FUNCIONS (I)
1. Dependència entre magnituds 1
2. Concepte de funció No és una funció.a alguns valors de x li corresponen diversos valors de y Exemple 1 : És una funció. A cada valor de x li correspon un únic valor de y Raona si aquestes relacions són funcions o no ho són: a) El pes dels teus companys se classe i la seva altura. b) El títol d un llibre i la quantitat de pàgines. c) L edat d una persona i l altura. a) No és una funció perquè tot i que són dues magnituds, podem trobar companys que pesin el mateix i que tinguin una altura diferent. b) No és una funció, perquè el títol d un llibre no és una magnitud. c) És una funció, ja que són dues magnituds i, a cada edat, una persona té una altura única. Exemple 2: Expressa de maneres diferents la funció que a cada nombre hi fa correspondre el seu quadrat menys tres 2
Exercicis: 1. Expressa de manera algebraica i mitjançant una taula de valors, la funció que assigna a cada nombre el seu cub menys dues vegades el seu quadrat. 2. Explica si són o no funcions les següents correspondències, indicant les variables dependent(y) i independent (x) a) A cada número real li fem correspondre la seva arrel cúbica b) A cada nombre enter li fem correspondre els seus factors primers. c) A cada número real li fem correspondre la tercera part més 1. d) A cada nombre natural li fem correspondre el múltiple de cinc corresponent a ell. 3. Esbrina si aquestes gràfiques representen una funció. 4. De les següents gràfiques quines representen una funció: 3.Representació gràfica de funcions Exemple 1: En una botiga de fotografies es pot veure la següent taula amb els preus de revelat segons el nombre de fotos: Representem la gràfica d aquesta funció donada per la taula per això, representem els parells de valors sobre uns eixos de coordenades ( eix d abscisses X i eix d ordenades Y) i obtenim diferents punts de la gràfica. 3
Exemple 2: La fórmula que expressa l àrea d un cercle en funció del seu radi és A=πr 2. Es tracta d una funció donada per una fórmula. Exercicis: 6. Hem mesurat la temperatura d una sala durant 6 h i hem construït una taula amb els resultats. Fes una gràfica associada a aquesta taula: Hora 1 2 3 4 5 6 Temperatura( ºC) 15 18 24 22 21 16 Podem unir els punts? 7. En Joan es fa soci d un videoclub on li cobren 6 d inscripció, 3 per cada una de les deu primeres pel lícules que lloga i 1 per cada pel lícula restant. a) Escriu la fórmula o expressió algebraica de la funció que relaciona el nombre de pel lícules llogades i el cost total de les mateixes. b) Representa gràficament la funció. 4
8. Es vol construir un pou en forma cilíndrica de 2 m de radi. Expressa el volum d aigua (y) que cap en el pou en funció de las seva profunditat (x).representa gràficament la funció 4.Domini i recorregut d una funció El domini o camp d existència d una funció f(x) és el conjunt de tots els valors que pot prendre la variable independent x. Es representa per Dom f. La imatge o recorregut d una funció f(x) és el conjunt de valors que pren la variable dependent y. Es representa per Im f Exemple 1: Exemple 2: Exercicis: 9. La despesa de gasolina en funció dels quilòmetres recorreguts per un cotxe ve donada per la taula següent: a) Escriu l expressió de la funció. b) Calcula f(300), f (400) i f (450) 10. Troba el domini i el recorregut d aquesta funció ( ) 11.Escriu el domini i el recorregut de les funcions representades per aquestes gràfiques: a) b) c) 5
12.Troba el domini i el recorregut de les següents funcions: ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ) 5. Funcions definides a trossos Hi ha funcions que es defineixen amb diferents expressions algebraiques segons l interval. Aquestes funcions reben el nom de funcions definides a trossos. Exemple1: Exemple 2: 6
Exercicis: 13. Representa aquestes funcions definides a trossos. 14.Determina l expressió algebraica que correspon a la gràfica següent: 15. Calcula el domini de les següents funcions definides a trossos 16.Representa aquesta funció sobre uns eixos i troba n el domini i el recorregut 17.Calcula l expressió algebraica d aquesta funció i troba n el domini i el recorregut 18.La funció que assigna a cada nombre el seu valor absolut ( ) definida a trossos de la forma: la podem expressar com una funció Representa gràficament aquesta funció. 7
6. Propietats de les funcions 6.1 Punts de tall amb els eixos Exercicis: 19. Troba els punts de tall amb els eixos de les següents funcions: 6.2 Continuïtat 8
Exemples: Funció discontínua La variable independent només pot prendre valors naturals i la representació és una sèrie de punts. Funció contínua La variable independent pot prendre qualsevol valor real positiu i la representació és una línia contínua Els punts de discontinuïtat poden ser de dos tipus: a) Punts en què la funció no està definida ( gràfica I) b) Punts en què la gràfica presenta un salt ( gràfica II) Exemple: Determina els punts de tall amb els eixos, estudia la continuïtat d aquesta funció i classifica els punts de discontinuïtat, si n hi ha. 9
Exercicis: 20. Estudia la continuïtat d aquesta funció. Té punts de tall amb els eixos? 21. representa f(x) i estudia n la continuïtat: 22. Estudia la continuïtat de les següents funcions: 23. La funció part sencera y = E(x) es defineix com aquella que fa correspondre a cada número real el nombre enter immediatament menor o igual que ell. (per exemple: E(0,6)= 0 ; E(1,6 )= 1; E(2,8)= 2; E(-1,4)= -2). Estudia el domini la imatge i la continuïtat de aquesta funció a partir de la seva representació gràfica. 24.La tarifa d un telegrama amb entrega domiciliaria és de 145 cèntims per taxa fixa més 8 cèntims per paraula. Construeix una taula de valors i representa la funció que relaciona el cost del telegrama segons el nombre de paraules. Es tracta d una funció contínua?. Per què? 10
6.3 Creixement i decreixement Donada la funció f(x), definida a l interval (a,b), si per a qualsevol parell de punts de l interval, de manera que x 1 < x 2, es compleix que f(x 1 ) < f(x 2 ), la funció és creixent a l interval (a,b). f(x 1 ) >f(x 2 ), la funció és decreixent a l interval (a,b). f(x 1 ) = f(x 2 ), la funció és constant a l interval (a,b). 6.4 Màxims i mínims Una funció y=f(x) té un màxim relatiu en un punt x=x 0 quan en aquest punt passa de ser creixent a decreixent ( els valors pròxims a aquest punt x= x 0 que pren la funció són menors que ell) Una funció y=f(x) té un mínim relatiu en un punt x=x 0 quan en aquest punt passa de ser decreixent a creixent ( els valors pròxims a aquest punt x= x 0 que pren la funció són majors que ell). Una funció pot presentar diversos màxims i mínims. Per distingir-los definim Màxim (mínim) absolut en un punt x=x 0 si els valors que pren la funció són tots menors (majors) que la seva imatge f(x 0 ). Màxim ( mínim) relatiu en un punt x=x 0 si els valors pròxims a ell que pren la funció són tots menors (majors) que la seva imatge f(x 0 ) 11
Exemple: A partir de la següent gràfica (mostra el perfil d una etapa de la volta ciclista a Espanya) estudia el creixement i decreixement de la funció i el màxims i mínims. Exercicis: 25. La gràfica següent expressa l evolució del nombre de naixements en una ciutat al llarg del temps: 26. La gràfica següent mostra com varia la fondària de l aigua en un port durant un dia qualsevol 12
27. Estudia la continuïtat, el creixement, els màxims i els mínims d aquesta funció: ( ) { 6.5 Simetries Les gràfiques de les funcions són figures geomètriques, per la qual cosa poden ser simètriques respecte a un eix o a un punt. Funció simètrica respecte l eix Y Una funció és simètrica respecte a l eix Y quan f(-x)= f(x). Aquest tipus de funció l anomenem funció parella Funció simètrica respecte a l origen Una funció és simètrica respecte a l eix Y quan f(-x)= f(x). Aquest tipus de funció l anomenem funció imparella 13
Exemple: Raona si les funcions següents són simètriques Exercicis: 28. Estudia, algebraicament la simetria de les següents funcions: 14
6.6 Periodicitat La funció és periòdica quan els valors de y es repeteixen a intervals determinats. L amplitud, T, de l interval és el període. Exemple: Determina si aquesta funció és periòdica i calcula n el període. Exercicis: 29.Determina si aquesta funció és periòdica i calcula n el període: 15
EXERCICIS DE LA UNITAT 16
17
FUNCIONS II 18
1.Funció constant Una funció constant és una funció l expressió algebraica de la qual té la forma y = b on b és l ordenada en l origen. La seva gràfica és una recat paral lela a l eix d abscisses Obtenció de l expressió algebraica d una funció constant Exercicis: Si la funció ve donada per una taula de valors, només cal observar el valor constant de la variable y En el cas de que la funció vingui donada per la seva representació gràfica, observarem el valor de l ordenada en l origen 1. Escriu l expressió algebraica de les funcions donades per taules de valors següents a) X 1 2 3 4 y -6-6 -6-6 b) X -4 0 4 8 y 3 3 3 3 2. Escriu l expressió de les funcions donades per la gràfica següent: 2.Funció de primer grau Les funcions de primer grau o funcions afins són funcions polinòmiques de primer grau, l expressió algebraica de les quals té forma: y= mx+b (m 0 ) 19
2.1.Funció lineal o de proporcionalitat directe Una funció lineal o de proporcionalitat directa és una funció l expressió algebraica de la qual té la forma y = mx ( m o) on m és la constant de proporcionalitat Pendent d una recta Significat geomètric del pendent El pendent d una recta ens proporciona la inclinació de la mateixa respecte de l eix. 1.Els pendents són positius, les rectes són creixents. 2.Quan més gran és el valor del pendent, més inclinada està la recta 20
1.Els pendents són negatives, les rectes són decreixents. 2.Quan més gran és el valor del pendent en valor absolut, més inclinada està la recta Exercicis: 3. En una certa ferreteria venen rotllos de 20 metres de fil ferro a 3. 21
4. La següent taula mostra el cost i el nombre de fotocòpies realitzades per alguns alumnes. 5. Les gràfiques següents representen la relació que existeix entre el volum i la massa de diverses matèries en funció de la densitat de les mateixes. a) Calcula el pendent de cada una d aquestes rectes i indica el significat que aquest té. Quina té major densitat? I menor? Troba l expressió algebraica de cadascuna d elles. b) Quin pes en kg tindran 3 dm³ de plata? c) Quants litres ocuparà 1 kg d oli? 6. Determina l expressió de les funcions la representació gràfica de les quals és la següent. 7. Troba l equació de les següents rectes i representa-les sobre els mateixos eixos de coordenades. a) Recta que passa per l origen de coordenades i el seu pendent és 1/2. b) Recta que passa per l origen de coordenades i pel punt (-1, 3). 2.2 Funció afí Una funció afí és una funció que té una expressió algebraica de la forma y = mx + b ( m 0), on b és l ordenada en l origen. La seva gràfica és una recta que passa pel ( 0,b) i té pendent m 22
Exercicis: 8. Representa gràficament les funcions afins següents i indica en cadascuna el pendent i l ordenada en l origen a) y = 2x + 3 b) y = -x +4 c) y = x-2 Funcions afins i lineals amb el mateix pendent Les gràfiques de les funció afins i lineals que tenen el mateix pendent m són rectes paral leles. Si tenen diferent pendent, seran rectes secants. Exemple: Funcions afins amb la mateixa ordenada en l origen Les gràfiques de les funcions afins que tenen igual ordenada en l origen n (i diferent m) són rectes secants que es tallen en el punt de coordenades (0, n). Exemple: Resumint, les propietats de les funcions afins y = mx + n són: Totes passen pel punt : (0, n) Si m > 0, llavors la funció és creixent Si m < 0, llavors la funció és decreixent A mesura que m augmenta també ho fa la intensitat del creixement o decreixement 23
Exercicis: 9. Un fabricant de finestres quadrades cobra a raó de 3 euros per cada metre de marc i 12 euros pel vidre, siguin quines siguin les dimensions. a) Quant costarà una finestra de 2 metres de costat? b) Per una finestra hem pagat 60 euros, quant mesura el seu costat? c) Troba l expressió que ens doni el preu de la finestra en funció dels metres de marc i realitza una representació gràfica d aquesta funció. 10. El cost de l energia elèctrica en una casa ve donat pel cost de la potència contractada, que és 12, i el preu del quilovat hora, que val 0 15. a. Quina és la funció que dóna el cost coneixent el consum? Representa-la gràficament. b. Quant ha gastat una família si el seu consum ha estat de 200 quilovats? 11. Una empresa de ferrocarrils llença una oferta dirigida a estudiants que desitgen viatjar a l estiu per Europa. La oferta consisteix en pagar una quota fixa de 30, més 0 02 per cada quilòmetre recorregut. a) Escriu l equació que relaciona el cost amb els quilòmetres recorreguts, indicant quina és la variable dependent i quina la variable independent. b) Representa gràficament la funció. c) Calcula els diners que ha de pagar un estudiant si vol fer un viatge per França en el que té previst recórrer 5.400 quilòmetres. d) Quants quilòmetres s han recorregut per un viatge que ha costat 94? 12. La següent taula correspon a una funció afí y = mx. + n Completa la taula, representa la gràfica i obté la seva expressió algebraica trobant el pendent i l ordenada en el origen. 24
3.Equació d una recta 3.1 Pendent d una recta que passa per dos punts Donats dos punts de coordenades A(x 1, y 1 ) i B(x 2, y 2 ), podem trobar el pendent de la recta r que determinen: Recta creixent Recta decreixent La variació de la variable y és un augment en vertical i el pendent de la recta és positiva La variació de la variable y és un a disminució vertical i el pendent de la recta és negativa. Exemple: 25
3.2 Equació d una recta que passa per dos punts 3.3 Equació de la recta que passa per un punt conegut el pendent o l ordenada a l origen Exercicis: 13. Determina l expressió de les funcions la representació gràfica de les quals és la següent. 26
14. Troba l equació de les següents rectes i representa-les sobre uns mateixos eixos de coordenades. a) De la recta el pendent del qual és 3 i l ordenada de la qual en l origen és 2. b) De la recta el pendent del qual és 2 i passa pel punt (2,7) c) La paral lela a la recta d equació y =3x 5 que passa pel punt ( -2, 3 ) d) De la recta que passa pel punt (3,0) i la seva ordenada el l origen és 3 e) De la recta que passa pel punts de coordenades a(-3,5) i B (1,5) Exercicis de recapitulació 1. Indica la funció que expressa : a) El cost d x Kg d un producte determinat, sabent que el cost de 3 Kg és 1,2. b) El pas d x centímetres a quilòmetres. c) El valor en dòlars d x euros, sabent qu 1 dòlar = 0,72 d) L espai recorregut en x hores en el supòsit que viatgem a 90 Km/h 2. Un litre de benzina costa 1,25 a) Quant costarà 5 litres? b) Fes una taula de valors amb e valors, on consti la quantitat d euros que pagarem segons els litres que comprem c) Anomena p la quantitat d euros que pagarem i l els litres de benzina que comprem, trobeu la fórmula que relaciona aquestes dues variables. 3. Quines de les següents funcions són funcions lineals? Indica quin és el seu pendent. a) 3x + 2y +4 = 0 b) 3x + 2y = 0 c) 5x = 3y 4. Troba les equacions d aquestes funcions lineals: 5. Observa aquesta gràfica: 27
6. Indica la funció que expressa : a) El benefici d una companyia de teatre en funció del nombre total d entrades venudes, sabent que ha invertit 22.500 i que ven les entrades a un preu de 16,26. b) Els litres d aigua que queden en un depòsit d aigua que perd 0,25 litres per minut, en funció dels minuts que fa que es va buidant. c) El pes d un camió de 3830 kg carregat de sacs de 25 kg en funció del nombre de sacs que transporta. 7. Representa gràficament les funcions següents i indica quin és el pendent i quin l ordenadada a l origen: a) y = 3x + 2 b) y = -3x +2 8. Determina l equació de les següents rectes: a) Té pendent 3 i ordenada a l origen -7 b) Té pendent 5 i passa pel punt (-1, -2) c) Té pendent - 1 i ordenada a l origen 4 d) Té pendent 3 i passa pel punt ( 4, 5) e) Té pendent -3 i ordenada a l origen 0 f) Té pendent 4 ipassa pel punt (2,1) 9. Sigui la funció y = -3x +2 a) La seva representació gràfica és una recta? b) Quin és el pendent? I la seva ordenada a l origen? c) Escriu una recta paral lela a aquesta. d) Quina seria la funció lineal paral lela a y = -3x + 2 10. Sigui la funció y = -2x + 6, troba: a) Els punts de tall amb els eixos. b) El pendent i l ordenada a l origen c) L equació d una recta paral lela que tingui per ordenada a l origen 4. 11. Troba la funció y = ax +n sabent que el seu gràfic passa pels punts A( 1,2) i B( 3,4). 12. Troba l equació de la recta que passa pels punts A(0,1) i B(2,4). 13. Quina és l equació de la recta que passa pels punts A(-2,-4) i B(2,4) 14. Donats els punts (3,2) i (4-1), troba el pendent i l ordenada a l origen de la recta que passa per ells 15. Troba el pendent de la recta que talla els eixos en els punts ( 2, 0) i (0. -1) 16. Donats els punts A(-3,-6) i B(2,-1): a) Dibuixa la recta que passa per ells. b) Quina és l ordenada a l origen? c) El pendent de la recta és positiu o negatiu? d) Troba l equació d aquesta recta. 17. Escriu l equació de la recta que passa pel punt P(-1,3) i té d ordenada a l origen 2. 18. Troba l equació de la recta que passa pel punt P(5,6) i que té la mateixa ordenada a l origen que la recta y = 3 x/4. 19. Calcula la recta paral lela a y = 2x -6 que passi pel punt (3,2) 20. Calcula la recta paral lela a y = x + 2 que passi pel punt (-1,0) 28
21. Calcula la recta paral lela a 3x y +5 = 0 que passi pel punt (2,4). 22. Escriu la recta paral lela a y = -3x + 4 que passa pel punt P(0,5). 23. Troba l equació de la recta que passa pels punts A( -1, 3) i que és paral lela a la funció 24. Relaciona cada gràfic amb l equació de les funcions que apareixen a continuació, si es que s hi correspon alguna. 25. Observa aquest gràfic: 26. Observa aquest gràfic: Tenint en compte l ordenada a l origen com l ordenada del punt de tall amb l eix d ordenades,i el pendent com la proporció entre la variació d y (y 2 -y 1 ) i la variació d x (x 2 -x 1 ) corresponents a dos punts de la recta, escriu l equació de cadscuna de les rectes de la gràfica 27. Troba el punt d intersecció de les rectes x + y = 1 i y = -2x +7 29
4.La funció quadràtica.la paràbola Les funcions de segon grau o quadràtiques són aquelles l expressió de la quals és un polinomi de segon grau en al variable x y = ax 2 + bx + c (a 0) La seva gràfica és una paràbola.les característiques de les quals són: És simètrica respecte d un eix, una recta paral lela a l eix OY que passa pel seu vèrtex. Les branques de la paràbola estan orientades cap amunt i el seu vèrtex és el punt l abscissa del qual és el mínim absolut del qual és el mínim absolut si a>0. Les branques de la paràbola estan orientades cap avall i el seu vèrtex és el punt l abscissa del qual és el màxim absolut a < 0. Ens podem trobar tres tipus de paràbola: Paràbola tipus f(x) = ax 2 Paràbola tipus f(x) = ax 2 + c Paràbola tipus f(x) = ax 2 +bx Paràbola tipus f(x) = ax 2 +bx+c Paràbola f(x) = ax 2 Representem la paràbola f(x)=x 2 x 0 1 2-1 -2 y 0 1 4 1 4 Donant valors representem als mateixos eixos les següents paràboles Quan més gran és el valor absolut d a més tancada és la paràbola El punt més important, el vèrtex és el punt on la paràbola té el mínim o el màxim 30
Característiques de f(x) = a x 2 El vèrtex és el punt O(0,0) Si a > 0 les branques de la paràbola miren cap amunt U Si a < 0 les branques de paràbola miren cap avall Conforme creix a en valor absolut, més tancada està la paràbola. Talla els eixos en el punt O (0,0) Paràbola f(x) = ax 2 + c El valor c trasllada la paràbola c unitats verticalment. La paràbola f(x) = x 2 +2 està desplaçada 2 unitats verticalment respecte la paràbola y = x 2 Característiques de f(x) = a x 2 + c El vèrtex és el punt V(0,c) Si a > 0 les branques de la paràbola miren cap amunt U Si a < 0 les branques de paràbola miren cap avall Conforme creix a en valor absolut, més tancada està la paràbola. Tall amb els eixos Hi ha tall amb l eix X si a i c tenen signes diferents Els punts de tall amb l eix X són: 31
Exemple: Estudi i representació de la paràbola f(x) = -x 2 +4 a= -1 ; b= 0 i c= 4 Paràbola f(x) = ax 2 + bx El terme bx desplaça horitzontalment la paràbola. a i b tenen el mateix signe: desplaçament cap a l esquerra a i b tenen diferent signe: desplaçament cap a la dreta 32
Característiques de f(x) = a x 2 + bx Si a > 0 les branques de la paràbola miren cap amunt U Si a < 0 les branques de paràbola miren cap avall Conforme creix a en valor absolut, més tancada està la paràbola. Tall amb els eixos: El vèrtex és el punt ( ( )) Exemple: Sigui la funció ( ).Estudieu i representeu la paràbola. ( ) 33
Paràbola f(x) = ax 2 + bx+c Si a > 0 les branques de la paràbola miren cap amunt U Si a < 0 les branques de paràbola miren cap avall Conforme creix a en valor absolut, més tancada està la paràbola. Tall amb els eixos: El vèrtex és el punt ( ( )) Exemple: Sigui la funció ( ).Estudieu i representeu la paràbola. ( ) x 2 4-2 f(x) -3 5 5 El vèrtex és el punt V(1,-4) 34
5.Intersecció recta-paràbola Determinació gràfica: Només cal representar la recta i la paràbola sobre el mateix sistema d eixos Exemple: Veiem que els punts de tall són (0,-4) i (4,0) Determinació analítica: Com que a cada punt de tall es compleix que x=x i f(x)=g(x),hem de resoldre el sistema d equacions que genera canviant f(x) per y i g(x) per y. Exemple: Com en el cas anterior, busquem la intersecció de la recta f(x) = x -4 i la paràbola g(x)= x 2 3x - 4. Per tant els punts de tall són (0,-4) i (4,0) EXERCICIS DE LA UNITAT 1. Associa cada funció amb la seva gràfica. Justifica la resposta: 35
2. Associa cada funció amb la seva gràfica. Justifica la resposta: 3. Associa cada funció amb la seva gràfica. Justifica la resposta: 36
6.Estrudieu ( determinació del vèrtex, punts de tall eixos, etc...) i representeu les paràboles següents 7.Resol gràfica i analíticament la intersecció de les rectes i paràboles següents: 37