Tema 4. Movimiento ondulatorio: 1. Fenomenología del movimiento ondulatorio. 2. Tipos de ondas. 3. Ecuación de ondas unidimensional. 4. Ondas armónicas monocromáticas. 5. Velocidad de propagación. 6. Principio de Huygens. 7. Ondas en dos y tres dimensiones. 8. Energía e intensidad de una onda armónica. 9. Variación de la intensidad y amplitud con la distancia: factores geométricos y medios absorbentes. 10.Ondas no monocromáticas: velocidad de fase y velocidad de grupo. Medios dispersivos. 1
Propagación de una perturbación Una perturbación es la alteración temporal del estado de equilibrio de un sistema. Bajo ciertas circunstancias esta perturbación se puede propagar por el medio que la rodea. Desde el punto donde se origina la perturbación hasta otro punto distante. La forma de la perturbación puede cambiar durante la propagación. 2
Movimiento ondulatorio Si una perturbación se propaga a través de un medio sin cambiar de forma y con una velocidad v se dice que tal perturbación se mueve de forma ondulatoria. Se propaga hacia la izquierda Se propaga hacia la derecha En 1-D una función se propaga como una onda si cumple ( x, t) f ( x vt) Función de onda animación 3
Movimiento ondulatorio armónico La onda no cambia de forma durante la propagación Se propaga con una velocidad v que de manera general va a depender del medio sobre el que se propaga la onda Y la función de onda está descrita por la ecuación: ( x, t) sin k( x vt) 0 Donde k es el número de ondas, y l=2p/k es la longitud de onda que marca la distancia a la que la función de onda repite su valor 4
Pasado un tiempo T=l/v manteniendo fija la posición, la onda repite su estado de movimiento. Este tiempo T se denomina periodo de la onda. Definiendo frecuencia angular de la onda armónica como: w=2p/t la función de onda se puede escribir como: ( x, t) sin( kx wt) La frecuencia de la onda se define como n=w/2p con unidades hertzios (Hz) y ahora la velocidad de propagación de la onda está dada por v=nl 0 12/03/2011 Fundamentos Físicos II -Juan José 5 Blanco-
Ejemplo 1: Un diapasón oscila a 440 Hz. Sabiendo que el sonido en el medio en el que se encuentra el diapasón se propaga a una velocidad de 340 m/s determina la longitud de onda, el número de onda y la función de onda. Ejemplo 2: La luz se propaga en el vacío con la velocidad de 3x10 8 m/s. Hallar la longitud de onda correspondiente a una frecuencia de 5x10 14 Hz, que es la frecuencia de la luz roja del espectro visible 6
Ondas longitudinales y ondas transversales En las ondas longitudinales la perturbación se produce en la dirección de propagación de la onda En las ondas transversales la perturbación se produce en la dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda Animación 12/03/2011 7 Fundamentos Físicos II -Juan José Blanco-
Ondas longitudinales en una varilla homogénea Dentro del límite elástico, cuando ejercemos una fuerza sobre una varilla de sección S modificamos su longitud y si la fuerza deja de actuar la varilla recupera su longitud inicial F S Y l l l 0 0 Donde Y es el módulo de elasticidad del material (módulo de Young) F d dx dx Y Y S dx x 2 F ' F df YS dx x d d t df m Sdx dt dt 2 Y x 8
Si probamos como solución de la propagación de la deformación de la barra la función de onda: ( x, t) sin k( x vt) 0 Comprobamos que es solución de la ecuación anterior y que por lo tanto la deformación de la barra se propaga como un onda longitudinal con velocidad: Material Velocidad (m/s) v Y Acero 5050 Aluminio 5080 Cinc 3810 Cobre 3710 Hierro 5150 Hielo 3280 Vidrio de cuarzo 5370 9
Ondas transversales en una cuerda tg Fy T(sin ' sin ) T( tg ' tg ) Td( tg ) T dx x como tg x x Fy T dx x t Fy m dx t t 2 2 T x La solución a esta ecuación es una onda que se propaga con una velocidad de: ( x, t) sin k( x vt) 0 v 10 T
Una onda transversal oscila en la dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda (denominada dirección X). Existen infinitas direcciones perpendiculares al desplazamiento. Si escogemos dos direcciones perpendiculares entre sí, Y y Z como referencia podemos expresar el desplazamiento transversal como un vector en función de su proyección sobre los ejes Y, Z. Dependiendo de la variación de la orientación del vector de desplazamiento transversal a lo largo de la propagación de la onda, la onda puede estar o no polarizada: Polarización lineal Polarización circular Polarización elíptica No polarizada 11
Ondas superficiales en un líquido Este movimiento es satisfecho por ondas armónicas que se desplazan con una velocidad dada por: v g l 2p T 2p tgh h 2p l l g aceleración de la gravedad (m/s 2 ), T tensión superficial (N/m), densidad el líquido (kg/m 3 ), h profundidad del líquido (m) La velocidad de propagación depende de la frecuencia. Cuando la velocidad de propagación depende de la longitud de onda o de a frecuencia se dice que hay dispersión. Si un movimiento ondulatorio penetra en un medio dispersivo, la onda se distorsiona porque cada una de sus componentes se propaga a diferente velocidad 12/03/2011 Fundamentos Físicos II -Juan 12 José Blanco-
Qué transporta una onda? Transporta una perturbación desde un punto del espacio a otro. Un estado de movimiento, es decir, momentum y energía. Ejemplo: Potencia media transmitida por una onda transversal que se propaga por una cuerda. 1 P v F w 0v v 2 P 2 0 Densidad lineal de energía J/m Intensidad de la onda: es el promedio de energía por unidad de área y de tiempo expresado en W/m 2 I P A 12/03/2011 Fundamentos Físicos II -Juan 13 José Blanco-
Ecuación de onda unidimensional t x 2 v Cualquier función con argumentos: Ψ (x,t)=f(xvt) es solución de la ecuación de ondas. 14
Ondas en 2 ó 3 D Frente de ondas: Es el lugar del espacio en el que la función de onda toma un mismo valor. Definimos vector de ondas k como el vector cuyo sentido señala el sentido de propagación de la onda y cuyo módulo coincide con el número de ondas k Ondas planas: El frente de ondas es un plano. El frente de onda está caracterizado por la dirección de propagación de la onda determinada por: ur sin k( u r vt) sin( k r wt) 0 0 k ( k, k, k ) x y z w k k k k v 2 x y z Ecuación de ondas: 2 v 2 2 t x y z 15
Ondas cilíndricas: Fuente de onda con geometría lineal. Medio isótropo. Los frentes de onda son cilindros cuyo eje coincide con la fuente lineal. Ondas esféricas: Fuentes puntuales. En medio isótropos los frentes de ondas son esferas centradas en la fuente. En estos medios la ecuación de ondas es: t r 2 v 0 ( r, t) sin k( r vt) r A distancias grandes de las fuentes las ondas cilíndricas y las esféricas se convierten en ondas planas Problema 1 Indique cuáles de las siguientes expresiones (en las que el tiempo se da en segundos y las coordenadas espaciales en metros) corresponden a ondas que se propagan, señalando: la dirección, sentido y velocidad de propagación, y si son ondas armónicas. En caso de serlo, determine el vector de ondas, el número de ondas, la longitud de onda y la frecuencia en Hz, y señale si son ondas planas o esféricas. a) Ψ (x,y,z,t)=20cos(1000pt-px) b) Ψ (x,y,z,t)=(10/r)sen(1000pt-pr) c) Ψ (x,y,z,t)=20cos(1000pt 2 x) d) Ψ (x,y,z,t)=(y+10t) 2 16
Absorción de un onda Una onda transporta energía. Al atravesar un cierto medio puede perder parte de su energía o incluso toda y desaparecer. Se dice que la onda ha sido adsorbida por el medio. Puesto que la energía de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de onda, el proceso de absorción da lugar a la atenuación de la amplitud de onda. El grado de absorción de una onda depende del espesor de medio y de la propia naturaleza del medio. x ( x, t) e sin k( x vt) 0 Donde es el factor de absorción del medio medido en m -1 17
Pulsos Lo habitual es encontrar en la naturaleza perturbaciones que se propagan como una onda que tienen un principio y un fin y que están compuestas por varias ondas armónicas de diferente frecuencia. A esto se denomina tren de ondas o pulso de ondas. La velocidad v=w/k de una onda armónica se denomina velocidad de fase. Esta puede no ser la velocidad del tren de ondas ya que no se trata de un onda armónica sino de la superposición de varias ondas. Sea un pulso compuesto de dos ondas armónicas de frecuencias muy próximas y de amplitudes iguales: ( x, t) sin( k x w t) sin( k x w t) 0 1 1 0 1 1 ( x, t) 2 0 cos 2 1 ( 2 1) sin 2 1 ( 2 1) 2 k k x w w t 2 k k x w w t 1 ( x, t) 2 0 cos k2 k1 x ( w2 w1) tsink1x w1t 2 18
La expresión anterior representa un movimiento ondulatorio con amplitud modulada en el que la amplitud modulada se propaga con una velocidad de grupo: v g w2 w1 dw k k dk 2 1 como w=vk dv vg v k dk Si el paquete de ondas se propaga por un medio no dispersivo la velocidad de grupo coincide con la de fase. Problema 2: Determinar la velocidad de propagación de u tren de ondas superficiales en un fluido si la velocidad de fase es: v gl 2p 19
Ejercicio 3: La frecuencia w (dada en rad/s) y el número de ondas k (en m -1 ) de ciertas ondas que se propagan en un cierto medio se encuentran relacionados por la siguiente expresión: w p 6 2 8 ( 2 10 ) (310 ) k a)determine la velocidad de fase, en función del número de ondas. b)determine la velocidad de grupo, en función del número de ondas. c)indique si se trata de un medio dispersivo o no dispersivo, justificando su respuesta. d)escriba la expresión correspondiente a una onda plana monocromática de amplitud A y longitud de onda 100 m que atraviesa el medio sin amortiguamiento, viajando a lo largo del eje X, en su sentido negativo. Ejercicio 4: Dada la onda x, t 2sen2p 0,5x 10t a) Determinar cuál es el periodo, la longitud de onda, la velocidad de propagación de la misma. b) Dibujar la onda para t=0 y t=1/40. c) Dibujar para esos mismos instantes de tiempo la onda x, t 2sen2p 0,5x 10t donde t se da en segundos y x en metros. y compararla con la anterior. 20
Ejercicio 5: Una fuente extraterrestre muy lejana emite radiación electromagnética de frecuencia f, de forma que cuando esta emisión alcanza la atmósfera terrestre puede considerarse una onda plana. A una altura de 10 km sobre el nivel del mar la intensidad de la onda es de 13.5 W/m 2. La radiación es recibida por una antena situada en la vertical de la fuente emisora y a nivel del mar. A la frecuencia f, la atmósfera presenta un coeficiente de absorción β=30 10-6 m -1. Determine la intensidad detectada por la antena. Cuestión 1: Un agente secreto está atrapado en un edificio, situado sobre la cabina de un ascensor que se encuentra en la planta baja, e intenta comunicarse con un agente amigo que está en el tejado, mediante un mensaje en código Morse. Para ello da unos golpecitos en el cable del ascensor, de manera que se produzcan unos pulsos transversales que se mueven hacia arriba por el cable. A medida que los pulsos se mueven cable arriba, la velocidad a la que se mueven los pulsos se mantiene, crece o decrece? Si los pulsos se envían separados por intervalos de 1s, su socio los recibe también separados por intervalos de 1s? 21