Olimpiadas. Internacionales

Pbls d s Olpds ntncnls D Físc Jsé us Hnándz Péz cd Dvd Fnándz uz J lá d ls nts Mdd 0 Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

X. OMPADA NTENAONA DE FÍA. 0. KAZAKHTAN POBEMA Est pbl cnst d ts pts ndpndnts PATE A. Mcánc b l pt nt d un clnd huc d s M y d, cn un sps d pd puñ, s clc un dsc d s. nclnt l clnd stá n ps sb un sul hzntl y l dsc s ncunt lclzd un ltu p nc dl sul, tl c pud bsvs n l fgu Encnt l fuz d ntccón nt l dsc y l clnd justnt n l nstnt n u l dsc ps p l pt nf d su tyct. upn u nt l dsc y l pt nt dl clnd n xst znt y u l clnd s dsplz p l sul sn dslz. M nsds un sst d fnc ctsn lgd l sul, dch sst d fnc s ncl. s fuzs ls u ctún sb l clnd sn: ps Mg, fuz d znt dl clnd cn l sul F, fuz cn u l dsc puj l clnd Nc, y l fuz cn u l sul puj l clnd N. s fuzs u ctún sb l dsc sn: su ps g y l fuz cn u l clnd puj l dsc, Nd. (v l fgu A). + + O N Nd Nc Mg F g Fg. A Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

s fuzs Nc y Nd sn d ccón y ccón, p tnt, sus óduls sn guls: Nc=Nd=N. fuz d znt F s dg hc l dch, pu cund l dsc s dsplz p l nt dl clnd, ést s uv hc l zud. Al clnd d l fgu A, l plcs ls lys d Nwtn, dsd ls js ncls n O, cuys sntds pstvs s ndcn n l fgu, (st custón s cnvncnl). P d l clnd F F x Nsn α F M M M ; γ M Nsn α M F γ; M F γ M Nsn α M γ M γ () clcón dl clnd s un vct pll l sul y dgd d dch zud Pcds gul cn l dsc - N sn α () ; N cs α g = y X clcón dl dsc spct d O, s un vct cn ds cpnnts. n bg c n nust stud cnsds l nstnt n l u l dsc llg l sul y ntncs su vlcdd s sl sgún l j X y dgd d zud dch, ns bst cn tn sl n cunt l cpnnt sgún X d l clcón, sn ncsdd d cupns tbén d l t. pnd () y () M c x dv M dt dv dt X M v v X t En l nstnt ncl ls vlcdds dl clnd y dl dsc sn c, lug t=0 M v vx () El vct vlcdd dl clnd s pll l sul y dgd d dch zud Abs vcts s hn dtnd cn spct l sst ncl lgd l sul. fuz d znt ctú n l sntd d ppcn un nt d fuz p u l clnd g, p n s un fuz dsptv p n hb dslznt. ngí ncl dl sst s ptncl g y cund l dsc ps p l pt nf d su tyct, l ngí s: cnétc d tslcón dl dsc, cnétc d tslcón dl clnd y cnétc d tcón dl clnd. n hy znt nt l clnd y l dsc, ést dslz sn t. Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

g M v v X ω M v v X M v M v v X g M v v X () Dspjs vx d l cucón () y susttus n l cucón (). v X M v g M v M v M v M v g M v v M v M M v g M M v g M M M M g M () usttuynd () n () Mg M v X v X M M Mg M (6) s h dtn l vlcdd dl dsc spct dl clnd cund l dsc ps p l pt nf, p nts xplcs cn un jpl l pcs. Y Y t = 0 H vh v X O Y Y x xh H vh t = Δt X Fg. A v X O X Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

En l fgu A., y lgd l sul s h cnsdd un sst d fnc ncl OXY. s un ct u n l nstnt t=0 tn un vlcdd v spct d OXY y lgd él s cnsd un sst d fnc O X Y. H psnt un hb u s dsplz sb l ct cn un vlcdd vh spct d OXY. Al cb d un ct tp ls pscns dl H y dl ct s ndcn n l sgund fgu d A. pscón dl hb spct dl sst lgd l ct (O X Y ) s: X X c X H v t v t H v v t v t H l En l pbl, l ct s l clnd huc y l hb l dsc, p tnt, l vlcdd ltv dl dsc spct dl clnd s l su d v y vh = vx fuz u l clnd jc sb l dsc n l pt nf, s gul y cnt l su dl ps dl dsc ás l fuz cntípt p g ldd dl punt, Fg.A. v F g l g M M g M M g M F g M g M M g M g M M M F g g M M g g g M g M g M PATE B. Físc lcul Un bubuj d d =,00 c cntn un gs dl dtóc, l plícul jbns tn un sps h= 0,0, dch bubuj stá stud n l vcí. tnsón supfcl d l dslucón jbns s =,00.0 - N/ y su dnsdd =,0 g/c. ) Dtn l cpcdd l dl gs n l pcs d sunstl cl d n uy lnt d d u l bubuj pnc n ulb cánc. ) Encnt l xpsón d l fcunc ngul d ls puñs sclcns dls d l bubuj, n l supust d u l cpcdd clífc d l plícul jbns s uch y u l dl gs. Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

upn u l ulb téc s lcnz uch ás ápdnt u l pd d ls sclcns. Ayud. plc dstó u xst un dfnc d psón dnt y fu d un supfc cuvd gnd p l tnsón supfcl d l ntfs nt l líud y l gs, snd σ Δp. plícul jbns tn ds supfcs, dbd tn un ct sps h, sn bg ést l vs cnsd uy puñ fnt l d, p l u pds hc un pxcón cnsdnd ls ds ds, nt y, guls. En σ cnscunc l psón cpl s:. Dd u l psón n s nul y xst ulb cánc, s s l psón dl gs cntnd n l bubuj. Aplcs l p pncp d l tdnác 6 dq n dt n dt pd p d n dt () Aplcs l cucón d ls gss pfcts l gs u stá cntnd n l bubuj. σ π 6 nt π n T π d n dt dt π d n π d π d usttuynd n () σ n π d π σ d n ) En pncp, l sunst un cntdd d cl l gs cntnd n l bubuj untí su tptu y dás ntcbí ngí clífc cn l slucón jbns G cg Δt G cg Δt J c J Δt Δt c Tnnd n cunt, sgún l nuncd, u cj>>cg, t tnd c, st sgnfc u l plícul jbns ntn su tptu y dás l gs tbén l ntn, p tnt, cnsds l pcs stéc y cst d l ngí cbd, fctuá tbj cnt l bubuj u unt d vlun, p c s d cptnt lástc st bn fctuá sclcns nt ds pscns d dstnts ds. J J Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

gns u l bubuj n un nstnt t, tn un d +x, snd x puñ cpd cn. dfnc nt l fuz dbd l psón dl gs (h dsgnd cn p ) y l dbd l tnsón supfcl c un fuz sultnt u tnd llv l bubuj su d ptv. En st stucón s pducán un cnjunt d sclcns dls d l bubuj. cucón dfncl. p π σ x d x dt d x dt x π x ; p π x σ π x () s l lcón nt p y l psón dl gs p, cund ls ds sn: y +x. p p p p p π π x p x x x Pust u x<<, ls téns d x l cub y l cudd ls dspcs 7 p p x p x x x p p x x x 9 x p σ x p nsdnd l sps h d l bubuj. s d l plícul jbns s: ρ π h ρ usttuynd n () x d x x x h dt x x x d x σ ( ) σ σ x h ρ dt x x x x d x σ x 6 σ σ x hρ dt d x 8 d x σ x σ σ x 8σ x hρ ; ; x ; () dt h dt n un vnt vbt ónc s 8 h h ;.0 d x x ; dntfcnd: dt,00.0 N 08 s 6 0.0 00kg Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

8 cucón () s l d un vnt ónc spl PATE. Elctcdd En l nstnt ncl l ntupt (v fgu) stá bt y l cndnsd d cpcdd ps un cg ; l cndnsd d cpcdd stá dscgd y p ls bbns, d cfcnts d utnduccón y spctvnt, n ps cnt. El cndnsd cnz dscgs y justnt cund l cnt u ccul p ls bbns s áx, s c d f nstntán l ntupt. Dtn l ntnsdd áx d cnt u ccul p. und sté bt l ccut d l fgu sup s un ccut sclnt cn cpcdd E y utnduccón E = + =. E El pd d dch ccut s: E T π E E π π ω Dsgns cn t l tp tnscud dsd u s h ncd l dscg, cn l cg léctc dl cndnsd y cn l dl cndnsd y cn l ntnsdd d l cnt léctc u ccul p ls bbns. gún l pncp d cnsvcón d l cg léctc. Dd u n xstn sstncs n l ccut, plcs l pncp d cnsvcón d l ngí Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0 9 () 6 O P dtn l ntnsdd áx d l cnt dvs l cucón () spct d guls c 0 0 6 0 6 6 d d usttus sts vls d ls cgs n. 8 6 9 x () Al c nstntánnt l ntupt, n l ccut sup l cndnsd tn un cg (/), y l bbn lcn un ngí x. ntnsdd áx n l ccut sup M, s pducá cund l ngí lcnd n l cndnsd ps l bbn. x M M M M x 8 8 8 8 8 8 En l ccut nf l ntnsdd áx M

0 x M 9 8 M M 8 8 M 8 8 x s ntnsdds áxs nts n cncdn n l tp tvés d. En l nstnt ncl (c nstntán d ), n l ccut sup l ngí dl cndnsd sup l ngí lcnd n l bbn. E 6 9 ; E x 8 6 P cnsgunt pt dl nstnt d c d, l cndnsd s sgu dscgnd. cucón d l ntnsdd d l cnt n l ccut sup s: M sn ωt θ sn ωt θ x En l nstnt t=0 (c d ) l cucón nt cnduc : x x sn θ sn θ cs θ En l nstnt ncl (c nstntán d ), n l ccut nf l ngí d l bbn s gul u l dl cndnsd E 8 ; E x 8 8 El cndnsd sgu cbnd cg. M sn ωt sn ω t x En l nstnt t=0 (c d ) l cucón nt cnduc : x x sn ψ sn ψ cs ψ Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

El dg tt p ls ds ntnsdds s: x x (X) (Y) x x csθ sn θ x x x cs ψ x sn ψ x 8 0 x Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

POBEMA. Ecucón d std d vn d Wls cncd cucón d std d ls gss dls pt d l supscón d u ls léculs n tnn tñ n ntctún nt sí. En ldd sí u tnn un tñ fnt ntccnn nt lls. Tds ls pts d st pbl s fn un l d gu. Pt A. Ecucón d std d un gs n dl Tnnd n cunt l tñ fnt d ls léculs l cucón d std d un gs s scb c P b T P s l psón dl gs, l vlun cupd p l gs y T l tptu, s l cnstnt d ls gss, b psnt un cnstnt íd pt dl vlun d ls léculs. A. Est b y xpsl n funcón dl dát d d ls léculs El tén b s ntduc n l cucón d ls gss dls stnd dl vlun dd dl gs un vlun lcnd cn l tñ d ls léculs. A p vst s pdí st l vlun d ls NA léculs u xstn n l l d gs, p st n s cct pu ls léculs, cnsdds c sfs ígds, n pudn pxs tnt c p tcs nt sí, pust u pcn fuzs léctcs pulsvs, st cnllv cnsd b y u l vlun d ls léculs. s stcns ás snclls supnn u b s cut vcs l vlun d ls léculs.(pud cnsults l znnt n Quíc-Físc d.glsstn, págn 70.Edtl Agul). d b π N A N A d n d Wls ppus un cucón, n l u s ncluí un tén n l psón p cnsd ls fuzs ntlculs, u d f pxd dscbn ls stds gss y líud d l t. P En dch cucón s un cnstnt. b T Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

A un tptu T nf l d un vl cítc T l cucón d vn d Wls, cund s psnt n un dg P-, ppcn un st (cuv d l fgu ) dnnd st d vn d Wls, En l s gáfc l cuv psnt un gs dl p s s tptu. Fg..- st d vn d Wls d gs líud (cuv ) y l st d un gs dl (cuv ). Fg..- Dfnts sts d l cucón d vn d Wls st d l fgu s sp d l st l pu nt B y A xst un lín ct tzd un psón cnstnt PG Est sgnt ct s lclz nt ls vlúns (líud) y G (gs) y Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

psnt u n s zn cxstn n ulb ls fss líud y gss. A pt d l sgund ly d l tdnác J. Mxwll dstó u PG db scgs cund ls ás y (sbds n l fgu ) sn guls. s unt l tptu, l sgnt ct AB d l st s duc un punt n l u l tptu y l psón sn Tc y PG=P. s páts T y P s dnnn cítcs y p l ví xpntl s dn cn gn pcsón. A. Exps ls cnstnts y b d l cucón d vn d Wls n funcón d T y P st T psnt un punt d nflxón l cul s tduc, dsd l punt d vst tátc, n ds cucns: dp d T 0 y d P d T 0 Dspjs P d l cucón d vn d Wls y hlls ls dvds P T b ; dp d T T b b 0 : T d P d T T b 6 T 6 b b T b Dvdnd b b ls ds últs cucns T T b b b b T 7 b T 7 b ; T 8 7 b b b usttuynd n l cucón d vn d Wls Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

P 9b T b P 9b 8 7 b b P 7 b 9b 7 b b 7P c ;susttynd n l p cucón : P T b 8P 7 P T 8P 9 7 P T b 7 6 P P T P T b A. P l gu, T=67 K y P=,.0 7 P. lcul ls cnstnts y b dl gu H O J 8, 67 K 7 l K 6 7 N,.0 N 0, l N N 0, l P 0, l 6 b H O N 8, 67 K l K 7 N 8,.0,.0 l A. Est l dát d un lécul d gu gún l ptd A d b N A,.0 l 6,0.0 l,0.0 0 Pt B. Ppdds d gs y líud Est pt dl pbl s f ls ppdds dl gu n ls stds gss y líud l tptu d T = 00º. psón dl Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

vp stud s tptu vl PG= P =,0.0 P y l vlun l dl gu s =,8.0 - kg/l. Estd gss sult znbl supn u G>>b s váld p l dscpcón d ls ppdds dl gu n l std gss 6 B. Obtn l ful d G xpsándl n funcón d, T, p y A pt d l cucón d vn d Wls p G b T G Tnnd n cunt l supscón dl nuncd G b G p G G T p G T G 0 G T T p p P dcd nt l sgn ás l ns, plus l cucón btnd un gs dl p l u =0 pg T T l sgn fus ngtv G =0, l cul s psbl, p tnt, l slucón s. G T T () p p usttuynd vls n l cucón nt G 8,7 8,7,0.0 0,,0.0 0,008 utlzs l cucón d ls gss dls G T p 8, 7 0,00,0.0 pls l cucón d ls gs dls s btn páctcnt l s vlun. Jsé B. us Obtn Hnándz l pcntj Péz - cd d Dvd dsnucón Fnándz uz dl vlun - J lá dbd ls nts ls. Δ Mdd 0 G G G fuzs ntlculs. G G

7 lculs ntnt l vlun cn l cucón (), G=0,008 lculs ntnt l vlun cn l cucón d ls gss dls, G=0,00 0,00-0,008 % 00 0,6 % 0,00 l vlun dl sst s duc p dbj d G l gs cnz cndnss. N bstnt un gs uy pu pud pnc n s std tstbl, lld vp subnfd, hst u l vlun lcnz un ct vl G n B. Evlu cuánts vcs l vlun dl vp d gu s pud duc p u l gs pnzc n s std tstbl. En ts plbs dtn l ccnt G/Gn En l fgu, l st d vn d Wls pnt n l gón n u cxstn ls fss gs y líud y s st du un vl áx. Adts u l gs s dp pud ntn c tl hst s punt, n l u s cupl u 0. d T Dspjs l psón d l cucón d vn d Wls y hcs l dvd T b dp d T P b T G n G n 0 Hcs l pxcón Gn b Gn T Gn Gn T N 0, l,.0 N 8, 7K lk G Gn 0,008,.0 87 l Estd líud P l std líud sult znbl dt u P<</ B. Exps l vlun dl gu líud n funcón d, b, y T Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

8 cucón d vn d Wls plcd cn l cndcón dl nuncd d lug : b T T T b T b 0 b T T T b T ug l dud sb ué sgn db utlzs n l cucón nt. dnsdd dl gu 00º s 0,98 g/c Un l d gu (0,08 kg) n std líud cup un vlun 00º d kg d gu 0,08kg,7.0 0,98.0 0, kg El ccnt 8,9.0,7.0 T 8,7, p cnsgunt l tén nclud n l péntss db s n u l undd y s cnllv utlz l sgn ns. lculs l vlun u cup un l d gu 00º ppcnd p l cucón dducd ntnt, plnd l sgn ns. (00º ) 0, 8,7,.0 8,7,0.0 0, s bsv un vl uy dfnt dl vl xpntl, l u n dfntv ns dc u l cucón d vn d Wls n pud plcs n std líud s us btn vls u s cun znblnt ls xpntls. upnnd u bt<< ncnt ls sgunts cctístcs dl gu. N s spnd s lgun d ls dts btnds n cncdn cn ls vls B. Exps l dnsdd dl gu líud n funcón d,, b y y clcul su vl tbulds cncds! Hgs un cnt sb l supscón dl nuncd T 0 00 0 00 0 00 bt= 0,0 0,06 0,09 0,0 0,06 0,077 Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

9 /bt 6 8,6 7, supscón d u >>bt s cupl cund T tnd c, s pns st cndcón n l cucón d vn d Wls, l sgund b tnd c y l p db hcl p ntn l guldd, lug -b tnd c, st s, l vlun tnd l vl d b ρ μ l μ b kg 0,08 l,.0 lculs l dnsdd dl gu líud 00º kg 8 l ρ 00º 0,08,0.0 kg 9 Un sultd u nd tn u v cn l dnsdd dl gu 00º u sgún ls tbls s 98 kg/.lvs l cntd n l ptd nt l cucón d vn d Wls n s plcbl l std líud 00º B6. Exps l cfcnt d xpnsón téc,b, y d su vl. α Δ ΔT n funcón b T Escgs l cucón y psnts fnt T T tptus bjs cn l u s btn páctcnt un lín ct d cucón Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

0 0,0000 0,0000 y = E-08x + E-0 = 0,998 lun n 0,00000 0,0000 0,00009 0,00009 0,00008 0 0 00 0 00 tptu n K.0 8 T.0 Δ l.0 8 T T α.0 8 T.0 8.0 T T T T p T 7K α.0 8 8.0 7.0 6,.0 K P T =0 K ; = 6,6.0 - K - ; P T =9 K, =,6.0 - K - El cfcnt dl gu 0 º s,.0 - K -. B7. Exps l cl d vpzcón dl gu n funcón d,, b, y clcull. El tén d l cucón d vn d Wls u tn n cunt l ntccón lcul s: /, tén u tn ls dnsns d un psón.s l vcón d s tén l ps dl líud gs Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

E μ G d G μ μ T b T kg 0,08 l N 0, l,0.0 l 0,76.0 6 J kg El cl ltnt d vpzcón dl gu u s ncunt n ls tbls s,6,0 6 J/kg, c s bsv vl uy dscpnt d st cálcul. B8. nsd un cp nlcul d gu, st l tnsón supfcl dl gu. upns u ls léculs cund fn un supfc lcul stán n cntct nt s. hy NA léculs (gíns u sn cubs) fcn un supfc N AlHO, snd l H O l lngtud d l st y l pu s fn ds supfcs un p b y t p dbj. tnsón supfcl s dfn c l ngí u hy u pt p undd d supfc. ls NA léculs psn dl std gss f l cp nlcul l ngí l (xpsd n J/l). Al supn u ls léculs s tcn l lngtud d l st cncd cn d, btnd n l ptd A. O H σ N d HO 6 J 0,76.0 0,08 kg 6,0.0 l.0 kg l J 0, 0 A tnsón supfcl dl gu n cntct cn y un tptu d 0º s 0,07 J/. Nsts pns u n dbín hbs nclud sts ptds n l pbl, dd u ls vls btnds tn ljs d ls ls pudn dsnt l lun. Pt. st líud gs gl d Mxwll plc u sn guls ls ás y n l fgu dtnds p l ct AB u ct l st d vn d Wls junt cn ls pxcns lzds n l pt B, cnducn Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

u l psón d vp pg dpnd d l tptu sgún l cucón B ln p G A T n l u A y B sn cnstnts u pudn xpss n funcón d y b A ln ; B b b W.Thsn dstó u l psón dl vp stud dpnd d l cuvtu d l supfc dl líud. nsdés un líud u n j l cpl (ángul d cntct 80º), l sug l cpl n l líud l nvl dsnuy spct d l supfc lb dl líud dbd l tnsón supfcl.(v l fgu ). Fg..- Un tub cpl stá sugd n un líud u n j l tl dl cpl.. Encnt l puñ cb d psón pt dl vp stud sb l supfc cuvd dl líud, xpsándl n funcón d l dnsdd dl vp,, l dnsdd dl líud,, l tnsón supfcl, y l d d l supfc,. Dsgns cn p l psón dl vp stud n l supfc lb dl líud y cn p, l psón dl vp justnt nc d l supfc dl nsc d d. Ns pdn l dfnc nt sts psns, u tn u s un vl uy puñ. El ulb d psns dds l ltu dl nsc y l s ltu n l líud ns cnduc : Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

p ρ g h p σ p ρ g h p σ ρg h h σ g ρ ρ p p Δp T ρ g h - σ ρ σ g g ρ ρ σ - σ ρ ρ ρ Δp T σ ρ ρ ρ ρ ρ σ ρ ρ ρ s stds tstbls cnsdds n l ptd B s utlzn plnt n xpnts ls c l cá d nbl pld n l gst d ptículs lntls. Tbén cu n fnóns ntuls, tls c l fcón d cí tnl n dnd l vp subnfd s cndns fnd gts. s gts uy puñs s vpn ápdnt p ls u tnn ct tñ pudn cc ún ás... upn u l nchc y l tptu d t=0º, l s ncunt stud d vp d gu, p l nc dl dí sgunt l tptu h dscndd n T=,0º. upnnd u l psón d vp n h cbd st l d ín d ls gts u tdví pudn cc. Utlz l tnsón dl vp dl gu d ls tbls, cuy vl s = 0,07 N/ lculs ls psns dl vp stud 0º y º. 0, 0, A ln 9, ; B,.0,.0 8, n p(0º) 9,,9 p(0º ),9.0 P 9 n p(º) 9,,79 p(º ),.0 P 88 l psón d l gt s y u l tndá vps y s s n tndá cc, n l lít σ ρs p(º ) ΔpT p(0º ),.0,9.0 ρ ρs dnsdd dl vp l clculs supnnd u l vp s cpt c un gs dl Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

ρ p(º ) μ T N kg,.0 0,08 l N 8, 88K l K kg 0,99 0,07 0,99 0,7.0 000 0,99 0,07 0,99 8,.0 0,7.0 999 9 s vls d ls tbls d l psón d vp d gu stud sn: º,,7 kp y 0º,, kp. Aplcnd sts dts: ρ σ s 70 0,08 kg 0,07 0,0 6 60 ; ρ 0,0,9.0 ρ ρs 8,.88 000 Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

POBEMA. Un dl spl d l dscg n un gs Un cnt léctc u ccul tvés d un gs cb l nb d dscg léctc n un gs. Exstn dvss tps d dscgs, c l d ls láps ncndscnts, l dscg n c n l lzcón d slddus y l cncd dscg léctc nt ls nubs y l t n f d y. Pt A. Dscg n un gs n utntnd En st pt dl pbl s stud l dscg d un gs n utntnd. P ntn l dscg d f pnnt s ncst u ctú un nzd n, Z,l cul c p ps ns y lctns lbs p undd d vlun y p undd d tp d f unf n td l vlun. und l nzd n stá n funcnnt, l nú d lctns ns n l gs unt. El unt d l dnsdd d lctns y d ns n l gs s cntst dbd un pcs d cbncón p l u s unn lctns cn ns p f áts nuts. El nú d cbncns Zc n l gs p undd d vlun y d tp st dd p Zc n n En l nt cucón, s un cnstnt dnnd cfcnt d cbncón, n y n sn ls dnsdds d ls lctns y ls ns spctvnt. upn u l tp t=0, s cnct l nzd n y ls dnsdds d ls lctns y d ls ns sn nuls. dnsdd d lctns n(t) dpnd dl tp sgún l cucón: n (t) n α tgh bt n, y b sn cnstnts y tgh s l tngnt hpbólc. A. Exps n, y b n funcón d Z y d. Al ctu l nzd n l sn dl gs pcn ns l s tp un pt d lls dspc p cbncón En un pncp s pducn ás ns u dspcn, p dd u su nú cc unt l cbncón p l u ts un tp gnd, su nú pnc cnstnt. vlcdd d vcón d l dnsdd d ls ns ( d ls lctns) cn spct dl tp vl; Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

6 dn Z Zc Z n n dt s pducn ls ss ns u lctns, n=n = n(t), l susttu n l cucón nt dn dt Z n Z (n tgh bt) gún l nuncd n l tp t=0, n hy n ns n lctns, p tnt n =0. und tnscu un tp gnd, t, y y n ví l dnsdd d lctns dn sn u s ntn cnstnt 0. dt b? 0 Z tgh bt Z Z bt bt bt bt Z Z bt 0 bt 0 upn u xstn ds nzdts dspnbls. und l p funcn l dnsdd d lctns n l gs lcnz un vl d ulb d n=.0 0 c -. und l hc l sgund l vl d ulb p l dnsdd d lctns s n=6.0 0 c -. A. Encnt l dnsdd d lctns n n l ulb s ls ds nzds ns funcnn sultánnt. und funcn l p nzd y s lcnz l ulb. : Z ; n Z und funcn l sgund nzd y s lcnz l ulb. : Z ; n Z und funcnn ls ds nzdts sultánnt Z Z Z ; n Z Z n Z Z n n n n n 0 0.0 6.0.0 c Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

7 Atncón! A cntnucón s supn u l nzd n tp stá funcnnd dunt un lg pd d d d u l pcs s ncunt n std stcn, st s, n dpnd dl tp. N s cnsd l cp léctc d ls ptds d cg. supn u l gs lln un clnd u tn ds plts cnducts n sus s d á cd un y spds nt sí un dstnc. P d d ls plts s plc l clnd un vltj U u c un cp léctc E nt ls ncnds plts. Adt u ls dnsdds d bs clss d cgs pncn páctcnt cnstnts l lg dl clnd. Dbd l cp léctc E, bs ptds d cgs (lctns,, ns ) tnn l s vlcdd v ppcnl l cp v= E, xpsón n l u s un cnstnt lld vldd d l cg. A. Exps l cnt léctc n l clnd n funcón d U,,,, Z, y ( = cg lntl d lctcdd) En l std d ulb dnt dl clnd s stán pducnd lctns p undd d tp: Z. En s undd d tp dspcn p cbncón Zc, y dás xst un ntnsdd d cnt. n psnt ls lctns u dspcn l llg l ánd (lctd pstv) u fn pt d l ntnsdd d l cnt, l cg s n y p dfncón d ntnsdd n n t t El blnc p undd d tp n l std stcn s: Z Zc n n s pducn ls ss ns u lctns, l gunt nt sv p ls ns Z Zc n n ntnsdd d l cnt lctónc s d l cnt ónc n v n β E n v n β E n y l β E n β E usttuynd sts vls n ls cucns nts y suándls Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

8 Z β E β E Z β E Dsgns cn l ntnsdd ttl y c l cntbucón d l cnt lctónc y l ónc sn guls, sult u. lcón nt l cp E y l vltj plcd s U = E, susttuynd n l últ cucón Z U β β U β U Z 0 slvnd l cucón d sgund gd Z β U β U β U Z β U Z β U β U Z β U - β U tn u s pstv p ll s h lgd l tén pstv n l slucón. A. Encnt l sstvdd gs cund l vltj plcd s sufcntnt puñ y xpsl n funcón d,, Z, y. Z l vltj plcd U s sufcntnt puñ, β U tén d l íz cudd d l cucón nt : pxs l Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

9 β U Z pxs β U Z β U β U Z β Z U últ cucón s l ly d Oh =U/, d dnd dducs U ρ gs β Z Pt B. Dscg n un gs utntnd ρ gs β Z β Z En st pt dl pbl s cnsd có l gncón d un dscg dl gs utntnd cnduc u l cnt léctc n l clnd s utntnd. Atncón! En l u sgu s supn u l nzd cntnu funcnnd cn l s pdz Z, s dspc l cp léctc dbd ls ptds d cg p l u l cp léctc l lg dl clnd s unf y l cbncón n s tndá n cunt. En l dscg dl gs utntnd xstn ds pcss ptnts u ntnt n s hbín cnsdd. El p s l són scund d lctns y l sgund l fcón d un vlnch d lctns. són scund cu cund ls ns chcn cn l lctd ngtv, lld cátd, y ls lctns btn hc l lctd pstv, lld ánd. El ccnt nt l nú d Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

lctns u btn p undd d tp N, y ls u chcn cnt l cátd N s l dnnd cfcnt d són lctónc N scund γ. N fcón d l vlnch lctónc s xplc cntnucón. El cp léctc cl ls lctns lbs, ls culs dun l sufcnt ngí cnétc p u l chc cnt ls áts dl gs ls ncn, y c sultd d st pcs, l nú d lctns u s dsplzn hc l ánd unt cnsdblnt. Est pcs s dscb dnt l dnnd cfcnt d Twnsnd, l cul cctz un ncnt n l nú d lctns dn, dbd ls lctns N u hn tvsd l dstnc dl dn dl α N cnt ttl n un sccón nl dl clnd u cntn l gs s l su d ds cnts: un ónc (x) y un lctónc (x). En l std stcn st últ cnt dpnd d l cdnd x, vés l fgu sup. cnt lctónc (x) ví l lg dl j X sgún l cucón (x) nd A, A y cnstnts. A x A B. Encnt A y A y xpsls n funcón d Z,,, y 0 Dsgns cn (x) l ntnsdd léctc dbd ls lctns l ltu x d l sccón dl clnd y (x dx) l ntnsdd un dstnc dx d l nt. ntnsdd (x dx) > (x) y u p un pt s hn pducd nuvs lctns dbd l nzd n (Z) y p t ls u pcn dbd l fct d vlnch (fct Twnsnd).. s lctns vjn un vlcdd v y pln un tp dt n c l dstnc dx.. El ccnt / psnt l nú d lctns p undd d tp, lug l nú d lctns n l tp dt s: dn (x dx) (x) d (x) dt dx dt () dx Z psnt l nú d lctns (tbén d ns) u l nzd n pduc p undd d tp y d vlun, p tnt, n l tp dt y n l vlun dx, s pducn :ls sgunts lctns: dn Z dx dt. Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

Dbd l fct d vlnch y d cud cn l cucón l nuncd: α dn α N dx cds u l dnsdd lctónc s l nú d lctns p undd d vlun, u dx= v dt y u = n v N α (x) n dn α n dx vdt α dx dt dx lvnd ls sultds d ls ds fcts l cucón () sult: d dx (x) Z α (x) d dx (x) Z α (x) () gún l nuncd dl ptd usttuynd n l cucón () A x (x) A d A x (x) A dx A x A x A Z α α A P u l guldd s cupl A A Z x α A A x α A α A Z α cnt ónc ví l lg dl j X sgún l cucón B x (x) B nd B, B y cnstnts. B. Encnt B y B y xpsls n funcón d Z,,,, y ntnsdd d cnt ónc s, n vl bslut, gul l ntnsdd d cnt lctónc, y u l nzd n pduc ls ss lctns u ns (vés l pt A dl pbl), l vlcdd d ls lctns y d ls ns s cnsd gul (vés l nuncd nt l pgunt A), y n l fnón d l vlnch, cd lctón l chc cn un át nut d lug un lctón y un ón. dfnc s u l cnt lctónc s dsplz n l sntd pstv dl j X, y l ónc n sntd cnt. Est plls ns pt scb d (x) dx Z α (x) Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

Hlls l dvd d (x) spct d X y susttus n l cucón dl nuncd d (x) dx B x B B B x B B Z A α x α A En l últ cucón sbs u α A y Z α A, lug. B x B B A x α B B α y B x A x B A α y B α α B B. Encnt l vl d (x) cund x= s ns s uvn hc l lctd ngtv (cátd) y sn chzds p l lctd pstv (ánd), n cnscunc n pud hb cnt gstd n st lctd: B. Encnt l lcón d (x) y (x) cund x= 0 () 0. und x=0 ns ncnts n l cátd dnd llgn ls ns pstvs u l chc cnt l lctd dn lug lctns u justnt l bndnn. El N nuncd ns dc l lcón γ N Nγ, c l ntnsdd s N ppcnl l nú d lctns p undd d tp, pds scb l cucón (x) γ (x) B. Encnt l cnt ttl y xpsl n funcón d Z,,,, y. supn u pnc fnt. ntnsdd ttl s l su d ls ntnsdds ónc y lctónc cuys cucns stán dds n l nuncd B (x) (x) B x A x A Z Hs vst u: A α, A, B, B α α und x =, ()=0 α x α x Z Z α α Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

() 0 B α B B α -B () und x=0, (0) γ (0) A γ B A γ γ γ Z α gulnd () y () γ Z α γ () α γ Z γ α α γ Z α α γ γ γ γ α γ Z α α Z α α Z α α - α γ γ γ γ lvnd l vl d l ntnsdd ttl, sult: Z α -α Z Z -α γ γ α α γ γ () l cfcnt d Twnsnd cnstnt. l lngtud dl clnd cc y s lcnz un vl cítc >, ntncs l nzd n pud dscncts y l dscg s utntnd. B6. Encnt y xps su vl n funcón d Z,,,, y D l cucón () s dduc u s l lngtud dl clnd unt, l dnnd d l fccón u fgu dnt dl péntss cudd pud hcs ngtv l cul cnllv vls d ngtvs, l cul cc d sntd p un dscg cn l nzd n funcnnd. Twnsnd ppus u l ps l dscg utntnd s pduc cund Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0

Jsé us Hnándz Péz - cd Dvd Fnándz uz - J lá d ls nts. Mdd 0 γ ln α γ γ ln α γ γ α γ γ α γ γ α 0 γ γ α