Gravitación Resumen: En esta unidad se pretende que los alumnos, mediante la observación de las órbitas de los satélites galileanos de Júpiter y de las estrellas cercanas al centro galáctico, determinen las masas de Júpiter y del agujero negro en el centro de la Vía Láctea. Contenidos: Las tres leyes de Kepler y la ley de la gravitación de Newton 1. Observación de los satélites de Júpiter Identificación y observación de los satélites Análisis de las observaciones Determinación de la masa de Júpiter 2. El centro de la Galaxia Metodología y observaciones Determinación de la masa del objeto central Nivel: Segundo ciclo de ESO y Bachillerato Referencia: L'astronomia a les aules. Manual didàctic per a educació primària i secundària www.astronomia2009.cat/bin/view/main/recursos#manual_did_ctic_l_astronomia_a_l Autores: Carme Jordi (Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona) Robert Estalella (Departamento de Astronomía y Meteorología de la Universidad de Barcelona) Coordinadora apuntes pedagógicos Con A de Astrónomas : Josefina F. Ling (Universidad de Santiago) Ayudantes de maquetación y traducción: Surinye Olarte Vives, Alejandra Díaz Bouza
GRAVITACIÓN Introducción La ley de la gravitación de Newton rige los movimientos de los cuerpos celestes (dejando de lado los efectos de la Relatividad General). La observación de los movimientos de planetas, satélites, cometas y estrellas, permite deducir las ecuaciones empíricas de Kepler y también determinar las masas de los cuerpos en movimiento. El objetivo es proporcionar material al profesor para realizar ejercicios para deducir las masas en el Sistema Solar e incluso en el centro de la Galaxia. El profesor puede adaptar el nivel de los ejercicios y su profundidad al nivel del curso que imparte. Imagen de Júpiter y los cuatro satélites galilea nos, tal y como se observa con telescopios de pequeñas dimensiones Pág. 1
Las tres leyes de Kepler y la ley de la gravitación de Newton Johannes Kepler dedujo tres leyes para el movimiento de los planetas entorno al Sol a partir de sus propias observaciones y de las de su maestro Tycho Brahe. Las tres leyes son: 1. Los planetas describen órbitas elípticas y el Sol está en uno de sus focos (Fig. 1) Focus Sol Fig. 1 Órbita elíptica de un planeta entorno al Sol 2. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales (ley de conservación de las áreas, Fig. 2): Fig. 2 Representación de la ley de las áreas: las áreas azules son todas iguales 3. El período P de translación alrededor del Sol al cuadrado es proporcional al semieje mayor de la órbita d al cubo: P 2 es proporcional a d 3 Pág. 2
Los valores de los periodos P (expresados en años) y de los semiejes d (expresados en unidades del semieje de la órbita de la Tierra) de las órbitas los podéis ver en la siguiente tabla: P(años) d (d Tierra ) P 2 /d 3 Mercurio 0.24 0.387 1 Venus 0.615 0.723 1 Tierra 1 1 1 Marte 1.88 1.524 1 Júpiter 11.86 5.203 ~1 Saturno 29.457 9.539 ~1 Urano 84.36 19.24 1 Neptuno 165.5 30.14 1 [Aquí el profesor puede hacer notar las proporciones entre las distancias medias d, las proporciones entre los años, puede hacer calcular el cociente P 2 /d 3 para que los alumnos comprueben ellos mismos la igualdad de todos los cocientes. El profesor también puede cambiar las unidades suponiendo por ejemplo que cogemos Marte como referencia y no la Tierra.] Johannes Kepler, 1571-1630 Isaac Newton 1642-1727 La formulación de la ley de la gravitación por parte de Isaac Newton años más tarde como F = G M m r r 3 permite deducir las leyes empíricas de Kepler y las generaliza a cualquier caso de dos cuerpos masivos que se ejercen atracción gravitacional mutua: un planeta y un satélite (natural o artificial), el Sol y un cometa, dos estrellas, etc. Pág. 3
En particular, de la ley de la gravitación se deduce que si un cuerpo de masa m describe una órbita elíptica de semieje d entorno a un cuerpo de masa M con periodo P: G (M + m) = 4π 2 d 3 P 2 Y si la masa M es mucho más grande que m, como en el caso del Sol que es mucho más masivo que un planeta, podemos despreciar m y entonces: G M ~ d 3 4π 2 P 2 Y por tanto, deducimos que P 2 es proporcional a d 3, que no es más que la tercera ley de Kepler. Metodología: Los ejercicios que proponemos son: 1. Determinación de la relación entre la masa de Júpiter y la masa del Sol, mediante la observación del movimiento de los satélites de Júpiter 2. Determinación de la masa del agujero negro del centro de la Galaxia, mediante la observación de los movimientos de las estrellas de su entorno La primera actividad se realiza mediante observaciones con telescopio. En caso de no tener telescopio, o en el caso de querer hacer una simulación previa a la sesión de observación, es muy útil utilizar un programa gratuito (en inglés) que se puede descargar desde el web proyecto CLEA: http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html Pág. 4
1. Observación de los satélites de Júpiter Este experimento combina observación con cálculo siguiendo la misma metodología que ya se siguió en el siglo XVI y que permitió determinar la relación entre la masa de Júpiter y la del Sol. 1.1 Objetivos Observación de los satélites galileanos de Júpiter (Io, Europa, Ganímedes y Calisto) Determinación de sus periodos Determinación de las distancias medias al planeta Determinación de la masa de Júpiter 1.2 Material Telescopio Papel para dibujar a escala (si se hace en papel milimetrado o cuadriculado es más fácil) o también se puede utilizar cualquier programa gráfico de ordenador Calculadora 1.3 Identificación de los satélites A continuación se da un algoritmo para calcular la elongación de cada satélite galileano respecto a Júpiter, en unidades de radios de Júpiter, para un día y un tiempo dados. Un valor positivo de la elongación significa que el satélite está al este de Júpiter, y un valor negativo, al oeste. Figura 1.1: Júpiter y los 4 satélites galileanos identificados con sus iniciales Algoritmo: Entrada Cálculo Datos Año(>1988) Mes(1-12) A=Año 1989 X=365*A + INT (A/4) X= X + M(Mes) (valores de la tabla) MES M 1 0 2 31 3 59 Pág. 5
Día Hora Min. si (Mes>2 i Año bisiesto) X = X + 1 X = X + Día X es el número de días desde el 0 enero 1989 T = X + Hora/24 T = T + Min./1440 4 90 5 120 6 151 7 181 8 212 9 243 10 273 11 304 12 334 Calculo para Io FASE = 203.40586*(T+0.7448) (grados) E = 6.9*SIN(FASE) (radios de Júpiter) Calculo para Europa FASE = 101.29163*(T+2.9205) (grados) E = 9.4*SIN(FASE) (radios de Júpiter) Cálculo para Ganímedes FASE = 50.234517*(T+5.5280) (grados) E = 15*SIN(FASE) (radios de Júpiter) Cálculo para Calisto FASE = 21.487980*(T+4.3926) (grados) E = 26*SIN(FASE) (radios de Júpiter) Si no se puede utilizar este algoritmo, el proyecto CLEA tiene un módulo dedicado a Júpiter que permite hacer las simulaciones (http://www3.gettysburg.edu/~marschal/clea/juplab.html). 1.4 Observación de los satélites La observación se debe hacer cada dos horas para Io y Europa; para Ganímedes, durante un mínimo de cuatro días con dos o tres observaciones diarias; para Calisto un mínimo de ocho días con una o dos observaciones diarias. Enfocad con el telescopio a Júpiter y a los satélites, y mediante la predicción que habéis hecho con los algoritmos, identificadlos todos. Dibujad sus posiciones respecto al planeta en el papel milimetrado (o directamente sobre el ordenador). Medid la distancia al planeta, en unidades de radios de Júpiter, y anotad el valor juntamente con el tiempo en que se ha hecho la observación en la tabla siguiente: Distancias al centro de Júpiter, en radios de Júpiter Día Hora Io Europa Ganímedes Calisto Pág. 6
1.5 Análisis de las observaciones Dibujad en una gráfica los valores de las distancias obtenidas en función del tiempo de la observación, y determinad el valor máximo de la distancia del satélite a Júpiter (r 0). Coged dos puntos observados de la curva, uno a cada lado del máximo, y anotad los valores de las distancias, en radios de Júpiter, (r 1 i r 2) y los tiempos (t 1 i t 2) de observación (ver Fig. 1.2). Figura 1.2: Movimiento de un satélite en el entorno de Júpiter en una órbita circular De la figura anterior podemos deducir: cosθ r = ; 1 1 cos r0 θ 2 r = r Para calcular el periodo del satélite, si suponemos una órbita circular, tendremos: t 2 t 1 P (días) = 360º θ 2 θ 1 Donde los tiempos se deben expresar en días y en fracción de días. El radio de la órbita del satélite alrededor de Júpiter será: d (Km.) = R r 0 2 0 Pág. 7
donde R es el radio de Júpiter, en quilómetros (71400 Km.), y r 0 es la distancia máxima obtenida, en radios de Júpiter. Para que los profesores lo tengáis como referencia, los resultados tendrían que ser los de las dos primeras columnas de la tabla siguiente (podéis hacerlo con r 0 o con d ): P(días) r 0 (R Júpiter ) P 2 / r 3 0 Io 1.769 5.91 ~66 Europa 3.551 9.40 ~66 Ganímedes 7.155 15.0 ~66 Calisto 16.69 26.4 ~66 Podéis hacer calcular el cociente P 2 / r 0 3 a los alumnos y hacerles notar que el resultadlo también da una constante, porque también rige la tercera ley de Kepler. En las observaciones visuales la estimación de la distancia de los satélites a Júpiter depende mucho del observador: unos tienden a sobrevalorar la distancia y los otros a subvalorarla. Está bien que el experimento lo realicen diferentes alumnos de manera que tengáis bastantes medidas y podáis minimizar los errores personales. Si el profesor lo cree conveniente puede hacer una discusión del concepto de la media y la dispersión de los valores deducidos por los diferentes alumnos, del descarte de medidas discordantes, etc., o sea básicamente introducir a los alumnos a los conceptos de tratamiento estadístico. 1.6 Determinación de la masa de Júpiter Pasad el periodo P a años (1 año = 365,2422 días) y el radio d a unidades astronómicas (UA) (1 UA = 149,6 10 6 km.) La masa de Júpiter la podemos calcular mediante la expresión: d³ M = P² donde M se obtiene en masas solares. Calculad la media de las masas calculadas a partir de diferentes satélites. 1.7 Cuestiones Qué leyes de Kepler sobre el movimiento planetario se han utilizado? Qué hipótesis adicionales sobre la masa y la órbita de los satélites galileanos se han considerado? Cuáles son los principales errores cometidos al hacer la estimación de las distancias de los satélites a Júpiter? Pág. 8
Las estrellas conocidas con menos masa tienen una masa del orden de la cuarta parte del Sol. Cuánto más masivo debería ser Júpiter para que pudiese brillar como una estrella? 1.8 Ejercicios adicionales Podéis pasar la masa de Júpiter a Kg. Y también su relación a la masa de la Tierra sabiendo que MSol = 1,99 10 30 Kg. = 332,932 Mtierra Comparad la fuerza de la gravedad en la superficie de Júpiter con la de la Tierra y la del Sol. Evidentemente, podéis comparar con cualquier planeta y luna del Sistema Solar. Para tener información buscad por ejemplo en el sitio web de Nine Planets http://www.nineplanets.org/ Podéis comparar la fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra y sobre Júpiter Podéis tomar la órbita de un cometa y calcular la fuerza atractiva del Sol en el perihelio y en el afelio Pág. 9
2. El centro de la galaxia La Galaxia que habitamos contiene 100 mil millones de estrellas, más gas y polvo. Todo ello está en rotación alrededor del centro galáctico. Basándonos en la tercera ley de Kepler otra vez, o sea en la ley de la gravitación, calcularemos la masa del objeto situado en el centro galáctico. 2.1 Objetivos Determinación de la masa del objeto central Deducción de que se trata de un agujero negro 2.2 Metodología Obtención de observaciones de estrellas cerca del centro galáctico Estudio del movimiento de estas estrellas Aplicación de la tercera ley de Kepler 2.3 Observaciones No podemos observar el centro galáctico con alta resolución con los telescopios que tenemos normalmente a nuestro alcance. Se requieren observaciones con telescopios especializados y de gran diámetro. Por eso utilizaremos observaciones disponibles en la red. Por ejemplo, podemos tomar las primeras imágenes que se publicaron en el año 2002 por parte de científicos del Observatorio Europeo del Sur (ESO), y que se muestran en la Fig. 2.1. El sitio web es: http://www.eso.org/public/outreach/press-rel/pr-2002/pr-17-02.html. En la figura de la izquierda se puede observar el conjunto de estrellas cerca del centro. Está señalada la estrella llamada S2. En la figura de la derecha se ve el movimiento de esta estrella a lo largo de 10 años. 2.4 Determinación de la masa del objeto central Se trata de una órbita elíptica semejante a la de los planetas que giran alrededor del Sol. El cálculo de la órbita da un periodo de 15,73 años. Medid el semidiámetro de la órbita, considerando la escala que se indica en la figura (la medida de la flecha equivale al espacio que recorre la luz en 2 días; la velocidad de la luz es de 300.000 Km./s) Pág. 10
Aplicad la tercera ley de Kepler, tal como lo habéis hecho para el caso de la pareja Sol-Júpiter a la pareja Centro-Estrella S2 Deducid la masa del objeto en el centro de la Galaxia Figura 2.1: Estrellas cerca del centro galáctico y órbita de la estrella S2 2.5 Ejercicios adicionales El objeto central es muy masivo, pero no luce como millones de veces nuestro Sol. De hecho, en la Fig. 2.1 (izquierda) solo se ven estrellas. Es porque el objeto central es muy masivo y también muy compacto. Se trata de un agujero negro. Calculad la distancia al centro del agujero negro a la que la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz Comparad el valor de la gravedad a esta distancia con la gravedad a la superficie de la Tierra o del Sol El Sol describe una órbita prácticamente circular en el entorno del centro galáctico con un radio de unos 28000 años luz y con un periodo de 250 millones de años Calculad la velocidad lineal del Sol Qué masa hay situada entre el centro galáctico y el Sol para que se mueva a esta velocidad? Pág. 11
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