ESTUDIO EXPERIMENTAL Y NUMÉRICO DEL EFECTO DE ARCO Gislaine Pardo Tobar Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica gspardo@uc.cl Esteban Sáez Robert Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica esaez@ing.puc.cl RESUMEN El efecto arco en suelos, consiste en la redistribución de las tensiones desde zonas muy deformadas a zonas más rígidas. En este artículo se presentan los resultados de un estudio experimental y numérico del efecto arco, donde se comparan dos modelos de comportamiento elasto-plásticos y se estudia su capacidad de reproducir este fenómeno. INTRODUCCIÓN: El efecto de arco ha sido ampliamente estudiado durante muchos años. Uno de los trabajos pioneros en esta temática es el de Terzaghi (Terzaghi, 1943) que define el efecto arco como la redistribución de tensiones desde una masa de suelo en plastificación hacia zonas más rígidas (pilas en el caso de entibación discontinua). Terzaghi estudió este fenómeno a través del ensayo trapdoor que consiste en reproducir el efecto arco imponiendo una deformación localizada en la base de un cajón (Figura 1). El ensayo propuesto por Terzaghi ha sido estudiado matemáticamente por varios autores, por ejemplo Handy (198) extendió la formulación analítica propuesta por Terzaghi a muros de contención de forma de tomar en cuenta la rugosidad entre los elementos estructurales y el suelo que los rodea. Luego, Harrop-Williams (1989) propusieron una solución aproximada del problema e incorporaron mejoras a la forma del efecto arco, con una distribución circular de tensiones principales. Dentro de las aplicaciones geotécnicas del efecto arco a la ingeniería geotécnica se encuentra el caso de las excavaciones con entibación discontinua. Donde uno de los objetivos prácticos de estudiar el efecto arco es conocer las cargas laterales sobre las pilas a medida que se desarrolla el efecto arco. Para poder realizar un estudio detallado de las características de los empujes en este tipo entibación, se requiere tener una compresión acabada del fenómeno del efecto arco en suelos. En efecto, la adecuada modelación de este fenómeno es un desafío complejo, ya que requiere ser capaz de reproducir la redistribución de tensiones que toma lugar progresivamente cuando se ejecutan estas excavaciones. En esta investigación se estudia el efecto arco desde el punto de vista experimental y numérico con el objetivo de estudiar la pertinencia de distintos modelos constitutivos para la reproducción del fenómeno, como paso previo para la modelación de una excavación entibada completa. El estudio experimental se basa en la reproducción del ensayo trapdoor propuesto por Terzaghi. Este ensayo consiste en reproducir el efecto arco imponiendo una deformación localizada en la base de un cajón. Con la ayuda de una cámara de alta resolución se capturan los desplazamientos de los pixeles, a partir de los cuales se puede inferir el desplazamiento de las partículas del suelo. Luego, con un modelo numérico en elementos finitos se simula el mismo ensayo utilizando dos modelos de comportamiento distintos, uno de ellos comúnmente utilizando en la práctica. Se establecen comparaciones entre ambos casos: experimental y numérico; y a su vez comparaciones entre los modelos de comportamiento empleados, con el fin de establecer la habilidad de cada uno de ellos de representar el comportamiento del suelo durante el experimento y por lo tanto de reproducir la redistribución de tensiones debida al efecto arco.
2. ESTUDIO EXPERIMENTAL: El estudio experimental se basa en reproducir el ensayo trapdoor de Terzaghi. La experiencia consiste en un cajón con una puerta móvil en su base. El desplazamiento de dicha compuerta, induce grandes deformaciones en el suelo y por lo tanto su plastificación. La concentración de estas deformaciones genera una superficie de corte que induce la redistribución de tensiones desde el suelo que se encuentra plastificando hacia los apoyos rígidos de la base del cajón (Figura 1a). El material utilizado para el ensayo corresponde a una arena fina, con contenido de finos y propiedades de resistencia al corte y. El desplazamiento máximo impuesto en la base móvil fue de Figura 1:(a) Distribución de corte en ensayo trapdoor (b) Cajón con puerta deslizante en su base. Cada etapa del ensayo es capturada con una cámara fotográfica de alta resolución. La Figura 2 a presenta una de las fotografías típicas adquiridas durante la ejecución del ensayo. Una vez obtenidas las imágenes del ensayo, con la ayuda del programa MATLAB y una toolbox para el procesamiento de imágenes y optimización (Eberl, 6), se puede hacer un seguimiento del desplazamiento de los granos y derivar el campo de deformaciones que se produce en el suelo al bajar la compuerta en la base del cajón. La Correlación de Imágenes Digitales (CID) es una técnica que permite calcular los desplazamientos a partir de una serie de imágenes consecutivas. En términos simplificados, la técnica consiste en la maximización de un coeficiente de correlación que se determina a partir del análisis de un subconjunto de píxeles (definidos por unos marcadores escogidos por el usuario). El proceso de optimización genera una función del mapeo de la deformación (desplazamiento de marcadores entre imágenes). (a) Figura 2: (a) Fotografía típica del ensayo trapdoor. (b) Imagen procesada con la técnica de correlación de imágenes. La Figura 2 b muestra una de las imágenes procesadas, las cruces rojas indican el centro de los cuadros de píxeles monitoreados (marcadores). La diferencia entre la grilla roja y la verde (b)
uy [mm] corresponde al desplazamiento estimado por el programa. Una vez terminado el análisis de las imágenes, se obtiene un campo de desplazamientos de la grilla utilizada. En la Figura 3, se presentan los desplazamientos inferidos con esta técnica. El desplazamiento vertical (Figura 3a) presenta una porción de suelo con aproximadamente el mismo desplazamiento (color rojo). Esta porción corresponde al suelo que ha plastificado (deformado) más, y se mueve como un bloque rígido. En las imágenes de la Figura 3 se observa que se alcanzan descensos del orden de 4mm, mientras que los desplazamientos horizontales son aproximadamente un orden de magnitud menor. (a) Desplazamiento vertical [cm] 2.4.3 1.2.1 3 4 (b) Desplazamiento horizontal [cm] 2 1 3 4 Figura 3: Desplazamientos inferidos con la técnica de CID. -. Como verificación adicional, la base de la compuerta fue instrumentada con transductores de desplazamiento (Ch y Ch1 en la Figura 4), lo que permitió comprobar la exactitud de la técnica CID. 3 Descenso de la base del cajón CID Ch Ch1 1 2 T (a) (b) Figura 4: Descenso de la base del Cajón (a) Desplazamiento de la base (b) Distribución de transductores en la base del cajón, vista en planta. La Figura 4 evidencia la efectividad de la técnica de Correlación de Imágenes Digitales (CID), pues la diferencia con respecto a las mediciones de los transductores en promedio es de un % al canal Ch y 11% al Ch1. En efecto, se observa que las diferencias con respecto al Ch son mucho menores, ya que es el captor que se encuentra más próximo al vidrio (cara del ensayo que se fotografía). La comparación anterior valida los resultados de aplicación de la CID, por lo que los desplazamientos inferidos con esta técnica pueden ser considerados una base de comparación para la modelación numérica. 1. MODELACIÓN NUMÉRICA: Para desarrollar un modelo numérico, se deben tomar en cuenta varios aspectos. Por ejemplo, el modelo de comportamiento (calibrado a partir de ensayos de laboratorio) debe ser capaz de reproducir el comportamiento del material. Para representar el comportamiento de la arena utilizada en el ensayo experimental se exploró el empleo de dos modelos: el modelo (, 198) y el de. El modelo de, fue concebido en los laboratorios de la Ecole Centrale de Paris (ECP) y es un modelo elasto-plásticos de tipo multi-mecanismos diseñado para reproducir el comportamiento
q (kpa) de suelos tanto granulares como cohesivos. Dentro de las ventajas de este modelo se encuentran su capacidad para representar el comportamiento de los suelos a gran deformación tanto en tensiones como en deformación, así como bajo carga monótona y cíclica. Este modelo se encuentra formulado en términos de tensiones efectivas y basa la representación del comportamiento del suelo mediante la descomposición en tres planos de corte ortogonales y un mecanismo de consolidación. La evolución del endurecimiento del material se conforma de cuatro dominios: elástico (reversible), pseudo-elástico (de transición), histerético (estabilizado) y movilizado (gran deformación). Por otro lado, el modelo de permite modelar el comportamiento elasto-plástico de algunos materiales como el hormigón o algunos suelos. Debido a que este modelo considera el confinamiento del material se emplea frecuentemente para modelar el comportamiento del suelo. En este estudio, se empleó un modelo de no asociado sin endurecimiento. Las ventajas del empleo de un modelo sencillo radican en que el tiempo de cómputo es mucho menor que el del modelo y que puede ser calibrado directamente de parámetros sencillos como el ángulo de fricción y cohesión. Sin embargo, una desventaja de emplear un modelo tan sencillo es que no es posible reproducir a gran deformación el estado crítico de los suelos (deformación a volumen constante) Ensayo de compresión triaxial drenado - 3 a (%) v (%) -8-6 -4-2 a (%) Figura : Ensayo de compresión triaxial CD En la Figura se presentan los resultados de la calibración de ambos modelos, donde: : Deformación axial de la probeta. : Desviador de tensiones. : Deformación volumétrica. La calibración del modelo de se indica en línea continua, y la de en línea segmentada. La calibración se realizó en base a ensayos triaxiales realizados al material en laboratorio con confinamientos de ; y. Se observa que el modelo Mohr Coulomb no es capaz de representar la estabilización de las deformaciones de volumen a gran deformación, pero se ajusta a la tendencia con un ángulo de dilatancia de. Con los parámetros calibrados, se procede a la simulación del efecto arco a través del ensayo trapdoor, que por sus características, corresponde a un modelo de deformaciones planas 2D, (Figura 2). En la Figura 6 a y Ecuación (1) se indican el dominio y condiciones de borde del modelo de elementos finitos (FEM) para el cajón.
(a) (b) Figura 6: (a) Dominio y Condiciones de Borde del modelo (b) Malla de Elementos Finitos (1) En la base se impone un desplazamiento variable en el tiempo que coincide con el promedio de las mediciones realizadas por los dos transductores instalados en la base del cajón durante el desarrollo experimental del efecto arco (Figura 4). La malla de elementos finitos utilizada es la de la Figura 6b, que consta de alrededor de grados de libertad. Se emplearon elementos triangulares lineales. Todos los cálculos de efectuaron con el código de elementos finitos GEFDyn (Aubry and Modaressi, 1996). Es importante recordar que los modelos no lineales requieren inicializar tensiones, en este caso se inicializaron las tensiones a partir del equilibrio geo-estático, considerando un coeficiente de empujes de tierras en reposo de de acuerdo a la fórmula de Jaky. 3. CONTRASTE ENTRE MODELO EXPERIMENTAL Y NUMÉRICO: Para establecer comparaciones entre el campo de desplazamientos inferido con el método de correlación de imágenes (CID) y el obtenido mediante elementos finitos, es necesario definir una medida del error en cada punto del dominio. En este trabajo se emplearon las siguientes medidas: (2) (3) (4) () (6) Donde: : Módulo del desplazamiento calculado con FEM/CID, respectivamente : Diferencia entre los módulos de desplazamiento de ambos métodos : Diferencia de desplazamiento horizontal/vertical según corresponda
Error promedio [%] 4 3 Evolución del error promedio en los resultados de la simulación 1 2 Descenso de la compuerta [mm] Figura 7: Evolución del error promedio La Figura 7 presenta el valor del error promedio, para ambos modelos, donde se observa que el error es prácticamente el mismo en ambos casos y que existe la tendencia a estabilizar el error promedio, alcanzando un estado estacionario a medida que desciende la compuerta. La Figura 8 presenta las medidas de error de los campos de desplazamiento calculados por FEM entre ambos modelos de comportamiento y los resultados obtenidos por CID al término del ensayo. Si bien el rango del error es bastante amplio (entre y 8%), para ambos modelos de comportamiento, el peak del error se encuentra muy localizado en la zona cercana a la compuerta. En términos promedios, el error es del orden de y, para los modelos de y, respectivamente. Luego, ambos modelos son capaces de reproducir, razonablemente bien las deformaciones observadas en el suelo en el cajón. (a) Variación entre ambos métodos, al término del ensayo, [%] 2 1 2 1 2 1-2 -4-6 -8 3 4 1 3 4 (b) Error en dirección X, al término del ensayo, x [%] - 2-4 -6 1-8 3 4 3 4 (c) Error en dirección Y, al término del ensayo, y [%] - 2-4 -6 1-8 3 4 3 4 Figura 8: Comparación de resultados - -4-6 -8 - -4-6 -8 - -4-6 -8
Cálculo de campo de tensiones Si bien la técnica de la correlación de imágenes permite conocer el campo de desplazamientos que experimenta el suelo, el método no entrega directamente las tensiones que se producen en los apoyos rígidos. Para pasar del campo de deformaciones al campo de tensiones, es indispensable contar con un modelo de comportamiento. Por ello, una vez validado el modelo numérico en términos de desplazamiento, el siguiente paso es visualizar el efecto arco en términos de redistribución de tensiones y así estimar el empuje sobre los apoyos rígidos (Ver Figura 1). Para evaluar la redistribución de tensiones se definió un parámetro de aumento de la tensión vertical normalizada por el valor del caso geo-estático: (7) (8) Donde: : Tensión vertical geo-estática en cada punto del dominio. : Tensión vertical al término del ensayo en cada punto del dominio (del FEM) : Variación de la tensión vertical con respecto al caso geo-estático. 2 1 2 1 (a) Variación de tensión vertical c/r al caso geoestático, y [%] - 4 4 (b) Tensión de corte, xy [kpa] al término de la simulación Superficie de corte 1-1 4 4 p (c) Deformación Volumétrica Plástica ( v %) al término de la simulación La Figura 9 a presenta el incremento de la tensión vertical al término de la simulación con respecto a la tensión vertical del caso geo-estático. Para el modelo de, en los apoyos se 2 1 2 1 Superficie de corte -.1 2 2 1. 1. 4 4 Figura 9: Representación del efecto arco en términos de tensiones 1-1
produce un incremento de tensiones verticales entre un % a un 4% en comparación con la tensión sin el efecto arco, información importante a considerar al momento de diseñar los apoyos rígidos (pilas en el caso de entibación discontinua). Por otra parte, para el modelo de Mohr Coulomb, se produce un incremento de tensiones en un rango de % a %, las mayores tensiones se encuentran muy localizadas hacia la compuerta (Figura 11), teniéndose que el 3% del apoyo resiste el mayor incremento de tensiones (3 a %). Por otra parte, en la Figura 9 b, se observa en forma clara en ambos modelos las superficies de corte que Terzaghi enunciaba como necesarias para el desarrollo del efecto arco Figura 1a. Se observa que el ángulo de estas superficies con respecto a la horizontal es de 74 y 7 para los modelos de y, respectivamente. La Figura 9 c se presenta la deformación volumétrica plástica de cada modelo constitutivo. Para ambos modelos, se observa una porción de suelo plastificado sobre la compuerta que representa el suelo de la CID que se movía como bloque rígido en la Figura 3a. Para el caso de la porción de suelo es mucho más masiva y vertical que para y además presenta gran plastificación en la zona superior del suelo En el caso de, aparecen dos zonas bien definidas y acotadas por sobre los extremos de la compuerta que desciende, pero la porción de suelo con mayor deformación irreversible se encuentra localizada sólo sobre la compuerta. Finalmente, la dirección de la tensión principal mayor durante el efecto arco se presenta en la Figura, donde el tamaño de las flechas es directamente proporcional a la magnitud de las tensiones. En el caso del modelo de, la distribución coincide con la orientación semicircular de tensiones principales esperada propuesta por Harrop Williams, 1989. En cambio, con el modelo de la trayectoria resulta más bien elíptica. En efecto, en este caso se observa que las tensiones principales a los costados de la compuerta presentan una componente horizontal convergente hacia el centro. Se observa para ambos modelos que las tensiones crecen en los apoyos mientras que el suelo entre apoyos se descarga prácticamente por completo. Dirección principal mayor, al término de la simulación 1 2 3 3 Figura : Dirección principal mayor Las principales diferencias que se observan son en la zona del apoyo rígido más alejada a la compuerta, donde el modelo predice una distribución más bien uniforme de la tensión vertical y el de, una distribución fuertemente concentrada en los extremos (Figura 11). El valor de la tensión promedio sobre los apoyos es: y para y, respectivamente. Además, de la Figura 11, se observa que las tensiones se mantienen prácticamente constantes en el tiempo a medida que desciende la compuerta.
y y [kpa] y y [kpa] Descenso de la compuerta: 1.17 [cm] Descenso de la compuerta: 1.17 [cm] 3 4 3 4 Compresión vertical en los apoyos, yy [kpa] Compresión vertical en los apoyos, yy [kpa] y y [kpa] y y [kpa] Descenso de la compuerta: 2.327 [cm] kpa,9kpa Descenso de la compuerta: 2.327 [cm] 3 4 Mohr 3 4 22kPa 6,6kPa Coulomb Figura 11: Cargas sobre los apoyos CONCLUSIONES: En este trabajo se han presentado los resultados experimentales y numéricos del estudio del efecto arco enfocado a determinar la capacidad de dos modelos de comportamiento para representar adecuadamente el efecto arco. Las deformaciones que experimenta el material durante el ensayo trapdoor han sido inferidas exitosamente gracias a la técnica de correlación de imágenes digitales. En la modelación del problema mediante la técnica de elementos finitos ambos modelos de comportamiento empleados reprodujeron satisfactoriamente el campo de desplazamientos del suelo observado en la experiencia del trapdoor, así como la redistribución de tensiones debidas al efecto arco. Sin embargo, en el caso de las tensiones sobre los apoyos rígidos existen algunas diferencias entre ambos modelos: predice una distribución de tensiones más homogénea que Mohr Coulomb, pero en términos promedio la predicción de la compresión sobre los apoyos difiere en un 8%, siendo la obtenida mediante la mayor. Se puede concluir que el modelo de comportamiento estándar estudiado (Mohr-Coulomb) es capaz de predecir una la redistribución de tensiones, pero con singularidades en las cercanías de la compuerta lo que induce una distribución de tensiones poco homogénea sobre los apoyos. Por ahora no es posible establecer cuál es el modelo es más adecuado, debido a que no se realizaron mediciones de tensiones en el ensayo trapdoor experimental. Se espera poder realizar dicha medición en las próximas etapas de esta investigación. La investigación presentada constituye el primer paso para completar la modelación del efecto de arco en excavaciones con soporte discontinuo. Las siguientes fases de la investigación irán orientadas a la comparación cuantitativa de las tensiones mediante instrumentación de la experiencia trapdoor, para continuar con la modelación del problema completo y el estudio del efecto de la cohesión en la redistribución de tensiones. 2. AGRADECIMIENTOS: Este trabajo ha sido posible gracias al financiamiento del Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (FONDECYT) a través del proyecto 1117. 3. REFERENCIAS Arias, J. S. (1984). Socalzados de Edificios en la Grava de Santiago. Comparación entre Esfuerzos de Diseño y los Medidos en Terreno. Universidad de Chile. Aubry, D. y Modaressi, A. (1996) GEFDyn: Manuel scientifique. Ecole Centrale Paris, LMSS-Mat. Chen, C., & Martin, G. R. (2). Soil structure interaction for landslide stabilizing piles. Computers and Geotechnics, 29(), 363-386. Eberl, C., Thompson, R., & Gianola, D. (6). Digital Image Correlation and Tracking with Matlab. Image. Matlab Central. Obtenido de http://www.mathworks.com/ Handy, R. L., & ASCE, M. (198). The arch in soil arching. Journal of Geotechnical Engineering, 111(3), 32 318. ASCE.
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