0110 0111 0010 0011 0101 0001 11 a k = 2 00 a k = 0 i 0100 1100 0000 1000 i 1101 1001 10 a k = 3 1111 1011 1110 1010 QPSK (M=4, N=0) 16 PSK (M=16, N=1) Observación: La constelación de la señal QPSK con N = 1 es idéntica a la constelación de la señal QAM (excepto un factor de escala).

Métodos de modulación de fase PSD de la señal PSK M-aria Como las componentes en fase x i (t) y en cuadratura x q (t) son independientes, se puede calcular la densidad espectral de potencia usando la ecuación 4. Esto es porque Ik y Q k no están correlacionados, ya que se cumple que E {I k Q k } = 0 (ver Apéndice IV). La PSD de los componentes en fase y en cuadratura es, G i,q (f) = σ 2 i,qr P (f) 2 + (µ i,q r) 2 n= Como en este caso se cumple que (ver Apéndice IV) P (nr) 2 δ(f nr) µ i,q = E {I k } = E {Q k } = 0 σi,q 2 = E { Ik 2 } { } = E Q 2 1 k = 2 se llega a que G i (f) = G q (f) = r 2 P (f) 2, con P (f) 2 = 1 r 2 sinc2 ( f r )

Métodos de modulación de fase PSD de la señal PSK M-aria Finalmente, se concluye que ) G(f) = G i (f) + G q (f) = 1 r sinc2 ( f r G c (f) B T r 1 f f c 2 0 f c r f c f c +r f

Métodos de modulación de fase PSD de la señal PSK M-aria Observaciones La PSD es de la misma forma que la PSD de la señal ASK pero sin el impulso de la frecuencia de la portadora. Esto implica que la modulación PSK tiene una mejor eficiencia de potencia, pero la eficiencia espectral es igual a la modulación ASK.

Apéndice I [Carlson and Crilly, 2009, cap 9] Autocorrelación y PSD de portadora modulada por un proceso Sea un proceso v(t) estacionario en sentido amplio (WSS) con autocorrelación: Rv(τ) PSD: Gv(f) Se quiere encontrar la autocorrelación y la densidad espectral de potencia (PSD) del proceso z(t) definido como z(t) = v(t) cos(ω c t + Φ) con Φ U(0, 2π) v(t) es un proceso aleatorio que modula en amplitud una portadora de frecuencia ω c rad/s. La inclusión de Φ reconoce la selección arbitraria del origen del tiempo cuando v(t) y cos ω ct provienen de fuentes independientes. Si no se incluyera Φ, z(t) no sería un proceso estacionario.

Apéndice I Autocorrelación y PSD de portadora modulada por un proceso Autocorrelación: R z(t 1, t 2) = E{z(t 1)z(t 2)} (a) = E{v(t 1)v(t 2)}E{cos(ω ct 1 + Φ) cos(ω ct 2 + Φ)} (b) = E{v(t 1 1)v(t 2)} E {cos(ωc(t1 t2)) + cos(ωc(t1 + t2) + 2Φ)} 2 (c) = 1 E{v(t1)v(t2)} [cos(ωc(t1 t2)) + E {cos(ωc(t1 + t2) + 2Φ)}] 2 (a) v(t) y Φ son independientes. (b) 2 cos θ cos φ = cos(θ φ) + cos(θ + φ) (c) cos(ω c(t 1 t 2)) es determinístico Usando la definición de esperanza, se observa que E {cos(ω c(t 1 + t 2) + 2Φ)} = = 1 2π = 0 2π p Φ(φ) cos(ω c(t 1 + t 2) + 2φ)dφ 0 cos(ω c(t 1 + t 2) + 2φ)dφ

Apéndice I Autocorrelación y PSD de portadora modulada por proceso Por lo tanto, la autocorrelación queda R z (t 1, t 2 ) = 1 2 E{v(t 1)v(t 2 )} cos(ω c (t 1 t 2 )) Como el proceso v(t) es estacionario, R v (t 1, t 2 ) = E{v(t 1 )v(t 2 )} = R v (t 1 t 2 ) y la autocorrelación de z(t) resulta en R z (τ) = 1 2 R v(τ) cos 2πf c τ. (7) La PSD se obtiene con la transformada de Fourier de la autocorrelación, y usando la propiedad de desplazamiento en frecuencia se llega a que G z (f) = 1 4 [G v(f f c ) + G v (f + f c )] (8)

Apéndice I Autocorrelación y PSD de portadora modulada por un proceso Ejercicio: demostrar que en el caso en que el proceso z(t) es z(t) = v(t) sin(ω c t + Φ) con Φ U(0, 2π) se obtienen los mismos resultados de la autocorrelación y PSD que en el caso anterior (ecuaciones 7 y 8). Autocorrelación y PSD de portadora en fase y cuadratura El objetivo es calcular la autocorrelación y PSD de x c (t) = x i (t) cos(ω c t + Φ) x q (t) sin(ω c t + Φ) donde xi(t) y x q(t) son procesos estacionarios independientes y al menos uno de ellos tiene media nula. Φ es una variable aleatoria con distribución Φ U(0, 2π) e independiente de x i(t) y x q(t).

Apéndice I Autocorrelación y PSD de portadora en fase y cuadratura Autocorrelación: R xc (t 1, t 2) = E{x c(t 1)x c(t 2)} = E{x i(t 1)x i(t 2) cos(ω ct 1 + Φ) cos(ω ct 2 + Φ)} + E{x q(t 1)x q(t 2) sin(ω ct 1 + Φ) sin(ω ct 2 + Φ)} E{x i(t 1)x q(t 2) cos(ω ct 1 + Φ) sin(ω ct 2 + Φ)} E{x q(t 1)x i(t 2) sin(ω ct 1 + Φ) cos(ω ct 2 + Φ)} Teniendo en cuenta que xi(t) y x q(t) son independientes y alguno tiene media nula, se cumple que E{x i(t 1)x q(t 2)} = E{x i(t 1)}E{x q(t 2)} = 0 y por lo tanto, el tercer y cuarto sumando se anula. R xc (t 1, t 2) = E{x i(t 1)x i(t 2)}E{cos(ω ct 1 + Φ) cos(ω ct 2 + Φ)} + E{x q(t 1)x q(t 2)}E{sin(ω ct 1 + Φ) sin(ω ct 2 + Φ)}

Apéndice I Autocorrelación y PSD de portadora en fase y cuadratura Autocorrelación: realizando el razonamiento análogo al caso de portadora modulada por un proceso, se llega a que R xc (τ) = 1 2 R x i (τ) cos 2πf c τ + 1 2 R x q (τ) cos 2πf c τ (9) PSD: aplicando la transformada de Fourier a la ecuación 9 se obtiene la PSD, G xc (f) = 1 4 [ Gxi (f f c ) + G xi (f + f c ) + G xq (f f c ) + G xq (f + f c ) ]. donde G xi (f) y G xq son las densidades espectrales de los procesos x i (t) y x q (t) respectivamente.

Apéndice II Estadística de los símbolos de señal ASK M-aria Se considera una fuente que emite símbolos M-arios independientes y equiprobables, a k = {0, 1,..., M 1}, Pr{a k = i} = 1, i = 0,..., M 1. M Se quiere calcular la media µ a y la varianza σ 2 a de los símbolos a k. Media µ a = E{a k } = M 1 i=0 = 1 M (a) = 1 M i Pr{a k = i} M 1 i=0 = M 1 2 i (M 1)M 2 (a) m k = k=1 Se concluye que m(m + 1) 2 µ a = M 1. 2

Apéndice II Estadística de los símbolos de señal ASK M-aria Varianza (a) E{a 2 k }: σ 2 a = E{a 2 k} µ 2 a (a) = (M 1)(2M 1) 6 = 2M 2 3M + 1 6 = M 2 1 12 ( M 1 2 ) 2 M 2 2M + 1 4 M 1 E{a 2 k } = i=0 a 2 k Pr{a k = i} = 1 M 1 i 2 M i=0 (b) = 1 (M 1)M(2M 1) M 6 (M 1)(2M 1) = 6 (b) m k 2 = k=1 m(m + 1)(2m + 1) 6 Se concluye que σ 2 a = M 2 1 12

4-QAM como PSK Apéndice III a 2k a 2k+1 1 1 1-1 -1 1-1 -1 cos ω ct sin ω ct = cos ω ct + cos ( ) ω ct + π 2 = 2 cos ( ) ( ) ω ct + π 4 cos π 4 = 2 cos ( ) ω ct + π 4 cos ω ct + sin ω ct = cos ω ct + cos ( ) ω ct π 2 = 2 cos ( ) ω ct π 4 cos π 4 = 2 cos ( ) ω ct π 4 cos ω ct sin ω ct = cos (ω ct + π) + cos ( ) ω ct + π 2 = 2 cos ( ) ω ct + 3π 4 cos π 4 = 2 cos ( ) ω ct + 3π 4 cos ω ct + sin ω ct = cos (ω ct + π) + cos ( ) ω ct π 2 = 2 cos ( ) ω ct + π 4 cos 3π 4 = 2 cos ( ) ω ct + π 4 = 2 cos ( ) ω ct 3π 4 Se usaron las siguientes identidades trigonométricas: ± sin θ = cos ( ) θ π cos θ + cos ϕ = 2 cos ( ) ( θ+ϕ 2 2 cos θ ϕ ) 2 cos θ = cos (θ ± π) cos ( ) ± π 4 = 2 2

Apéndice IV Estadística de I k y Q k de la señal PSK M-aria Los parámetros de los componentes en fase y cuadratura son I k = cos φ k Q k = sin φ k φ k = 2πa k M. (sin perder generalidad, se está considerando el caso con N = 0) Se asume que los símbolos son equiprobables, a k = 0, 1,..., M 1, Pr{a k = i} = 1, i = 0,..., M 1. M El objetivo es calcular la media y la varianza de I k y Q k, y la covarianza entre I k y Q k, Media Varianza Covarianza µ i = E{I k } µ q = E{Q k } σ 2 i = E{I 2 k} µ 2 i σ 2 q = E{Q 2 k} µ 2 q Cov(I k, Q k ) = E{I k Q k } µ i µ q

Apéndice IV Estadística de I k y Q k de la señal PSK M-aria Media de I k µ i = E{I k } cos M 1 (a) = = 1 M = 1 M i=0 M 1 i=0 M 1 i=0 ( ) 2πak Pr{a k = i} M cos { = 1 M 1 M Re ( ) 2πi M Re {e } j2πi/m i=0 (e ) } j2π/m i = 1 M Re { 1 e j2π 1 e j2π/m = 0 si M > 1 } (a) E{f(x i)} = M 1 i=0 f(x i)p(x i) Realizando el mismo razonamiento, se puede ver que µ q = E{Q k } = 0

Apéndice IV Estadística de los símbolos de señal ASK M-aria Varianza de Ik σ 2 i (a) = E{I 2 k} = M 1 i=0 = 1 M (b) = 1 M cos 2 ( 2πak M M 1 i=0 M 1 i=0 ( ) cos 2 2πi M [ 1 2 + 1 2 cos (c) = 1 2 + 1 M 1 2M i=0 cos ) Pr{a k = i} ( )] 4πi M ( ) 4πi M (a) µ i = 0 (b) Identidad trigonométrica: cos 2 θ = 1 2 + 1 cos 2θ 2 (c) Siguiendo un razonamiento análogo al realizado con la media, se ve que M 1 i=0 cos ( ) 4πi = 0 M = 1 2 Un razonamiento análogo conduce a que σ 2 q = 1 2

Apéndice IV Estadística de los símbolos de señal ASK M-aria Cov(I k, Q k ) (a) = E{I k Q k } Covarianza entre Ik y Q k cos M 1 (b) = i=0 (c) = 1 M 1 2M (d) = 0 i=0 ( 2πak M sin ) sin ( ) 4πi M ( ) 2πak Pr{a k = i} M (a) µ i = 0, µ q = 0. (b) I k Q k es en realidad una función de solo una variable aleatoria, a k, en este caso. (c) Identidad trigonométrica: cos θ sin θ = 1 sin 2θ 2 (d) Siguiendo un razonamiento análogo al realizado con la media, se ve que M 1 i=0 sin ( ) 4πi = 0 M

Referencias I Carlson, A. B. and Crilly, P. (2009). Communication Systems. McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 5th edition.