Aeroelasticidad en ala de avión El fenómeno de flutter T2º C. FAUNDEZ R. T2º J. ESPINOZA LL. 1
TEMARIO I. Introducción. II. III. IV. Antecedente histórico del fenómeno de flutter. Conceptos generales: Nomenclatura aeronáutica introducida. Aeroelasticidad. Fuerzas que actúan en el vuelo. V. Variables. VI. VII. Formulación del modelo matemático: Obtención del Modelo final. Solución del problema. VIII. Modelamiento en Matlab IX. Interpretación. X. Conclusiones. 2
INTRODUCCION 3
INTRODUCCION Diseño mecánica estructural aerodinámica dinámica de fluidos Se presenta cuando: Deformaciones estructurales (rigidez alas) inducen cambios en fuerzas aerodinámicas. Incremento de deformaciones Fuerzas aerodinámicas adicionales Aumentando las fuerzas aerodinámicas Condición de equilibrio Diverger catastróficamente 4
INTRODUCCION Flutter fenómeno de aeroelasticidad mas conocido oscilaciones 5
INTRODUCCION Antiguamente se asociaba la aeroelasticidad a problemas y efectos aerodinámicos que debían ser evitados Los análisis - como comprobación final de construcción - aparecían problemas durante los ensayos en vuelo Actualmente se realiza en las etapas iniciales de construcción La idea tomar ventaja de la deformación estructural para obtener mayores rendimientos. 6
ANTECEDENTES HISTORICOS 7
ANTECEDENTES HISTORICOS Puente de Tacoma Narrows A menudo utilizada como elemento de reflexión y aprendizaje: Para considerar los efectos de la aeroelasticidad y de la aerodinámica. famoso por dramático colapso estructural inducido por el viento. Se demuestra que fue inducida por flameo aeroelástico. 8
ANTECEDENTES HISTORICOS Puente en torsión y deflexión. Destrucción del puente. 9
CONCEPTOS GENERALES 10
CONCEPTOS GENERALES Nomenclatura aeronáutica introducida: Perfil alar: 11
CONCEPTOS GENERALES Borde de ataque: la parte del ala que ve primero al aire. Fuerza de sustentación: La fuerza ascendente que empuja el avión hacia arriba. Cuerda: Es la línea recta imaginaria trazada entre los bordes de ataque y de salida de cada perfil. Eje elástico: eje transversal del ala por la que se concentra toda la capacidad elástica del material. Ángulo de ataque: El ángulo de ataque es el ángulo agudo formado por la cuerda del ala y la dirección del viento relativo. 12
CONCEPTOS GENERALES Como fluye el aire en un ala: El aire fluye por el ala a causa de su forma curva. El aire en la superficie superior está a una presión menor que el aire que está por debajo y el avión es empujado hacia arriba. Fuerza de sustentación 13
CONCEPTOS GENERALES Aeroelasticidad: interacción entre las deformaciones estructurales y las cargas aerodinámicas. Se divide en: Flutter o Flameo 14
CONCEPTOS GENERALES Flameo: vibración autoinducida que ocurre cuando el ala se dobla bajo una fuerza aerodinámica. Una vez que la carga se reduce, la desviación también se reduce, restaurando la forma original, esto a su vez restaura la carga original y empieza así el ciclo nuevamente. En su forma mas inofensiva puede aparecer como un "zumbido" en la estructura del avión, pero en la más violenta se puede desatar incontrolablemente a gran velocidad y causar grandes daños a la estructura. 15
FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO 16
FUERZAS QUE ACTUAN EN EL VUELO 17
VARIABLES 18
VARIABLES Ala en cantilever, sin alerones, motores, es decir, limpio. Eje elástico es perpendicular al fuselaje. En principio, la deformación a lo largo de la cuerda se desprecia. Consideraremos el ala como una cuerda con todas las propiedades elásticas y de deflexión del ala concentradas en dicha cuerda, es decir, en el eje elástico que coincide con el eje x. 19
VARIABLES Consideraremos un extremo firme del ala al fuselaje del avión y el otro extremo firme con un anillo imaginario sin masa que desliza por un riel imaginario también, por lo que simula como si el extremo estuviera libre casi completamente. Extremo fijo f u s e l a j e Extremo libre 20
VARIABLES Pero además, por acción y reacción, la fuerza transversal en el extremo libre también será nula, debido a que el anillo no posee masa. (acción que realiza la cuerda sobre el anillo (y viceversa). Consideraremos solo movimientos transversales, descartaremos movimientos de torsión, por lo que, las fuerzas en la dirección x deben anularse. la densidad de masa es tipo, y que está sujeta a una tensión T la cual es también función de la posición. 21
VARIABLES Supondremos una fuerza que depende de x y t distribuida uniformemente a lo largo del eje elástico, llamada de sustentación. Atmósfera con aire en forma estacionaria, sin perturbaciones climatológicas ni de vientos, que solo permita obtener un viento relativo tal que genera una fuerza de sustentación en el ala. Velocidad del avión constante, a la cual se desarrolla Flutter. 22
VARIABLES Fuerza de sustentación 23
FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO 24
T 2 : T 2 -T 2 1 OBTENCION DEL MODELO. Sea L el largo del ala en su eje elástico. = (a pequeños ángulos ) pero también, a pequeños ángulos tenemos que De la sumatoria de fuerzas en x se tiene que : T=T 2 =T 1 Además se sabe que, Consideramos como derivadas parciales porque y depende de las variables t y x
( Dividiendo por a ambos lados Aplicando se obtiene Pero se sabe que T es la misma en todos los puntos de la cuerda y la rapidez de onda dependerá de una propiedad elástica del medio (Tensión T) y una propiedad inercial del medio, de la siguiente forma:, donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio. Luego sustituyendo en la EDP se tiene
METODO SOLUCION
MÉTODO SOLUCIÓN. Sabemos que el largo del ala es L, donde el largo no será considerado como un número entero, sinó que podría ser decimal, esto nos afectará mas adelante en la solución del problema. Además se sabe que la posición en los extremos en todo instante de tiempo es cero y la posición inicial en cada punto de X esta dado por la función x y la velocidad inicial del ala en cada punto X es cero. De lo anterior proponemos las siguientes condiciones: Con esto aseguramos que comience desde el origen Como la ecuación diferencial es NO homogénea, descomponemos la solución de (1) como suma de soluciones
DESARROLLO PARA ENCONTRAR Se sabe que la solución homogénea es solución arbitraria de: Buscamos soluciones en variables separables Aplicando (*) a (1) se tiene 0 (para que no sea la solución trivial)
De (2) se tiene De (3) se tiene Luego tenemos : Sturm Liouville Sustituyendo los valores propios en (8): Por desarrollo de EDO de 2º Orden se tiene
Pero como buscamos soluciones del tipo (*) Como la ecuación diferencial parcial y las condiciones de borde son lineales, entonces la suma de soluciones también es solución Donde (9) es solución de la EDP con las condiciones de borde (2) y (3).
DESARROLLO PARA ENCONTRAR LOS COEFICIENTES OBTENCION DE De (4) se tiene Reemplazando t=0 en (9) tenemos Luego haciendo a la ecuación anterior producto punto con, tenemos que para n=k
OBTENCION DE De (5) se tiene Derivando (9) con respecto a t y luego sustituyendo t=o tenemos Reemplazando obtenemos: Luego se tiene :
Se Consideremos Busquemos sabe soluciones las condiciones particulares (2) y (3) de la para siguiente el desarrollo formade la solución particular. DESARROLLO PARA ENCONTRAR Se sabe que es solución arbitraria de Consideremos las condiciones (2) y (3) para el desarrollo de la solución particular. Se sabe que constituye una base para el problema homogéneo de Sturm Liouville: Sturm Liouville Busquemos soluciones particulares de la siguiente forma
Como es conocido, entonces podemos desarrollar para cada t, como serie de Fourier con respecto a la base, es decir, sustituyendo (* )en (1): Donde Sustituyendo (*) en la ecuación (1) Ordenando se tiene Considerando: para que la solución particular no sea nula. EDO Homogénea de 2º Orden, de coeficientes constantes
Sea, de donde sabemos que Luego sustituyendo los términos anteriores en (9), la EDO nos queda así:
Luego dependiendo del caso del cual se obtenga Sea, de donde sabemos que Luego sustituyendo en (9), la EDO nos queda
SOLUCION GENERAL Como sabemos la ecuación diferencial es NO homogénea, por lo cual se descompuso la solución de la ecuación (1) como suma de soluciones. Del desarrollo se obtuvieron los siguientes datos: de donde depende de la solución del desarrollo de la EDO de 2º Orden luego sustituyendo en la solución general se tiene:
MODELAMIENTO EN MATLAB 39
MODELAMIENTO EN MATLAB 40
INTERPRETACIÓN 41
INTERPRETACION Podemos decir que el comportamiento del ala del avión será en forma ondulatoria por la presencia de los senos y cosenos. Además la solución particular posee exponenciales de algo positivo, lo cual indica que no existe amortiguación, sino que la onda de alguna manera crecerá en el tiempo y posición x. El resultado obtenido indica que las condiciones iniciales y las condiciones en la frontera determinan la función de manera única. La simulación de esta ecuación nos da como resultado el movimiento ondulatorio de un flameo (como una bandera), lo cual se acerca bastante a la realidad de un ala, aún cuando consideramos los dos extremos fijos del ala. Si bien la grafica en sus extremos se mueve, debemos notar que el eje z se mueve constantemente por defecto. 42
CONCLUSIONES 43
CONCLUSIONES A través de este trabajo de investigación Físico-Matemático, pudimos palpar con cierta realidad la aplicación de las Ecuaciones Diferenciales. En este caso la vibración de un ala de avión o flameo, problema del cual nuestra institución no esta ajena, puesto que la aviación naval debe lidiar con este problema para evitar el desgaste innecesario del material producto de la vibraciones excesivas en las alas de los aviones y además evitar pérdidas tanto materiales como humanas. Finalmente, el desarrollo de este trabajo nos lleva a darnos cuenta que se debe hacer uso del ingenio para enfrentar los problemas, haciendo analogías o similitudes con modelos conocidos o teoría de distintas ramas de la matemática y física, de tal forma de buscar una adaptación lo mas cercana posible al problema en cuestión. 44
PREGUNTAS 45
DESARROLLO DE LA OPERACIÓN Aplicando se obtiene Por la definición de derivadas parciales se sabe que: Para nuestro caso, para una función F que depende de X y T, variando solo en x. Donde luego de desarrollar el limite nos queda
DESARROLLO DE Por definición de producto punto entre funciones, y conociendo la función peso Tenemos que Por identidad trigonométrica se sabe que Luego sustituyendo y desarrollando integral se tiene Luego por integración por parte se tiene
DESARROLLO DE LA EDO Ecuación característica de la EDO Sabemos que es positivo y es negativo (signo de depende del signo de F(x,t) el cual es positivo y del signo de la integral del seno, el cual será finalmente negativo). Luego se tiene : Raíces complejas Para este caso la solución de la EDO seria